Semidreapta și segmentul

În lecția trecută ai cunoscut dreapta — o linie dreaptă care nu se termină niciodată, nici într-o parte, nici în alta. Acum facem un pas important: ce se întâmplă dacă „tăiem" dreapta și păstrăm doar o bucată din ea? Așa se nasc două figuri geometrice noi și extrem de folositoare: semidreapta și segmentul. Le întâlnești zilnic, fără să-ți dai seama: marginea unui creion, raza unui far, traseul unui pix pe foaie. Hai să le descoperim cu rigoare și să învățăm cum le reprezentăm și cum le notăm corect.

Ce vei învăța

• Vei ști să descrii ce este o semidreaptă, unde are originea și cum o reprezinți pe hârtie.
• Vei ști să notezi corect o semidreaptă și un segment de dreaptă, folosind notația de gimnaziu.
• Vei ști să recunoști capetele unui segment și să identifici punctele interioare ale lui.
• Vei ști să faci deosebirea dintre dreaptă, semidreaptă și segment doar privind desenul și notația.
• Vei ști să desenezi rapid, cu rigla, oricare dintre aceste trei figuri geometrice.

Hai să descoperim împreună

Pornim de la dreaptă

Îți amintești: o dreaptă este o linie dreaptă, nesfârșită în ambele direcții. Pe foaie nu putem desena o dreaptă întreagă (ar trebui o foaie infinită!), așa că desenăm doar o porțiune și punem săgeți la ambele capete, ca să arătăm că ea continuă la nesfârșit și într-o parte, și în cealaltă. O notăm cu o literă mică: dreapta $d$. Sau, dacă trece prin două puncte $A$ și $B$, o notăm dreapta $AB$.

Acum vine întrebarea cheie a lecției: ce se întâmplă dacă oprim dreapta dintr-o parte sau din amândouă? Obținem figuri noi.

Semidreapta: jumătate de dreaptă

Imaginează-ți o lanternă puternică, pe care o aprinzi într-o cameră întunecată. Lumina pornește dintr-un singur loc — becul lanternei — și apoi merge înainte, drept, cât de departe poate. Are un punct de plecare clar, dar nu are un capăt în față: lumina „pleacă" și nu se mai întoarce.

Exact așa arată o semidreaptă: o linie dreaptă care pornește dintr-un punct și merge la nesfârșit într-o singură direcție.

Definiție. O semidreaptă este o porțiune dintr-o dreaptă care are un punct de plecare (numit origine) și se prelungește nelimitat într-o singură direcție.

Punctul de plecare se numește originea semidreptei. Cuvântul „semi" înseamnă „jumătate" — de aceea semidreapta se mai numește, intuitiv, jumătate de dreaptă. Dacă iei o dreaptă și pui un punct pe ea, acel punct o împarte în două semidrepte, ca două raze de lumină care pleacă în direcții opuse din același bec.

Cum recunoști o semidreaptă în desen? Foarte simplu: are un capăt fix (un punct desenat clar, originea) și o singură săgeată, la celălalt capăt, care arată că merge la infinit.

Notația semidreptei

Pentru a nota o semidreaptă avem nevoie de două puncte:

• originea (de unde pleacă);
• încă un punct prin care trece, ca să știm în ce direcție merge.

Dacă originea este $O$ și semidreapta trece și prin punctul $A$, scriem:

$$[OA$$

Observă cu atenție: avem o paranteză dreaptă „[" în partea originii (pentru că originea este inclusă, este un capăt real) și nimic, deschis, în partea săgeții (pentru că acolo figura nu se termină). Citim: „semidreapta $OA$".

Atenție la ordine! La semidreaptă, prima literă este întotdeauna originea. Așadar $[OA$ și $[AO$ sunt două semidrepte diferite: prima pornește din $O$ spre $A$, a doua pornește din $A$ spre $O$. Ordinea literelor contează!

Semidrepte opuse

Există un caz special, foarte des întâlnit, pe care merită să-l reții bine de pe acum. Dacă pe o dreaptă alegi un singur punct $O$, el împarte dreapta în două semidrepte care au aceeași origine $O$ și pleacă în direcții opuse. Aceste două semidrepte se numesc semidrepte opuse.

Gândește-te la un stâlp de iluminat așezat în mijlocul unei străzi drepte și lungi: de la stâlp poți porni cu privirea spre un capăt al străzii sau spre celălalt. Sunt două „drumuri" care încep din exact același loc, dar merg invers. Puse cap la cap, cele două semidrepte opuse refac întreaga dreaptă: nicio bucată nu lipsește și nimic nu se suprapune, în afară de punctul comun $O$.

De reținut: două semidrepte sunt opuse dacă au aceeași origine și formează împreună o dreaptă. De pildă, dacă pe dreapta $AB$ iei un punct $O$ între $A$ și $B$, atunci $[OA$ și $[OB$ sunt semidrepte opuse.

Segmentul de dreaptă: o bucată cu două capete

Acum oprim dreapta din amândouă părțile. Ce obținem? O bucată mărginită, cu un început și un sfârșit. Aceasta este o legătură dreaptă între două puncte.

Gândește-te la o riglă de plastic: are un capăt în stânga și un capăt în dreapta, iar între ele este o linie dreaptă, fără găuri. Sau gândește-te la o sfoară întinsă perfect între doi pari, sau la creionul de pe banca ta. Toate acestea sunt modele de segment.

Definiție. Un segment de dreaptă (sau, pe scurt, segment) este porțiunea dintr-o dreaptă cuprinsă între două puncte, inclusiv acele două puncte. Cele două puncte se numesc capetele (sau extremitățile) segmentului.

Un segment are deci două capete fixe și o lungime bine determinată. Spre deosebire de dreaptă și de semidreaptă, segmentul nu merge la infinit nicăieri — de aceea nu are nicio săgeată în desen.

Notația segmentului

Segmentul cu capetele $A$ și $B$ se notează:

$$[AB]$$

De data aceasta avem paranteze drepte la ambele capete: „[" la stânga și „]" la dreapta. Asta arată că amândouă punctele $A$ și $B$ fac parte din segment și că figura se oprește exact acolo. Citim: „segmentul $AB$".

La segment, ordinea literelor nu mai contează: $[AB]$ și $[BA]$ reprezintă același segment, pentru că este vorba de aceeași bucată de dreaptă, doar parcursă în sens invers. Drumul dintre casă și școală este același, fie că-l numim „casă–școală", fie „școală–casă".

De reținut despre notații:

• dreapta $AB$ — fără paranteze, săgeți în ambele părți;
• semidreapta $[AB$ — paranteză doar la origine, săgeată într-o parte;
• segmentul $[AB]$ — paranteze la ambele capete, fără săgeți.

Punctele interioare ale unui segment

Imaginează-ți segmentul $[AB]$ ca pe un drum drept între două orașe, $A$ și $B$. Orice oprire pe care o faci între cele două orașe, fără să fii chiar în $A$ sau chiar în $B$, este un punct interior al segmentului.

Definiție. Un punct care se află pe segmentul $[AB]$, dar nu coincide cu niciunul dintre capete (nici cu $A$, nici cu $B$), se numește punct interior al segmentului.

De exemplu, dacă punctul $M$ se află pe segment, între $A$ și $B$, spunem că $M$ este un punct interior și scriem că $M\in [AB]$ (citim: „$M$ aparține segmentului $AB$"), iar $M$ se află între $A$ și $B$.

Capetele $A$ și $B$ aparțin și ele segmentului, dar nu sunt puncte interioare — ele sunt extremitățile, „marginile" drumului. Un punct $P$ care se află pe dreapta $AB$, dar dincolo de capete (mai departe de $B$, de exemplu), nu aparține segmentului $[AB]$: el este în afara lui.

Câte puncte interioare are un segment? O infinitate! Oricât de aproape ai pune două puncte unul de altul pe segment, mereu mai încape unul între ele. Asta arată că segmentul, deși are lungime mărginită, este „plin" de puncte.

Citim orice notație pas cu pas

Există un truc simplu prin care nu mai greșești niciodată când vezi o scriere ca $AB$, $[AB$ sau $[AB]$. Pune-ți, în ordine, două întrebări scurte:

1. Câte paranteze drepte văd? Numără semnele „[" și „]".
   • 0 paranteze → este o dreaptă. Merge la infinit în ambele părți.
   • 1 paranteză (doar „[", la stânga) → este o semidreaptă. Are o origine și o săgeată.
   • 2 paranteze („[" și „]") → este un segment. Are două capete fixe și nicio săgeată.
2. Dacă e semidreaptă, lângă care literă stă paranteza? Acela este punctul de plecare — originea. Săgeata pleacă de la ea spre cealaltă literă.

Hai să folosim acest truc pe câteva exemple, fără să mai desenăm nimic:

• $[MN]$ — văd două paranteze → segment, cu capetele $M$ și $N$.
• $[MN$ — văd o paranteză, lângă $M$ → semidreaptă cu originea $M$, îndreptată spre $N$.
• $MN$ — nicio paranteză → dreapta $MN$.

Cu aceste două întrebări poți „traduce" orice notație în cuvinte și, invers, poți scrie singur notația potrivită: numeri câte capete vrei să aibă figura și pui tot atâtea paranteze. Acesta este, de fapt, secretul întregii lecții.

Cele trei figuri, una lângă alta — deosebirea

Hai să le punem față în față, pentru ca deosebirea dintre dreaptă, semidreaptă și segment să-ți rămână clară pentru totdeauna. Cheia stă în câte capete au și în câte săgeți desenăm.

O analogie care ajută:

• Dreapta = o autostradă nesfârșită, fără început și fără sfârșit.
• Semidreapta = o autostradă care pleacă dintr-un oraș și merge la nesfârșit într-o direcție.
• Segmentul = drumul concret dintre două orașe, cu plecare și sosire.

Cum desenezi corect, cu rigla

Geometria se învață și cu mâna, nu doar cu mintea. Iată pașii:

Pentru o semidreaptă $[OA$:

1. Marchează cu creionul un punct și notează-l $O$ (originea).
2. Așază rigla astfel încât marginea ei să treacă prin $O$.
3. Trasează o linie de la $O$ într-o direcție și pune o săgeată la capătul ei.
4. Marchează pe linie un al doilea punct, $A$, ca să arăți direcția. Gata!

Pentru un segment $[AB]$:

1. Marchează două puncte, $A$ și $B$.
2. Așază rigla cu marginea peste amândouă.
3. Unește-le cu o linie dreaptă, oprindu-te fix la fiecare capăt — fără săgeți.
4. Îngroașă ușor punctele $A$ și $B$, ca să se vadă că sunt capetele.

Vei folosi aceste figuri în multe lecții care urmează: la puncte coliniare, la distanța dintre două puncte și lungimea unui segment și la mijlocul unui segment. De aceea e foarte important să stăpânești bine notațiile de acum.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citim corect notațiile

Cerință: Spune ce reprezintă fiecare scriere: (a) $AB$; (b) $[AB$; (c) $[AB]$.

Rezolvare. Ne uităm la paranteze și la ce reprezintă fiecare semn.

• (a) $AB$, scris fără paranteze, este dreapta $AB$ — nesfârșită în ambele direcții, cu două săgeți în desen.
• (b) $[AB$, cu paranteză dreaptă doar la $A$, este semidreapta $AB$, cu originea $A$; pleacă din $A$ spre $B$ și merge la infinit în acea direcție.
• (c) $[AB]$, cu paranteze la ambele capete, este segmentul $AB$, mărginit de capetele $A$ și $B$.

Răspuns: dreaptă, semidreaptă (origine $A$), segment.

Exemplul 2 — Originea contează la semidreaptă

Cerință: Punctul $O$ se află pe o dreaptă, iar $M$ este un alt punct al ei. Sunt $[OM$ și $[MO$ aceeași semidreaptă? Dar segmentele $[OM]$ și $[MO]$?

Rezolvare. La semidreaptă, prima literă este originea. La $[OM$ originea este $O$ (pleacă din $O$ către $M$). La $[MO$ originea este $M$ (pleacă din $M$ către $O$, adică în direcția opusă). Deci sunt două semidrepte diferite.

La segment, ordinea nu contează, pentru că este aceeași bucată de dreaptă. Deci $[OM]=[MO]$ — același segment.

Răspuns: $[OM\ne [MO$ (semidrepte diferite); $[OM]=[MO]$ (același segment).

Exemplul 3 — Puncte interioare

Cerință: Pe segmentul $[AB]$ se află punctele $C$ și $D$, în această ordine: $A$, $C$, $D$, $B$. (a) Care sunt capetele segmentului? (b) Care sunt punctele interioare? (c) Aparține punctul $C$ segmentului $[AB]$?

Rezolvare.

• (a) Capetele sunt punctele de la margini: $A$ și $B$.
• (b) Punctele interioare sunt cele dintre capete, fără să fie capete: $C$ și $D$.
• (c) Da, $C$ se află pe segment, între $A$ și $B$, deci $C\in [AB]$. (Este chiar un punct interior.)

Răspuns: capete $A$, $B$; interioare $C$, $D$; $C\in [AB]$.

Exemplul 4 — Un punct împarte dreapta în două semidrepte

Cerință: Pe o dreaptă $d$ se ia punctul $O$. Câte semidrepte determină $O$ pe dreaptă și cum sunt ele una față de cealaltă?

Rezolvare. Punctul $O$ „taie" dreapta în două bucăți care pleacă din $O$ în direcții opuse. Fiecare bucată are originea $O$ și merge la infinit. Deci $O$ determină două semidrepte, cu aceeași origine $O$, orientate în direcții opuse. Spunem că sunt semidrepte opuse.

Răspuns: două semidrepte, cu originea comună $O$, opuse una alteia.

Exemplul 5 — Câte segmente determină mai multe puncte

Cerință: Pe o dreaptă se află trei puncte distincte $A$, $B$, $C$, în această ordine. Câte segmente diferite se pot forma cu aceste puncte ca extremități? Numește-le.

Rezolvare. Alegem perechi de puncte; fiecare pereche dă un segment. Perechile sunt: $\{A,B\}$, $\{A,C\}$, $\{B,C\}$.

Deci se formează 3 segmente: $[AB]$, $[AC]$ și $[BC]$.

Observă că $[AC]$ este „cel mare", iar $[AB]$ și $[BC]$ sunt bucăți ale lui, pentru că $B$ se află între $A$ și $C$.

Răspuns: 3 segmente: $[AB]$, $[BC]$, $[AC]$.

Exemplul 6 — Adevărat sau fals, cu justificare

Cerință: Stabilește dacă afirmația este adevărată sau falsă și explică: „Un segment are o lungime, dar o semidreaptă nu poate fi măsurată cu rigla pe toată lungimea ei."

Rezolvare. Segmentul $[AB]$ are două capete, deci are o lungime bine determinată, pe care o putem măsura cu rigla (de exemplu $5$ cm). Semidreapta are o origine, dar merge la infinit într-o direcție — nu are al doilea capăt, deci nu-i putem măsura „toată" lungimea.

Răspuns: Adevărat. Segmentul are lungime finită (măsurabilă), semidreapta are lungime infinită.

Exemplul 7 — De la cuvinte la notație

Cerință: O figură geometrică pleacă din punctul $E$, trece prin punctul $F$ și merge la nesfârșit dincolo de $F$. Ce figură este și cum o notezi corect?

Rezolvare. Citim cu grijă: figura pleacă dintr-un punct ($E$), deci $E$ este un capăt fix; apoi merge la nesfârșit într-o singură direcție, deci are o săgeată și nu are al doilea capăt. O figură cu un capăt și o săgeată este o semidreaptă, cu originea în punctul de plecare. Aici originea este $E$, iar direcția este dată de $F$. O notăm punând paranteză doar la origine: $[EF$.

Răspuns: este semidreapta $[EF$ (originea $E$, îndreptată spre $F$).

Exemplul 8 — Cine aparține cărei semidrepte

Cerință: Pe o dreaptă se află punctele, în această ordine: $A$, $O$, $B$. (a) Numește două semidrepte opuse cu originea $O$. (b) Punctul $A$ aparține semidreptei $[OB$?

Rezolvare.

• (a) Din $O$ pleacă o semidreaptă spre $A$ (la stânga) și una spre $B$ (la dreapta). Ele au aceeași origine $O$ și merg în direcții opuse, deci sunt semidreptele opuse $[OA$ și $[OB$.
• (b) Semidreapta $[OB$ pornește din $O$ și merge spre $B$ (la dreapta). Punctul $A$ se află de partea cealaltă a lui $O$ (la stânga). Prin urmare $A$ nu se află pe $[OB$; el aparține semidreptei opuse, $[OA$.

Răspuns: (a) $[OA$ și $[OB$, opuse; (b) nu, $A\notin [OB$ (el aparține lui $[OA$).

Să exersăm

1. Completează: O figură geometrică ce pornește dintr-un punct și merge la nesfârșit într-o singură direcție se numește ______________.

2. Completează: Punctul de plecare al unei semidrepte se numește ____________.

3. Cum se notează segmentul cu capetele $M$ și $N$? Alege: a) $MN$ b) $[MN$ c) $[MN]$.

4. Câte capete are un segment? Dar câte săgeți desenăm la el?

5. Adevărat sau fals: Notația $[AB$ reprezintă un segment.

6. Adevărat sau fals: $[AB]$ și $[BA]$ reprezintă același segment.

7. Adevărat sau fals: $[OA$ și $[AO$ reprezintă aceeași semidreaptă.

8. Încercuiește notația dreptei care trece prin punctele $P$ și $Q$: a) $[PQ]$ b) $PQ$ c) $[PQ$.

9. Potrivește fiecare notație cu figura ei:

   • $[CD$ • • dreaptă
   • $[CD]$ • • semidreaptă
   • $CD$ • • segment

10. Desenează (descrie în cuvinte ce desenezi): a) semidreapta $[OB$; b) segmentul $[OB]$. Ce este diferit la cele două desene?

11. Pe segmentul $[XY]$ se află, în ordine, punctele $X$, $P$, $Q$, $R$, $Y$. Scrie capetele și toate punctele interioare.

12. Pe o dreaptă se iau punctele $A$, $B$, $C$, $D$ în această ordine. Scrie toate segmentele care au ca un capăt punctul $A$.

13. Punctul $S$ se află pe o dreaptă. Câte semidrepte determină el pe dreaptă și cum se numesc ele una față de cealaltă?

14. Mică problemă: Pe o tijă dreaptă de lungime $12$ cm marcăm un punct $T$ la $5$ cm de un capăt. În câte segmente împarte $T$ tija și ce lungimi au ele?

15. Adevărat sau fals: Un capăt al unui segment este și un punct interior al lui.

16. Completează tabelul cu „da" sau „nu": are săgeți? are lungime finită?

    • Dreapta: săgeți ____ ; lungime finită ____
    • Semidreapta: săgeți ____ ; lungime finită ____
    • Segmentul: săgeți ____ ; lungime finită ____

17. Mică problemă: Pe o dreaptă se află 4 puncte distincte. Câte segmente diferite se pot forma având aceste puncte drept capete? (Indiciu: numără toate perechile.)

18. Provocare: Pe semidreapta $[OA$ se ia un punct $B$ între $O$ și $A$. Este $B$ originea vreunei semidrepte? Pe dreapta care conține pe $O$, $B$, $A$, scrie două semidrepte cu originea în $B$.

19. Citește fiecare notație și spune ce figură este: a) $[EF$; b) $EF$; c) $[EF]$.

20. Pe o dreaptă se află, în ordine, punctele $M$, $N$, $P$. Scrie semidreapta cu originea $N$ care trece prin $P$, apoi scrie semidreapta opusă ei.

21. Adevărat sau fals: Originea unei semidrepte aparține semidreptei.

22. Punctul $M$ este un punct interior al segmentului $[AB]$. Este adevărat că $M$ aparține și dreptei $AB$? Explică pe scurt.

23. Mică problemă: Pe o dreaptă se află $5$ puncte distincte. Câte segmente diferite se pot forma având aceste puncte drept capete? (Indiciu: numără toate perechile de puncte.)

Răspunsuri și explicații

1. Semidreaptă. Are origine (un capăt) și merge la infinit într-o singură direcție.

2. Origine (originea semidreptei). Este punctul de plecare.

3. c) $[MN]$. Segmentul are paranteze drepte la ambele capete.

4. Un segment are 2 capete și 0 săgeți (nu merge la infinit nicăieri).

5. Fals. $[AB$ (paranteză doar la $A$) este o semidreaptă, nu un segment. Segmentul s-ar scrie $[AB]$.

6. Adevărat. La segment ordinea literelor nu contează: $[AB]$ și $[BA]$ sunt aceeași bucată de dreaptă.

7. Fals. La semidreaptă prima literă este originea. $[OA$ pleacă din $O$, iar $[AO$ pleacă din $A$, în direcția opusă — sunt semidrepte diferite.

8. b) $PQ$. Dreapta se scrie fără paranteze.

9. $[CD$ → semidreaptă; $[CD]$ → segment; $CD$ → dreaptă.

10. a) La semidreapta $[OB$ desenezi originea $O$, o linie spre $B$ și o săgeată la capătul dinspre $B$. b) La segmentul $[OB]$ desenezi punctele $O$ și $B$ unite printr-o linie, fără săgeți. Diferența: semidreapta are o săgeată (merge la infinit), segmentul nu are nicio săgeată (se oprește la $B$).

11. Capete: $X$ și $Y$. Puncte interioare: $P$, $Q$, $R$.

12. Segmentele care au ca un capăt pe $A$: $[AB]$, $[AC]$, $[AD]$. (Alegem $A$ împreună cu fiecare dintre celelalte trei puncte.)

13. Determină 2 semidrepte, cu originea comună $S$, opuse una alteia (pleacă în direcții opuse).

14. Punctul $T$ împarte tija în 2 segmente: unul de 5 cm (de la capăt până la $T$) și unul de $12-5=7$ cm (de la $T$ până la celălalt capăt). Verificare: $5+7=12$ cm. ✓

15. Fals. Un capăt aparține segmentului, dar nu este punct interior. Punctele interioare sunt strict între capete.

16. Dreapta: săgeți da, lungime finită nu. Semidreapta: săgeți da (una), lungime finită nu. Segmentul: săgeți nu, lungime finită da.

17. 6 segmente. Numerotăm punctele $A$, $B$, $C$, $D$. Perechile sunt: $\{A,B\}$, $\{A,C\}$, $\{A,D\}$, $\{B,C\}$, $\{B,D\}$, $\{C,D\}$ — adică segmentele $[AB],[AC],[AD],[BC],[BD],[CD]$. În total 6.

18. Da, $B$ poate fi originea unor semidrepte. Două semidrepte cu originea în $B$ sunt: $[BA$ (din $B$ spre $A$) și $[BO$ (din $B$ spre $O$). Ele sunt semidrepte opuse, pentru că $B$ se află între $O$ și $A$.

19. a) $[EF$ → semidreaptă (o paranteză, originea $E$). b) $EF$ → dreaptă (nicio paranteză). c) $[EF]$ → segment (două paranteze, capetele $E$ și $F$).

20. Semidreapta cu originea $N$ care trece prin $P$ este $[NP$. Opusa ei, cu aceeași origine $N$ dar în direcția cealaltă (spre $M$), este $[NM$. Cele două sunt semidrepte opuse.

21. Adevărat. Originea este un capăt al semidreptei, iar capetele aparțin figurii. Deci originea aparține semidreptei.

22. Da. Segmentul $[AB]$ este o parte a dreptei $AB$ (porțiunea ei dintre $A$ și $B$). Orice punct al segmentului se află deci și pe dreaptă, prin urmare $M\in AB$.

23. 10 segmente. Numerotăm punctele și numărăm perechile: alegem $2$ puncte din $5$. Perechile sunt $10$ la număr, deci se formează 10 segmente diferite. (Cu $3$ puncte ar fi $3$, cu $4$ puncte $6$, cu $5$ puncte $10$ — de fiecare dată numărăm toate perechile posibile.)

De reținut

• Semidreapta are o origine (un capăt fix) și merge la infinit într-o singură direcție. Se notează $[OA$, unde $O$ este originea; ordinea literelor contează.
• Segmentul $[AB]$ are două capete ($A$ și $B$), nu merge la infinit și are o lungime care se poate măsura. Ordinea literelor nu contează: $[AB]=[BA]$.
• Punctele interioare ale unui segment sunt punctele dintre capete; capetele nu sunt puncte interioare. Un segment are o infinitate de puncte interioare.
• Cheia deosebirii: numără capetele și săgețile — dreapta (0 capete, 2 săgeți), semidreapta (1 capăt, 1 săgeată), segmentul (2 capete, 0 săgeți).
• Un punct de pe o dreaptă o împarte în două semidrepte opuse, cu origine comună.

Greșeli frecvente

• Confuzi parantezele. Mulți scriu $[AB$ crezând că este segment. Reține: segmentul are două paranteze, $[AB]$; semidreapta are una singură, $[AB$, la origine.
• Inversezi originea semidreptei. $[OA$ și $[AO$ nu sunt la fel! La semidreaptă, prima literă este mereu originea. Verifică întotdeauna din ce punct „pleacă" săgeata.
• Crezi că ordinea contează la segment. La segment $[AB]=[BA]$ — este aceeași bucată de dreaptă. Doar la semidreaptă ordinea schimbă figura.
• Confuzi capetele cu punctele interioare. Capetele aparțin segmentului, dar nu sunt puncte interioare. Punctele interioare sunt strict între capete.

Joc acasă

1. Vânătoarea de figuri. Plimbă-te prin casă cu un caiet și caută obiecte care seamănă cu fiecare figură: marginea unei rigle sau muchia unei mese (segment — are două capete), raza de lumină a unei lanterne aprinse spre perete (semidreaptă — pleacă din bec spre un singur sens), o linie trasată cu creionul peste toată foaia, care „ar continua" (dreaptă). Notează câte ai găsit din fiecare și desenează-le cu notația corectă.

2. Sfoara și capsele. Întinde o sfoară pe masă. Prinde-o cu două degete în două locuri: zona dintre degete este un segment — degetele sunt capetele. Acum eliberează un capăt și lasă sfoara să atârne mult într-o parte: ai un model de semidreaptă (originea = degetul rămas). Pune un nasture pe sfoară, între degete: el este un punct interior. Mută-l spre un deget — când ajunge fix la deget, nu mai este interior, ci capăt.

3. Joc cu un coleg/părinte. Unul desenează în secret una dintre cele trei figuri (cu notația acoperită), celălalt trebuie să ghicească dacă e dreaptă, semidreaptă sau segment, numărând săgețile și capetele, apoi să scrie notația corectă. Schimbați rolurile. Câte puncte din 5 încercări nimerește fiecare?

Pentru părinți și învățători

Această lecție pune bazele întregului capitol de geometrie de clasa a V-a, așa că merită fixată temeinic. Cheia este ca elevul să lege notația de desen: parantezele nu sunt un detaliu, ele „spun" exact ce figură avem.

Întrebări utile de pus:

• „Câte capete are figura asta? Dar câte săgeți? Atunci ce este?" (forțează raționamentul, nu memorarea).
• „Dacă schimb ordinea literelor, se schimbă figura?" (la semidreaptă da, la segment nu — testează înțelegerea originii).
• „Arată-mi un punct interior. De ce capătul nu e punct interior?"

Cum sprijiniți elevul: cereți-i mereu să deseneze cu rigla și să noteze sub desen. Verificați că pune săgeată la semidreaptă și deloc la segment — aceasta este greșeala numărul unu. Pentru elevii care confundă parantezele, folosiți regula scurtă: „paranteză = stop; săgeată = continuă la infinit". Astfel $[AB]$ înseamnă „stop–stop", $[AB$ înseamnă „stop–continuă", iar $AB$ înseamnă „continuă–continuă".

Verificarea înțelegerii: dați 3 notații amestecate ($[CD$, $CD$, $[CD]$) și cereți elevului să le deseneze pe toate și să le numească. Dacă reușește fără ezitare, lecția este însușită. Activitatea cu sfoara (Joc acasă 2) este excelentă pentru elevii kinestezici, care învață prin atingere.

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre dreaptă, semidreaptă și segment? Dreapta nu are capete și merge la infinit în ambele direcții (2 săgeți). Semidreapta are un singur capăt, numit origine, și merge la infinit într-o direcție (1 săgeată). Segmentul are două capete și o lungime finită, care se poate măsura (0 săgeți).

Cum se notează un segment în clasa a V-a? Segmentul cu capetele $A$ și $B$ se notează $[AB]$, cu paranteze drepte la ambele capete. Ordinea literelor nu contează, deci $[AB]$ și $[BA]$ înseamnă același segment.

Ce este originea unei semidrepte? Originea este punctul de plecare al semidreptei, singurul ei capăt fix. La notația $[OA$, originea este $O$ — punctul de lângă paranteza dreaptă. De acolo pornește semidreapta și merge la infinit spre $A$.

De ce $[OA$ și $[AO$ nu sunt aceeași semidreaptă? Pentru că la semidreaptă prima literă arată originea, adică punctul de plecare. $[OA$ pleacă din $O$ spre $A$, iar $[AO$ pleacă din $A$ spre $O$ — în direcția opusă. Sunt două semidrepte diferite, orientate invers.

Ce sunt punctele interioare ale unui segment? Sunt punctele care se află pe segment, strict între cele două capete. Capetele aparțin segmentului, dar nu sunt considerate puncte interioare. Un segment are o infinitate de puncte interioare.

Câte săgeți are o semidreaptă în desen? Una singură, la capătul opus originii. Săgeata arată că semidreapta continuă la infinit în acea direcție. La origine nu se pune săgeată, pentru că acolo figura are un capăt fix.

Se poate măsura lungimea unei semidrepte? Nu, pentru că semidreapta merge la infinit într-o direcție și nu are al doilea capăt. Putem măsura doar distanțe între puncte de pe ea (adică segmente), nu „toată" semidreapta. Doar segmentul are o lungime finită, măsurabilă cu rigla.

Câte semidrepte determină un punct pe o dreaptă? Un punct așezat pe o dreaptă o împarte în două semidrepte cu origine comună, orientate în direcții opuse. Acestea se numesc semidrepte opuse.