Acasă · Clasa a VI-a · Lecții · Mulțimea numerelor întregi ℤ. Reprezentarea pe axa numerelor

Mulțimea numerelor întregi ℤ. Reprezentarea pe axa numerelor

Până acum, în matematică, ai lucrat aproape numai cu numere naturale: 0, 1, 2, 3, 4 și așa mai departe. Ele ți-au fost de ajuns ca să numeri mere, să măsori lungimi sau să aduni puncte la un joc. Dar lumea reală are și o „parte de sub zero": termometrul arată iarna −7 grade, contul de la bancă poate intra „pe minus", iar un submarin coboară sub nivelul mării. În această lecție despre mulțimea numerelor întregi pentru clasa a 6-a vei descoperi numerele negative, vei cunoaște mulțimea ℤ și vei învăța să așezi orice număr întreg, exact la locul lui, pe axa numerelor. Hai să pornim!

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști când avem nevoie de numere negative în viața de zi cu zi (temperaturi, altitudini, datorii, golaveraj).
Vei ști ce este mulțimea numerelor întregi ℤ și cum se scrie ea cu notație matematică.
Vei ști să deosebești numerele întregi pozitive, negative și numărul 0, plus submulțimile ℤ⁺ și ℤ⁻.
Vei ști să reprezinți numere întregi pe axa numerelor, corect și ordonat.
Vei ști să dai singur exemple practice de numere întregi și să citești un număr de pe o axă.

Hai să descoperim împreună

1. De ce nu ne mai ajung numerele naturale?

Imaginează-ți că ești afară, iarna, și te uiți la termometru. El arată 5 grade. Peste noapte se face frig și temperatura scade cu 5 grade. Cât arată acum? Zero grade. Bun. Dar dacă mai scade cu încă 3 grade? Numerele naturale „se opresc" la 0 — după 0 nu mai au unde să meargă. Și totuși, în realitate, termometrul chiar coboară mai jos! Spunem că arată trei grade sub zero, adică −3 grade.

Ai întâlnit aici un număr nou, care nu este natural: numărul negativ −3. El ne spune nu doar „cât de departe" suntem de zero (3 unități), ci și în ce parte (mai jos, sub zero).

Iată câteva situații în care numerele naturale, singure, nu se descurcă:

Temperaturi: vara avem +30°C, dar iarna putem avea −15°C. Numărul negativ arată cât de tare e sub zero.
Altitudini: vârful Moldoveanu are +2544 m față de nivelul mării; țărmul Mării Moarte este la aproximativ −430 m, adică sub nivelul mării.
Bani (debit/credit): dacă ai 50 de lei, scriem +50. Dacă datorezi 50 de lei (ești „pe minus"), scriem −50.
Golaveraj la fotbal: o echipă care a primit mai multe goluri decât a dat are golaveraj negativ, de exemplu −4.
Lift/clădiri: parterul este 0, etajele de deasupra sunt +1, +2, +3, iar nivelurile de parcare subterană sunt −1, −2.

Observă ceva foarte important: în toate aceste exemple există un punct de pornire numit zero (înghețul apei, nivelul mării, „nici bani nici datorii", parterul). Numerele pozitive arată „deasupra" lui zero, iar numerele negative arată „dedesubt". Zero însuși nu este nici pozitiv, nici negativ — el este granița, reperul.

2. Cum scriem un număr negativ

Un număr negativ se scrie punând semnul minus „−" în fața numărului: −1, −2, −7, −100. Citim: „minus unu", „minus doi", „minus șapte".

La numerele pozitive putem pune semnul plus „+" în față (+1, +2, +7), dar de cele mai multe ori îl lăsăm deoparte: scriem pur și simplu 5 în loc de +5. Deci 5 și +5 înseamnă exact același număr. În schimb, la cele negative semnul „−" nu se lasă niciodată deoparte, pentru că el este partea care ne spune că numărul e „sub zero".

3. Ce sunt numerele întregi și ce este mulțimea ℤ

Dacă luăm la un loc:

toate numerele naturale (0, 1, 2, 3, 4, ...) și
toate numerele negative (−1, −2, −3, −4, ...),

obținem o mulțime nouă, mai mare, pe care o numim mulțimea numerelor întregi. O notăm cu litera specială ℤ (un „Z" stilizat). Litera vine de la cuvântul german Zahlen, care înseamnă „numere".

Scriem mulțimea ℤ așa:

ℤ = { ..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ... }

Cele trei puncte (...) de la ambele capete arată că mulțimea continuă la nesfârșit în ambele direcții: spre numere din ce în ce mai mari (la dreapta) și spre numere din ce în ce mai mici (la stânga). Așadar ℤ este o mulțime infinită — îți amintești de la lecția despre mulțimi finite și infinite?

Un număr întreg este, deci, fie un număr natural (0, 1, 2, 3, ...), fie opusul unui număr natural diferit de zero (−1, −2, −3, ...). Nu sunt numere întregi: 2,5; jumătate (1/2); 0,75 — acestea au „bucățele" sub virgulă și le vei studia mai târziu, la mulțimea numerelor raționale ℚ.

4. Numerele naturale „locuiesc" în interiorul lui ℤ

Privește cu atenție diagrama de mai sus. Orice număr natural este și număr întreg: 0, 1, 2, 3 se găsesc și în lista lui ℤ. Spunem că mulțimea numerelor naturale ℕ este inclusă în mulțimea numerelor întregi ℤ, și scriem:

ℕ ⊂ ℤ

(citim: „ℕ este inclusă în ℤ"). Este vorba despre relația de incluziune pe care ai cunoscut-o la lecția despre relații între mulțimi. În schimb, invers nu este adevărat: −3 este număr întreg, dar nu este număr natural. Deci ℤ este „familia mare", iar ℕ este „o parte din ea".

5. Cele trei feluri de numere întregi și submulțimile ℤ⁺ și ℤ⁻

Numerele întregi se împart în trei categorii clare:

Numere întregi pozitive: 1, 2, 3, 4, ... (sunt aceleași cu numerele naturale mai mari ca 0). Mulțimea lor se notează ℤ⁺, deci ℤ⁺ = {1, 2, 3, 4, ...}.
Numere întregi negative: −1, −2, −3, −4, ... Mulțimea lor se notează ℤ⁻, deci ℤ⁻ = {−1, −2, −3, −4, ...}.
Numărul 0, care este singur, special: nu este nici pozitiv, nici negativ. El nu intră nici în ℤ⁺, nici în ℤ⁻.

Atenție la o subtilitate de notație, ca să fii precis:

ℤ⁺ = numerele întregi strict pozitive = {1, 2, 3, ...} (fără 0).
ℤ⁻ = numerele întregi strict negative = {−1, −2, −3, ...} (fără 0).
Dacă vrem să includem și zero, scriem ℤ₊ = {0, 1, 2, 3, ...} (numere întregi nenegative) sau ℤ₋ = {..., −2, −1, 0} (numere întregi nepozitive). În clasa a VI-a vei folosi mai ales primele două forme; reține mai ales ideea: zero stă deoparte.

6. Axa numerelor — „rigla" pe care locuiesc numerele întregi

Cel mai frumos mod de a „vedea" numerele întregi este axa numerelor. Imaginează-ți o linie dreaptă, lungă, ca o riglă fără capăt. Pe ea alegem un punct și îi spunem originea; acolo punem numărul 0. Apoi alegem o unitate de măsură (de exemplu, 1 centimetru sau un pas) și un sens pozitiv, de obicei spre dreapta, marcat cu o săgeată.

Construim axa în 3 pași simpli:

Pasul 1. Desenezi o dreaptă orizontală și pui o săgeată la capătul din dreapta (arată sensul în care numerele cresc).

Pasul 2. Alegi un punct pe dreaptă, îl marchezi cu o liniuță și scrii dedesubt 0. Acesta este punctul de origine, „casa" lui zero.

Pasul 3. Pornind de la 0, măsori spre dreapta distanțe egale (toate cât unitatea aleasă) și scrii, pe rând, 1, 2, 3, 4, ... Apoi pornești de la 0 spre stânga, cu aceleași distanțe egale, și scrii −1, −2, −3, −4, ...

Reguli de aur pentru o axă corectă:

Distanțele dintre numere vecine trebuie să fie toate egale. De la 0 la 1 este aceeași distanță ca de la 1 la 2 sau de la −3 la −2. Dacă desenezi unitățile inegale, axa e greșită.
Numerele cresc spre dreapta și scad spre stânga. Cu cât mergi mai la dreapta, cu atât numărul e mai mare; cu cât mergi mai la stânga, cu atât e mai mic.
Numerele negative sunt în oglindă față de cele pozitive: −3 este la fel de departe de 0 ca și 3, dar în partea opusă. (Această „depărtare față de zero" se numește modul și o vei studia separat la modulul unui număr întreg; iar „oglindirea" se numește opus, la lecția despre opusul unui număr întreg.)

7. Cum reprezint un anumit număr pe axă

Să zicem că vrei să pui pe axă numărul −4. Procedezi așa:

Pleci de la origine (de la 0).
Pentru că numărul este negativ, te îndrepți spre stânga.
Numeri 4 unități spre stânga: 1... 2... 3... 4. Acolo te oprești și pui un punct.
Scrii sub punct eticheta −4.

Pentru un număr pozitiv, de exemplu +3, faci la fel, dar mergi spre dreapta 3 unități.

8. O poveste scurtă ca să nu uiți

Gândește-te la un lift într-un mall. Parterul este etajul 0. Magazinele sunt la etajele +1, +2, +3, iar parcările sunt sub pământ, la −1 și −2. Tu intri în lift la parter (0). Apeși „minus 2" și cobori la parcarea −2. Apoi te răzgândești și urci 5 etaje. Unde ajungi? Pornești de la −2, mergi 5 trepte „în sus" (spre dreapta pe axă): −2, −1, 0, 1, 2, 3. Ai ajuns la etajul +3. Liftul tău este, de fapt, o axă a numerelor verticală! Originea e parterul, în sus sunt pozitivele, în jos negativele. De câte ori te încurci, gândește-te la lift.

9. Vecinii unui număr întreg pe axă

Pe axă, fiecare număr întreg are exact doi vecini: unul imediat la stânga (cu o unitate mai mic) și unul imediat la dreapta (cu o unitate mai mare). De exemplu, vecinii lui −1 sunt −2 (la stânga) și 0 (la dreapta). Vecinii lui 0 sunt −1 și +1. Vecinii lui 4 sunt 3 și 5.

Această idee simplă te ajută enorm: ori de câte ori trebuie să te miști pe axă „cu unu", știi exact unde ajungi. Reține regula scurtă: un pas la dreapta = +1; un pas la stânga = −1. Așa, dacă pleci de la −3 și faci un pas la dreapta, ajungi la −2; încă unul, la −1; încă unul, la 0. Numerele negative se „apropie" de zero pe măsură ce mergi la dreapta.

10. Cum citim cine e mai mare, doar privind axa

Pe axa numerelor nu trebuie să calculezi nimic ca să compari două numere întregi: numărul așezat mai la dreapta este întotdeauna cel mai mare. Asta este valabil pentru orice fel de numere — pozitive, negative sau zero.

5 este la dreapta lui 2, deci 5 > 2 (ca la numerele naturale, nimic nou).
0 este la dreapta lui −1, deci 0 > −1: orice număr pozitiv și chiar zero sunt mai mari decât orice număr negativ.
−2 este la dreapta lui −6, deci −2 > −6, chiar dacă „6 pare mai mare decât 2". La negative, lucrurile se întorc pe dos!

Reține imaginea: dacă mergi pe axă din ce în ce mai la stânga, numerele scad fără oprire (−1, −2, −3, −10, −100, ...); dacă mergi din ce în ce mai la dreapta, ele cresc fără oprire. Vei sistematiza această comparare la lecția despre compararea și ordonarea numerelor întregi; aici e suficient să „vezi" regula pe axă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recunoaștem numerele întregi

Cerință: Din lista de mai jos, alege numerele care sunt întregi: 7; −2; 3,5; 0; −10; 1/2; +12; −0,4.

Rezolvare: Un număr este întreg dacă este natural sau opusul unui natural — adică fără virgulă și fără fracție.

7 → întreg (natural). ✔
−2 → întreg (negativ). ✔
3,5 → are virgulă → nu este întreg. ✘
0 → întreg. ✔
−10 → întreg (negativ). ✔
1/2 → fracție, jumătate → nu este întreg. ✘
+12 → întreg (e tot 12, pozitiv). ✔
−0,4 → are virgulă → nu este întreg. ✘

Răspuns: numerele întregi sunt 7; −2; 0; −10; +12.

Exemplul 2 — Împărțim în pozitive, negative și zero

Cerință: Pentru numerele −6; 4; 0; −1; 9; −15; 2, spune care sunt în ℤ⁺, care în ℤ⁻ și unde este 0.

Rezolvare: Ne uităm la semn.

În ℤ⁻ (negative) intră: −6; −1; −15.
În ℤ⁺ (pozitive) intră: 4; 9; 2.
Numărul 0 nu intră nici în ℤ⁺, nici în ℤ⁻; el stă singur.

Răspuns: ℤ⁻: {−15, −6, −1}; ℤ⁺: {2, 4, 9}; iar 0 este aparte, nici pozitiv, nici negativ.

Exemplul 3 — Reprezentăm pe axă

Cerință: Reprezintă pe aceeași axă numerele −3; 0; 2; −1; 4.

Rezolvare: Desenăm axa cu originea în 0 și unități egale. Apoi:

0 → chiar în origine.
2 → 2 unități la dreapta de 0.
4 → 4 unități la dreapta.
−1 → 1 unitate la stânga de 0.
−3 → 3 unități la stânga.

Răspuns: ordinea lor de la stânga la dreapta pe axă este: −3, −1, 0, 2, 4.

Exemplul 4 — Citim numere de pe o axă

Cerință: Pe o axă, punctele A, B, C, D sunt așezate astfel: A este la 4 unități în stânga lui 0; B coincide cu originea; C este la 1 unitate în dreapta lui 0; D este la 5 unități în stânga lui 0. Ce numere reprezintă?

Rezolvare: „Stânga lui 0" înseamnă negativ, „dreapta lui 0" înseamnă pozitiv, „origine" înseamnă 0.

A: 4 la stânga → −4
B: în origine → 0
C: 1 la dreapta → +1
D: 5 la stânga → −5

Răspuns: A = −4, B = 0, C = 1, D = −5.

Exemplul 5 — Context practic: temperaturi și altitudini

Cerință: Asociază fiecărei situații numărul întreg potrivit. a) Temperatura este de șase grade sub zero. b) Un alpinist urcă la 2200 m peste nivelul mării. c) Un scafandru coboară la 18 m sub nivelul mării. d) Ai exact zero lei și nicio datorie.

Rezolvare: „Sub zero / sub nivel / datorie" → negativ; „peste / deasupra" → pozitiv; „exact zero" → 0. a) șase grade sub zero → −6 (°C) b) 2200 m peste nivelul mării → +2200 (m) c) 18 m sub nivelul mării → −18 (m) d) nici bani, nici datorii → 0 (lei)

Răspuns: a) −6; b) +2200; c) −18; d) 0.

Exemplul 6 — Lift și mișcare pe axă

Cerință: Un submarin se află la adâncimea de −12 m (12 m sub apă). El urcă 7 m, apoi mai coboară 3 m. La ce adâncime ajunge?

Rezolvare: Folosim axa verticală a adâncimii (0 = nivelul apei). Pornim de la −12.

Urcă 7 m → mergem 7 unități „în sus" (spre 0): de la −12 ajungem la −5. (−12, −11, −10, −9, −8, −7, −6, −5)
Coboară 3 m → mergem 3 unități „în jos": de la −5 ajungem la −8. (−5, −6, −7, −8)

Răspuns: submarinul ajunge la −8 m, adică 8 metri sub nivelul apei. (Aici am folosit deja, intuitiv, deplasarea pe axă — adunarea și scăderea cu semn le vei sistematiza la lecțiile despre adunarea și scăderea numerelor întregi.)

Exemplul 7 — Comparăm numere întregi pe axă

Cerință: Așază în ordine crescătoare (de la cel mai mic la cel mai mare) numerele: −3; 2; −7; 0; 5; −1.

Rezolvare: Cel mai simplu este să le „așezăm" în minte pe axă și să le citim de la stânga spre dreapta. Cel mai la stânga este cel mai mic.

Numerele negative stau toate în stânga lui 0: dintre −3, −7 și −1, cel mai la stânga (cel mai mic) este −7, apoi −3, apoi −1.
Urmează 0.
Apoi pozitivele, în ordinea lor obișnuită: 2, apoi 5.

Răspuns: ordinea crescătoare este −7 < −3 < −1 < 0 < 2 < 5.

Exemplul 8 — De la cuvinte la numere și înapoi

Cerință: Scrie cu număr întreg, apoi spune dacă numărul este în ℤ⁺, în ℤ⁻ sau este 0: a) „contul are o datorie de 15 lei"; b) „avionul zboară la 9000 m deasupra mării"; c) „temperatura apei la îngheț"; d) „liftul este la al patrulea subsol".

Rezolvare: Căutăm cuvântul-cheie care arată sensul: „datorie / sub / subsol" → negativ; „deasupra / peste" → pozitiv; „îngheț (0°C)" → zero. a) datorie de 15 lei → −15 → în ℤ⁻. b) 9000 m deasupra mării → +9000 → în ℤ⁺. c) îngheț → 0 → nici ℤ⁺, nici ℤ⁻. d) al patrulea subsol → −4 → în ℤ⁻.

Răspuns: a) −15 (ℤ⁻); b) +9000 (ℤ⁺); c) 0; d) −4 (ℤ⁻).

Să exersăm

1. Completează: mulțimea numerelor întregi se notează cu litera ____ și conține numerele ____, ..., −2, −1, 0, 1, 2, ...

2. Adevărat sau fals? a) Orice număr natural este și număr întreg. b) Orice număr întreg este și număr natural. c) Numărul 0 este pozitiv. d) Numărul −7 este întreg negativ.

3. Încercuiește numerele întregi din lista: 8; −3; 2,5; 0; −1/2; +6; −20; 4,1.

4. Scrie numărul întreg potrivit fiecărei situații: a) o datorie de 30 de lei; b) temperatura de 9 grade peste zero; c) parcarea de la nivelul al doilea subteran; d) golaveraj minus cinci.

5. Așază fiecare număr în mulțimea potrivită (ℤ⁺, ℤ⁻ sau „zero"): −4; 11; 0; −1; 5; −100; 3.

6. Citește, din descriere, numerele de pe axă: punctul M este la 3 unități în stânga originii, N coincide cu originea, P este la 6 unități în dreapta originii. Ce numere sunt M, N, P?

7. Reprezintă pe o axă a numerelor: −2; 0; 3; −5; 1.

8. Completează cu numărul vecin cerut (pe axă): a) numărul aflat imediat la dreapta lui −1 este ____; b) numărul aflat imediat la stânga lui 0 este ____; c) numărul aflat imediat la dreapta lui −5 este ____; d) numărul aflat imediat la stânga lui 3 este ____.

9. Scrie toate numerele întregi cuprinse între −4 și 3 (inclusiv capetele).

10. Completează cu „⊂", „∈" sau „∉": a) ℕ ____ ℤ; b) −8 ____ ℤ; c) −8 ____ ℕ; d) 0 ____ ℤ⁻.

11. Pe axa numerelor, care punct este mai la dreapta: −2 sau −6? Dar mai la stânga: 1 sau −1?

12. Asociază fiecărui etaj numărul întreg corespunzător, dacă parterul este 0: a) etajul 3; b) parcarea −1; c) etajul de la subsolul al treilea; d) parterul.

13. Un termometru arată dimineața −4°C. Peste zi, temperatura crește cu 6 grade. Folosind axa, spune ce temperatură arată termometrul.

14. Scrie mulțimea numerelor întregi negative mai mari decât −5 (adică mai apropiate de 0 decât −5).

15. Problemă: Un schior pornește de la cabană, considerată nivelul 0. El urcă 4 niveluri marcate cu telecabina, apoi coboară 9 niveluri pe pârtie. La ce nivel (număr întreg) ajunge față de cabană?

16. Desenează o axă verticală (ca un lift) de la −2 la +3 și marchează etajele. Unde pui parterul?

17. Care dintre afirmații este corectă? Justifică pe scurt. a) „Toate numerele negative sunt mai mici decât 0." b) „−10 este mai mare decât −3 pentru că 10 > 3."

18. Provocare: găsește un număr întreg care să fie în același timp mai mare decât −1 și mai mic decât 1. Câte astfel de numere întregi există?

Răspunsuri și explicații

1. Litera ℤ; conține numerele ..., −2, −1, 0, 1, 2, ... (lista merge la infinit în ambele sensuri).

2. a) Adevărat — orice natural (0,1,2,...) se află și în ℤ (ℕ ⊂ ℤ). b) Fals — de exemplu −3 este întreg, dar nu e natural. c) Fals — 0 nu este nici pozitiv, nici negativ. d) Adevărat — −7 este număr întreg negativ.

3. Întregi: 8; −3; 0; +6; −20. Nu sunt întregi 2,5 și 4,1 (au virgulă) și −1/2 (fracție).

4. a) −30; b) +9 (sau 9); c) −2; d) −5. (Datorie, subteran, golaveraj minus → semn negativ; „peste zero" → pozitiv.)

5. ℤ⁺ (pozitive): 3, 5, 11; ℤ⁻ (negative): −1, −4, −100; zero: 0 (singur, aparte).

6. M = −3 (stânga = negativ), N = 0 (origine), P = +6 (dreapta = pozitiv).

7. Pe axă, de la stânga la dreapta: −5, −2, 0, 1, 3, cu distanțe egale între unități; −5 și −2 în stânga lui 0, iar 1 și 3 în dreapta.

axa de la −6 la 4 cu punctele −5, −2, 0, 1, 3 evidențiate.

8. a) 0; b) −1; c) −4; d) 2. (La dreapta = numărul cu 1 mai mare; la stânga = numărul cu 1 mai mic.)

9. −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 (sunt 8 numere întregi, capetele incluse).

10. a) ⊂ (ℕ inclusă în ℤ); b) ∈ (−8 aparține lui ℤ); c) ∉ (−8 nu aparține lui ℕ); d) ∉ (0 nu este în ℤ⁻).

11. Mai la dreapta este −2 (e mai mare, mai aproape de 0 decât −6). Mai la stânga este −1 (negativul stă în stânga lui 1).

12. a) +3; b) −1; c) −3; d) 0.

13. Pornim de la −4 și urcăm 6 unități: −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2. Termometrul arată +2°C.

14. Mulțimea cerută = {−4, −3, −2, −1} (numerele întregi negative mai mari decât −5).

15. Pornim de la 0, urcăm 4 → ajungem la 4; coborâm 9 → de la 4 mergem 9 spre stânga: 4, 3, 2, 1, 0, −1, −2, −3, −4, −5. Ajunge la nivelul −5 (cu 5 niveluri sub cabană).

16. Axa verticală cu etichetele, de jos în sus: −2, −1, 0, 1, 2, 3. Parterul se pune la 0 (originea); sub el negativele, deasupra pozitivele.

axă verticală cu liniuțe egale, 0 evidențiat ca „parter".

17. Corectă este a). Toate numerele negative se află în stânga lui 0 pe axă, deci sunt mai mici decât 0. Afirmația b) este greșită: pe axă −10 este mai la stânga decât −3, deci −10 < −3 (la negative, „cifra mai mare" înseamnă număr mai mic). Compararea exactă o vei aprofunda la compararea și ordonarea numerelor întregi.

18. Singurul număr întreg mai mare decât −1 și mai mic decât 1 este 0. Există un singur astfel de număr întreg (numerele ca 0,5 nu sunt întregi).

De reținut

Mulțimea numerelor întregi este ℤ = { ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ... } și este infinită în ambele sensuri.
Numerele întregi sunt de trei feluri: pozitive (ℤ⁺ = {1, 2, 3, ...}), negative (ℤ⁻ = {−1, −2, −3, ...}) și numărul 0, care nu e nici pozitiv, nici negativ.
Orice număr natural este întreg: ℕ ⊂ ℤ; dar nu orice întreg este natural (numerele negative nu sunt).
Pe axa numerelor, 0 este originea, numerele cresc spre dreapta și scad spre stânga, iar distanțele dintre numere vecine sunt egale.
Numerele negative apar firesc în contexte reale: temperaturi sub zero, altitudini sub nivelul mării, datorii, golaveraj, niveluri subterane.

Greșeli frecvente

„0 este pozitiv." Nu! Zero este reperul, granița dintre pozitive și negative; nu intră nici în ℤ⁺, nici în ℤ⁻.
„−10 e mai mare ca −3 fiindcă 10 > 3." Greșit. La numerele negative e invers: cu cât numărul „arată mai mare" după minus, cu atât e mai mic. Pe axă, −10 stă mai la stânga, deci −10 < −3. Verifică mereu pe axă.
Unități inegale pe axă. Dacă desenezi de la 0 la 1 mai puțin decât de la 1 la 2, axa e greșită și numerele „mint". Folosește mereu pași egali.
„2,5 sau 1/2 sunt numere întregi." Nu. Numerele întregi nu au virgulă și nu sunt fracții. Cele cu virgulă/fracție le vei studia la numerele raționale.

Joc acasă

1. Termometrul de hârtie. Desenează pe o coală un termometru vertical cu gradații de la −10 la +10. Decupează o săgeată mică. În fiecare seară timp de o săptămână, notează temperatura de afară (din aplicația de vreme sau de la un termometru) și mută săgeata la numărul întreg corespunzător. La final, spune câte zile au fost „pe minus".

2. Liftul matematic. Folosește treptele scării din casă sau o riglă lungă pe care lipești bilețele: 0 la mijloc, +1, +2, +3 în sus/dreapta, −1, −2, −3 în jos/stânga. Un membru al familiei spune o comandă („pornește de la −2 și urcă 4"), iar tu „mergi" cu degetul și citești unde ai ajuns. Schimbați rolurile.

3. Cartonașele de bani. Ia 10 bilețele. Pe 5 scrie sume pozitive (+3, +5, +2, ...), pe 5 scrie datorii (−4, −1, −6, ...). Amestecă-le și, pentru fiecare cartonaș tras, plasează-l pe o axă desenată pe masă. Cine plasează corect 8 din 10 într-un minut câștigă.

Pentru părinți și învățători

Această lecție introduce numerele negative și mulțimea ℤ — un prag important: copilul trece de la „a număra obiecte" la „a măsura și în jos față de un reper". Sprijinul cel mai bun este legarea de experiență concretă, nu de reguli abstracte.

Cum predați:

Începeți de la termometru și lift, nu de la definiție. Lăsați copilul să descopere singur că „sub zero" cere un fel nou de număr.
Folosiți permanent axa numerelor ca imagine de bază. Mai mult de jumătate din confuziile cu numerele întregi dispar dacă elevul „vede" numărul pe axă.
Insistați pe statutul special al lui 0 (nici pozitiv, nici negativ) și pe ideea de incluziune ℕ ⊂ ℤ.

Întrebări de pus pentru verificarea înțelegerii:

„Dă-mi trei exemple din viața reală cu numere negative." (verifică transferul)
„Unde pui −5 pe axă și de ce în stânga?" (verifică sensul axei)
„Este 0 un număr pozitiv?" (verifică conceptul-cheie)
„Care e mai la dreapta: −2 sau −7?" (pregătește compararea de la lecția următoare)

Semn că a înțeles: plasează corect numere pe axă, dă exemple proprii și nu mai spune că „−10 > −3". Dacă încă ezită, reveniți la jocul cu liftul: mișcarea „în sus/în jos" face conceptul fizic și ușor de reținut.

Întrebări frecvente

Ce este mulțimea numerelor întregi ℤ în clasa a 6-a? Este mulțimea formată din toate numerele naturale (0, 1, 2, 3, ...) împreună cu opusele lor negative (−1, −2, −3, ...). Se notează ℤ și se scrie ℤ = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}. Este o mulțime infinită în ambele sensuri.

Ce sunt numerele negative și unde le folosim? Numerele negative sunt numerele mai mici decât 0, scrise cu semnul minus în față (−1, −5, −20). Le folosim când avem un „sub zero": temperaturi de iarnă, altitudini sub nivelul mării, datorii, golaveraj negativ, niveluri de parcare subterană.

Numărul 0 este pozitiv sau negativ? Numărul 0 nu este nici pozitiv, nici negativ. El este originea, granița care separă numerele pozitive de cele negative pe axa numerelor; de aceea nu intră nici în ℤ⁺, nici în ℤ⁻.

Cum reprezint un număr întreg pe axa numerelor? Pornești din origine (0). Dacă numărul este pozitiv, mergi spre dreapta atâtea unități cât arată numărul; dacă este negativ, mergi spre stânga. Pui un punct și scrii numărul dedesubt. Distanțele dintre numere vecine trebuie să fie egale.

Care e diferența dintre ℤ⁺ și ℤ⁻? ℤ⁺ este mulțimea numerelor întregi pozitive: {1, 2, 3, ...}. ℤ⁻ este mulțimea numerelor întregi negative: {−1, −2, −3, ...}. Niciuna nu conține pe 0, fiindcă zero nu este nici pozitiv, nici negativ.

Este orice număr natural și număr întreg? Da. Orice număr natural (0, 1, 2, 3, ...) este și număr întreg, deci ℕ ⊂ ℤ. Invers nu este adevărat: numerele negative, precum −4, sunt întregi, dar nu sunt naturale.

De ce −10 este mai mic decât −3? Pentru că pe axa numerelor −10 se află mai la stânga decât −3, iar spre stânga numerele scad. La numerele negative, cu cât „cifra de după minus" este mai mare, cu atât numărul este mai mic. Deci −10 < −3.

Numărul 2,5 sau 1/2 sunt numere întregi? Nu. Numerele întregi nu au virgulă și nu sunt fracții. 2,5 și 1/2 sunt numere raționale, pe care le vei studia mai târziu, la mulțimea numerelor raționale ℚ.