Simetricul unui punct față de un punct

Ai stat vreodată în fața unei oglinzi și ai observat că imaginea ta pare „aruncată" de cealaltă parte, exact la fel de departe? În geometrie există ceva asemănător, dar și mai precis: pornind de la un punct și de la un „centru", putem găsi un alt punct care îi este perechea, aflat la fel de departe, dar de partea cealaltă. Acesta se numește simetricul unui punct față de un punct. În această lecție de la clasa a V-a vei învăța ce înseamnă această perechere, cum o construiești cu rigla și cum se leagă totul de mijlocul unui segment, pe care l-ai studiat în lecția anterioară.

Ce vei învăța

• Vei ști să explici ce este simetricul unui punct față de un punct dat (simetria centrală).
• Vei ști să construiești cu rigla gradată simetricul unui punct față de un alt punct.
• Vei ști să recunoști că punctul de referință (centrul) este mijlocul segmentului format de un punct și simetricul lui.
• Vei ști să calculezi lungimi de segmente folosind proprietatea simetricului.
• Vei ști să rezolvi probleme practice în care apare simetria față de un punct.

Hai să descoperim împreună

O imagine din viața de zi cu zi

Imaginează-ți un teren de baschet. La mijlocul terenului există linia de centru, iar exact în mijloc se află un punct special, centrul terenului. Cele două coșuri sunt așezate „în oglindă" față de acest centru: dacă unul e la 14 metri spre stânga de centru, celălalt e la 14 metri spre dreapta, pe aceeași linie. Cele două coșuri sunt simetrice față de centrul terenului.

Sau gândește-te la o balanță cu două talere. Punctul de sprijin din mijloc ține echilibrul. Dacă pui o greutate la 20 cm în stânga, ca să fie totul echilibrat și „oglindit", perechea ei trebuie să fie la 20 cm în dreapta, pe aceeași linie dreaptă. Mijlocul balanței joacă rolul centrului de simetrie.

Exact această idee — „la fel de departe, dar de partea cealaltă, pe aceeași dreaptă" — stă la baza lecției de azi.

Reamintim un lucru important: mijlocul unui segment

În lecția Mijlocul unui segment ai învățat că mijlocul unui segment $[AB]$ este punctul $M$ de pe segment care îl împarte în două părți egale: $$AM=MB.$$

Cu alte cuvinte, $M$ este la fel de departe de $A$ ca și de $B$, iar $M$ se află între ele, pe segment. Ține minte foarte bine acest lucru, pentru că simetricul unui punct se sprijină exact pe ideea de mijloc.

Definiția simetricului unui punct față de un punct

Acum schimbăm puțin perspectiva. În loc să pornim de la un segment și să-i căutăm mijlocul, pornim de la un punct $A$ și de la un centru $O$ și căutăm „perechea" lui $A$.

Definiție. Fie un punct $A$ și un punct $O$. Numim simetricul punctului $A$ față de punctul $O$ acel punct $A^{\prime }$ pentru care $O$ este mijlocul segmentului $[A{A}^{\prime }]$.

Citește definiția încet, încă o dată. Tot misterul este ascuns în cuvintele „$O$ este mijlocul lui $[A{A}^{\prime }]$". Asta înseamnă, de fapt, două lucruri care merg împreună:

1. Punctele $A$, $O$ și $A^{\prime }$ sunt coliniare (sunt pe aceeași dreaptă), iar $O$ se află între $A$ și $A^{\prime }$.
2. Distanțele sunt egale: $$OA=O{A}^{\prime }.$$

Punctul $A^{\prime }$ se citește „A prim". Punctul $O$ se numește centru de simetrie.

Ce ne spune de fapt definiția: trei condiții simple

Ca să fim siguri că $A^{\prime }$ este chiar simetricul lui $A$ față de $O$, trebuie respectate trei lucruri în același timp. Le numesc „cele trei chei":

• Cheia 1 — aceeași dreaptă: $A$, $O$, $A^{\prime }$ sunt coliniare.
• Cheia 2 — $O$ la mijloc: $O$ se află între $A$ și $A^{\prime }$.
• Cheia 3 — distanțe egale: $OA=O{A}^{\prime }$.

Dacă lipsește măcar o cheie, $A^{\prime }$ nu este simetricul lui $A$ față de $O$. De exemplu, dacă $OA=O{A}^{\prime }$, dar punctele nu sunt pe aceeași dreaptă, atunci nu vorbim despre simetric față de un punct.

Construcția pas cu pas a simetricului

Hai să vedem, foarte răbdător, cum construim simetricul. Avem nevoie doar de o riglă gradată și de un creion ascuțit. Presupunem că ni se dau punctele $A$ și $O$.

Pasul 1. Trasăm dreapta care trece prin $A$ și prin $O$. Așezăm rigla astfel încât muchia ei să atingă ambele puncte și tragem o linie. Toate punctele importante (inclusiv $A^{\prime }$) vor sta pe această dreaptă.

Pasul 2. Măsurăm distanța de la $A$ la $O$. Punem reperul $0$ al riglei în $A$ și citim dreptul lui $O$. Să zicem că obținem $OA=3$ cm.

Pasul 3. Pornim din $O$, mergem de partea cealaltă a lui $O$ (adică în continuare, opus față de $A$) și măsurăm tot $3$ cm pe dreaptă. Marcăm acolo punctul $A^{\prime }$.

Pasul 4. Verificăm. Acum avem $OA=O{A}^{\prime }=3$ cm, iar $O$ este între $A$ și $A^{\prime }$ pe aceeași dreaptă. Toate cele trei chei sunt respectate, deci $A^{\prime }$ este chiar simetricul lui $A$ față de $O$. Gata!

Reține „rețeta" pe scurt: trasează dreapta $AO$, măsoară $OA$, du aceeași lungime de cealaltă parte a lui $O$. Atât.

Legătura magică: simetricul și mijlocul sunt două fețe ale aceleiași idei

Aici se află cea mai importantă observație a lecției. Privește din nou definiția: „$O$ este mijlocul lui $[A{A}^{\prime }]$". Înseamnă că putem citi aceeași figură în două feluri, după cum ne convine:

• Citirea 1 (pornim de la punct): dacă ni se dau $A$ și $O$, putem găsi $A^{\prime }$, simetricul lui $A$ față de $O$. Mergem de la $A$ peste $O$, la fel de departe.
• Citirea 2 (pornim de la segment): dacă ni se dau $A$ și $A^{\prime }$ și știm că $O$ e mijlocul lui $[A{A}^{\prime }]$, atunci $O$ este și centrul de simetrie. Punctul $A$ și punctul $A^{\prime }$ sunt simetrice unul altuia față de $O$.

De aici scoatem o proprietate foarte folositoare:

Dacă $A^{\prime }$ este simetricul lui $A$ față de $O$, atunci și $A$ este simetricul lui $A^{\prime }$ față de $O$. Simetria „merge în ambele sensuri".

Și încă una, la fel de utilă în probleme:

Dacă $A^{\prime }$ este simetricul lui $A$ față de $O$, atunci $$A{A}^{\prime }=2\cdot OA=2\cdot O{A}^{\prime }.$$ Întregul segment $[A{A}^{\prime }]$ are lungimea egală cu dublul distanței de la $A$ la centru. Invers, $OA$ este jumătate din $A{A}^{\prime }$.

O mică poveste ca să ținem minte

Andrei și sora lui, Maria, stau la o masă lungă, față în față, exact la aceeași distanță de lampa din mijlocul mesei. Lampa e centrul. Dacă Andrei se ridică și face trei pași spre lampă, atunci ca să rămână mereu „simetrici", Maria trebuie să facă tot trei pași spre lampă. Mereu lampa rămâne fix la mijlocul drumului dintre ei. Andrei este simetricul Mariei față de lampă, iar Maria este simetrica lui Andrei față de aceeași lampă. Centrul nu se mișcă niciodată — el doar ține echilibrul dintre cele două puncte-pereche.

Un caz special: ce se întâmplă dacă punctul este chiar centrul?

Întrebare bună de gimnaziu: care este simetricul punctului $O$ față de $O$ însuși? Dacă punem $A=O$, atunci $OA=0$, deci și $O{A}^{\prime }=0$, adică $A^{\prime }$ se suprapune peste $O$. Spunem că simetricul centrului față de el însuși este chiar centrul. Este singurul punct care este propriul lui simetric față de $O$.

Cum verificăm cu axa numerelor (un truc de calcul)

Uneori punctele stau pe o dreaptă gradată, ca axa numerelor pe care ai folosit-o la reprezentarea numerelor pe axă. Atunci putem găsi simetricul prin calcul, fără să mai măsurăm cu rigla.

Dacă $A$ are coordonata (numărul) $a$, iar centrul $O$ are coordonata $o$, atunci coordonata simetricului $A^{\prime }$ se află din ideea că $o$ este mijlocul: media dintre $a$ și coordonata lui $A^{\prime }$ trebuie să fie $o$. De aici: $$\text{coordonata lui }{A}^{\prime }=2\cdot o-a.$$

De exemplu, dacă $A$ este la $2$ și $O$ este la $5$, atunci simetricul este la $2\cdot 5-2=10-2=8$. Verificăm: de la $2$ la $5$ sunt $3$ unități, de la $5$ la $8$ sunt tot $3$ unități. Perfect.

Nu trebuie să memorezi formula pe de rost — e suficient să înțelegi că de la $A$ la $O$ și de la $O$ la $A^{\prime }$ faci „același salt", doar în continuare.

De ce este utilă simetria față de un punct?

Poate te întrebi: la ce îmi folosește, dincolo de teme? Simetria față de un punct apare peste tot, chiar dacă nu o numim mereu așa. Acele unui ceas la ora $6$ și la ora $12$ trec amândouă prin centrul cadranului și sunt simetrice față de el. Roata unei biciclete are spițele așezate în perechi simetrice față de butuc (centrul roții). Literele $S$, $N$ și $Z$ rămân la fel dacă le rotești cu o jumătate de rotație în jurul centrului lor — tocmai pentru că fiecare punct al lor are perechea simetrică față de centru. Chiar și pe tabla de șah, dacă numerotezi pătrățelele, fiecare are un „geamăn" simetric față de mijlocul tablei.

Înțelegerea acestei idei te pregătește pentru lecții viitoare mai mari: simetria centrală ca transformare a planului, paralelogramul (ale cărui diagonale se taie chiar în mijlocul lor, deci vârfurile opuse sunt simetrice față de punctul de intersecție) și mai târziu geometria cu coordonate. Cu cât prinzi mai bine acum legătura „simetric = centrul e mijloc", cu atât mai ușor îți va fi mai târziu.

Trei întrebări pe care să ți le pui la fiecare problemă

Când dai peste o problemă cu simetric față de un punct, oprește-te și răspunde la trei întrebări scurte. Te scapă de aproape toate greșelile:

1. Cine este centrul? Caută cuvântul „față de" — punctul de după el este centrul $O$. El stă mereu la mijloc.
2. Ce cunosc: o jumătate sau întregul? Dacă știu $OA$ (o jumătate) și vreau $A{A}^{\prime }$ (întregul), înmulțesc cu $2$. Dacă știu $A{A}^{\prime }$ și vreau $OA$, împart la $2$.
3. În ce ordine sunt punctele pe dreaptă? Fă un desen rapid. Adună sau scade distanțele exact în ordinea în care apar punctele, niciodată la întâmplare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Construcție simplă

Enunț. Se dau punctele $A$ și $O$ astfel încât $OA=4$ cm. Construiește simetricul $A^{\prime }$ al punctului $A$ față de $O$.

Rezolvare.

1. Trasăm dreapta $AO$ și o prelungim dincolo de $O$.
2. Știm că $OA=4$ cm.
3. De la $O$, în sens opus lui $A$, măsurăm $4$ cm și marcăm $A^{\prime }$.
4. Acum $O$ este mijlocul lui $[A{A}^{\prime }]$, deci $A^{\prime }$ este simetricul cerut.

Lungimea întregului segment este $A{A}^{\prime }=4+4=8$ cm.

Exemplul 2 — Calculul lungimii întregului segment

Enunț. Punctul $B^{\prime }$ este simetricul punctului $B$ față de punctul $O$. Știm că $OB=7$ cm. Cât este lungimea segmentului $[B{B}^{\prime }]$?

Rezolvare. Din definiție, $O$ este mijlocul lui $[B{B}^{\prime }]$, deci $OB=O{B}^{\prime }=7$ cm. Atunci: $$B{B}^{\prime }=OB+O{B}^{\prime }=7+7=14\text{ cm}.$$ Putem scrie mai scurt: $B{B}^{\prime }=2\cdot OB=2\cdot 7=14$ cm.

Răspuns: $B{B}^{\prime }=14$ cm.

Exemplul 3 — Aflarea distanței până la centru

Enunț. Punctul $P^{\prime }$ este simetricul lui $P$ față de $O$, iar segmentul $[P{P}^{\prime }]$ are lungimea $18$ cm. Cât este $OP$?

Rezolvare. Centrul $O$ este mijlocul lui $[P{P}^{\prime }]$, deci împarte segmentul în două părți egale: $$OP=O{P}^{\prime }=\frac{P{P}^{\prime }}{2}=\frac{18}{2}=9\text{ cm}.$$

Răspuns: $OP=9$ cm. (Observă cum aici facem invers față de Exemplul 2: în loc să dublăm, împărțim la $2$.)

Exemplul 4 — Pe axa numerelor

Enunț. Pe o dreaptă gradată, punctul $C$ este la diviziunea $3$, iar centrul $O$ la diviziunea $7$. Găsește diviziunea la care se află simetricul $C^{\prime }$ al lui $C$ față de $O$.

Rezolvare. De la $C(3)$ la $O(7)$ sunt $7-3=4$ unități. Mergem încă $4$ unități dincolo de $O$, de partea cealaltă: $$7+4=11.$$ Deci $C^{\prime }$ se află la diviziunea $11$. Verificare: $O$ este la mijloc între $3$ și $11$, pentru că $\frac{3+11}{2}=\frac{14}{2}=7$. Corect.

Răspuns: $C^{\prime }$ este la diviziunea $11$.

Exemplul 5 — Aflarea centrului

Enunț. Pe axa numerelor, $D$ este la diviziunea $2$, iar simetricul său $D^{\prime }$ este la diviziunea $14$. Unde se află centrul de simetrie $O$?

Rezolvare. Centrul este mijlocul segmentului $[D{D}^{\prime }]$, deci este la media celor două diviziuni: $$O=\frac{2+14}{2}=\frac{16}{2}=8.$$

Răspuns: $O$ este la diviziunea $8$. Verificare: de la $2$ la $8$ sunt $6$ unități, de la $8$ la $14$ sunt tot $6$ unități. Egale, deci corect.

Exemplul 6 — Două simetrice deodată (mică problemă de raționament)

Enunț. Pe o dreaptă sunt, în ordine, punctele $A$, $O$, $A^{\prime }$, unde $A^{\prime }$ este simetricul lui $A$ față de $O$ și $OA=5$ cm. Pe aceeași dreaptă, mai departe de $A^{\prime }$, se află un punct $B$ astfel încât $A^{\prime }B=3$ cm. Cât este distanța $AB$?

Rezolvare. Mergem pas cu pas pe dreaptă, de la $A$ spre dreapta:

• de la $A$ la $O$: $5$ cm;
• de la $O$ la $A^{\prime }$: tot $5$ cm (pentru că $A^{\prime }$ e simetricul lui $A$ față de $O$);
• de la $A^{\prime }$ la $B$: $3$ cm.

Punctele sunt în ordinea $A,O,A^{\prime },B$ pe aceeași dreaptă, deci adunăm distanțele: $$AB=AO+O{A}^{\prime }+A^{\prime }B=5+5+3=13\text{ cm}.$$

Răspuns: $AB=13$ cm.

Exemplul 7 — Mergem invers: aflăm punctul de plecare

Enunț. Pe axa numerelor, centrul $O$ este la diviziunea $10$, iar simetricul $A^{\prime }$ al lui $A$ față de $O$ este la diviziunea $4$. La ce diviziune se află punctul $A$?

Rezolvare. De data aceasta cunoaștem centrul și simetricul și căutăm punctul de la care am pornit. Folosim aceeași idee: $O$ este mijlocul lui $[A{A}^{\prime }]$, deci de la $A$ la $O$ și de la $O$ la $A^{\prime }$ facem același salt. De la $O(10)$ la $A^{\prime }(4)$ coborâm $10-4=6$ unități. Atunci, ca să ajungem la $A$, urcăm de la $O$ tot $6$ unități în partea cealaltă: $$10+6=16.$$ Deci $A$ este la diviziunea $16$. Putem folosi și formula coordonatei: coordonata lui $A=2\cdot o-a^{\prime }=2\cdot 10-4=20-4=16$. Verificare: media dintre $4$ și $16$ este $\frac{4+16}{2}=\frac{20}{2}=10$, adică exact $O$. Corect.

Răspuns: $A$ este la diviziunea $16$. (Reține: relația de simetrie merge în ambele sensuri, așa că „a afla $A^{\prime }$ din $A$" și „a afla $A$ din $A^{\prime }$" se rezolvă identic.)

Exemplul 8 — Un punct ajutător la mijlocul unei jumătăți

Enunț. Pe o dreaptă sunt, în ordine, punctele $A$, $O$, $A^{\prime }$, unde $A^{\prime }$ este simetricul lui $A$ față de $O$ și $OA=6$ cm. Fie $T$ mijlocul segmentului $[O{A}^{\prime }]$. Cât este distanța $AT$?

Rezolvare. Desenăm întâi punctele în ordine pe dreaptă și notăm distanțele cunoscute:

• $AO=6$ cm;
• $O{A}^{\prime }=6$ cm (pentru că $A^{\prime }$ este simetricul lui $A$ față de $O$).

Punctul $T$ este mijlocul lui $[O{A}^{\prime }]$, deci împarte bucata $O{A}^{\prime }$ în două părți egale: $$OT=\frac{O{A}^{\prime }}{2}=\frac{6}{2}=3\text{ cm}.$$ Punctele sunt în ordinea $A,O,T,A^{\prime }$ pe aceeași dreaptă, iar $T$ se află între $O$ și $A^{\prime }$. Atunci: $$AT=AO+OT=6+3=9\text{ cm}.$$

Răspuns: $AT=9$ cm. Problema arată cum se combină ideea de simetric cu cea de mijloc în aceeași figură — exact tipul de raționament cerut la gimnaziu.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Acolo unde ți se cere, folosește rigla gradată. Exercițiile sunt așezate de la ușor la greu.

1. Completează: Simetricul punctului $A$ față de punctul $O$ este punctul $A^{\prime }$ pentru care $O$ este ............ segmentului $[A{A}^{\prime }]$.

2. Adevărat sau fals? Dacă $A^{\prime }$ este simetricul lui $A$ față de $O$, atunci $OA=O{A}^{\prime }$.

3. Adevărat sau fals? Simetricul punctului $O$ față de $O$ este chiar punctul $O$.

4. Încercuiește varianta corectă. Pentru ca $A^{\prime }$ să fie simetricul lui $A$ față de $O$, punctele $A$, $O$, $A^{\prime }$ trebuie să fie: a) pe drepte diferite; b) coliniare, cu $O$ la mijloc; c) coliniare, cu $A$ la mijloc.

5. Desenează un punct $A$ și un punct $O$ cu $OA=3$ cm. Construiește simetricul $A^{\prime }$ al lui $A$ față de $O$.

6. Punctul $M^{\prime }$ este simetricul lui $M$ față de $O$, iar $OM=6$ cm. Cât este $O{M}^{\prime }$? Dar $M{M}^{\prime }$?

7. Punctul $N^{\prime }$ este simetricul lui $N$ față de $O$, iar $N{N}^{\prime }=20$ cm. Cât este $ON$?

8. Pe axa numerelor, $E$ este la diviziunea $4$ și $O$ la diviziunea $9$. La ce diviziune se află simetricul $E^{\prime }$ al lui $E$ față de $O$?

9. Pe axa numerelor, $F$ este la diviziunea $1$ și simetricul $F^{\prime }$ la diviziunea $11$. La ce diviziune se află centrul $O$?

10. Potrivește fiecare situație cu rezultatul corect (centrul este $O$): a) $OA=5$ cm → ... b) $OA=8$ cm → ... c) $OA=11$ cm → ... Rezultate (lungimea lui $A{A}^{\prime }$): I) $22$ cm; II) $10$ cm; III) $16$ cm.

11. Adevărat sau fals? Dacă $A^{\prime }$ este simetricul lui $A$ față de $O$, atunci și $A$ este simetricul lui $A^{\prime }$ față de $O$.

12. Pe o dreaptă, în ordine, sunt punctele $A$, $O$, $A^{\prime }$, cu $A^{\prime }$ simetricul lui $A$ față de $O$ și $OA=7$ cm. Cât este $A{A}^{\prime }$?

13. Construiește un segment $[CD]$ cu $CD=8$ cm și marchează mijlocul $O$. Care este simetricul lui $C$ față de $O$? Explică în cuvinte.

14. Pe axa numerelor, $G$ este la $6$ și $O$ la $6$. Unde este simetricul $G^{\prime }$ al lui $G$ față de $O$?

15. Mică problemă. Pe o stradă dreaptă, statuia (punctul $S$) și o fântână (punctul $S^{\prime }$) sunt simetrice față de un felinar $O$ aflat la mijloc. Statuia este la $25$ m de felinar. La ce distanță una de alta se află statuia și fântâna?

16. Pe o dreaptă, în ordine, sunt punctele $A$, $O$, $A^{\prime }$, $B$. Știm că $A^{\prime }$ este simetricul lui $A$ față de $O$, $OA=9$ cm și $A^{\prime }B=4$ cm. Cât este $AB$?

17. Pe axa numerelor, $H$ este la diviziunea $20$, iar simetricul $H^{\prime }$ este la diviziunea $8$. La ce diviziune se află centrul $O$?

18. Desenează trei puncte coliniare $A$, $O$, $B$ astfel încât $OA=OB=2,5$ cm și $O$ să fie între $A$ și $B$. Este $B$ simetricul lui $A$ față de $O$? Justifică.

19. Pe axa numerelor, centrul $O$ este la diviziunea $12$, iar simetricul $K^{\prime }$ al punctului $K$ față de $O$ este la diviziunea $5$. La ce diviziune se află punctul $K$?

20. Pe o dreaptă sunt, în ordine, punctele $A$, $O$, $A^{\prime }$, cu $A^{\prime }$ simetricul lui $A$ față de $O$ și $OA=8$ cm. Fie $T$ mijlocul segmentului $[O{A}^{\prime }]$. Cât este distanța $AT$?

Răspunsuri și explicații

1. mijlocul. Definiția spune că $O$ este mijlocul segmentului $[A{A}^{\prime }]$.

2. Adevărat. Din definiție, $O$ fiind la mijloc, distanțele până la capete sunt egale: $OA=O{A}^{\prime }$.

3. Adevărat. Dacă $A=O$, atunci $OA=0$, deci și simetricul cade peste $O$. Centrul este propriul său simetric.

4. b) coliniare, cu $O$ la mijloc. $O$ trebuie să fie între $A$ și $A^{\prime }$, la egală distanță de ele.

5. Trasezi dreapta $AO$, măsori $OA=3$ cm, apoi de la $O$ în sens opus mai măsori $3$ cm și marchezi $A^{\prime }$. Verifici că $OA=O{A}^{\prime }=3$ cm. (Construcție corectă dacă $A{A}^{\prime }=6$ cm.)

6. $O{M}^{\prime }=6$ cm (egal cu $OM$, fiindcă $O$ e mijloc). $M{M}^{\prime }=6+6=12$ cm $=2\cdot 6$.

7. $ON=\frac{N{N}^{\prime }}{2}=\frac{20}{2}=10$ cm. Centrul împarte segmentul în două părți egale.

8. De la $4$ la $9$ sunt $5$ unități; încă $5$ dincolo de $9$ dau $9+5=14$. Deci $E^{\prime }$ este la diviziunea $14$. Verificare: media dintre $4$ și $14$ este $9$.

9. $O=\frac{1+11}{2}=\frac{12}{2}=6$. Centrul este la diviziunea $6$.

10. Folosim $A{A}^{\prime }=2\cdot OA$: a) $2\cdot 5=10\Rightarrow$ II; b) $2\cdot 8=16\Rightarrow$ III; c) $2\cdot 11=22\Rightarrow$ I. Deci a–II, b–III, c–I.

11. Adevărat. Simetria față de un punct merge în ambele sensuri: dacă $A^{\prime }$ este simetricul lui $A$, atunci $A$ este simetricul lui $A^{\prime }$, mereu față de același centru $O$.

12. $A{A}^{\prime }=2\cdot OA=2\cdot 7=14$ cm.

13. Mijlocul lui $[CD]$ este $O$, deci $OC=OD=4$ cm și $O$ este între $C$ și $D$. Atunci $D$ este chiar simetricul lui $C$ față de $O$, pentru că $O$ este mijlocul lui $[CD]$ (toate cele trei chei sunt respectate).

14. $G$ și $O$ sunt în același loc ($6$). Simetricul $G^{\prime }$ cade tot la diviziunea $6$. (Simetricul centrului față de el însuși este centrul.)

15. Felinarul este mijlocul, deci fântâna este și ea la $25$ m de felinar, de partea cealaltă. Distanța dintre statuie și fântână este $25+25=50$ m.

16. Pe dreaptă, în ordine: $A,O,A^{\prime },B$. Avem $AO=9$, $O{A}^{\prime }=9$ (simetric), $A^{\prime }B=4$. Deci $AB=9+9+4=22$ cm.

17. $O=\frac{20+8}{2}=\frac{28}{2}=14$. Centrul este la diviziunea $14$. Verificare: de la $8$ la $14$ sunt $6$, de la $14$ la $20$ sunt $6$.

18. Da, $B$ este simetricul lui $A$ față de $O$. Sunt respectate toate cele trei chei: punctele sunt coliniare, $O$ este între $A$ și $B$, iar $OA=OB=2,5$ cm. Deci $O$ este mijlocul lui $[AB]$.

19. De la $O(12)$ la $K^{\prime }(5)$ coborâm $12-5=7$ unități; mergem tot $7$ unități de partea cealaltă a lui $O$: $12+7=19$. Sau cu formula: $2\cdot 12-5=24-5=19$. $K$ este la diviziunea $19$. Verificare: media dintre $5$ și $19$ este $\frac{5+19}{2}=12$.

20. $O{A}^{\prime }=OA=8$ cm. $T$ este mijlocul lui $[O{A}^{\prime }]$, deci $OT=\frac{8}{2}=4$ cm. Pe dreaptă, în ordinea $A,O,T,A^{\prime }$, avem $AT=AO+OT=8+4=12$ cm.

De reținut

• Simetricul lui $A$ față de $O$ este punctul $A^{\prime }$ pentru care $O$ este mijlocul lui $[A{A}^{\prime }]$.
• Asta înseamnă trei lucruri împreună: $A$, $O$, $A^{\prime }$ coliniare, $O$ între ele, și $OA=O{A}^{\prime }$.
• Construcția: trasezi dreapta $AO$, măsori $OA$, duci aceeași lungime de cealaltă parte a lui $O$.
• Lungimi utile: $A{A}^{\prime }=2\cdot OA$ (dublul), iar $OA=\frac{A{A}^{\prime }}{2}$ (jumătatea).
• Simetria merge în ambele sensuri: dacă $A^{\prime }$ e simetricul lui $A$, atunci $A$ e simetricul lui $A^{\prime }$ față de același $O$.

Greșeli frecvente

• Confuzia „doar egale distanțe". Mulți elevi cred că e suficient ca $OA=O{A}^{\prime }$. Nu! Punctele trebuie să fie și coliniare, cu $O$ între ele. Două puncte la aceeași distanță de $O$, dar pe drepte diferite, nu sunt simetrice față de $O$. Cum eviți: verifică mereu toate cele trei chei.
• Măsurarea în direcția greșită. Unii duc lungimea $OA$ tot în partea în care e $A$, nu în partea opusă. Atunci $A^{\prime }$ ar cădea peste $A$. Cum eviți: simetricul stă de cealaltă parte a centrului, „peste" $O$.
• Confuzia dublu / jumătate. Când ai $OA$ și vrei $A{A}^{\prime }$, înmulțești cu 2; când ai $A{A}^{\prime }$ și vrei $OA$, împarți la 2. Cum eviți: desenează rapid segmentul cu $O$ la mijloc și „vezi" că $[A{A}^{\prime }]$ are două bucăți egale.
• Uitarea ordinii punctelor pe dreaptă. La problemele cu mai multe puncte ($A,O,A^{\prime },B$), elevii adună sau scad la întâmplare. Cum eviți: fă întâi un desen cu punctele în ordinea corectă, apoi adună distanțele bucățică cu bucățică.

Joc acasă

1. Simetria cu un creion și o gumă. Pune pe masă o gumă mică — ea va fi centrul $O$. Așază un capac de sticlă (punctul $A$) la $10$ cm în stânga gumei, măsurând cu rigla pe o linie dreaptă. Provocare: așază un al doilea capac exact în poziția simetrică, adică la $10$ cm în dreapta gumei, pe aceeași linie. Verifică cu rigla că guma e fix la mijloc. Apoi mută primul capac mai aproape și mută-l și pe al doilea ca să rămână mereu simetrice.

2. Vânătoarea de simetrii din casă. Plimbă-te prin casă și caută obiecte care au un „centru" în jurul căruia lucrurile par oglindite: cadranul unui ceas (cifrele $12$ și $6$ față de centru), o fereastră cu mâner la mijloc, o tablă de șah. Notează trei exemple și, pentru fiecare, indică unde ar fi centrul de simetrie.

3. Harta comorii. Desenează pe o foaie două puncte: „intrarea" ($A$) și „felinarul" ($O$). Comoara se află în simetricul intrării față de felinar. Construiește-o cu rigla, marchează $A^{\prime }$ și roagă un membru al familiei să verifice că felinarul este la mijlocul drumului dintre intrare și comoară.

Pentru părinți și învățători

Această lecție îl ajută pe elev să facă saltul de la „mijlocul unui segment" (lecția anterioară) la ideea de simetrie centrală, una dintre cele mai elegante idei din geometria de gimnaziu. Cheia pedagogică: nu lăsați copilul să memoreze o rețetă, ci asigurați-vă că poate explica de ce $O$ trebuie să fie mijloc.

Întrebări bune pe care le puteți pune:

• „De ce nu e suficient ca cele două puncte să fie la aceeași distanță de $O$?" (Răspuns așteptat: trebuie să fie și pe aceeași dreaptă, cu $O$ între ele.)
• „Dacă mut punctul $A$ mai departe de centru, ce se întâmplă cu $A^{\prime }$?" (Și el se duce mai departe, mereu la fel de departe ca $A$.)
• „Cum aflu lungimea întregului segment dacă știu doar distanța până la centru?" (O dublez.)

Cum sprijiniți elevul: lăsați-l să construiască cu rigla, nu doar pe hârtie milimetrică. Verificarea finală cea mai bună este să măsoare $OA$ și $O{A}^{\prime }$ și să constate egalitatea. Pentru elevii mai avansați, treceți pe axa numerelor (Exemplele 4 și 5): legătura cu media aritmetică, $O=\frac{a+a^{\prime }}{2}$, consolidează atât geometria, cât și aritmetica.

Cum verificați că a înțeles: dați-i un punct și un centru și cereți construcția; apoi dați-i un segment cu mijloc marcat și întrebați „care punct e simetricul cui?". Dacă recunoaște că relația de simetrie este reciprocă (merge în ambele sensuri), a prins esența.

Întrebări frecvente

Ce este simetricul unui punct față de un punct la clasa a V-a? Este punctul $A^{\prime }$ care se află de partea opusă a centrului $O$, pe aceeași dreaptă cu $A$ și $O$, la aceeași distanță de $O$ ca și $A$. Pe scurt, $O$ este mijlocul segmentului $[A{A}^{\prime }]$.

Care este diferența dintre simetricul unui punct și mijlocul unui segment? Sunt două fețe ale aceleiași idei. Mijlocul pornește de la un segment dat și caută punctul din centru. Simetricul pornește de la un punct și de la un centru și caută „perechea" de partea cealaltă. În ambele, centrul este la mijloc, la egală distanță de capete.

Cum construiesc simetricul unui punct față de un punct dat? Trasezi dreapta care trece prin punct și prin centru, măsori distanța de la punct la centru, apoi duci aceeași distanță de cealaltă parte a centrului și marchezi acolo simetricul. Ai nevoie doar de riglă gradată.

Cum aflu lungimea segmentului dacă știu distanța până la centru? Înmulțești cu $2$. Dacă $A^{\prime }$ este simetricul lui $A$ față de $O$ și $OA$ este, de exemplu, $7$ cm, atunci întregul segment $A{A}^{\prime }=2\cdot 7=14$ cm, pentru că centrul îl împarte în două bucăți egale.

Ce este simetria centrală? Este transformarea prin care fiecare punct este dus în simetricul său față de un centru fix $O$. La clasa a V-a o întâlnim intuitiv: orice punct $A$ are o pereche $A^{\prime }$ pentru care $O$ este mijlocul lui $[A{A}^{\prime }]$.

Care este simetricul centrului față de el însuși? Este chiar centrul. Dacă punctul coincide cu $O$, distanța până la $O$ este zero, deci și simetricul cade exact peste $O$. Este singurul punct care este propriul lui simetric.

Cum găsesc simetricul unui punct pe axa numerelor? Vezi câte unități sunt de la punct la centru, apoi mergi tot atâtea unități de cealaltă parte a centrului. De exemplu, simetricul lui $3$ față de $7$ este $11$, pentru că de la $3$ la $7$ sunt $4$ unități și încă $4$ dincolo de $7$ duc la $11$.

Relația de simetrie merge în ambele sensuri? Da. Dacă $A^{\prime }$ este simetricul lui $A$ față de $O$, atunci și $A$ este simetricul lui $A^{\prime }$ față de același centru $O$. Cele două puncte sunt perechi unul pentru celălalt.