Cum funcționează o scară logaritmică?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Scări logaritmice: pH, decibeli, magnitudine

Pe o astfel de scară se trece logaritmul mărimii, nu mărimea ca atare, așa că trecerea la diviziunea următoare înmulțește, nu adună. Când două valori diferă cu $d$ trepte, mărimile din realitate stau în raportul $1 0^{d}$ . Așa sunt construite pH-ul, decibelii și magnitudinea cutremurelor: două unități de pH în plus înseamnă o concentrație de o sută de ori mai mică.

O scară logaritmică reprezintă logaritmul unei mărimi, nu mărimea însăși — soluția pentru mărimi care variază pe multe ordine de mărime (intensitatea sunetului, concentrația ionilor de hidrogen, amplitudinea undelor seismice). Regula de aur: un pas pe scară înseamnă înmulțire, nu adunare; o diferență de $d$ unități corespunde unui raport de $1 0^{d}$ în realitate.

pH-ul unei soluții este $pH = - l g [H^{+}]$ , unde $[H^{+}]$ este concentrația ionilor de hidrogen în mol/L. Sub $7$ : soluție acidă; $= 7$ : neutră; peste $7$ : bazică. O diferență de $d$ unități de pH înseamnă un raport de $1 0^{d}$ între concentrații.

Nivelul sonor, în decibeli, este $L = 10 l g \frac{I}{I _{0}}$ , cu $I_{0} = 1 0^{- 12}$ W/m² (pragul de auz). Fiecare $10$ dB în plus înseamnă o intensitate de $10$ ori mai mare; dublarea intensității adaugă doar $10 l g 2 \approx 3$ dB.

Magnitudinea unui cutremur este $M = l g \frac{A}{A _{0}}$ , unde $A$ este amplitudinea maximă a undelor seismice. O unitate de magnitudine în plus înseamnă amplitudine de $10$ ori mai mare, iar energia eliberată crește de aproximativ $1 0^{1, 5} \approx 31, 6$ ori — pentru $d$ unități, raportul energiilor este $1 0^{1, 5 d}$ .

Capcana de evitat: formulările „de două ori mai mare pH" sau „cutremur de două ori mai puternic" nu au sens — se traduce mereu diferență pe scară în raport în realitate, niciodată invers.

De reținut

o treaptă în plus înmulțește mărimea, nu o adună
$pH = - l g [H^{+}]$ ; sub $7$ acid, peste $7$ bazic
dublarea intensității adaugă aproximativ $3$ decibeli

Greșeala tipică

Se spune că o soluție ar fi de două ori mai acidă fiindcă pH-ul diferă cu două unități, deși diferența pe scară înseamnă un raport de o sută de ori între concentrații.

Exerciții din această mini-lecție

O soluție are $[H^{+}] = 1 0^{- 9}$ mol/L. Cât este pH-ul ei și ce fel de soluție este?
- a) pH $= 9$ , bazică
- b) pH $= - 9$ , acidă
- c) pH $= 9$ , acidă
- d) pH $= 1/9$ , neutră
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) pH $= 9$ , bazică

$pH = - l g (1 0^{- 9}) = - (- 9) = 9$ . Cum $9 > 7$ , soluția este bazică.
Cu cât crește nivelul sonor, în decibeli, dacă intensitatea unui sunet se dublează?
- a) cu $10$ dB
- b) cu aproximativ $3$ dB
- c) cu $100$ dB
- d) rămâne neschimbat
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) cu aproximativ $3$ dB

$Δ L = 10 l g \frac{2 I}{I} = 10 l g 2 \approx 10 \cdot 0, 301 = 3, 01 \approx 3$ dB. Pentru a crește nivelul cu $10$ dB ar fi nevoie de o intensitate de zece ori mai mare.
Un cutremur are magnitudinea $7$ , altul magnitudinea $5$ . De câte ori este mai mare energia eliberată de primul, față de al doilea?
- a) de $2$ ori
- b) de $100$ de ori
- c) de $1000$ de ori
- d) de $31, 6$ ori
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) de $1000$ de ori

Diferența de magnitudine este $d = 7 - 5 = 2$ . Raportul energiilor este $1 0^{1, 5 \cdot 2} = 1 0^{3} = 1000$ — de o mie de ori mai multă energie. (Raportul amplitudinilor ar fi doar $1 0^{2} = 100$ .)

Întrebări conexe

Ce pH are o soluție cu concentrația 10 la minus 3?

Are pH-ul $3$ , fiindcă se ia logaritmul zecimal al concentrației cu semn schimbat. Cum rezultatul este sub $7$ , soluția este acidă. Tot așa, o concentrație de zece la puterea minus nouă dă pH-ul $9$ , deci o soluție bazică.

Ce înseamnă 0 decibeli?

Înseamnă intensitatea de referință, adică pragul de la care urechea începe să audă. Nu înseamnă lipsa sunetului: raportul dintre intensitate și referință este unu, iar logaritmul lui este zero. Sub acest prag apar chiar valori negative.

Cum citesc o axă logaritmică pe un grafic?

Diviziunile egale corespund înmulțirii cu același număr, de obicei zece. Între $1$ și $10$ se află aceeași distanță ca între $10$ și $100$ , deși diferența reală este mult mai mare. Așa încap pe același desen valori foarte mici și foarte mari.

Ce scară folosesc pentru date care cresc de mii de ori?

Una logaritmică, fiindcă altfel valorile mici s-ar lipi de axă și nu s-ar mai vedea nimic. Pe axa transformată, o creștere de zece ori ocupă mereu aceeași distanță, indiferent de unde pornești. De aceea graficele de cutremure sau de intensități sonore arată astfel.

Cum trec de la pH înapoi la concentrație?

Ridici zece la puterea egală cu pH-ul luat cu semn schimbat. Pentru pH-ul $5$ obții o concentrație de zece la puterea minus cinci moli pe litru. Operația este exact drumul invers al logaritmului, deci se face cu o putere.

Oamenii mai întreabă și: scară logaritmică explicată · ce este o scară logaritmică · pH decibeli magnitudine scară · de ce se folosește scara logaritmică