Reuniunea a două mulțimi

Până acum ai învățat să descrii o mulțime, să o reprezinți printr-o diagramă și să numeri câte elemente are. Acum facem un pas mai departe: învățăm să combinăm două mulțimi într-una singură. Această operație se numește reuniune și este una dintre cele mai folosite operații cu mulțimi din toată matematica de gimnaziu. Vestea bună? Ideea din spate este chiar simplă: punem laolaltă toate elementele, fără să repetăm pe niciunul. Hai să descoperim cum funcționează!

Ce vei învăța

• Vei ști să determini reuniunea a două mulțimi date, adică să afli mulțimea A ∪ B.
• Vei ști să reprezinți reuniunea printr-o diagramă Venn și să colorezi exact zona potrivită.
• Vei ști să legi reuniunea de cuvântul „sau” din limbajul de zi cu zi.
• Vei ști să folosești corect simbolul reuniunii (∪) și să citești expresia A ∪ B.
• Vei ști să aplici proprietățile reuniunii: A ∪ B = B ∪ A, A ∪ ∅ = A și A ∪ A = A.

Hai să descoperim împreună

O poveste de pornire: două liste într-una singură

Imaginează-ți că organizezi un meci de fotbal în cartier. Tu faci o listă cu colegii care vin sigur, iar prietenul tău Andrei face și el o listă cu cine aduce el. La final, vrei o singură listă cu toți jucătorii, ca să știi câți sunt și să împărțiți echipele.

Lista ta:

$$A=\{\text{Mihai},\text{Andrei},\text{Vlad}\}$$

Lista lui Andrei:

$$B=\{\text{Vlad},\text{Radu},\text{David}\}$$

Cum faci lista finală? Iei pe toți din prima listă, apoi adaugi din a doua listă doar numele noi, care nu sunt deja scrise. Vlad apare în ambele liste, dar la meci vine un singur Vlad, deci îl scrii o singură dată. Lista finală este:

$$\{\text{Mihai},\text{Andrei},\text{Vlad},\text{Radu},\text{David}\}$$

Ei bine, exact asta înseamnă reuniunea celor două mulțimi! Ai pus împreună tot ce era în A și tot ce era în B, fără să repeți nimic. În matematică scriem A ∪ B și citim „A reunit cu B".

Definiția reuniunii

Acum că ai intuiția, hai să scriem definiția riguroasă, așa cum se cuvine în clasa a VI-a.

Definiție. Fiind date două mulțimi A și B, reuniunea lor, notată A ∪ B, este mulțimea formată din toate elementele care aparțin lui A sau aparțin lui B (sau ambelor).

Cu alte cuvinte:

$$A\cup B=\{x\mid x\in A\text{ sau }x\in B\}$$

Această scriere se citește: „mulțimea tuturor elementelor x cu proprietatea că x aparține lui A sau x aparține lui B". Liniuța verticală | se citește „cu proprietatea că" sau „astfel încât".

Reține trei lucruri esențiale:

1. Un element intră în reuniune dacă este în cel puțin una dintre mulțimi. Nu trebuie să fie neapărat în ambele.
2. Fiecare element se scrie o singură dată. Într-o mulțime nu repetăm elementele niciodată, deci nici în reuniune.
3. Ordinea în care scriem elementele nu contează, dar e frumos și ordonat să le scriem, de exemplu, crescător la numere.

Simbolul reuniunii: cum arată și cum se citește

Simbolul reuniunii este ∪. Seamănă cu litera U mare. Un truc de memorare: U vine de la „Uniune" / „reUniune". Așa nu îl vei confunda niciodată cu simbolul de la lecția următoare, intersecția, care arată invers (∩, ca un U răsturnat).

Expresia A ∪ B se citește în mai multe feluri, toate corecte:

• „A reunit cu B",
• „reuniunea mulțimilor A și B",
• „A union B" (în engleză, dar la noi folosim varianta în română).

Cuvântul-cheie: „SAU"

Cel mai important cuvânt pentru a înțelege reuniunea este micul cuvânt „sau". În definiție scrie clar: un element este în A ∪ B dacă el este în A sau în B.

Atenție la o subtilitate importantă! În viața de zi cu zi, „sau" are uneori sens de „ori una, ori alta, dar nu amândouă" (de exemplu: „vrei la munte sau la mare?" — alegi una singură). În matematică, „sau" este mai cuprinzător: înseamnă „în cel puțin una dintre situații, eventual în ambele". Acest „sau" matematic se mai numește „sau" inclusiv, fiindcă include și cazul în care elementul e în ambele mulțimi.

Hai să verificăm pe lista de la meci. Întrebarea pentru fiecare persoană este: „Ești pe lista mea sau pe lista lui Andrei?"

• Mihai: e pe lista mea → da, intră în reuniune.
• Radu: e pe lista lui Andrei → da, intră în reuniune.
• Vlad: e pe ambele liste → da, intră (și se scrie o singură dată).

Vezi? Niciun nume nu rămâne pe dinafară, decât cei care nu sunt pe nicio listă.

Reprezentarea reuniunii prin diagrame Venn

Diagramele Venn (le-ai întâlnit în prima lecție din această unitate, Mulțimi: descriere, notații și reprezentări prin diagrame) sunt cea mai clară imagine a reuniunii. Desenăm fiecare mulțime ca un cerc (sau oval) și scriem elementele înăuntru.

Pentru reuniune, regula de colorare este foarte simplă:

Pentru a reprezenta A ∪ B, colorezi TOATĂ suprafața acoperită de cele două cercuri — și cercul A, și cercul B, inclusiv partea în care se suprapun.

Practic, colorezi tot ce este „înăuntru" în oricare dintre cercuri. Nu lași nicio porțiune a vreunui cerc necolorată.

Hai să luăm un exemplu cu numere. Fie:

$$A=\{1,2,3,4\},B=\{3,4,5,6\}$$

Desenăm două cercuri care se suprapun. Elementele comune (3 și 4) le scriem în zona de suprapunere, fiindcă sunt și în A, și în B. Elementele care sunt doar în A (1 și 2) le scriem în partea cercului A care nu se suprapune. Elementele care sunt doar în B (5 și 6) le scriem în partea cercului B care nu se suprapune.

Pentru reuniune colorăm tot și citim toate numerele din interiorul cercurilor:

$$A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}$$

Observă că am scris 3 și 4 o singură dată, deși apar în ambele mulțimi. Asta e regula de aur: în reuniune, fiecare element apare exact o dată.

Pas cu pas: cum determini reuniunea a două mulțimi

Hai să fixăm o „rețetă" sigură, pe care o poți folosi de fiecare dată:

1. Scrie toate elementele primei mulțimi A.
2. Treci prin elementele mulțimii B, unul câte unul.
3. Adaugă fiecare element din B doar dacă nu l-ai scris deja. Dacă există deja (este comun), sari peste el.
4. (Opțional, dar recomandat) Ordonează elementele, de exemplu crescător, ca rezultatul să fie clar și ușor de citit.

Să aplicăm rețeta pe A = {2, 5, 8} și B = {1, 5, 8, 9}:

• Pas 1: scriu din A: 2, 5, 8.
• Pas 2 și 3: iau din B: 1 (nou, îl adaug), 5 (există deja, sar), 8 (există deja, sar), 9 (nou, îl adaug).
• Pas 4: ordonez crescător.

Rezultat: A ∪ B = {1, 2, 5, 8, 9}.

Un caz special: când o mulțime e inclusă în cealaltă

Ce se întâmplă dacă toate elementele lui B sunt deja în A? Adică B ⊆ A (B este inclusă în A — concept din lecția Relații între mulțimi: incluziune și egalitate).

Exemplu: A = {1, 2, 3, 4, 5} și B = {2, 4}. Toate elementele lui B (2 și 4) sunt deja în A. Când fac reuniunea, nu adaug nimic nou, deci:

$$A\cup B=\{1,2,3,4,5\}=A$$

Concluzie utilă: dacă B ⊆ A, atunci A ∪ B = A. Cu cuvinte simple: dacă o mulțime e „înghițită" complet de cealaltă, reuniunea este chiar mulțimea cea mare. În diagrama Venn, cercul lui B ar fi în întregime în interiorul cercului lui A.

Proprietățile reuniunii

Reuniunea are câteva proprietăți frumoase și ușor de înțeles. Le numim „intuitive" pentru că le poți „vedea" imediat, fără calcule complicate.

Proprietatea 1 — Comutativitatea: A ∪ B = B ∪ A.

Ordinea în care reunim nu contează. La meci, indiferent dacă pornești de la lista ta și adaugi din a lui Andrei, sau invers, lista finală a jucătorilor e aceeași. Punerea laolaltă nu ține cont de „cine a fost primul".

Exemplu: A = {1, 2}, B = {2, 3}. Atunci A ∪ B = {1, 2, 3} și B ∪ A = {1, 2, 3}. Sunt egale. ✔️

Proprietatea 2 — Reuniunea cu mulțimea vidă: A ∪ ∅ = A.

Mulțimea vidă ∅ este mulțimea care nu are niciun element. Dacă reunești o mulțime cu „nimic", nu adaugi nimic nou, deci rezultatul rămâne neschimbat. E ca și cum la lista de la meci adaugi o listă goală: numărul jucătorilor rămâne același.

Exemplu: A = {7, 8, 9}, atunci A ∪ ∅ = {7, 8, 9} = A. ✔️

Proprietatea 3 — Idempotența: A ∪ A = A.

Dacă reunești o mulțime cu ea însăși, nu obții elemente noi. Toate sunt deja acolo, iar elementele nu se repetă într-o mulțime. E ca și cum ai pune lista ta peste... tot lista ta. Tot aceiași jucători.

Exemplu: A = {4, 5, 6}, atunci A ∪ A = {4, 5, 6} = A. ✔️

Mai notăm o proprietate la fel de utilă, care leagă reuniunea de incluziune:

Proprietatea 4 — Fiecare mulțime este inclusă în reuniune: A ⊆ A ∪ B și B ⊆ A ∪ B.

Are sens: reuniunea conține tot ce e în A (plus poate ceva în plus din B), deci A „încape" în reuniune. La fel pentru B.

Cardinalul reuniunii — o privire înainte

Câte elemente are A ∪ B? Ai putea crede că aduni numărul de elemente al lui A cu cel al lui B. Atenție, nu e mereu așa! Dacă mulțimile au elemente comune, acestea se numără o singură dată în reuniune. La meci: lista mea avea 3 nume, a lui Andrei 3 nume, dar lista finală avea 5, nu 6, fiindcă Vlad era comun.

Vom studia în detaliu această numărătoare la lecția Probleme de numărare cu diagrame Venn. Deocamdată reține ideea simplă: elementele comune se numără o singură dată.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Reuniune cu elemente comune

Enunț. Se dau mulțimile A = {1, 3, 5, 7} și B = {3, 6, 7, 9}. Determină A ∪ B.

Rezolvare. Aplicăm rețeta. Scriu mai întâi toate elementele lui A: 1, 3, 5, 7. Apoi parcurg B:

• 3 — există deja → sar peste;
• 6 — nou → îl adaug;
• 7 — există deja → sar peste;
• 9 — nou → îl adaug.

Ordonez crescător și obțin:

$$A\cup B=\{1,3,5,6,7,9\}$$

Verificare. Elementele comune lui A și B sunt 3 și 7; observ că în rezultat apar o singură dată. Corect. ✔️

Exemplul 2 — Mulțimi fără elemente comune (disjuncte)

Enunț. Fie M = {a, e, i} (vocale) și N = {b, c, d} (consoane). Determină M ∪ N.

Rezolvare. Mulțimile nu au niciun element comun (nicio literă nu e în ambele). Atunci reuniunea conține pur și simplu toate elementele puse la un loc:

$$M\cup N=\{a,e,i,b,c,d\}$$

Putem scrie elementele în orice ordine, de exemplu alfabetic: M ∪ N = {a, b, c, d, e, i}.

Observație. Când mulțimile nu au elemente comune, le numim disjuncte. În acest caz, numărul de elemente al reuniunii este suma numerelor de elemente: 3 + 3 = 6 elemente. ✔️

Exemplul 3 — Folosirea proprietății B ⊆ A

Enunț. Se dau A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} și B = {1, 3, 5}. Determină A ∪ B.

Rezolvare. Observ că fiecare element al lui B (1, 3, 5) este deja în A. Deci B este inclusă în A (B ⊆ A). Când adaug elementele lui B, nu apare niciun element nou. Prin urmare:

$$A\cup B=A=\{0,1,2,3,4,5\}$$

Concluzie. Am folosit proprietatea: dacă B ⊆ A, atunci A ∪ B = A. Nu a fost nevoie să scriu nimic în plus. ✔️

Exemplul 4 — Reuniune cu mulțimea vidă și cu ea însăși

Enunț. Fie P = {2, 4, 6, 8}. Calculează: a) P ∪ ∅; b) P ∪ P.

Rezolvare. a) Reuniunea cu mulțimea vidă nu adaugă niciun element, deci P ∪ ∅ = P = {2, 4, 6, 8}. b) Reuniunea unei mulțimi cu ea însăși nu produce elemente noi (nu repetăm elementele), deci P ∪ P = P = {2, 4, 6, 8}.

Concluzie. Am aplicat proprietățile A ∪ ∅ = A și A ∪ A = A. ✔️

Exemplul 5 — De la limbaj la mulțimi (cuvântul „sau")

Enunț. La un club de științe, mulțimea R = {Ana, Bogdan, Carla, Dan} cuprinde elevii înscriși la cercul de robotică, iar mulțimea Q = {Carla, Dan, Elena, Florin} cuprinde elevii înscriși la cercul de chimie. Profesoara vrea lista elevilor care participă la robotică sau la chimie (pentru a-i anunța de o excursie comună). Care este această listă?

Rezolvare. „Robotică sau chimie" este exact reuniunea R ∪ Q. Punem laolaltă toți elevii, fără să repetăm:

• din R: Ana, Bogdan, Carla, Dan;
• din Q adaug noile nume: Elena, Florin (Carla și Dan sunt deja pe listă).

$$R\cup Q=\{\text{Ana},\text{Bogdan},\text{Carla},\text{Dan},\text{Elena},\text{Florin}\}$$

Vor merge în excursie 6 elevi. Carla și Dan, înscriși la ambele cercuri, sunt anunțați o singură dată. ✔️

Exemplul 6 — Reuniune cu mulțimi descrise printr-o proprietate

Enunț. Fie A = {x ∈ ℕ | x < 5} și B = {x ∈ ℕ | 3 ≤ x ≤ 7}. Determină A ∪ B.

Rezolvare. Mai întâi scriu fiecare mulțime prin enumerare (listarea elementelor):

• A cuprinde numerele naturale mai mici decât 5: A = {0, 1, 2, 3, 4}.
• B cuprinde numerele naturale de la 3 la 7 inclusiv: B = {3, 4, 5, 6, 7}.

Acum fac reuniunea. Elementele comune sunt 3 și 4. Punând laolaltă, fără repetiții:

$$A\cup B=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$$

Observație. Putem descrie elegant rezultatul și prin proprietate: A ∪ B = {x ∈ ℕ | x ≤ 7}. Sunt toate numerele naturale de la 0 la 7. ✔️

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Răspunsurile și explicațiile sunt mai jos — verifică-te după ce încerci singur(ă)!

1. Determină A ∪ B, dacă A = {1, 2, 3} și B = {3, 4, 5}.

2. Determină M ∪ N, dacă M = {a, b, c} și N = {d, e}.

3. Completează: dacă A = {10, 20, 30} și B = ∅, atunci A ∪ B = ____.

4. Completează: pentru orice mulțime C, avem C ∪ C = ____.

5. Adevărat sau fals? Reuniunea A ∪ B conține mereu toate elementele lui A. Justifică pe scurt.

6. Adevărat sau fals? Dacă un element apare în ambele mulțimi, în reuniune îl scriem de două ori.

7. Se dau P = {2, 4, 6, 8, 10} și Q = {4, 8, 12}. Determină P ∪ Q și scrie câte elemente are.

8. Încercuiește varianta corectă: simbolul reuniunii este: a) ∩ b) ∪ c) ⊆ d) ∈.

9. Se dau A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} și B = {2, 4, 6}. Folosind o proprietate, scrie direct A ∪ B și precizează ce proprietate ai folosit.

10. Desenează o diagramă Venn pentru A = {5, 10, 15} și B = {10, 20}, plasând corect elementele, apoi colorează zona care reprezintă A ∪ B.

11. Potrivește fiecare expresie din stânga cu rezultatul din dreapta, știind că A = {1, 2}:

• (i) A ∪ ∅
• (ii) A ∪ A
• (iii) A ∪ {2, 3}

Rezultate: (a) {1, 2} (b) {1, 2, 3}.

12. Traduce în limbaj de mulțimi și rezolvă: la o petrecere, mulțimea D = {pizza, paste} cuprinde felurile alese de fete, iar E = {paste, burgeri, salată} pe cele alese de băieți. Ce feluri trebuie pregătite în total (alese de fete sau de băieți)?

13. Se dau A = {x ∈ ℕ | x < 4} și B = {x ∈ ℕ | 2 ≤ x ≤ 6}. Scrie fiecare mulțime prin enumerare, apoi determină A ∪ B.

14. Adevărat sau fals? A ∪ B = B ∪ A pentru orice mulțimi A și B. Dă un exemplu numeric care să te convingă.

15. Fie A = {numerele naturale pare de la 0 la 10} și B = {numerele naturale impare de la 1 la 9}. Determină A ∪ B și spune ce mulțime cunoscută obții.

16. Problemă. Într-o clasă, F = {elevi care joacă fotbal} are 14 elevi, iar T = {elevi care joacă tenis} are 9 elevi. Se știe că 5 elevi joacă și fotbal, și tenis. Câți elevi joacă fotbal sau tenis (adică sunt în F ∪ T)?

17. Se dau trei mulțimi: A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {3, 4}. Determină (A ∪ B) ∪ C. (Indiciu: fă întâi A ∪ B, apoi reunește cu C.)

18. Provocare. Găsește două mulțimi A și B, fiecare cu exact 3 elemente, astfel încât A ∪ B să aibă exact 4 elemente. Câte elemente comune trebuie să aibă?

Răspunsuri și explicații

1. A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}. Punem laolaltă elementele; 3 e comun și se scrie o singură dată.

2. M ∪ N = {a, b, c, d, e}. Mulțimile sunt disjuncte (fără elemente comune), deci doar le alipim.

3. A ∪ B = {10, 20, 30}. Reuniunea cu mulțimea vidă nu adaugă nimic: A ∪ ∅ = A.

4. C ∪ C = C. Reuniunea unei mulțimi cu ea însăși nu produce elemente noi (proprietatea de idempotență).

5. Adevărat. Prin definiție, orice element din A este și în A ∪ B (e suficient să fie în A). Adică A ⊆ A ∪ B.

6. Fals. Într-o mulțime nu repetăm niciodată elementele; un element comun se scrie o singură dată în reuniune.

7. P ∪ Q = {2, 4, 6, 8, 10, 12}. Are 6 elemente. Elementele comune 4 și 8 se numără o singură dată.

8. Varianta b) ∪. (U de la reUniune.)

9. A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = A. Am folosit proprietatea: deoarece B ⊆ A (toate elementele lui B sunt în A), reuniunea este A.

10. În zona doar-A: 5 și 15; în zona comună: 10; în zona doar-B: 20. Colorezi toate cele trei zone (tot ce e în cercuri). A ∪ B = {5, 10, 15, 20}.

Diagramă Venn cu A și B suprapuse: doar-A conține 5 și 15, mijlocul conține 10, doar-B conține 20, întreaga suprafață colorată.

11. (i) → (a) {1, 2} (reuniune cu vidul). (ii) → (a) {1, 2} (reuniune cu ea însăși). (iii) → (b) {1, 2, 3} (se adaugă noul element 3).

12. „Alese de fete sau de băieți" = D ∪ E = {pizza, paste, burgeri, salată}. Trebuie pregătite 4 feluri; pastele, comune, se pregătesc o singură dată.

13. A = {0, 1, 2, 3}, B = {2, 3, 4, 5, 6}. Reuniunea: A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Comune: 2 și 3.

14. Adevărat (comutativitate). Exemplu: A = {1, 2}, B = {2, 5} → A ∪ B = {1, 2, 5} și B ∪ A = {1, 2, 5}. Egale.

15. A = {0, 2, 4, 6, 8, 10}, B = {1, 3, 5, 7, 9}. Reuniunea: A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} — toate numerele naturale de la 0 la 10.

16. 14 + 9 − 5 = 18 elevi. Aduni cele două mulțimi, dar scazi o dată cei 5 comuni (numărați de două ori). Deci în F ∪ T sunt 18 elevi.

17. A ∪ B = {1, 2, 3}; apoi (A ∪ B) ∪ C = {1, 2, 3} ∪ {3, 4} = {1, 2, 3, 4}.

18. Trebuie să aibă exact 2 elemente comune. De exemplu A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4} → A ∪ B = {1, 2, 3, 4} (4 elemente). Raționament: dacă fiecare are 3 și împreună 4, atunci au fost numărate de două ori 3 + 3 − 4 = 2 elemente comune.

De reținut

• Reuniunea A ∪ B conține toate elementele care sunt în A sau în B (eventual în ambele); fiecare element se scrie o singură dată.
• Cuvântul-cheie este „sau" (inclusiv): e de ajuns ca elementul să fie în cel puțin una dintre mulțimi.
• În diagrama Venn, reuniunea = toată suprafața ambelor cercuri (inclusiv zona comună) colorată.
• Proprietăți: A ∪ B = B ∪ A (ordinea nu contează), A ∪ ∅ = A (cu vidul nu se schimbă nimic), A ∪ A = A (nu se repetă nimic).
• Mereu A ⊆ A ∪ B și B ⊆ A ∪ B; iar dacă B ⊆ A, atunci A ∪ B = A.

Greșeli frecvente

• Repetarea elementelor comune. Mulți scriu A ∪ B = {1, 2, 3, 3, 4, 5} când 3 e comun. Greșit! Într-o mulțime nu repetăm elemente: corect este {1, 2, 3, 4, 5}.
• Confundarea simbolurilor ∪ și ∩. ∪ (ca un U) este reuniunea („sau"), iar ∩ (U răsturnat) este intersecția („și"), pe care o studiezi la lecția următoare, Intersecția a două mulțimi. Memorează: U de la reUniune.
• Adunarea greșită a cardinalelor. A crede că A ∪ B are mereu atâtea elemente cât A plus B. Fals când există elemente comune — acestea se numără o singură dată (vezi exercițiul 16).
• Colorarea greșită în diagrama Venn. A colora doar zona din mijloc (suprapunerea) crezând că aceea e reuniunea. La reuniune se colorează tot; doar zona din mijloc reprezintă altă operație (intersecția).

Joc acasă

Jocul 1 — Reuniunea sertarelor. Ia două cutii sau pungi. În prima pune câteva obiecte mici (de exemplu: o gumă, un creion, o agrafă). În a doua pune alte obiecte, dar fă intenționat ca unul să fie de același fel ca în prima (de exemplu, încă o agrafă). Acum „reunește" cele două cutii într-un coș, dar respectă regula mulțimilor: fiecare tip de obiect o singură dată. Numără câte tipuri diferite ai. Compară cu suma obiectelor din fiecare cutie: de ce e mai mic? (Răspuns: din cauza obiectului comun!)

Jocul 2 — „Sau" cu prietenii. Cu un coleg sau cu un părinte, fiecare scrie pe o hârtie 5 sporturi/jocuri preferate. Apoi formați împreună lista reuniune: „ce sport preferă unul sau celălalt", fără repetiții. Câte sporturi sunt în total? Care apar la amândoi (și de aceea s-au scris o dată)?

Jocul 3 — Vânătoarea de diagrame. Desenează pe o foaie mare două cercuri care se suprapun. Scrie în ele literele numelui tău (mulțimea A) și literele numelui unui prieten (mulțimea B), punând literele comune în zona de mijloc. Colorează apoi întreaga suprafață: acesta este A ∪ B, adică toate literele care apar în cel puțin unul dintre nume.

Pentru părinți și învățători

Această lecție introduce prima operație cu mulțimi. Scopul este ca elevul să înțeleagă conceptual ce înseamnă „a pune laolaltă", nu doar să memoreze o regulă.

Cum predați pas cu pas:

1. Porniți de la o situație concretă din viața copilului (liste, invitați, jucători) înainte de a introduce simbolul ∪. Concretul fixează intuiția.
2. Insistați pe cuvântul „sau". Întrebați: „Cine este pe lista 1 sau pe lista 2?" Această întrebare este motorul reuniunii.
3. Subliniați regula non-repetiției: elementele comune se scriu o singură dată. Aici apar cele mai multe greșeli.
4. Folosiți diagrame Venn desenate de mână și colorate. Vizualul ajută enorm la această vârstă.

Întrebări bune de pus pentru verificarea înțelegerii:

• „De ce am scris numărul 3 o singură dată, deși e în ambele mulțimi?"
• „Ce se întâmplă dacă reunesc o mulțime cu mulțimea vidă? Dar cu ea însăși?"
• „Cum arată reuniunea în diagramă — colorăm tot sau doar mijlocul?"
• „Dacă A are 5 elemente și B are 4, poate A ∪ B să aibă 5 elemente? În ce caz?" (Da, dacă B ⊆ A.)

Semn că elevul a înțeles: poate determina corect o reuniune cu elemente comune (fără repetiții), poate explica cu cuvintele lui de ce „sau" e cuvântul-cheie și poate colora corect diagrama Venn. Dacă greșește la cardinal (adună orbește), reluați exercițiul 16 cu obiecte reale.

Atenție la confuzie: mulți copii încurcă reuniunea cu intersecția imediat ce învață a doua operație. Prevenția: fixați acum foarte solid asocierea reuniune ↔ „sau" ↔ colorăm tot.

Întrebări frecvente

Ce este reuniunea a două mulțimi la clasa a 6-a? Reuniunea a două mulțimi A și B, notată A ∪ B, este mulțimea formată din toate elementele care aparțin lui A sau lui B (sau ambelor). Practic, pui laolaltă toate elementele, fără să repeți pe niciunul.

Care este simbolul reuniunii mulțimilor? Simbolul este ∪, care seamănă cu litera U mare. Un truc de memorare: U vine de la „reUniune". Nu îl confunda cu ∩ (intersecția), care arată ca un U răsturnat.

Cum se citește A ∪ B? Se citește „A reunit cu B" sau „reuniunea mulțimilor A și B". Ambele variante sunt corecte și folosite la gimnaziu.

De ce nu scriem de două ori elementele comune în reuniune? Pentru că într-o mulțime, prin definiție, nu există elemente repetate. Dacă un element este în ambele mulțimi, el rămâne un singur element, deci în reuniune se scrie o singură dată.

Ce legătură are reuniunea cu cuvântul „sau"? Foarte strânsă: un element intră în A ∪ B dacă este în A sau în B. „Sau" din matematică este inclusiv, adică acceptă și cazul în care elementul este în ambele mulțimi simultan.

Cum reprezint reuniunea printr-o diagramă Venn? Desenezi cele două mulțimi ca două cercuri (de obicei care se suprapun) și colorezi întreaga suprafață acoperită de ambele cercuri, inclusiv zona comună din mijloc. Tot ce este colorat reprezintă A ∪ B.

Care sunt proprietățile reuniunii la clasa a 6-a? Trei proprietăți de bază: A ∪ B = B ∪ A (ordinea nu contează), A ∪ ∅ = A (reuniunea cu mulțimea vidă nu schimbă nimic) și A ∪ A = A (reuniunea cu ea însăși nu adaugă elemente noi).

Câte elemente are reuniunea a două mulțimi? Dacă mulțimile nu au elemente comune (sunt disjuncte), numărul de elemente al reuniunii este suma celor două. Dacă au elemente comune, acestea se numără o singură dată, deci reuniunea are mai puține elemente decât suma. Vei aprofunda acest calcul la lecția despre probleme de numărare cu diagrame Venn.