Mulțimi de puncte: legătura mulțimilor cu geometria

Până acum ai lucrat cu mulțimi de numere, de litere sau de obiecte. Acum facem un pas surprinzător și foarte frumos: vom vedea că până și geometria este, de fapt, o poveste despre mulțimi. O dreaptă, un segment sau un cerc nu sunt altceva decât mulțimi de puncte. Această idee leagă cele două lumi pe care le studiezi la matematică — numerele și figurile — și îți dă o limbă comună, simbolurile ∈, ⊂ și ∩, cu care poți descrie exact orice configurație geometrică. Hai să descoperim cum.

Ce vei învăța

• Vei ști să privești dreapta, semidreapta și segmentul ca mulțimi de puncte.
• Vei ști să folosești simbolul ∈ („aparține") ca să spui că un punct este pe o dreaptă.
• Vei ști să folosești simbolul ⊂ („este inclus") ca să spui că o figură face parte din alta.
• Vei ști să folosești simbolul ∩ („intersecție") ca să descrii punctul comun a două drepte.
• Vei ști să descrii pozițiile relative dintre punct–dreaptă și dreaptă–dreaptă în limbajul mulțimilor.

Hai să descoperim împreună

1. Punctul — „cărămida" geometriei

Imaginează-ți o foaie de hârtie infinit de mare, fără margini. Pe ea poți marca locuri precise: fiecare astfel de loc, infinit de mic, este un punct. Punctul nu are lungime, nu are lățime, nu are grosime — este doar o poziție. Îl desenăm cu un punct gros sau cu o cruciuliță și îl notăm întotdeauna cu o literă mare de tipar: $A$, $B$, $M$, $P$.

Ideea-cheie a întregii lecții este aceasta: orice figură geometrică este alcătuită din puncte. O dreaptă este o adunătură (o mulțime) de puncte, un cerc este o mulțime de puncte, un triunghi este o mulțime de puncte. Punctul este, pentru geometrie, ceea ce este elementul pentru o mulțime obișnuită.

Așa că poți gândi astfel: dacă o mulțime de numere este, de exemplu, $A=\{1,2,3\}$, atunci o figură geometrică este o mulțime ale cărei elemente sunt puncte. Diferența este doar că o figură are, de obicei, o infinitate de puncte — atât de multe încât nu le putem scrie pe toate între acolade, dar le putem descrie printr-o regulă.

2. Dreapta ca mulțime de puncte

Ia o riglă și trasează o linie care nu se oprește nici la stânga, nici la dreapta — se întinde la nesfârșit în ambele sensuri. Aceasta este o dreaptă. O notăm cu o literă mică: $d$, $a$, $g$, sau prin două puncte ale ei, de exemplu dreapta $AB$.

Cum este dreapta o mulțime? Simplu: dreapta este mulțimea tuturor punctelor de pe ea. Are o infinitate de puncte, lipite unul de altul, fără nicio gaură între ele. Tocmai de aceea, când un punct $A$ se află pe dreapta $d$, spunem în limbajul mulțimilor că $A$ aparține lui $d$ și scriem:

$$A\in d$$

Citim: „A aparține dreptei d" sau „A este un element al dreptei d". E exact același simbol ∈ pe care l-ai folosit la $3\in \{1,2,3\}$. Doar că aici „elementul" este un punct, iar „mulțimea" este o dreaptă.

Dacă un punct $C$ nu se află pe dreapta $d$ (e undeva alături, deasupra sau dedesubt), scriem:

$$C\notin d$$

și citim „C nu aparține dreptei d".

Observă cât de natural este: a spune „punctul A este pe dreaptă" și a spune „A aparține mulțimii de puncte care formează dreapta" înseamnă exact același lucru. Geometria și limbajul mulțimilor vorbesc despre aceeași realitate.

3. Semidreapta și segmentul — tot mulțimi de puncte

Acum tăiem dreapta. Dacă alegem pe ea un punct $O$ și păstrăm doar o parte, de la $O$ încolo (incluzând pe $O$), obținem o semidreaptă. Punctul $O$ se numește origine. Semidreapta începe într-un punct și se întinde la infinit într-un singur sens. O notăm, de exemplu, $[OA$ (cu paranteză dreaptă la origine, pentru că $O$ este inclus).

Dacă păstrăm doar bucata dintre două puncte $A$ și $B$, împreună cu capetele, obținem un segment, notat $[AB]$. Segmentul are o lungime, are un început și un sfârșit. Și el este o mulțime de puncte: toate punctele cuprinse între A și B, inclusiv A și B.

Iată o ierarhie pe care merită să o ții minte:

• Dreapta — infinită în ambele sensuri (fără capete).
• Semidreapta — are un capăt (originea) și e infinită într-un sens.
• Segmentul — are două capete și este mărginit (are lungime finită).

Toate trei sunt mulțimi de puncte. Diferă doar prin câte și care puncte conțin.

4. Incluziunea ⊂ — când o figură face parte din alta

Gândește-te la segmentul $[AB]$ și la dreapta $AB$ care trece prin $A$ și $B$. Fiecare punct al segmentului se află și pe dreaptă. Deci toate punctele segmentului sunt și puncte ale dreptei. În limbajul mulțimilor, asta înseamnă că segmentul este inclus în dreaptă:

$$[AB]\subset AB$$

Citim „segmentul AB este inclus în dreapta AB". Este același simbol ⊂ de la incluziunea mulțimilor pe care ai învățat-o în lecția despre relații între mulțimi: incluziune și egalitate. Atunci spuneam $\{1,2\}\subset \{1,2,3\}$. Acum spunem că o mulțime de puncte (segmentul) este parte dintr-o mulțime mai mare de puncte (dreapta).

Atenție la diferența de simboluri, pentru că aici se greșește cel mai des:

• Între un punct și o figură folosim ∈ (apartenență): $A\in d$, pentru că $A$ este un element.
• Între două figuri (mulțimi de puncte) folosim ⊂ (incluziune): $[AB]\subset AB$, pentru că ambele sunt mulțimi.

Un punct aparține unei drepte. Un segment este inclus într-o dreaptă. Nu vom scrie niciodată $A\subset d$ (un punct nu e o submulțime în acest context al lecției) și nici $[AB]\in d$ (segmentul nu e un singur element).

De asemenea, semidreapta $[OA$ este inclusă în dreapta pe care se află, iar segmentul $[OA]$ este inclus în semidreapta $[OA$. Putem chiar înșirui:

$$[OA]\subset [OA\subset OA$$

adică segmentul este inclus în semidreaptă, care la rândul ei este inclusă în dreaptă.

5. Poziția punct–dreaptă

Față de o dreaptă dată $d$, un punct din plan poate fi într-una din două situații, și doar două:

1. Punctul aparține dreptei: $A\in d$. Spunem că $A$ este un punct al dreptei sau că dreapta trece prin $A$.
2. Punctul nu aparține dreptei: $C\notin d$. Spunem că $C$ este exterior dreptei.

Asta-i tot. Nu există a treia posibilitate. Limbajul mulțimilor surprinde perfect această clasificare cu un singur simbol: ∈ sau ∉.

Un detaliu important: prin două puncte distincte trece o singură dreaptă. Dacă $A$ și $B$ sunt două puncte diferite, există exact o dreaptă care le conține pe amândouă, și o notăm $AB$. Atunci, evident, $A\in AB$ și $B\in AB$.

6. Poziția dreaptă–dreaptă și intersecția ∩

Acum punem două drepte în același plan. Cum se pot așeza una față de cealaltă? Folosim limbajul mulțimilor, mai exact intersecția ∩, care reține punctele comune (cele care aparțin amândurora).

Cazul A — Drepte concurente (secante). Cele două drepte $a$ și $b$ se taie. Atunci au un singur punct comun, să-l numim $P$. În limbajul mulțimilor:

$$a\cap b=\{P\}$$

Citim „intersecția dreptelor a și b este mulțimea formată din punctul P". Punctul $P$ aparține ambelor: $P\in a$ și $P\in b$.

Cazul B — Drepte paralele. Dreptele $a$ și $b$ se întind în aceeași direcție și nu se întâlnesc niciodată, oricât le-am prelungi. Nu au niciun punct comun. Intersecția lor este mulțimea vidă:

$$a\cap b=\varnothing$$

Citim „intersecția dreptelor a și b este mulțimea vidă", adică nu există niciun punct care să fie pe amândouă. Notăm și $a\parallel b$ (a este paralelă cu b). Despre paralelism vei învăța mult mai mult în lecția drepte paralele. Axioma paralelelor.

Cazul C — Drepte identice (confundate). Uneori, ceea ce pare a fi două drepte este, de fapt, aceeași dreaptă scrisă în două feluri. Atunci toate punctele uneia sunt și ale celeilalte, deci intersecția este... întreaga dreaptă:

$$a\cap b=a=b$$

Aici cele două mulțimi de puncte sunt egale: $a=b$.

Pune cap la cap rezultatul: două drepte distincte din plan fie se taie într-un punct (concurente), fie nu se taie deloc (paralele). Tertium non datur — a treia variantă nu există. Iar limbajul mulțimilor exprimă totul curat: intersecția este fie $\{P\}$, fie $\varnothing$.

7. Cercul — o mulțime de puncte definită printr-o regulă

Până acum mulțimile noastre de puncte au fost „drepte": dreapta, semidreapta, segmentul. Dar puterea limbajului mulțimilor se vede cel mai frumos la o figură curbă, cum este cercul. Aici nu mai putem desena figura „dintr-o trăsătură de riglă", așa că o descriem printr-o regulă, exact cum descriem o mulțime de numere printr-o proprietate.

Fixează un punct $O$, pe care îl numim centru, și o lungime $r$, pe care o numim rază. Cercul cu centrul $O$ și raza $r$ este mulțimea tuturor punctelor din plan situate la distanța $r$ față de $O$. Cu alte cuvinte, un punct $P$ se află pe cerc exact atunci când distanța de la $O$ la $P$ este egală cu $r$:

$$P\text{ este pe cerc}⟺OP=r.$$

Observă forma de regulă: nu înșirăm punctele (sunt o infinitate), ci dăm condiția pe care trebuie să o îndeplinească un punct ca să fie „înăuntrul" mulțimii. La fel cum scriam o mulțime de numere prin proprietate, de pildă „numerele naturale mai mici decât 5", aici scriem o mulțime de puncte prin proprietatea „punctele aflate la distanța $r$ de $O$".

Regula împarte automat planul în trei mulțimi de puncte, după cum se compară distanța cu raza:

• punctele cu $OP=r$ formează cercul însuși;
• punctele cu $OP<r$ sunt în interiorul cercului (mai aproape de centru decât raza);
• punctele cu $OP>r$ sunt în exteriorul cercului (mai departe de centru decât raza).

Așa, o singură condiție scrisă cu un semn de comparație ($=$, $<$ sau $>$) descrie complet trei regiuni. Iar dacă păstrăm doar o porțiune dintre două puncte ale cercului, obținem un arc de cerc — și el o submulțime a cercului, deci $\text{arc}\subset \text{cerc}$. Reține ideea: și figurile curbe sunt mulțimi de puncte; doar că le definim printr-o regulă de distanță, nu printr-o riglă.

8. De ce este utilă această legătură

Poate te întrebi: la ce-mi folosește să scriu $a\cap b=\{P\}$ în loc de „dreptele se taie în P"? Răspunsul: pentru precizie și pentru putere de calcul. Când vei rezolva probleme de geometrie mai grele — despre bisectoare, mediatoare, înălțimi într-un triunghi — vei vorbi despre puncte care aparțin mai multor drepte simultan, despre figuri incluse în alte figuri, despre intersecții de mulțimi de puncte. Limbajul mulțimilor îți dă o notație scurtă, exactă, fără echivoc. De exemplu, faptul că trei drepte trec prin același punct $O$ se scrie elegant:

$$O\in a,O\in b,O\in c$$

Un singur punct $O$ aparține tuturor celor trei drepte. Vei reîntâlni această idee, de pildă, la medianele triunghiului și centrul de greutate.

Reține analogia centrală a lecției: a face geometrie înseamnă a lucra cu mulțimi de puncte, iar simbolurile ∈ (punct pe figură), ⊂ (figură în figură) și ∩ (puncte comune) sunt unealta cu care le descriem.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Apartenență punct–dreaptă

Pe dreapta $d$ se află punctele $A$ și $B$. Punctul $C$ este desenat alături, în afara dreptei. Scrie în limbajul mulțimilor relațiile dintre fiecare punct și dreapta $d$.

Rezolvare. Privesc desenul și mă întreb, pe rând, dacă fiecare punct este pe dreaptă sau alături de ea.

• $A$ este pe dreaptă → $A\in d$.
• $B$ este pe dreaptă → $B\in d$.
• $C$ este în afara dreptei → $C\notin d$.

Folosesc ∈ și ∉ pentru că relația este între un punct și o dreaptă (apartenență).

Exemplul 2 — Apartenență sau incluziune?

Completează cu simbolul potrivit (∈, ∉, ⊂): a) $M\square AB$, dacă $M$ este un punct al segmentului; b) $[AB]\square AB$; c) $[CD]\square CD$.

Rezolvare. Mă întreb de fiecare dată: leg un punct de o figură, sau o figură de altă figură? a) $M$ este un punct, $AB$ este o figură → folosesc apartenența: $M\in AB$. b) $[AB]$ este un segment (o mulțime de puncte), $AB$ este dreapta → folosesc incluziunea: $[AB]\subset AB$. c) La fel, segmentul $[CD]$ face parte din dreapta $CD$: $[CD]\subset CD$.

Idee de reținut: punct cu figură → ∈; figură cu figură → ⊂.

Exemplul 3 — Intersecția a două drepte concurente

Dreptele $a$ și $b$ se taie în punctul $P$. Scrie: a) intersecția lor în limbajul mulțimilor; b) două relații de apartenență pentru punctul $P$.

Rezolvare. a) Două drepte care se taie au exact un punct comun, deci $a\cap b=\{P\}$. Atenție: rezultatul este o mulțime, deci scriem $\{P\}$ cu acolade, nu doar $P$. b) Punctul comun aparține amândurora: $P\in a$ și $P\in b$.

Exemplul 4 — Drepte paralele

Dreptele $m$ și $n$ sunt paralele. Determină $m\cap n$ și justifică.

Rezolvare. Două drepte paralele nu au niciun punct comun, oricât le-am prelungi. Mulțimea punctelor comune este goală, deci: $$m\cap n=\varnothing .$$ Justificare: nu există niciun punct $X$ astfel încât $X\in m$ și $X\in n$ în același timp. Notăm și $m\parallel n$.

Exemplul 5 — Adevărat sau fals, cu justificare

Decide dacă afirmațiile sunt adevărate (A) sau false (F): a) „Dacă $A\in d$, atunci punctul $A$ se află pe dreapta $d$." b) „Două drepte distincte pot avea două puncte comune." c) „Segmentul $[AB]$ este inclus în dreapta $AB$."

Rezolvare. a) A — $A\in d$ înseamnă exact că $A$ este un punct al dreptei $d$. b) F — prin două puncte distincte trece o singură dreaptă; dacă două drepte ar avea două puncte comune, ele ar coincide (ar fi una și aceeași). Deci două drepte distincte au cel mult un punct comun. c) A — fiecare punct al segmentului se află și pe dreapta $AB$, deci $[AB]\subset AB$.

Exemplul 6 — Trei puncte și o dreaptă (puncte coliniare)

Punctele $A$, $B$, $C$ se află pe aceeași dreaptă $d$. Punctul $D$ nu se află pe $d$. a) Cum se numesc punctele $A$, $B$, $C$? b) Scrie relațiile de apartenență. c) Câte drepte trec prin perechile de puncte $A$ și $D$?

Rezolvare. a) Punctele care se află pe aceeași dreaptă se numesc coliniare. Deci $A$, $B$, $C$ sunt coliniare; $D$ nu este coliniar cu ele. b) $A\in d$, $B\in d$, $C\in d$, iar $D\notin d$. c) Prin două puncte distincte trece exact o dreaptă, deci prin $A$ și $D$ trece o singură dreaptă, dreapta $AD$. Cum $D\notin d$, această dreaptă $AD$ este diferită de $d$.

Exemplul 7 — Cercul ca mulțime de puncte

Un cerc are centrul $O$ și raza $r=5$ cm. Despre trei puncte știm: $OA=5$ cm, $OB=3$ cm, $OC=8$ cm. Stabilește, pentru fiecare punct, dacă se află pe cerc, în interiorul lui sau în exteriorul lui.

Rezolvare. Compar de fiecare dată distanța față de centru cu raza $r=5$ cm.

• $OA=5=r$ → punctul $A$ se află pe cerc.
• $OB=3<5$ → punctul $B$ este în interiorul cercului (mai aproape de centru decât raza).
• $OC=8>5$ → punctul $C$ este în exteriorul cercului (mai departe de centru decât raza).

Vezi cum o singură comparație ($=$, $<$ sau $>$) decide poziția punctului față de mulțimea de puncte numită cerc.

Să exersăm

1. Notează cu simbolul potrivit (∈ sau ∉): punctul $A$ se află pe dreapta $d$, iar punctul $B$ nu se află pe $d$. Scrie cele două relații.

2. Completează cu „aparține" sau „nu aparține": dacă $M\in s$, atunci punctul $M$ ____ semidreptei $s$.

3. Încercuiește scrierea corectă pentru „segmentul $[AB]$ face parte din dreapta $AB$": a) $[AB]\in AB$ b) $[AB]\subset AB$ c) $AB\subset [AB]$

4. Două drepte $a$ și $b$ se taie în punctul $T$. Scrie $a\cap b$ în limbajul mulțimilor.

5. Dreptele $p$ și $q$ sunt paralele. Cât este $p\cap q$?

6. Adevărat sau fals: „Un punct se notează cu literă mare de tipar."

7. Adevărat sau fals: „Dreapta are două capete."

8. Completează: o ____ are o origine și se întinde la infinit într-un singur sens.

9. Potrivește fiecare figură cu descrierea ei:

• (1) Dreapta - (a) are două capete, lungime finită
• (2) Semidreapta - (b) infinită în ambele sensuri
• (3) Segmentul - (c) are o origine, infinită într-un sens

10. Pe o dreaptă $d$ se află punctele $A$, $B$, $C$. Punctul $E$ este în afara ei. Scrie patru relații de apartenență/neapartenență.

11. Încercuiește simbolul corect pentru fiecare situație: a) punct cu dreaptă → ( ∈ / ⊂ ) b) segment cu dreaptă → ( ∈ / ⊂ )

12. Desenează două drepte concurente $a$ și $b$ și marchează punctul lor de intersecție $P$. Scrie apoi $a\cap b$.

13. Desenează o dreaptă $d$ și un punct $M$ care nu îi aparține. Scrie relația dintre $M$ și $d$.

14. Adevărat sau fals: „Dacă $a\cap b=\varnothing$, atunci dreptele $a$ și $b$ sunt paralele."

15. Punctele $A$, $B$, $C$ sunt coliniare, iar $D$ nu aparține dreptei $AB$. Câte drepte distincte poți trasa prin perechi formate cu aceste patru puncte? (Indicație: $AB$, $BC$, $AC$ sunt aceeași dreaptă.)

16. Mică problemă. Pe dreapta $d$ se află, în această ordine, punctele $A$, $B$, $C$. Scrie folosind simbolul ⊂ relația dintre segmentul $[AB]$ și segmentul $[AC]$.

17. Trei drepte $a$, $b$, $c$ trec toate prin același punct $O$. Scrie trei relații de apartenență care exprimă acest lucru.

18. Mică problemă de logică. Dreptele $a$ și $b$ sunt distincte și nu sunt paralele. Câte puncte comune au și cum scrii intersecția lor?

19. Un cerc are centrul $O$ și raza $r=4$ cm. Pentru punctele $P$, $Q$, $R$ se știe că $OP=4$ cm, $OQ=6$ cm, $OR=2$ cm. Spune pentru fiecare dacă este pe cerc, în interior sau în exterior.

20. Completează regula: un punct $P$ se află pe cercul de centru $O$ și rază $r$ exact atunci când $OP\square r$ (pune semnul potrivit: $<$, $=$ sau $>$).

21. Scrie folosind ⊂ relația dintre un arc de cerc și cercul din care face parte.

Răspunsuri și explicații

1. $A\in d$ și $B\notin d$. Punct pe dreaptă → ∈; punct în afara dreptei → ∉.

2. „aparține". $M\in s$ se citește „M aparține semidreptei s".

3. b) $[AB]\subset AB$. Segmentul este o mulțime de puncte inclusă în dreaptă; între figuri folosim ⊂. Varianta a) e greșită (∈ e pentru puncte), iar c) inversează incluziunea.

4. $a\cap b=\{T\}$. Două drepte concurente au exact un punct comun; rezultatul se scrie ca mulțime, cu acolade.

5. $p\cap q=\varnothing$. Dreptele paralele nu au puncte comune, deci intersecția este mulțimea vidă.

6. Adevărat. Punctele se notează întotdeauna cu litere mari de tipar ($A$, $M$, $P$).

7. Fals. Dreapta nu are capete; se întinde la infinit în ambele sensuri. Segmentul are două capete.

8. semidreaptă. Aceasta are o origine și merge la infinit într-un singur sens.

9. (1)–(b), (2)–(c), (3)–(a). Dreapta e infinită în ambele sensuri; semidreapta are origine și un sens; segmentul are două capete.

10. $A\in d$, $B\in d$, $C\in d$, $E\notin d$. Primele trei sunt pe dreaptă, $E$ este în afară.

11. a) ∈ (punct cu dreaptă = apartenență); b) ⊂ (segment cu dreaptă = incluziune).

12. Desen cu două drepte în formă de X și $P$ la mijloc; $a\cap b=\{P\}$.

13. $M\notin d$. Punctul nefiind pe dreaptă, scriem neapartenența.

14. Adevărat. Dacă două drepte (distincte) nu au niciun punct comun, prin definiție ele sunt paralele.

15. 4 drepte distincte. Punctele $A$, $B$, $C$ fiind coliniare, perechile $AB$, $BC$, $AC$ dau una și aceeași dreaptă. Prin $D$, care nu e pe această dreaptă, trec însă trei drepte diferite: $DA$, $DB$, $DC$ (fiecare punct de pe dreaptă dă cu $D$ o dreaptă nouă). În total: dreapta punctelor coliniare + $DA$ + $DB$ + $DC$ = 4 drepte.

16. $[AB]\subset [AC]$. Dacă ordinea este $A$, $B$, $C$, atunci toate punctele segmentului $[AB]$ se află și în segmentul $[AC]$ (care e mai lung), deci primul este inclus în al doilea.

17. $O\in a$, $O\in b$, $O\in c$. Punctul $O$ aparține fiecăreia dintre cele trei drepte.

18. Au exact un punct comun. Dacă notăm acel punct cu $P$, atunci $a\cap b=\{P\}$. (Distincte și neparalele înseamnă concurente.)

19. $P$ este pe cerc ($OP=4=r$); $Q$ este în exterior ($OQ=6>4$); $R$ este în interior ($OR=2<4$). Comparăm de fiecare dată distanța față de centru cu raza.

20. $OP=r$. Punctele de pe cerc sunt exact cele aflate la distanța egală cu raza față de centru; semnul „mai mic" dă interiorul, iar „mai mare" dă exteriorul.

21. $\text{arc}\subset \text{cerc}$ (de exemplu, un arc $\widehat{AB}$ este inclus în cercul din care provine). Arcul este o porțiune din cerc, deci o mulțime de puncte inclusă în mulțimea tuturor punctelor cercului; între figuri folosim ⊂.

De reținut

• Orice figură geometrică este o mulțime de puncte: dreapta, semidreapta, segmentul, cercul — toate.
• Între un punct și o figură folosim ∈ (apartenență): $A\in d$. Negația este ∉.
• Între două figuri (mulțimi de puncte) folosim ⊂ (incluziune): $[AB]\subset AB$.
• Intersecția a două drepte se scrie cu ∩: dacă se taie, $a\cap b=\{P\}$; dacă sunt paralele, $a\cap b=\varnothing$.
• Două drepte distincte din plan au cel mult un punct comun: ori se taie într-un punct, ori sunt paralele.
• Și figurile curbe sunt mulțimi de puncte: cercul de centru $O$ și rază $r$ este mulțimea punctelor $P$ cu $OP=r$; $OP<r$ dă interiorul, $OP>r$ dă exteriorul.

Greșeli frecvente

• Confuzia ∈ cu ⊂. Mulți scriu $A\subset d$ pentru un punct sau $[AB]\in AB$ pentru un segment. Reține regula scurtă: punct cu figură → ∈; figură cu figură → ⊂.
• Rezultatul intersecției fără acolade. Scrierea $a\cap b=P$ este incompletă; corect este $a\cap b=\{P\}$, pentru că intersecția a două mulțimi este tot o mulțime.
• „Dreptele paralele se întâlnesc undeva departe." Fals. Oricât le-am prelungi, nu au niciun punct comun; intersecția lor este $\varnothing$.
• Notarea punctelor cu litere mici. Punctele se scriu cu litere mari ($A$, $B$, $P$); literele mici ($d$, $a$, $m$) sunt pentru drepte.

Joc acasă

Jocul 1 — Sfori și noduri. Întinde două sfori lungi pe podea. Întâi așază-le ca să se încrucișeze: nodul (locul unde se ating) este „punctul de intersecție" $P$ — scrie pe o hârtie $a\cap b=\{P\}$. Apoi așază-le perfect paralele: nu se mai ating nicăieri — scrie $a\cap b=\varnothing$. Ai modelat cu mâna ta cele două poziții ale dreptelor.

Jocul 2 — Furnica pe segment. Trasează cu creta un segment $[AB]$ pe asfalt. Plimbă o pietricică („furnica") din $A$ spre $B$. Oriunde s-ar afla furnica între capete, ea aparține segmentului: $M\in [AB]$. Dacă o muți în iarbă, lângă segment, ea nu mai aparține: $M\notin [AB]$. Spune cu voce tare relația de fiecare dată.

Jocul 3 — Harta cartierului. Pe o foaie, desenează două „străzi" drepte care se intersectează. Marchează intersecția cu o literă mare și scrie intersecția ca mulțime. Adaugă apoi o a treia stradă paralelă cu una dintre ele și notează că intersecția lor este $\varnothing$. Ai făcut o mică hartă în limbajul mulțimilor.

Pentru părinți și învățători

Această lecție este o punte conceptuală: elevul descoperă că tot aparatul de mulțimi învățat în primele lecții (∈, ⊂, ∩, mulțimea vidă) se aplică direct la geometrie. Scopul nu este să se memoreze simboluri, ci să se înțeleagă de ce o dreaptă „este" o mulțime.

Cum să sprijiniți:

• Cereți-i copilului să arate cu degetul un punct, apoi întreaga dreaptă: „Câte puncte are dreapta?" — răspunsul „o infinitate" fixează ideea de mulțime de puncte.
• Folosiți întrebarea-test: „Aici leg un punct de o figură sau o figură de altă figură?" — răspunsul decide între ∈ și ⊂. Aceasta este distincția cea mai des greșită.
• La intersecție, întrebați mereu: „Câte puncte au în comun?" Dacă unul → $\{P\}$; dacă niciunul → $\varnothing$. Subliniați acoladele.
• Verificați înțelegerea cerând copilului să traducă în cuvinte o scriere simbolică (ex.: $C\notin d$ → „C nu se află pe dreapta d") și invers.

Semn că a înțeles: poate completa corect simbolul potrivit într-o configurație desenată și poate explica, fără ezitare, de ce două drepte paralele au intersecția vidă.

Întrebări frecvente

De ce spunem că o dreaptă este o mulțime de puncte? Pentru că dreapta este formată din toate punctele de pe ea, lipite unul de altul, fără întreruperi. Fiecare astfel de punct este un „element" al dreptei, exact ca un element într-o mulțime obișnuită. De aceea putem scrie $A\in d$, la fel cum scriem $3\in \{1,2,3\}$.

Când folosesc ∈ și când folosesc ⊂ în geometrie? Folosești ∈ când legi un punct de o figură (ex.: $A\in d$). Folosești ⊂ când legi o figură de altă figură, adică o mulțime de puncte inclusă în alta (ex.: segmentul $[AB]\subset AB$). Regula scurtă: punct → ∈, figură → ⊂.

Ce înseamnă că intersecția a două drepte este mulțimea vidă? Înseamnă că dreptele nu au niciun punct comun, oricât le-am prelungi. Aceasta se întâmplă exact când dreptele sunt paralele și se scrie $a\cap b=\varnothing$.

Câte puncte comune pot avea două drepte diferite? Cel mult unul. Două drepte distincte ori se taie într-un singur punct (sunt concurente), ori nu se taie deloc (sunt paralele). Dacă ar avea două puncte comune, ele ar coincide, fiind aceeași dreaptă.

Care e diferența dintre dreaptă, semidreaptă și segment? Dreapta nu are capete și e infinită în ambele sensuri. Semidreapta are un capăt (originea) și e infinită într-un singur sens. Segmentul are două capete și o lungime finită. Toate trei sunt mulțimi de puncte, dar conțin puncte diferite.

Cum scriu corect intersecția a două drepte concurente? Cu acolade, ca mulțime: $a\cap b=\{P\}$, unde $P$ este punctul lor comun. Scrierea $a\cap b=P$ (fără acolade) este incompletă, pentru că intersecția a două mulțimi este tot o mulțime.

Ce sunt punctele coliniare? Sunt puncte care se află toate pe aceeași dreaptă. De exemplu, dacă $A\in d$, $B\in d$ și $C\in d$, atunci $A$, $B$, $C$ sunt coliniare. Dacă un punct nu se află pe acea dreaptă, el nu este coliniar cu celelalte.

Un punct poate fi inclus (⊂) într-o dreaptă? La nivelul clasei a VI-a, nu folosim ⊂ pentru un punct: punctul este un element, deci legăm punctul de dreaptă cu ∈ (apartenență), nu cu ⊂ (incluziune). Incluziunea o păstrăm pentru relația dintre două figuri, cum ar fi un segment inclus într-o dreaptă.

Cum descriem cercul în limbajul mulțimilor? Cercul de centru $O$ și rază $r$ este mulțimea tuturor punctelor $P$ din plan pentru care $OP=r$. Nu îi înșirăm punctele (sunt o infinitate), ci dăm regula pe care trebuie să o respecte un punct ca să fie pe cerc. Dacă $OP<r$, punctul este în interiorul cercului; dacă $OP>r$, este în exteriorul lui. Așa descriem o figură curbă printr-o proprietate, exact cum descriem o mulțime de numere printr-o condiție.