Se dau mulțimile $$A = \{5, 10, 15, 20\}$$ și $$B = \{10, 20, 25\}$$. Care este mulțimea $$A \cup B$$?

$$\{5, 10, 10, 15, 20, 20, 25\}$$

Ce este reuniunea a două mulțimi?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Reuniunea a două mulțimi

Este mulțimea care strânge la un loc elementele amândurora, notată $A \cup B$ . Un element intră acolo dacă se află în prima mulțime, în a doua sau în amândouă, iar în listă se trece o singură dată. Din ${1, 2, 3}$ și ${3, 4}$ iese ${1, 2, 3, 4}$ , fiindcă tripletul comun nu se scrie de două ori. Desenat cu cercuri, rezultatul este toată suprafața acoperită de ele.

Reuniunea a două mulțimi $A$ și $B$ , notată $A \cup B$ , este mulțimea formată din toate elementele care aparțin lui $A$ sau lui $B$ (eventual ambelor): $A \cup B = {x ∣ x \in A sau x \in B}$ . Cuvântul-cheie este „sau” inclusiv: e suficient ca elementul să fie în cel puțin una dintre mulțimi. Fiecare element se scrie o singură dată, chiar dacă apare în ambele mulțimi — mulțimile nu au elemente repetate. În diagrama Venn, $A \cup B$ înseamnă colorarea întregii suprafețe a celor două cercuri, inclusiv zona comună.

Proprietăți: $A \cup B = B \cup A$ (comutativitate), $A \cup \emptyset = A$ , $A \cup A = A$ , iar dacă $B \subseteq A$ , atunci $A \cup B = A$ .

Exemplu rezolvat: dacă $A = {1, 2, 3}$ și $B = {3, 4}$ , atunci $A \cup B = {1, 2, 3, 4}$ , fiindcă elementul comun 3 se scrie o singură dată.

De reținut

$A \cup B$ ține tot ce e în $A$ sau în $B$
fiecare element se scrie o singură dată
$A \cup B = B \cup A$ , $A \cup \emptyset = A$ , $A \cup A = A$
numărul elementelor: $A$ plus $B$ minus cele comune

Greșeala tipică

Elementele comune se trec de două ori în rezultat. Într-o mulțime nimic nu se repetă, deci fiecare element apare o singură dată, oricâte mulțimi l-ar conține.

Exerciții din această mini-lecție

Se dau mulțimile $A = {3, 6, 9, 12}$ și $B = {6, 12, 18}$ . Care este mulțimea $A \cup B$ ?
- a) ${3, 6, 9, 12, 18}$
- b) ${6, 12}$
- c) ${3, 9, 18}$
- d) ${3, 6, 6, 9, 12, 12, 18}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) ${3, 6, 9, 12, 18}$

Reuniunea conține toate elementele lui $A$ și toate elementele lui $B$ , fiecare scris o singură dată. Elementele comune 6 și 12 apar o singură dată, deci $A \cup B = {3, 6, 9, 12, 18}$ . Varianta (d) e greșită fiindcă repetă elementele comune, ceea ce nu este permis într-o mulțime.
Se dau mulțimile $A = {2, 4, 6, 8, 10}$ și $B = {4, 8}$ . Știind că $B \subseteq A$ , care este rezultatul corect pentru $A \cup B$ ?
- a) ${2, 4, 6, 8, 10}$
- b) ${4, 8}$
- c) ${2, 4, 4, 6, 8, 8, 10}$
- d) $\emptyset$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) ${2, 4, 6, 8, 10}$

Fiindcă toate elementele lui $B$ (adică 4 și 8) sunt deja în $A$ , avem $B \subseteq A$ . Conform proprietății, dacă $B \subseteq A$ , atunci $A \cup B = A$ . Prin urmare $A \cup B = {2, 4, 6, 8, 10}$ , fără elemente noi și fără repetiții.
Se dau mulțimile $A = {5, 10, 15, 20}$ și $B = {10, 20, 25}$ . Care este mulțimea $A \cup B$ ?
- a) ${5, 10, 15, 20, 25}$
- b) ${10, 20}$
- c) ${5, 15, 25}$
- d) ${5, 10, 10, 15, 20, 20, 25}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) ${5, 10, 15, 20, 25}$

Reuniunea conține toate elementele lui $A$ și toate elementele lui $B$ , fiecare scris o singură dată. Elementele comune 10 și 20 apar o singură dată, deci $A \cup B = {5, 10, 15, 20, 25}$ . Varianta d) e greșită fiindcă repetă elementele comune, ceea ce nu este permis într-o mulțime.

Întrebări conexe

Ce se întâmplă cu numărul elementelor când mulțimile nu au nimic comun?

Atunci numărul elementelor reuniunii este chiar suma celor două numere, fiindcă nu ai pe cine să scazi. Mulțimile fără elemente comune se numesc disjuncte, iar intersecția lor este mulțimea vidă. Este singurul caz în care adunarea simplă dă răspunsul corect.

Cum arăt reuniunea pe o diagramă?

Desenezi cele două cercuri și colorezi tot ce se află înăuntrul lor, inclusiv porțiunea din mijloc. Pentru intersecție ai colora numai zona comună. Desenul arată dintr-o privire de ce elementele din mijloc se numără o singură dată.

Ce se întâmplă cu reuniunea dacă B este inclusă în A?

Rezultatul este chiar $A$ , fiindcă elementele lui $B$ se aflau deja acolo și nu aduc nimic nou. Tot așa, reuniunea unei mulțimi cu ea însăși sau cu mulțimea vidă o lasă neschimbată.

Cum țin minte semnul reuniunii ca să nu îl încurc?

Semnul deschis în sus seamănă cu litera U, prima din cuvântul reuniune. Celălalt semn, întors cu gura în jos, arată intersecția. O singură asemănare de literă e de ajuns ca să nu le mai amesteci la lucrare.

Se poate face reuniunea a trei mulțimi deodată?

Da, iar rezultatul cuprinde tot ce apare în cel puțin una dintre ele. Ordinea în care le iei nu schimbă nimic, așa că poți începe cu oricare două și adăuga apoi a treia. Elementele care se repetă se scriu tot o singură dată.

Unde folosesc reuniunea mulțimilor în viața de zi cu zi?

Ori de câte ori aduni două liste fără să repeți numele: invitații la două petreceri, elevii înscriși la două cercuri, cărțile din două rafturi. Întrebarea câți sunt cu totul cere exact numărul de elemente al reuniunii.

Oamenii mai întreabă și: reuniunea mulțimilor · A reunit cu B · simbolul reuniunii · reuniune mulțimi exemple · ce înseamnă A U B