Scări logaritmice: pH, decibeli, magnitudine

Intensitatea celui mai slab sunet pe care îl aude o ureche sănătoasă este de $10^{-12}$ wați pe metru pătrat. Intensitatea sunetului produs de un avion la decolare, de la câțiva metri, este de aproximativ $1$ watt pe metru pătrat. Raportul dintre ele este de o mie de miliarde. Cum ai putea desena pe aceeași axă valori care diferă de $10^{12}$ ori? Dacă șoapta ar ocupa un milimetru, avionul ar cere o axă lungă cât distanța de la Pământ la Soare, de mai multe ori.

Soluția o cunoști deja, chiar dacă nu ai numit-o încă: funcția logaritmică, care, așa cum ai văzut în lecția despre funcția logaritmică și graficul ei, crește atât de încet încât reușește să înghesuie un milion într-un interval de lungime 6. Când o mărime se întinde pe multe ordine de mărime, oamenii de știință nu o măsoară direct, ci îi măsoară logaritmul. Rezultatul se numește scară logaritmică, iar tu ai auzit deja de trei dintre ele: pH-ul din chimie, decibelii din acustică și magnitudinea cutremurelor. Lecția aceasta îți arată cum funcționează toate trei, cu aceeași idee matematică în spate.

Ce vei învăța

• Vei ști să explici ce este o scară logaritmică și de ce un pas pe ea înseamnă înmulțire, nu adunare.
• Vei ști să calculezi pH-ul unei soluții din concentrația ionilor de hidrogen și invers.
• Vei ști să folosești formula decibelilor, $L=10\lg \frac{I}{I_0}$, și să interpretezi diferențele de nivel sonor.
• Vei ști să compari două cutremure prin magnitudinea lor, atât ca amplitudine, cât și ca energie.
• Vei ști să traduci corect: diferență pe scară $\Rightarrow$ raport în realitate.
• Vei ști să eviți capcanele de limbaj („de două ori mai mare pH", „de două ori mai puternic cutremur").

Hai să descoperim împreună

1. Problema: mărimi care nu încap pe o axă obișnuită

Multe mărimi din natură nu variază cu câteva unități, ci de mii sau de miliarde de ori. Iată trei exemple:

Pe o axă obișnuită, liniară, unde distanțele egale înseamnă diferențe egale, astfel de date sunt imposibil de reprezentat: valorile mici s-ar strivi toate în origine, iar cele mari ar ieși din pagină. E ca și cum ai încerca să pui pe același grafic greutatea unei furnici și greutatea unei balene, la aceeași scară.

2. Ideea salvatoare: măsurăm logaritmul, nu mărimea

Soluția este să nu reprezentăm mărimea $x$, ci $\lg x$ — logaritmul ei zecimal, studiat în lecția despre logaritm natural și logaritm zecimal. Efectul este spectaculos:

Un interval care se întindea peste cincisprezece ordine de mărime a devenit un interval de la $-3$ la $12$ — încape pe o riglă de 15 centimetri.

Prețul plătit este că regulile de citire se schimbă. Pe o scară liniară, doi pași egali înseamnă două adunări egale; pe o scară logaritmică, doi pași egali înseamnă două înmulțiri egale:

$$\text{pas de }+1\text{ pe scara logaritmica˘ zecimala˘}⟺\text{ıˆnmulțire cu }10\text{ ıˆn realitate}.$$

Aceasta este regula de aur a întregii lecții. Un pas nu adaugă, un pas înmulțește.

3. Scara pH: aciditatea unei soluții

În chimie, aciditatea unei soluții apoase este dată de concentrația ionilor de hidrogen, notată $[{\mathrm{H}}^{+}]$ și măsurată în moli pe litru. Această concentrație variază de la circa $1$ mol/L (acizi tari) până la $10^{-14}$ mol/L (baze tari) — paisprezece ordine de mărime. Chimistul danez Søren Sørensen a propus, în 1909, să se lucreze cu logaritmul ei, schimbat de semn:

$$\boxed{\mathrm{pH}=-\lg [{\mathrm{H}}^{+}]}$$

Semnul minus e acolo dintr-un motiv practic: concentrațiile fiind subunitare, logaritmii lor sunt negativi, iar minusul îi face pozitivi și comozi.

Câteva valori:

Reperele de interpretare: pH $<7$ înseamnă soluție acidă, pH $=7$ neutră (apa pură), pH $>7$ bazică. Suc gastric $\approx 1,5$; suc de lămâie $\approx 2$; oțet $\approx 3$; cafea $\approx 5$; lapte $\approx 6,5$; apă pură $7$; sânge $\approx 7,4$; apă de mare $\approx 8$; bicarbonat $\approx 8,3$.

Și acum, citirea corectă. Sucul de lămâie are pH 2, apa pură are pH 7. Diferența pe scară este $7-2=5$, deci în realitate concentrația ionilor de hidrogen diferă de

$$10^5=100000\text{ ori.}$$

Sucul de lămâie nu e „de 3,5 ori mai acid" decât apa, ci de o sută de mii de ori. Aici se vede de ce merită înțeleasă scara: intuiția obișnuită, liniară, greșește catastrofal.

4. Scara decibelilor: intensitatea sunetului

În acustică, nivelul sonor $L$ se măsoară în decibeli (dB) și se calculează raportând intensitatea $I$ a sunetului la intensitatea de referință $I_0=10^{-12}$ W/m², pragul de auz:

$$\boxed{L=10\lg \frac{I}{I_0}}$$

Factorul 10 este acolo doar pentru comoditate: fără el am lucra în beli, iar valorile ar fi prea mici. Cu el, scala umană se întinde frumos de la 0 la circa 130.

Repere: prag de auz 0 dB; foșnetul frunzelor 20 dB; șoaptă 30 dB; conversație obișnuită 60 dB; trafic intens 80 dB; concert rock 110 dB; avion la decolare 120 dB.

Regula de traducere, aici: fiecare 10 dB în plus înseamnă o intensitate de 10 ori mai mare. De la o conversație (60 dB) la un concert rock (110 dB) sunt 50 dB, adică o intensitate de $10^5=100000$ de ori mai mare. Nu de două ori — de o sută de mii de ori.

Un caz special, foarte instructiv: ce se întâmplă dacă dublăm intensitatea? Nivelul crește cu

$$10\lg 2\approx 10\cdot 0,301=3,01\approx 3\text{ dB}.$$

Deci două boxe identice, în loc de una, adaugă doar 3 decibeli. Iar dacă vrei să dublezi din nou, mai adaugi 3 dB — pentru zece boxe ai adăuga exact 10 dB. Așa se explică de ce, la un concert, adăugarea unei boxe în plus se aude atât de puțin: urechea și scara decibelilor lucrează amândouă logaritmic.

5. Scara magnitudinii: puterea cutremurelor

Magnitudinea unui cutremur, introdusă de Charles Richter în 1935 și rafinată de atunci în mai multe variante, este tot un logaritm zecimal — de data aceasta al amplitudinii maxime a undelor seismice înregistrate de seismograf, raportată la o amplitudine de referință:

$$M=\lg \frac{A}{A_0}.$$

Consecința directă a formulei: o unitate de magnitudine în plus înseamnă o amplitudine de 10 ori mai mare. Un cutremur de magnitudine 7 zguduie solul cu o amplitudine de 100 de ori mai mare decât unul de magnitudine 5, și de 1000 de ori mai mare decât unul de magnitudine 4.

Dar amplitudinea nu e totul. Energia eliberată crește și mai repede: fizicienii au stabilit că o unitate de magnitudine în plus corespunde unei energii de aproximativ

$$10^{1,5}\approx 31,6\text{ ori mai mare.}$$

Deci, pentru două unități de magnitudine:

$$10^{1,5\cdot 2}=10^3=1000\text{ ori mai multa˘ energie.}$$

Un cutremur de magnitudine 7 eliberează de o mie de ori mai multă energie decât unul de magnitudine 5 — de aceea unul e o catastrofă, iar celălalt abia se simte. România cunoaște bine subiectul: zona seismică Vrancea produce periodic cutremure de magnitudine peste 7, resimțite în toată țara, în timp ce cutremurele de magnitudine 3–4 din aceeași zonă trec aproape neobservate.

6. De ce comprimă logaritmul: comparația directă

Merită văzut, într-un singur tabel, cât de brutal comprimă logaritmul. Iată aceleași date, citite liniar și logaritmic:

Pe scara liniară, ultimul număr ar cere o axă de un milion de kilometri. Pe scara logaritmică, aceleași date ocupă 12 centimetri. Logaritmul transformă înmulțirea repetată în adunare repetată — și tocmai pentru că funcția $\lg$ crește atât de încet, ea reușește să prindă exploziile.

Este exact reversul creșterii exponențiale studiate în lecția despre creșterea exponențială: dacă exponențiala scoate numere uriașe din exponenți mici, logaritmul aduce numerele uriașe înapoi la exponenți mici. Sunt două fețe ale aceleiași monede, așa cum ai văzut la simetria graficelor.

În practică, oamenii de știință folosesc hârtia semilogaritmică: o hârtie milimetrică la care axa verticală e gradată logaritmic (diviziuni egale pentru 1, 10, 100, 1000). Pe o astfel de hârtie, o creștere exponențială apare ca o dreaptă — un truc de citire folosit zilnic în biologie, economie și epidemiologie.

7. Cum se citește corect o scară logaritmică

Fixăm regula într-o singură propoziție, valabilă pentru toate cele trei scări:

Diferență pe scară $⟹$ raport în realitate.

• pH-uri care diferă cu $d$ unități $\Rightarrow$ concentrații în raport $10^d$.
• Niveluri sonore care diferă cu $d$ decibeli $\Rightarrow$ intensități în raport $10^{d/10}$.
• Magnitudini care diferă cu $d$ unități $\Rightarrow$ amplitudini în raport $10^d$ și energii în raport $10^{1,5d}$.

Și, foarte important, niciodată invers: nu se adună mărimile reale ca și cum am aduna poziții pe scară. Două sunete de câte 60 dB fiecare nu dau 120 dB, ci circa 63 dB, pentru că intensitățile se adună (se dublează), iar dublarea înseamnă $+3$ dB.

Un ultim avertisment de limbaj. Formulările „de două ori mai mare pH", „cutremur de două ori mai puternic" sau „sunet de două ori mai tare, adică 120 dB în loc de 60" sunt fără sens pe o scară logaritmică. Corect este să spui întotdeauna „cu atâtea unități mai mult" pentru scară și „de atâtea ori mai mult" pentru mărimea reală.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — pH din concentrație

Calculați pH-ul unei soluții în care $[{\mathrm{H}}^{+}]=10^{-4}$ mol/L. Este acidă sau bazică?

Rezolvare. Aplicăm formula:

$$\mathrm{pH}=-\lg \left(10^{-4}\right)=-(-4)=4.$$

Cum $4<7$, soluția este acidă. ✓

Exemplul 2 — Concentrație din pH

O soluție are pH $=9$. Determinați concentrația $[{\mathrm{H}}^{+}]$.

Rezolvare. Din $\mathrm{pH}=-\lg [{\mathrm{H}}^{+}]=9$ rezultă $\lg [{\mathrm{H}}^{+}]=-9$, iar prin definiția logaritmului zecimal:

$$[{\mathrm{H}}^{+}]=10^{-9}\text{ mol/L}.$$

Cum $9>7$, soluția este bazică. Reține drumul: pH-ul este exponentul lui 10, cu semn schimbat. ✓

Exemplul 3 — De câte ori mai acid?

Sucul de lămâie are pH $\approx 2$, iar laptele pH $\approx 6,5$. De câte ori este mai mare concentrația ionilor de hidrogen în sucul de lămâie?

Rezolvare. Diferența pe scară este $6,5-2=4,5$ unități. Prin regula „diferență pe scară $\Rightarrow$ raport în realitate":

$$\frac{[{\mathrm{H}}^{+}{]}_{\text{la˘maˆie}}}{[{\mathrm{H}}^{+}{]}_{\text{lapte}}}=10^{4,5}\approx 31600.$$

Sucul de lămâie este de aproximativ 31 600 de ori mai acid decât laptele. Un raport pe care nicio intuiție liniară nu l-ar fi ghicit. ✓

Exemplul 4 — Decibeli: dublarea intensității

Într-o sală funcționează o boxă care produce 70 dB. Se pornește o a doua boxă identică, în același loc. Ce nivel sonor se măsoară acum?

Rezolvare. Două boxe identice produc o intensitate dublă. Creșterea nivelului este:

$$\Delta L=10\lg \frac{2I}{I}=10\lg 2\approx 10\cdot 0,301=3,01\text{ dB}.$$

Deci nivelul devine aproximativ $70+3=73$ dB, nu 140 dB. Pentru a ajunge la 80 dB ar fi nevoie de o intensitate de 10 ori mai mare, adică de zece boxe. ✓

Exemplul 5 — Comparație între două cutremure

Un cutremur are magnitudinea 7, altul magnitudinea 5. De câte ori este mai mare amplitudinea undelor la primul? Dar energia eliberată?

Rezolvare. Diferența de magnitudine este $d=7-5=2$.

Amplitudinea: raportul este $10^d=10^2=100$ — de o sută de ori mai mare.

Energia: raportul este $10^{1,5d}=10^3=1000$ — de o mie de ori mai multă energie.

Concluzie practică: două unități de magnitudine par „puțin", dar înseamnă un cutremur de o mie de ori mai energic. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Nivelul sonor se calculează cu formula $L=10\lg \frac{I}{I_0}$, unde $I_0=10^{-12}$ W/m². a) Calculați $L$ pentru un sunet cu $I=10^{-4}$ W/m². b) Determinați intensitatea $I$ a unui sunet de 30 dB. c) Cu cât crește nivelul sonor dacă intensitatea se înmulțește cu 100?

Rezolvare. a) Calculăm mai întâi raportul:

$$\frac{I}{I_0}=\frac{10^{-4}}{10^{-12}}=10^8,$$

deci $L=10\lg 10^8=10\cdot 8=80$ dB.

b) Din $30=10\lg \frac{I}{I_0}$ obținem $\lg \frac{I}{I_0}=3$, deci $\frac{I}{I_0}=10^3$ și

$$I=10^3\cdot 10^{-12}=10^{-9}{\text{ W/m}}^2.$$

c) Dacă intensitatea devine $100I$, creșterea de nivel este

$$\Delta L=10\lg \frac{100I}{I}=10\lg 100=10\cdot 2=20\text{ dB}.$$

Nivelul crește cu 20 dB, indiferent de valoarea inițială. ✓

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare comparație, scrie explicit dacă răspunsul este „cu atâtea unități" (pe scară) sau „de atâtea ori" (în realitate).

1. Calculează pH-ul soluțiilor cu $[{\mathrm{H}}^{+}]$ egal cu: a) $10^{-2}$ mol/L; b) $10^{-6}$ mol/L; c) $10^{-11}$ mol/L. Precizează pentru fiecare dacă este acidă sau bazică.

2. Determină $[{\mathrm{H}}^{+}]$ pentru soluțiile cu pH: a) $3$; b) $7$; c) $10$.

3. O soluție are pH 5, alta pH 8. Care este mai acidă și de câte ori este mai mare concentrația ionilor de hidrogen în ea?

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O soluție cu pH 4 este de două ori mai acidă decât una cu pH 2."

5. Apa pură are pH 7. Ce concentrație de ioni de hidrogen are? De ce spunem că este neutră?

6. Calculează nivelul sonor $L$, în decibeli, pentru rapoartele $\frac{I}{I_0}$ egale cu: $10$, $10^4$, $10^7$, $10^{11}$.

7. Un sunet își dublează intensitatea. Cu cât crește nivelul sonor, în decibeli? Dar dacă intensitatea se înmulțește cu 4?

8. De la 40 dB la 70 dB, de câte ori crește intensitatea sunetului?

9. (Problemă aplicată.) O șoaptă are 30 dB, iar un avion la decolare 120 dB. De câte ori este mai intens sunetul avionului?

10. Un cutremur are magnitudinea 6, altul magnitudinea 4. De câte ori este mai mare amplitudinea undelor la primul? Dar energia eliberată?

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un cutremur de magnitudine 8 este de două ori mai puternic decât unul de magnitudine 4."

12. Cu cât crește magnitudinea unui cutremur dacă amplitudinea undelor seismice crește de 1000 de ori?

13. (Problemă aplicată.) Energia eliberată crește de aproximativ $31,6$ ori pentru fiecare unitate de magnitudine. Calculează de câte ori este mai energic un cutremur de magnitudine 7,5 față de unul de magnitudine 5,5.

14. Explică, în trei-patru fraze, de ce este comod să reprezinți pe o scară logaritmică date care variază de la 1 la un milion. Ce s-ar întâmpla pe o scară liniară?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Nivelul sonor este $L=10\lg \frac{I}{I_0}$, cu $I_0=10^{-12}$ W/m². a) Calculați $L$ pentru $I=10^{-6}$ W/m². b) Determinați $I$ pentru un sunet de 50 dB.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se dă formula $\mathrm{pH}=-\lg [{\mathrm{H}}^{+}]$. a) Calculați pH-ul pentru $[{\mathrm{H}}^{+}]=10^{-3}$ mol/L. b) Determinați $[{\mathrm{H}}^{+}]$ pentru o soluție cu pH $=12$. c) Precizați dacă soluția de la punctul b) este acidă sau bazică.

17. (Problemă aplicată.) Cu ajutorul calculatorului, determină pH-ul unei soluții în care $[{\mathrm{H}}^{+}]=4\cdot 10^{-5}$ mol/L. Rotunjește la două zecimale și verifică rezultatul prin încadrare între pH-urile corespunzătoare lui $10^{-4}$ și $10^{-5}$.

18. (Provocare.) Trei difuzoare identice cântă simultan în același loc, astfel încât intensitatea se triplează față de unul singur. Cu cât crește nivelul sonor, în decibeli? Dar dacă difuzoarele ar fi zece? Explică de ce, la un concert, adăugarea unei boxe în plus se aude atât de puțin.

Răspunsuri și explicații

1. a) $\mathrm{pH}=-\lg 10^{-2}=2$ — acidă. b) $\mathrm{pH}=6$ — acidă (dar slab). c) $\mathrm{pH}=11$ — bazică. Criteriul: sub 7 acidă, peste 7 bazică.

2. a) $[{\mathrm{H}}^{+}]=10^{-3}$ mol/L. b) $[{\mathrm{H}}^{+}]=10^{-7}$ mol/L. c) $[{\mathrm{H}}^{+}]=10^{-10}$ mol/L. În fiecare caz, pH-ul este exponentul lui 10 cu semn schimbat.

3. Mai acidă este soluția cu pH 5 (pH mai mic înseamnă mai acid). Diferența pe scară este $8-5=3$ unități, deci concentrația ionilor de hidrogen este de $10^3=1000$ de ori mai mare în prima soluție.

4. Fals, și de două ori greșit. Întâi, pH mai mare înseamnă soluție mai puțin acidă, deci pH 4 e mai puțin acid decât pH 2. Apoi, raportul nu e 2, ci $10^{4-2}=10^2=100$: soluția cu pH 4 este de o sută de ori mai puțin acidă.

5. $\mathrm{pH}=7$ înseamnă $[{\mathrm{H}}^{+}]=10^{-7}$ mol/L. Este neutră pentru că în apa pură concentrația ionilor de hidrogen este exact egală cu cea a ionilor de hidroxid — nici acid, nici bază în exces.

6. $L=10\lg 10=10$ dB; $L=10\lg 10^4=40$ dB; $L=10\lg 10^7=70$ dB; $L=10\lg 10^{11}=110$ dB.

7. Dublarea: $\Delta L=10\lg 2\approx 3,01\approx 3$ dB. Înmulțirea cu 4: $\Delta L=10\lg 4\approx 6,02\approx 6$ dB — adică exact de două ori creșterea de la dublare, pentru că înmulțirea cu 4 înseamnă două dublări succesive.

8. Diferența este $70-40=30$ dB, deci raportul intensităților este $10^{30/10}=10^3=1000$. Intensitatea crește de o mie de ori.

9. Diferența este $120-30=90$ dB, deci raportul este $10^{90/10}=10^9$ — un miliard de ori. Urechea percepe diferența ca fiind mare, dar nu de un miliard de ori: și percepția noastră lucrează, la rândul ei, aproape logaritmic.

10. Diferența de magnitudine este 2. Amplitudinea: de $10^2=100$ de ori mai mare. Energia: de $10^{1,5\cdot 2}=10^3=1000$ de ori mai mare.

11. Fals. Diferența de magnitudine este $8-4=4$ unități, deci amplitudinea este de $10^4=10000$ de ori mai mare, iar energia de $10^{1,5\cdot 4}=10^6$ — un milion de ori mai mare. Pe o scară logaritmică, „de două ori numărul" nu înseamnă absolut nimic despre mărimea reală.

12. Din $M=\lg \frac{A}{A_0}$: dacă amplitudinea se înmulțește cu $1000=10^3$, magnitudinea crește cu $\lg 1000=3$ unități.

13. Diferența este $7,5-5,5=2$ unități, deci raportul energiilor este $31,6^2\approx 1000$, adică $10^{1,5\cdot 2}=10^3$. Cutremurul de magnitudine 7,5 eliberează de aproximativ o mie de ori mai multă energie.

14. Pe o scară liniară, dacă alocăm 1 mm unei unități, valoarea 1 000 000 ar cădea la un kilometru de origine, iar valorile 1, 10 și 100 s-ar strivi toate în primul milimetru — graficul ar fi ilizibil. Pe o scară logaritmică, fiecare înmulțire cu 10 înseamnă un pas de aceeași lungime, deci toate cele șapte ordine de mărime încap pe câțiva centimetri, iar valorile mici rămân perfect distincte. Prețul este că distanțele nu mai reprezintă diferențe, ci rapoarte.

15. a) $\frac{I}{I_0}=\frac{10^{-6}}{10^{-12}}=10^6$, deci $L=10\lg 10^6=60$ dB. b) Din $50=10\lg \frac{I}{I_0}$ rezultă $\lg \frac{I}{I_0}=5$, deci $\frac{I}{I_0}=10^5$ și $I=10^5\cdot 10^{-12}=10^{-7}$ W/m².

16. a) $\mathrm{pH}=-\lg 10^{-3}=3$. b) Din $-\lg [{\mathrm{H}}^{+}]=12$ rezultă $\lg [{\mathrm{H}}^{+}]=-12$, deci $[{\mathrm{H}}^{+}]=10^{-12}$ mol/L. c) Cum $12>7$, soluția este bazică (puternic bazică, de altfel — comparabilă cu o soluție de amoniac).

17. Cu calculatorul: $\lg \left(4\cdot 10^{-5}\right)\approx -4,40$, deci $\mathrm{pH}\approx 4,40$. Verificare prin încadrare: cum $10^{-5}<4\cdot 10^{-5}<10^{-4}$, pH-ul trebuie să fie între $4$ și $5$, mai aproape de 4 — ceea ce se confirmă. ✓

18. Triplarea intensității: $\Delta L=10\lg 3\approx 10\cdot 0,477=4,77$ dB, deci sub 5 decibeli. Pentru zece difuzoare: $\Delta L=10\lg 10=10$ dB exact. Explicația: scara decibelilor este logaritmică, deci înmulțirea intensității se traduce într-o adunare mică de niveluri. Ca să dublezi nivelul perceput ai avea nevoie de aproximativ zece ori mai multă intensitate, adică de zece boxe — a șasea boxă, adăugată peste cinci, mai aduce doar $10\lg \frac{6}{5}\approx 0,8$ dB.

De reținut

• O scară logaritmică măsoară logaritmul unei mărimi, nu mărimea însăși. Regula de aur: un pas pe scară înseamnă înmulțire, nu adunare.
• pH-ul: $\mathrm{pH}=-\lg [{\mathrm{H}}^{+}]$. Sub 7 acid, 7 neutru, peste 7 bazic. O diferență de $d$ unități de pH înseamnă un raport de $10^d$ între concentrații.
• Decibelii: $L=10\lg \frac{I}{I_0}$, cu $I_0=10^{-12}$ W/m². Fiecare 10 dB în plus înseamnă intensitate de 10 ori mai mare; dublarea intensității adaugă doar aproximativ 3 dB.
• Magnitudinea: o unitate în plus înseamnă amplitudine de 10 ori mai mare și energie de circa $31,6$ ori mai mare; două unități înseamnă energie de 1000 de ori mai mare.
• Traducerea corectă: diferență pe scară $\Rightarrow$ raport în realitate. Formulările „de două ori mai mare pH" sau „cutremur de două ori mai puternic" nu au sens matematic.

Greșeli frecvente

• Se citește scara ca și cum ar fi liniară. „pH 4 e de două ori pH 2" — fals: raportul concentrațiilor este $10^2=100$. Diferențele de pe scară se transformă în rapoarte, prin ridicare la putere.
• Se uită semnul minus din formula pH-ului. $\mathrm{pH}=-\lg [{\mathrm{H}}^{+}]$: pentru $[{\mathrm{H}}^{+}]=10^{-5}$ pH-ul este $5$, nu $-5$. Minusul e acolo tocmai ca valorile să iasă pozitive.
• Se adună decibelii a două surse. Două sunete de 60 dB nu dau 120 dB, ci circa 63 dB: se adună intensitățile, iar dublarea intensității înseamnă doar $+3$ dB.
• Se confundă amplitudinea cu energia la cutremure. O unitate de magnitudine înseamnă amplitudine de 10 ori mai mare, dar energie de circa 31,6 ori mai mare. Sunt două rapoarte diferite, cerute des separat în probleme.
• Se inversează sensul scării pH. pH mic înseamnă mai acid, pH mare înseamnă mai bazic — invers față de intuiția „mai mare, mai puternic". Semnul minus din formulă este vinovatul.

Aplică acasă

1. Laboratorul din bucătărie. Caută pe etichetele produselor din casă (oțet, suc de lămâie, bicarbonat, detergent, apă minerală) valorile de pH sau estimează-le din tabelul lecției. Ordonează-le pe o axă de la 0 la 14 și, pentru fiecare pereche vecină, calculează de câte ori diferă concentrația ionilor de hidrogen.

2. Sonometrul din telefon. Instalează o aplicație gratuită de măsurare a nivelului sonor și notează valorile în cinci locuri: cameră liniștită, clasă în pauză, stradă, muzică în căști la volum mediu, aspirator. Pentru fiecare pereche, calculează raportul intensităților folosind $10^{\Delta L/10}$ și comentează dacă rezultatul te surprinde.

3. Harta cutremurelor. Caută pe internet lista ultimelor zece cutremure înregistrate în zona Vrancea, cu magnitudinile lor. Alege cel mai puternic și cel mai slab și calculează de câte ori diferă amplitudinea și de câte ori diferă energia eliberată. Scrie concluzia într-o singură frază, folosind formularea corectă („cu … unități pe scară, adică de … ori în realitate").

Pentru părinți și profesori

Lecția este aplicația practică a întregului capitol despre logaritmi, explicit cerută de programa de trunchi comun, care menționează scările logaritmice și legăturile cu chimia și fizica. Elevul trebuie să plece de aici cu o singură idee bine fixată, dar cu consecințe mari: pe o scară logaritmică, diferențele se traduc în rapoarte. Toate cele trei aplicații — pH, decibeli, magnitudine — servesc aceeași idee, văzută din trei unghiuri.

Calculele cerute sunt intenționat simple: logaritmi zecimali ai puterilor lui 10, plus câteva valori cu calculatorul. Proprietățile operatorii ale logaritmilor și ecuațiile logaritmice rămân, conform programei, pentru clasa a X-a. Accentul cade pe interpretare și pe corectitudinea limbajului: „cu atâtea unități" pentru scară, „de atâtea ori" pentru mărimea reală.

Întrebări bune de control: „De câte ori e mai acidă o soluție cu pH 3 față de una cu pH 6?" (de 1000 de ori); „Cu cât crește nivelul sonor dacă dublez intensitatea?" (cu circa 3 dB); „Ce înseamnă o unitate de magnitudine în plus?" (amplitudine de 10 ori mai mare, energie de circa 31,6 ori mai mare); „De ce nu se adună decibelii?" (pentru că se adună intensitățile, nu logaritmii lor). Semne că a înțeles: nu spune niciodată „de două ori mai mare pH", face conversia diferență–raport fără ezitare și verifică rezultatele prin încadrare.

La Bacalaureat, aceste aplicații apar sub formă de probleme cu enunț practic în care se dă o formulă cu logaritm și se cere fie evaluarea ei, fie determinarea mărimii din interiorul logaritmului. Deprinderea de a trece în ambele sensuri între forma logaritmică și cea exponențială este tot ce trebuie.

Întrebări frecvente

Ce este o scară logaritmică? Este o scară de măsurare pe care se reprezintă logaritmul unei mărimi, nu mărimea însăși. Consecința practică: distanțe egale pe scară corespund unor înmulțiri egale în realitate, nu unor adunări. Se folosește pentru mărimi care variază pe multe ordine de mărime.

Cum se calculează pH-ul? Cu formula $\mathrm{pH}=-\lg [{\mathrm{H}}^{+}]$, unde $[{\mathrm{H}}^{+}]$ este concentrația ionilor de hidrogen în moli pe litru. De exemplu, pentru $[{\mathrm{H}}^{+}]=10^{-5}$ mol/L, pH-ul este 5. Sub 7 soluția e acidă, la 7 neutră, peste 7 bazică.

De ce o diferență de 1 la pH înseamnă de 10 ori mai mult? Pentru că pH-ul este un logaritm zecimal: o creștere cu 1 a logaritmului corespunde înmulțirii cu 10 a numărului din interiorul lui. Este exact regula de aur a scărilor logaritmice.

Cum se calculează nivelul sonor în decibeli? Cu formula $L=10\lg \frac{I}{I_0}$, unde $I$ este intensitatea sunetului, iar $I_0=10^{-12}$ W/m² este pragul de auz. Un sunet cu intensitatea de un milion de ori mai mare decât pragul are nivelul $10\lg 10^6=60$ dB.

De ce dublarea intensității adaugă doar 3 decibeli? Pentru că $10\lg 2\approx 3,01$. Scara fiind logaritmică, înmulțirea intensității se traduce într-o adunare mică de decibeli. Ca să crești nivelul cu 10 dB ai nevoie de o intensitate de zece ori mai mare.

Ce înseamnă o unitate în plus pe scara magnitudinii? Înseamnă o amplitudine a undelor seismice de 10 ori mai mare și o energie eliberată de aproximativ 31,6 ori mai mare. Două unități în plus înseamnă amplitudine de 100 de ori mai mare și energie de 1000 de ori mai mare.

Se pot aduna decibelii a două surse sonore? Nu direct. Se adună intensitățile, apoi se recalculează nivelul. Două surse identice de 60 dB dublează intensitatea, deci dau circa 63 dB, nu 120 dB.

De ce folosim logaritmi în loc de numerele reale? Pentru că logaritmul comprimă: transformă rapoarte uriașe în diferențe mici și comode. O mărime care variază de la $10^{-12}$ la $1$ devine, pe scară logaritmică, un interval de la 0 la 120 — care încape pe o pagină, se citește ușor și se compară dintr-o privire.