Aplicații ale c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. Fracții ireductibile

Până acum ai învățat să descompui numerele în factori primi și să afli cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) și cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.). Poate te-ai întrebat: „La ce îmi folosesc în viața reală?" Ei bine, exact aici începe partea cea mai utilă. În această lecție vei vedea cum cele două instrumente de divizibilitate devin niște „superputeri" pentru lucrul cu fracții: cu c.m.m.d.c. faci o fracție cât mai simplă posibil, iar cu c.m.m.m.c. aduci mai multe fracții la același numitor ca să le poți compara sau aduna. Hai să descoperim împreună cum se leagă totul!

Ce vei învăța

Vei ști să simplifici o fracție până la forma cea mai mică folosind c.m.m.d.c.-ul numărătorului și numitorului.
Vei ști să recunoști dacă o fracție este ireductibilă, fără să o mai poți simplifica.
Vei ști să aduci două sau mai multe fracții la un numitor comun folosind c.m.m.m.c.-ul numitorilor.
Vei ști să folosești proprietățile divizibilității ca să compari și să compui fracții corect.
Vei înțelege legătura dintre amplificare, simplificare și forma ireductibilă a unei fracții.

Hai să descoperim împreună

O reamintire scurtă: ce este o fracție

O fracție arată un raport între două numere naturale: un numărător (sus) și un numitor (jos), unde numitorul nu poate fi zero. De exemplu, în fracția $\frac{6}{8}$ , numărul $6$ este numărătorul, iar $8$ este numitorul.

Aceeași cantitate de pizza poate fi scrisă în mai multe feluri. Dacă grupezi feliile câte două, vezi că cele 6 felii din 8 înseamnă de fapt 3 grupuri din 4 grupuri, adică $\frac{3}{4}$ . Deci $\frac{6}{8}$ și $\frac{3}{4}$ reprezintă exact aceeași valoare, doar scrise diferit. Aceasta este ideea centrală a lecției: putem schimba „hainele" unei fracții fără să-i schimbăm valoarea.

Două unelte: amplificarea și simplificarea

Există două operații prin care schimbăm forma unei fracții păstrând valoarea ei:

Amplificarea: înmulțim și numărătorul, și numitorul cu același număr natural nenul. Exemplu: $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20}$ . (Amplificăm cu 5.)
Simplificarea: împărțim și numărătorul, și numitorul prin același divizor comun al lor. Exemplu: $\frac{15}{20} = \frac{15 : 5}{20 : 5} = \frac{3}{4}$ . (Simplificăm prin 5.)

Reține analogia: amplificarea „mărește hainele" fracției (numere mai mari), iar simplificarea „le micșorează" (numere mai mici). Valoarea, însă, rămâne neschimbată — ca o bancnotă de 10 lei care valorează la fel fie că o ții întreagă, fie schimbată în două de câte 5 lei.

Ce înseamnă o fracție ireductibilă

Hai să ne gândim: putem simplifica la nesfârșit? Nu! La un moment dat ajungem la o fracție pe care nu o mai putem face mai mică, pentru că numărătorul și numitorul nu mai au niciun divizor comun mai mare decât 1.

Definiție. O fracție $\frac{a}{b}$ se numește ireductibilă dacă numărătorul și numitorul sunt prime între ele, adică $(a, b) = 1$ (c.m.m.d.c.-ul lor este 1).

De exemplu, $\frac{3}{4}$ este ireductibilă, fiindcă $(3, 4) = 1$ : singurul divizor comun al lui 3 și 4 este 1. În schimb, $\frac{6}{8}$ nu este ireductibilă, pentru că $(6, 8) = 2$ , deci o mai putem simplifica prin 2.

Îți amintești de lecția Numere prime între ele. Relația dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.? Acolo ai învățat ce înseamnă două numere prime între ele. Acum vezi de ce era important: o fracție este ireductibilă exact atunci când numărătorul și numitorul sunt prime între ele.

Trucul cel mare: simplificarea cu c.m.m.d.c. dintr-un singur pas

Poți simplifica o fracție pas cu pas (prin 2, apoi prin 3, apoi iar...), dar e ușor să te încurci sau să te oprești prea devreme. Există o metodă mult mai sigură și mai rapidă:

Regulă de aur. Ca să aduci o fracție direct la forma ireductibilă, împarte numărătorul și numitorul prin c.m.m.d.c.-ul lor. Rezultatul este garantat ireductibil.

De ce funcționează? Pentru că, dacă scoatem din numărător și numitor cel mai mare divizor comun, în ce rămâne nu mai poate exista niciun divizor comun mai mare decât 1. Practic, am scos „tot ce era comun" dintr-o singură mișcare.

Hai pas cu pas, pe fracția $\frac{36}{48}$ :

Aflu c.m.m.d.c.-ul lui 36 și 48. Descompun: $36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$ și $48 = 2^{4} \cdot 3$ . C.m.m.d.c. ia factorii comuni la puterea cea mai mică: $(36, 48) = 2^{2} \cdot 3 = 12$ .
Împart sus și jos prin 12: $\frac{36 : 12}{48 : 12} = \frac{3}{4}$ .
Verific: $(3, 4) = 1$ , deci fracția este ireductibilă. Gata!

Observă cât de elegant a fost: dintr-un singur pas am ajuns la forma finală. Dacă aș fi simplificat „din ochi", poate aș fi împărțit întâi prin 2 ( $\to \frac{18}{24}$ ), apoi iar prin 2 ( $\to \frac{9}{12}$ ), apoi prin 3 ( $\to \frac{3}{4}$ ) — trei pași în loc de unul, cu trei ocazii de a greși.

Cum verifici că o fracție este deja ireductibilă

E simplu: calculezi c.m.m.d.c.-ul numărătorului și numitorului.

Dacă $(a, b) = 1$ → fracția este ireductibilă (nu o mai poți simplifica).
Dacă $(a, b) > 1$ → fracția nu este ireductibilă (împarte prin c.m.m.d.c. ca să o aduci la formă ireductibilă).

De exemplu, fracția $\frac{14}{21}$ : avem $14 = 2 \cdot 7$ și $21 = 3 \cdot 7$ , deci $(14, 21) = 7 > 1$ . Nu e ireductibilă; o simplificăm prin 7 și obținem $\frac{2}{3}$ .

A doua superputere: numitorul comun cu c.m.m.m.c.

Acum trecem la al doilea instrument. Imaginează-ți că vrei să compari sau să aduni $\frac{5}{12}$ și $\frac{7}{18}$ . Numitorii sunt diferiți (12 și 18), așa că nu poți compara „direct" — e ca și cum ai vrea să compari mere cu pere. Trebuie întâi să le aduci la același numitor, ca să măsori ambele fracții cu „aceeași unitate".

Regulă. Numitorul comun al mai multor fracții se ia c.m.m.m.c.-ul numitorilor. Apoi fiecare fracție se amplifică astfel încât să ajungă la acel numitor.

De ce c.m.m.m.c. și nu orice multiplu comun? Pentru că c.m.m.m.c. este cel mai mic numitor comun posibil, deci lucrăm cu numerele cele mai mici și ținem calculele cât mai simple. (Poți folosi și produsul numitorilor, dar atunci numerele cresc inutil de mari.)

Hai pas cu pas, pentru $\frac{5}{12}$ și $\frac{7}{18}$ :

Aflu c.m.m.m.c.-ul numitorilor 12 și 18. Descompun: $12 = 2^{2} \cdot 3$ și $18 = 2 \cdot 3^{2}$ . C.m.m.m.c. ia toți factorii la puterea cea mai mare: $[12, 18] = 2^{2} \cdot 3^{2} = 36$ .
Aflu cu cât amplific fiecare fracție: $36 : 12 = 3$ și $36 : 18 = 2$ .
Amplific: $\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{15}{36}$ și $\frac{7}{18} = \frac{7 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{14}{36}$ .
Acum pot compara ușor: $\frac{15}{36} > \frac{14}{36}$ , deci $\frac{5}{12} > \frac{7}{18}$ .

Regula-cheie pe care mulți o uită: factorul de amplificare al fiecărei fracții se obține împărțind numitorul comun la vechiul numitor. Nu îl alegi „din burtă", ci îl calculezi.

Cele două aplicații, una lângă alta

Ca să nu le confunzi, ține minte tabelul mental:

Simplificare → c.m.m.d.c. Vrei numere mai mici, fracție mai simplă. Împarți sus și jos prin c.m.m.d.c.
Numitor comun → c.m.m.m.c. Vrei același „jos" la mai multe fracții. Iei c.m.m.m.c.-ul numitorilor și amplifici.

Un mod de a ține minte: Divizor merge cu împărțire și micșorare (sus-jos coboară); Multiplu merge cu amplificare și un numitor comun mai mare.

Combinația care apare des la examen

Foarte frecvent, un exercițiu cere: „Adună două fracții și dă rezultatul ca fracție ireductibilă." Atunci folosești ambele instrumente, în ordine:

c.m.m.m.c. → aduci fracțiile la numitor comun și aduni numărătorii.
c.m.m.d.c. → simplifici rezultatul până la forma ireductibilă.

De exemplu, $\frac{5}{12} + \frac{7}{18}$ . Din pașii de mai sus, numitorul comun e 36: $\frac{15}{36} + \frac{14}{36} = \frac{29}{36} .$ Verific dacă mai pot simplifica: $29$ este număr prim și nu divide pe 36, deci $(29, 36) = 1$ . Rezultatul $\frac{29}{36}$ este deja ireductibil. Perfect — ambele unelte folosite într-un singur exercițiu.

De ce este utilă forma ireductibilă

Te-ai putea întreba: dacă tot aceeași valoare reprezintă, de ce ne mai chinuim să simplificăm? Există mai multe motive practice. În primul rând, fracția ireductibilă este forma standard, cea pe care o recunoaște oricine: dacă tu scrii $\frac{50}{100}$ și colegul tău scrie $\frac{1}{2}$ , profesorul vede mai repede din a doua scriere că e vorba de jumătate. În al doilea rând, calculele devin mai ușoare cu numere mici: e mai simplu să lucrezi cu $\frac{2}{3}$ decât cu $\frac{18}{27}$ . În al treilea rând, comparațiile sunt mai clare: două fracții ireductibile cu același numitor au numărători care pot fi comparați direct.

Gândește-te la forma ireductibilă ca la „numele real" al unei fracții. O fracție poate avea o infinitate de scrieri echivalente — $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{50}{100} = \dots$ — dar toate „poreclele" acestea trimit la un singur nume adevărat: $\frac{1}{2}$ . Când simplifici, descoperi tocmai acest nume real.

Unde întâlnești asta în viața de zi cu zi

S-ar putea să crezi că fracțiile ireductibile și numitorul comun sunt doar „de școală", dar le folosești fără să-ți dai seama. Când o rețetă cere $\frac{2}{4}$ de cană de zahăr, instinctiv te gândești „adică jumătate" — ai simplificat $\frac{2}{4}$ la $\frac{1}{2}$ . Când compari două oferte la magazin, una de $\frac{3}{4}$ kg și una de $\frac{5}{6}$ kg, ca să vezi care e mai mare le aduci (poate în minte) la același numitor. Chiar și un meșter care taie o scândură în bucăți egale lucrează, de fapt, cu fracții.

Forma ireductibilă apare des și în rapoarte și proporții, pe care le vei studia tot la gimnaziu: când spui că într-o clasă raportul fete–băieți este $\frac{12}{18}$ , forma „cinstită" a acelui raport este $\frac{2}{3}$ — adică la fiecare 2 fete sunt 3 băieți. Iată de ce deprinderea de a simplifica nu este un moft de profesor, ci o unealtă pe care o vei folosi în multe alte capitole.

Un exemplu mai mare, ca să prinzi siguranță

Hai să simplificăm o fracție cu numere mai mari: $\frac{120}{180}$ . Mulți elevi se sperie de numerele mari, dar metoda este exact aceeași.

Descompun: $120 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5$ și $180 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5$ .
C.m.m.d.c. ia factorii comuni la puterea cea mai mică: $(120, 180) = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 = 60$ .
Împart: $\frac{120 : 60}{180 : 60} = \frac{2}{3}$ .
Verific: $(2, 3) = 1$ → ireductibilă.

Vezi? Cu cât numerele sunt mai mari, cu atât descompunerea în factori primi îți este mai de folos — face vizibil dintr-o privire tot ce au în comun cele două numere.

Trei sau mai multe fracții deodată

Metoda nu se schimbă deloc când ai trei (sau mai multe) fracții: calculezi c.m.m.m.c.-ul tuturor numitorilor — descompunând fiecare numitor în factori primi și luând fiecare factor la puterea cea mai mare care apare — apoi amplifici fiecare fracție cu factorul $(numitor comun) : (numitorul ei)$ . De exemplu, pentru $\frac{2}{9}$ , $\frac{5}{6}$ și $\frac{1}{4}$ numitorul comun este $[9, 6, 4] = 36$ , iar fracțiile devin $\frac{8}{36}$ , $\frac{30}{36}$ și $\frac{9}{36}$ .

Există și un caz norocos, în care munca e și mai puțină: dacă un numitor este deja multiplu al celuilalt, numitorul comun este chiar cel mai mare dintre ei. La $\frac{1}{4}$ și $\frac{3}{8}$ , cum $8$ este multiplu al lui $4$ , numitorul comun este direct $8$ : amplifici doar prima fracție, $\frac{1}{4} = \frac{2}{8}$ , iar a doua rămâne neschimbată. C.m.m.m.c. „observă" singur acest lucru, fiindcă $[4, 8] = 8$ .

Cum ordonezi mai multe fracții deodată

Numitorul comun nu folosește doar la adunări: este și cheia prin care ordonezi un șir întreg de fracții, de la cea mai mică la cea mai mare. Ideea e mereu aceeași: dacă toate fracțiile au același numitor, atunci compari pur și simplu numărătorii, exact ca pe niște numere naturale obișnuite.

Hai să ordonăm crescător fracțiile $\frac{2}{3}$ , $\frac{3}{4}$ și $\frac{5}{6}$ .

Aflu c.m.m.m.c.-ul numitorilor: $3$ , $4 = 2^{2}$ , $6 = 2 \cdot 3$ , deci $[3, 4, 6] = 2^{2} \cdot 3 = 12$ .
Amplific fiecare fracție la numitorul 12: $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ , $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ , $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$ .
Compar numărătorii: $8 < 9 < 10$ , deci $\frac{2}{3} < \frac{3}{4} < \frac{5}{6}$ .

Observă cât de mult simplifică totul numitorul comun: în loc să compari fracții „cu unități diferite", le aduci pe toate la aceeași unitate (a douăsprezecea parte) și apoi totul devine o simplă comparare de numere. Acesta este și motivul pentru care, la examen, primul gând când vezi „ordonează fracțiile" trebuie să fie: care e c.m.m.m.c.-ul numitorilor?

Un test rapid: e ireductibilă fără să calculezi c.m.m.d.c.?

Uneori îți poți da seama dintr-o privire că o fracție nu este ireductibilă, fără să faci toată descompunerea, folosind criteriile de divizibilitate învățate mai devreme:

Dacă și numărătorul, și numitorul sunt pare, fracția se simplifică prin 2 (deci nu e ireductibilă). Exemplu: $\frac{14}{38}$ — ambele pare → se simplifică.
Dacă suma cifrelor ambelor numere se divide cu 3, se simplifică prin 3. Exemplu: $\frac{27}{51}$ ( $2 + 7 = 9$ și $5 + 1 = 6$ , ambele divizibile cu 3) → se simplifică prin 3.
Dacă ambele se termină în 0 sau 5, atenție la divizorul 5.

Acest „test rapid" îți spune doar când o fracție sigur se mai poate simplifica. Ca să fii 100% sigur că ai ajuns la forma ireductibilă, tot c.m.m.d.c.-ul rămâne judecătorul final. Folosește criteriile ca pe un scurtcircuit util, nu ca pe un înlocuitor.

O poveste scurtă ca să rămână

Gândește-te la doi prieteni, Andrei și Bianca, care strâng bani pentru un cadou. Andrei a strâns $\frac{4}{6}$ din sumă, iar Bianca spune că ea a strâns $\frac{2}{3}$ . „Eu am mai mult!", zice Andrei, mândru că numerele lui sunt mai mari. Dar dacă simplificăm fracția lui prin $(4, 6) = 2$ , obținem $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ — exact cât are Bianca! Numerele mari nu înseamnă valoare mare; forma ireductibilă arată adevărul. De aceea matematicienii preferă întotdeauna forma ireductibilă: e cea mai „cinstită" și mai clară scriere a unei fracții.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Simplificare cu c.m.m.d.c.

Adu fracția $\frac{60}{84}$ la forma ireductibilă.

Descompun în factori primi: $60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$ și $84 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7$ . C.m.m.d.c. ia factorii comuni la puterea cea mai mică: $(60, 84) = 2^{2} \cdot 3 = 12$ . Împart sus și jos prin 12: $\frac{60}{84} = \frac{60 : 12}{84 : 12} = \frac{5}{7} .$ Verific: $(5, 7) = 1$ , deci $\frac{5}{7}$ este ireductibilă. Răspuns: $\frac{5}{7}$ .

Exemplul 2 — Este sau nu ireductibilă?

Care dintre fracțiile $\frac{15}{28}$ și $\frac{21}{35}$ este ireductibilă?

Pentru $\frac{15}{28}$ : $15 = 3 \cdot 5$ , $28 = 2^{2} \cdot 7$ . Nu au factori comuni, deci $(15, 28) = 1$ → ireductibilă. Pentru $\frac{21}{35}$ : $21 = 3 \cdot 7$ , $35 = 5 \cdot 7$ . Au factorul comun 7, deci $(21, 35) = 7 > 1$ → nu este ireductibilă (se simplifică prin 7: $\frac{21}{35} = \frac{3}{5}$ ). Răspuns: doar $\frac{15}{28}$ este ireductibilă.

Exemplul 3 — Numitor comun cu c.m.m.m.c.

Adu fracțiile $\frac{7}{10}$ , $\frac{3}{4}$ și $\frac{5}{6}$ la un numitor comun.

Descompun numitorii: $10 = 2 \cdot 5$ , $4 = 2^{2}$ , $6 = 2 \cdot 3$ . C.m.m.m.c. ia toți factorii la puterea cea mai mare: $[10, 4, 6] = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 = 60$ . Factorii de amplificare: $60 : 10 = 6$ , $60 : 4 = 15$ , $60 : 6 = 10$ . Amplific fiecare fracție: $\frac{7}{10} = \frac{42}{60}, \frac{3}{4} = \frac{45}{60}, \frac{5}{6} = \frac{50}{60} .$ Răspuns: cele trei fracții, cu numitor comun 60, sunt $\frac{42}{60}$ , $\frac{45}{60}$ , $\frac{50}{60}$ . (De aici se vede imediat și ordonarea: $\frac{7}{10} < \frac{3}{4} < \frac{5}{6}$ .)

Exemplul 4 — Adunare cu rezultat ireductibil

Calculează $\frac{5}{6} + \frac{3}{8}$ și dă rezultatul ca fracție ireductibilă.

Numitorii: $6 = 2 \cdot 3$ , $8 = 2^{3}$ . C.m.m.m.c.: $[6, 8] = 2^{3} \cdot 3 = 24$ . Amplific: $24 : 6 = 4$ și $24 : 8 = 3$ , deci $\frac{5}{6} = \frac{20}{24}$ și $\frac{3}{8} = \frac{9}{24}$ . Adun: $\frac{20}{24} + \frac{9}{24} = \frac{29}{24}$ . Simplificare? $29$ este prim și nu divide pe 24, deci $(29, 24) = 1$ → rezultat deja ireductibil. Răspuns: $\frac{29}{24}$ (o fracție supraunitară, fiindcă suma depășește 1).

Exemplul 5 — Scădere cu simplificare la final

Calculează $\frac{11}{12} - \frac{5}{18}$ și simplifică rezultatul.

Numitorii: $12 = 2^{2} \cdot 3$ , $18 = 2 \cdot 3^{2}$ . C.m.m.m.c.: $[12, 18] = 2^{2} \cdot 3^{2} = 36$ . Amplific: $36 : 12 = 3$ și $36 : 18 = 2$ , deci $\frac{11}{12} = \frac{33}{36}$ și $\frac{5}{18} = \frac{10}{36}$ . Scad: $\frac{33}{36} - \frac{10}{36} = \frac{23}{36}$ . Simplificare? $23$ este prim și nu divide pe 36, deci $(23, 36) = 1$ → ireductibilă. Răspuns: $\frac{23}{36}$ .

Exemplul 6 — Aflarea unui factor de amplificare necunoscut

Știind că $\frac{4}{9} = \frac{a}{63}$ , află numărul natural $a$ .

Mă uit cum a fost amplificat numitorul: din 9 a devenit 63, deci factorul de amplificare este $63 : 9 = 7$ . Atunci și numărătorul se amplifică tot cu 7: $a = 4 \cdot 7 = 28$ . Verific: $\frac{28}{63}$ ; simplific prin $(28, 63) = 7$ și obțin $\frac{4}{9}$ . Corect! Răspuns: $a = 28$ .

Exemplul 7 — Problemă cu ambele instrumente

Trei elevi au rezolvat dintr-o fișă cu probleme: Ana a făcut $\frac{3}{8}$ din fișă, Bogdan $\frac{5}{12}$ , iar Carla $\frac{1}{6}$ . Ce parte din fișă au rezolvat împreună? Dă răspunsul ca fracție ireductibilă.

Pasul 1 — numitor comun cu c.m.m.m.c. Descompun numitorii: $8 = 2^{3}$ , $12 = 2^{2} \cdot 3$ , $6 = 2 \cdot 3$ . C.m.m.m.c.: $[8, 12, 6] = 2^{3} \cdot 3 = 24$ . Pasul 2 — amplific fiecare fracție la numitorul 24: $24 : 8 = 3$ , $24 : 12 = 2$ , $24 : 6 = 4$ , deci $\frac{3}{8} = \frac{9}{24}, \frac{5}{12} = \frac{10}{24}, \frac{1}{6} = \frac{4}{24} .$ Pasul 3 — adun numărătorii: $\frac{9 + 10 + 4}{24} = \frac{23}{24}$ . Pasul 4 — simplific cu c.m.m.d.c. dacă pot: $23$ este prim și nu divide pe 24, deci $(23, 24) = 1$ → deja ireductibilă. Răspuns: împreună au rezolvat $\frac{23}{24}$ din fișă (aproape toată, le-a mai rămas doar $\frac{1}{24}$ ).

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te la secțiunea de răspunsuri. Exercițiile sunt așezate de la ușor la greu.

Simplifică prin c.m.m.d.c.: $\frac{10}{15}$ .
Simplifică prin c.m.m.d.c.: $\frac{18}{24}$ .
Adu la forma ireductibilă: $\frac{45}{60}$ .
Adevărat sau fals? Fracția $\frac{8}{15}$ este ireductibilă.
Adevărat sau fals? Fracția $\frac{12}{21}$ este ireductibilă.
Încercuiește fracțiile ireductibile dintre: $\frac{7}{9}$ , $\frac{6}{10}$ , $\frac{13}{20}$ , $\frac{15}{25}$ .
Adu la forma ireductibilă: $\frac{84}{126}$ .
Completează: $\frac{3}{7} = \frac{□}{42}$ .
Completează: $\frac{20}{?} = \frac{4}{5}$ (află numitorul lipsă).
Află numitorul comun (c.m.m.m.c.) al fracțiilor $\frac{5}{8}$ și $\frac{7}{12}$ , apoi scrie-le cu acel numitor.
Adu la numitor comun fracțiile $\frac{2}{9}$ , $\frac{5}{6}$ și $\frac{1}{4}$ .
Potrivește fiecare fracție cu forma ei ireductibilă: a) $\frac{16}{20}$ b) $\frac{14}{49}$ c) $\frac{27}{36}$ → I) $\frac{2}{7}$ II) $\frac{3}{4}$ III) $\frac{4}{5}$
Calculează și simplifică: $\frac{7}{10} + \frac{2}{15}$ .
Calculează și dă rezultatul ireductibil: $\frac{5}{6} - \frac{3}{10}$ .
Compară, aducând la numitor comun: $\frac{4}{7}$ și $\frac{5}{9}$ . Care e mai mare?
Mică problemă. Într-o clasă, $\frac{18}{30}$ dintre elevi merg la cercul de robotică. Scrie fracția ireductibilă a acestor elevi.
Mică problemă. Maria a citit $\frac{3}{8}$ dintr-o carte, iar Radu $\frac{5}{12}$ din aceeași carte. Cine a citit mai mult? (Adu la numitor comun.)
Provocare. Pentru ce cifră $a$ fracția $\frac{a}{15}$ rămâne ireductibilă, dacă $a \in {3, 4, 5, 6, 8}$ ? Indică toate valorile.
Ordonare. Ordonează crescător fracțiile $\frac{3}{4}$ , $\frac{5}{8}$ și $\frac{7}{12}$ , aducându-le la numitor comun.
Provocare combinată. Calculează $\frac{1}{4} + \frac{5}{6} - \frac{7}{12}$ și dă rezultatul ca fracție ireductibilă.

Răspunsuri și explicații

$\frac{2}{3}$ . $(10, 15) = 5$ ; $\frac{10 : 5}{15 : 5} = \frac{2}{3}$ .
$\frac{3}{4}$ . $(18, 24) = 6$ ; $\frac{18 : 6}{24 : 6} = \frac{3}{4}$ .
$\frac{3}{4}$ . $45 = 3^{2} \cdot 5$ , $60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$ , deci $(45, 60) = 15$ ; $\frac{45 : 15}{60 : 15} = \frac{3}{4}$ .
Adevărat. $8 = 2^{3}$ , $15 = 3 \cdot 5$ ; nu au factori comuni, $(8, 15) = 1$ .
Fals. $12 = 2^{2} \cdot 3$ , $21 = 3 \cdot 7$ ; au factorul comun 3, $(12, 21) = 3 > 1$ . Se simplifică la $\frac{4}{7}$ .
$\frac{7}{9}$ și $\frac{13}{20}$ sunt ireductibile. ( $\frac{6}{10}$ se simplifică prin 2 la $\frac{3}{5}$ ; $\frac{15}{25}$ se simplifică prin 5 la $\frac{3}{5}$ .)
$\frac{2}{3}$ . $84 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7$ , $126 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 7$ , deci $(84, 126) = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$ ; $\frac{84 : 42}{126 : 42} = \frac{2}{3}$ .
$□ = 18$ . Amplific cu $42 : 7 = 6$ : $3 \cdot 6 = 18$ .
$? = 25$ . $\frac{20}{?} = \frac{4}{5}$ ; numărătorul s-a amplificat cu $20 : 4 = 5$ , deci numitorul este $5 \cdot 5 = 25$ .
Numitor comun 24: $8 = 2^{3}$ , $12 = 2^{2} \cdot 3$ , $[8, 12] = 2^{3} \cdot 3 = 24$ . $\frac{5}{8} = \frac{15}{24}$ , $\frac{7}{12} = \frac{14}{24}$ .
Numitor comun 36: $9 = 3^{2}$ , $6 = 2 \cdot 3$ , $4 = 2^{2}$ , $[9, 6, 4] = 2^{2} \cdot 3^{2} = 36$ . $\frac{2}{9} = \frac{8}{36}$ , $\frac{5}{6} = \frac{30}{36}$ , $\frac{1}{4} = \frac{9}{36}$ .
a → III, b → I, c → II. $\frac{16}{20} = \frac{4}{5}$ (prin 4); $\frac{14}{49} = \frac{2}{7}$ (prin 7); $\frac{27}{36} = \frac{3}{4}$ (prin 9).
$\frac{5}{6}$ . $[10, 15] = 30$ ; $\frac{7}{10} = \frac{21}{30}$ , $\frac{2}{15} = \frac{4}{30}$ ; suma $\frac{25}{30}$ , simplificată prin 5 → $\frac{5}{6}$ .
$\frac{8}{15}$ . $[6, 10] = 30$ ; $\frac{5}{6} = \frac{25}{30}$ , $\frac{3}{10} = \frac{9}{30}$ ; diferența $\frac{16}{30}$ , simplificată prin 2 → $\frac{8}{15}$ .
$\frac{4}{7}$ este mai mare. $[7, 9] = 63$ ; $\frac{4}{7} = \frac{36}{63}$ , $\frac{5}{9} = \frac{35}{63}$ ; cum $36 > 35$ , rezultă $\frac{4}{7} > \frac{5}{9}$ .
$\frac{3}{5}$ . $(18, 30) = 6$ ; $\frac{18 : 6}{30 : 6} = \frac{3}{5}$ .
Radu a citit mai mult. $[8, 12] = 24$ ; $\frac{3}{8} = \frac{9}{24}$ (Maria), $\frac{5}{12} = \frac{10}{24}$ (Radu); $10 > 9$ , deci Radu.
$a \in {4, 8}$ . $15 = 3 \cdot 5$ , deci o cifră $a$ păstrează fracția ireductibilă doar dacă nu se divide cu 3 sau cu 5. Din lista dată: $3$ (÷3), $5$ (÷5), $6$ (÷3) sunt eliminate; rămân $4$ și $8$ .
$\frac{7}{12} < \frac{5}{8} < \frac{3}{4}$ . $[4, 8, 12] = 24$ ; $\frac{3}{4} = \frac{18}{24}$ , $\frac{5}{8} = \frac{15}{24}$ , $\frac{7}{12} = \frac{14}{24}$ . Cum $14 < 15 < 18$ , ordinea crescătoare este $\frac{7}{12} < \frac{5}{8} < \frac{3}{4}$ .
$\frac{1}{2}$ . $[4, 6, 12] = 12$ ; $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$ , $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$ , $\frac{7}{12} = \frac{7}{12}$ ; $\frac{3 + 10 - 7}{12} = \frac{6}{12}$ , simplificată prin 6 → $\frac{1}{2}$ .

De reținut

Simplificare = c.m.m.d.c. Împarte numărătorul și numitorul prin $(a, b)$ și obții direct forma ireductibilă, dintr-un singur pas.
O fracție $\frac{a}{b}$ este ireductibilă dacă și numai dacă $(a, b) = 1$ , adică numărătorul și numitorul sunt prime între ele.
Numitor comun = c.m.m.m.c. Pentru a aduna, scădea sau compara fracții, ia c.m.m.m.c.-ul numitorilor și amplifică fiecare fracție cu factorul $(numitor comun) : (numitor vechi)$ .
Amplificarea și simplificarea nu schimbă valoarea fracției — schimbă doar forma în care este scrisă.
La adunări/scăderi, dă mereu rezultatul ca fracție ireductibilă la final.

Greșeli frecvente

Confuzia c.m.m.d.c. ↔ c.m.m.m.c. Pentru simplificare folosești c.m.m.d.c. (împarți), iar pentru numitor comun folosești c.m.m.m.c. (amplifici). Ține minte: D de la Divizor → micșorezi; M de la Multiplu → numitor comun.
Te oprești prea devreme la simplificare. Dacă împarți doar prin 2 fracția $\frac{36}{48}$ și te oprești la $\frac{18}{24}$ , ai uitat că mai poate fi simplificată. Verifică mereu la final că $(a, b) = 1$ . Cel mai sigur: împarte de la început prin c.m.m.d.c.
Amplifici doar numărătorul (sau doar numitorul). Amplificarea și simplificarea cer să faci aceeași operație sus și jos. Dacă atingi doar o linie, schimbi valoarea fracției.
Iei produsul numitorilor în loc de c.m.m.m.c. Nu e greșit ca rezultat, dar muncești cu numere uriașe. C.m.m.m.c. îți dă cel mai mic numitor comun și calcule mai ușoare.

Joc acasă

Vânătoarea de fracții ireductibile. Scrie pe bilețele 10 fracții (de exemplu $\frac{9}{12}$ , $\frac{7}{8}$ , $\frac{10}{25}$ ...). Amestecă-le într-un bol. Pe rând cu un părinte sau un prieten, trageți câte un bilet: cine spune primul corect dacă e ireductibilă (și, dacă nu, o simplifică) primește un punct. Primul la 5 puncte câștigă.
Pizza de hârtie. Decupează două cercuri de hârtie de aceeași mărime. Pe primul desenează 12 felii și colorează 8; pe al doilea desenează 3 felii și colorează 2. Suprapune-le la lumină: vei vedea că $\frac{8}{12}$ și $\frac{2}{3}$ acoperă exact aceeași suprafață. Ai „demonstrat" cu mâna ta că simplificarea nu schimbă valoarea.
Provocarea numitorului comun. Alege două fracții cu numitori diferiți (de exemplu $\frac{1}{6}$ și $\frac{1}{8}$ ). Cronometrează cât îți ia să le aduci la numitor comun folosind c.m.m.m.c. Apoi încearcă alte perechi și vezi dacă îți îmbunătățești timpul. E ca un antrenament sportiv pentru creier!

Pentru părinți și învățători

Această lecție leagă două instrumente abstracte (c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.) de o aplicație foarte concretă: lucrul cu fracții. Mesajul-cheie pe care merită să-l întăriți este că amplificarea și simplificarea schimbă forma, nu valoarea — multe greșeli ulterioare (la adunarea fracțiilor, la procente, la rapoarte) vin din neînțelegerea acestei idei.

Întrebări utile pe care le puteți pune copilului:

„De ce $\frac{6}{8}$ și $\frac{3}{4}$ sunt egale, deși au cifre diferite?"
„Ce instrument folosești ca să simplifici și ce instrument pentru numitor comun? De unde știi care e care?"
„Cum verifici, fără să mai poți greși, că o fracție este ireductibilă?" (Răspuns țintă: calculez c.m.m.d.c.-ul; dacă e 1, e ireductibilă.)

Cum sprijiniți: încurajați copilul să descompună în factori primi ori de câte ori se blochează — descompunerea face vizibil c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. și elimină ghicitul. Verificați înțelegerea cerând un exemplu inventat de el (o fracție pe care s-o simplifice și o pereche de fracții pe care s-o aducă la numitor comun). Dacă greșește, nu corectați direct: întrebați „verifică-ți rezultatul, mai are numărătorul și numitorul vreun divizor comun?". Legătura cu lecția următoare, Probleme de divizibilitate din viața cotidiană, este firească: acolo aceste unelte se folosesc în situații practice.

Întrebări frecvente

Ce este o fracție ireductibilă la clasa a VI-a? O fracție este ireductibilă atunci când numărătorul și numitorul nu mai au niciun divizor comun mai mare decât 1, adică sunt prime între ele. Practic, este fracția scrisă în forma cea mai simplă, care nu se mai poate simplifica. De exemplu, $\frac{3}{4}$ este ireductibilă, dar $\frac{6}{8}$ nu, pentru că se mai poate simplifica prin 2.

Cum simplific o fracție folosind c.m.m.d.c.? Calculezi c.m.m.d.c.-ul numărătorului și numitorului (cel mai ușor prin descompunere în factori primi), apoi împarți și numărătorul, și numitorul prin acest număr. Rezultatul este garantat ireductibil, obținut dintr-un singur pas. Exemplu: $\frac{36}{48}$ cu $(36, 48) = 12$ devine $\frac{3}{4}$ .

De ce folosesc c.m.m.m.c. pentru numitorul comun și nu c.m.m.d.c.? Pentru că numitorul comun trebuie să fie un multiplu al fiecărui numitor (ca să poți amplifica fiecare fracție până la el), iar cel mai mic astfel de multiplu este chiar c.m.m.m.c.-ul. Folosirea c.m.m.m.c. îți dă cele mai mici numere posibile, deci calcule mai ușoare și mai puține șanse de greșeală.

Care e diferența dintre amplificare și simplificare? La amplificare înmulțești și numărătorul, și numitorul cu același număr (numerele cresc), iar la simplificare le împarți prin același divizor comun (numerele scad). Ambele păstrează valoarea fracției neschimbată; doar forma se modifică. Sunt operații „inverse" una alteia.

Cum știu dacă o fracție este deja ireductibilă? Calculezi c.m.m.d.c.-ul numărătorului și numitorului. Dacă acesta este egal cu 1, fracția este ireductibilă și nu o mai poți simplifica. Dacă este mai mare decât 1, fracția se mai poate simplifica prin acel c.m.m.d.c.

Pot aduna fracții fără să le aduc la același numitor? Nu. Două fracții cu numitori diferiți reprezintă „bucăți de mărimi diferite", așa că trebuie întâi aduse la un numitor comun (c.m.m.m.c.-ul numitorilor) și abia apoi se adună numărătorii. După adunare, simplifică rezultatul dacă se poate, ca să-l dai în formă ireductibilă.

Trebuie întotdeauna să dau rezultatul ca fracție ireductibilă? Da, la matematica de gimnaziu se cere de regulă forma ireductibilă, pentru că este scrierea cea mai clară și unică a unei fracții. Chiar dacă un calcul este corect, un rezultat nesimplificat (de exemplu $\frac{8}{12}$ în loc de $\frac{2}{3}$ ) este considerat incomplet la examen.

Ce legătură au numerele prime între ele cu fracțiile ireductibile? Sunt practic aceeași idee privită din două unghiuri: o fracție este ireductibilă exact când numărătorul și numitorul sunt prime între ele, adică au c.m.m.d.c.-ul egal cu 1. Poți recapitula noțiunea în lecția Numere prime între ele. Relația dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c..