Simetria față de o dreaptă

Pune o oglindă pe marginea unui desen și privește ce se întâmplă: imaginea din oglindă este la fel ca desenul, dar „întoarsă", ca și cum ar fi căzut de cealaltă parte a sticlei. Această idee atât de obișnuită — reflectarea într-o oglindă — este, în matematică, simetria față de o dreaptă, numită și simetrie axială. Fluturele cu cele două aripi identice, litera A, fața omului, o frunză de tei, o farfurie de pe masă — toate ascund aceeași regulă geometrică. În această lecție vei învăța exact ce înseamnă simetricul unui punct față de o dreaptă, cum construiești simetricul unei figuri întregi și de ce simetria axială păstrează neschimbate lungimile și unghiurile. Vei folosi tot ce ai învățat despre perpendiculare și despre mediatoarea unui segment, așa că ești deja bine pregătit.

Ce vei învăța

Vei ști să definești corect simetricul unui punct față de o dreaptă, folosind perpendicularitatea și egalitatea distanțelor.
Vei ști să construiești simetricul unui punct față de o axă, cu echerul și rigla sau cu compasul.
Vei ști să construiești simetrica unei figuri (segment, triunghi, literă) față de o axă de simetrie.
Vei ști că simetria axială păstrează lungimile și unghiurile, deci figura și simetrica ei sunt congruente.
Vei ști să recunoști axele de simetrie ale unor figuri și să spui câte are fiecare.

Hai să descoperim împreună

Pornim de la oglindă

Imaginează-ți o oglindă așezată vertical pe masă, ca un perete subțire de sticlă. În fața ei pui o jucărie. În oglindă apare o copie a jucăriei. Acea copie are câteva trăsături foarte clare, pe care le observi imediat:

Este de aceeași mărime cu jucăria reală (oglinda nu mărește și nu micșorează).
Pare la fel de departe de sticlă pe cât este și jucăria, doar că de partea cealaltă.
Este întoarsă: ce era la dreapta la jucărie apare la stânga în oglindă.

În geometrie înlocuim oglinda cu o dreaptă și jucăria cu un punct (sau cu o figură). Dreapta joacă rolul oglinzii și o numim axă de simetrie. Copia din oglindă o numim simetricul punctului față de acea dreaptă. Toată lecția pornește de aici: traducem „reflectarea în oglindă" în limbajul exact al matematicii.

Simetricul unui punct față de o dreaptă

Hai să fim foarte preciși. Avem o dreaptă, să o notăm cu d, și un punct A care nu se află pe dreaptă. Vrem să găsim „reflexia" lui A în oglinda d. Cum o construim cu adevărat, matematic?

Facem doi pași simpli:

Coborâm o perpendiculară din A pe dreapta d. Această perpendiculară taie dreapta d într-un punct pe care îl numim M (piciorul perpendicularei). Drumul cel mai scurt de la A la dreaptă trece exact prin M — îți amintești din lecția despre distanța de la un punct la o dreaptă.
Prelungim acest drum de cealaltă parte a dreptei, exact cu aceeași lungime. Adică, pornind din M, mergem în continuare pe aceeași dreaptă perpendiculară, la fel de mult cât a fost de la M la A, și ajungem într-un punct nou A′ (citim „A prim").

Punctul A′ este simetricul lui A față de dreapta d.

Iată definiția scrisă riguros, așa cum o cere gimnaziul:

Definiție. Fie d o dreaptă și A un punct care nu aparține dreptei. Simetricul punctului A față de dreapta d este punctul A′ pentru care dreapta d este mediatoarea segmentului AA′.

Stai puțin — de ce am adus vorba de mediatoare? Pentru că exact asta facem! Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe segment care trece prin mijlocul lui. Iar noi am construit A′ astfel încât:

segmentul AA′ este perpendicular pe d (am coborât perpendiculara);
punctul M este mijlocul segmentului AA′ (am pus AM = MA′).

Așadar, dreapta d trece prin mijlocul lui AA′ și este perpendiculară pe AA′ — adică d este chiar mediatoarea segmentului AA′. Aceasta este inima întregii lecții. Reține-o bine: a fi simetric față de o dreaptă înseamnă că dreapta este mediatoarea segmentului care unește punctul cu simetricul lui.

Două situații speciale

Există două cazuri care merită lămurite de la început, ca să nu te încurce mai târziu.

Cazul 1: punctul este chiar pe axă. Dacă punctul B se află pe dreapta d, atunci „reflexia" lui este... el însuși! Gândește-te la oglindă: dacă atingi sticla cu degetul, reflexia degetului este exact în același loc. Spunem că simetricul unui punct de pe axă este chiar acel punct. Scriem B′ = B. Punctele de pe axă se numesc puncte fixe, fiindcă simetria nu le mișcă deloc.

Cazul 2: două aplicări ale simetriei. Dacă A′ este simetricul lui A, atunci, întorcând povestea, A este simetricul lui A′. Simetria merge în ambele sensuri, fiindcă mediatoarea segmentului AA′ este aceeași dreaptă, indiferent dinspre care capăt privești. Dacă reflectezi reflexia, te întorci la punctul de plecare.

Cum construim simetricul unui punct — pas cu pas

Hai să facem construcția împreună, ca și cum ai avea creionul în mână. Ai nevoie de riglă și de echer (sau de compas). Avem dreapta d și punctul A.

Metoda cu echerul (cea mai rapidă):

Așază echerul cu o catetă (latura care formează unghiul drept) pe dreapta d.
Alunecă echerul de-a lungul dreptei până când cealaltă latură a unghiului drept trece prin punctul A. Trasează această perpendiculară; ea taie d în punctul M.
Cu rigla, măsoară lungimea segmentului AM (de exemplu 3 cm).
Pe aceeași perpendiculară, dar de cealaltă parte a dreptei d, măsoară din M aceeași lungime (3 cm) și marchează punctul A′.
Gata: A′ este simetricul lui A față de d.

Metoda cu compasul (fără echer):

Pune vârful compasului în A și trasează un arc care taie dreapta d în două puncte, P și Q.
Păstrând aceeași deschidere a compasului, pune vârful în P și apoi în Q și trasează două arce sub dreaptă; ele se intersectează în A′.
Acel A′ este simetricul căutat.

A doua metodă funcționează tocmai pentru că P și Q sunt egal depărtate atât de A, cât și de A′; asta înseamnă că amândouă se află pe mediatoarea segmentului AA′, deci dreapta d este chiar mediatoarea lui AA′ — adică A′ este simetricul căutat.

De la un punct la o figură întreagă

Acum vine partea cu adevărat interesantă. O figură (un segment, un triunghi, o literă, o stea) este, de fapt, o mulțime de puncte. Ca să găsim simetrica unei figuri, reflectăm fiecare punct al ei față de axă. În practică nu reflectăm toate punctele — ar fi infinite! — ci doar punctele importante: vârfurile. Apoi unim simetricele vârfurilor la fel cum erau unite în figura inițială.

Să luăm un segment AB. Construim A′ (simetricul lui A) și B′ (simetricul lui B), apoi unim A′ cu B′. Segmentul A′B′ este simetricul segmentului AB. Vei observa un lucru uimitor: A′B′ are exact aceeași lungime ca AB. Oglinda nu modifică lungimile.

Să luăm un triunghi ABC. Construim simetricele celor trei vârfuri: A′, B′, C′. Unim A′B′C′ și obținem un triunghi care este copia oglindită a triunghiului ABC. Cele două triunghiuri sunt congruente (au laturile și unghiurile respectiv egale), doar că sunt orientate invers, ca mâna stângă față de mâna dreaptă.

Proprietățile simetriei axiale

Iată proprietatea cea mai importantă din toată lecția, scrisă ca o regulă:

Proprietate. Simetria față de o dreaptă păstrează lungimile segmentelor și păstrează măsurile unghiurilor. Prin urmare, o figură și simetrica ei sunt congruente.

Ce înseamnă asta în cuvinte simple? Înseamnă că oglinda este „cinstită": nu lungește, nu scurtează, nu îndoaie. Dacă un segment avea 5 cm, simetricul lui are tot 5 cm. Dacă un unghi avea 40°, simetricul lui are tot 40°. Aria figurii rămâne aceeași, perimetrul rămâne același. Singurul lucru care se schimbă este orientarea: stânga devine dreapta.

De aceea spunem că simetria axială este o izometrie — un cuvânt savant care înseamnă „aceeași măsură" (din grecescul isos = egal și metron = măsură). Nu trebuie să reții termenul, dar ideea da: simetria mută figura fără să o deformeze.

Axa de simetrie a unei figuri

Până acum am reflectat o figură ca să obținem o alta, în altă parte a foii. Dar uneori se întâmplă ceva special: simetrica unei figuri se suprapune exact peste figura însăși. Atunci spunem că acea dreaptă este o axă de simetrie a figurii.

Definiție. O dreaptă d este axă de simetrie a unei figuri dacă simetrica figurii față de d coincide cu figura însăși.

Testul practic e foarte intuitiv: dacă îndoi foaia de-a lungul dreptei d și cele două jumătăți ale figurii se suprapun perfect, una peste alta, atunci d este axă de simetrie. Exact așa verifici dacă un fluture de hârtie e bine decupat: îl îndoi pe mijloc și aripile trebuie să se acopere.

Hai să vedem câteva exemple, fiindcă numărul axelor diferă de la o figură la alta:

Litera A (de tipar) are o axă de simetrie: una verticală, prin mijloc.
Litera H are două axe: una verticală și una orizontală.
Litera S nu are nicio axă de simetrie (oricum ai îndoi-o, nu se suprapune).
Un dreptunghi (care nu e pătrat) are două axe: cele care trec prin mijloacele laturilor opuse. Atenție: diagonalele dreptunghiului nu sunt axe de simetrie!
Un pătrat are patru axe: două prin mijloacele laturilor și două pe diagonale.
Un triunghi echilateral are trei axe de simetrie.
Un cerc are o infinitate de axe: orice dreaptă care trece prin centru este axă de simetrie.

O greșeală foarte des întâlnită este să crezi că orice diagonală e axă de simetrie. La pătrat diagonalele chiar sunt axe, dar la dreptunghi nu — dacă îndoi dreptunghiul pe diagonală, colțurile nu se suprapun. Verifică mereu cu „testul îndoirii".

Construcția pe foaia de matematică (cu pătrățele)

Cel mai ușor exercițiu de simetrie îl faci pe foaia de matematică, fiindcă pătrățelele îți numără singure distanțele. Hai să vedem cum.

Alege axa de simetrie pe o linie a caietului — de exemplu o linie verticală îngroșată. Acum ia un punct A care se află la 3 pătrățele în stânga axei și la o anumită înălțime. Ca să găsești simetricul A′, faci doar atât: numeri 3 pătrățele în dreapta axei, la aceeași înălțime. Atât! Punctul A′ este la fel de depărtat de axă, dar de partea opusă.

Regula pe pătrățele este foarte simplă și o poți repeta ca pe o poezie:

dacă axa e verticală, simetricul are aceeași înălțime, dar trece de partea cealaltă la același număr de pătrățele pe orizontală;
dacă axa e orizontală, simetricul rămâne pe aceeași coloană, dar coboară sau urcă de partea cealaltă cu același număr de pătrățele pe verticală.

Așa poți reflecta o figură întreagă: numeri pentru fiecare vârf câte pătrățele e față de axă, treci de cealaltă parte la fel de multe și unești vârfurile noi în aceeași ordine. Este exact metoda pe care o folosesc desenatorii de jocuri ca să facă personajele „să se uite în oglindă".

O scurtă poveste ca să ții minte

Gândește-te la doi gemeni așezați față în față, cu o linie desenată pe podea între ei, ca o oglindă. Fiecare gest pe care îl face primul geamăn, al doilea îl repetă oglindit: primul ridică mâna dreaptă, al doilea ridică mâna stângă; primul face un pas la 30 cm de linie, al doilea face exact un pas la 30 cm de linie, dar de partea cealaltă. Gemenii sunt mereu la distanță egală de linie, pe direcție perpendiculară pe ea. Dacă cineva s-ar așeza chiar pe linie, n-ar avea pereche — ar fi propriul lui geamăn. Așa funcționează simetria axială: linia de pe podea este axa, iar gemenii sunt punctul și simetricul lui.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Simetricul unui punct, prin distanță

Pe o dreaptă orizontală d, punctul M este piciorul perpendicularei din A. Știm că distanța de la A la dreaptă este AM = 4 cm. Cât este lungimea segmentului AA′, unde A′ este simetricul lui A față de d?

Rezolvare. Din definiție, M este mijlocul segmentului AA′, deci MA′ = AM = 4 cm. Atunci:

AA′ = AM + MA′ = 4 cm + 4 cm = 8 cm.

Reține tiparul: distanța dintre un punct și simetricul lui este de două ori distanța de la punct la axă. (AA′ = 2 · AM.)

Exemplul 2 — Distanțele la axă sunt egale

Punctul P se află la 5,5 cm de dreapta d. Construim P′, simetricul lui P față de d. La ce distanță de dreapta d se află P′?

Rezolvare. Simetria față de o dreaptă păstrează distanțele față de axă: simetricul este la fel de departe de oglindă ca originalul, doar de cealaltă parte. Deci distanța de la P′ la dreapta d este tot 5,5 cm.

Justificare scurtă: dacă N este piciorul perpendicularei din P pe d, atunci P′ este pe aceeași perpendiculară, cu NP′ = NP = 5,5 cm. Distanța de la P′ la dreaptă se măsoară tot pe perpendiculară și este NP′ = 5,5 cm.

Exemplul 3 — Lungimea unui segment simetric

Segmentul AB are lungimea de 7 cm. Construim simetricul lui față de o dreaptă d și obținem segmentul A′B′. Cât măsoară A′B′? Dar dacă unghiul dintre AB și o altă dreaptă era de 35°, cât devine unghiul corespunzător în figura simetrică?

Rezolvare. Simetria axială este o izometrie, deci păstrează lungimile și unghiurile:

A′B′ = AB = 7 cm (lungimea nu se schimbă).
Unghiul corespunzător din figura simetrică are tot 35° (măsura unghiului nu se schimbă).

Singurul lucru care se modifică este orientarea: figura A′B′ este oglindită față de AB.

Exemplul 4 — Simetricul unui triunghi și perimetrul lui

Triunghiul ABC are laturile AB = 6 cm, BC = 8 cm și CA = 5 cm. Reflectăm triunghiul față de o dreaptă d și obținem triunghiul A′B′C′. Care este perimetrul triunghiului A′B′C′?

Rezolvare. Prin simetrie axială, fiecare latură își păstrează lungimea: A′B′ = 6 cm, B′C′ = 8 cm, C′A′ = 5 cm. Triunghiurile ABC și A′B′C′ sunt congruente, deci au același perimetru:

P = A′B′ + B′C′ + C′A′ = 6 + 8 + 5 = 19 cm.

Perimetrul triunghiului reflectat este egal cu perimetrul triunghiului inițial: oglinda nu adaugă și nu scoate nimic.

Exemplul 5 — Punct de pe axă

Dreapta d trece prin punctul T. Care este simetricul lui T față de d? Dar dacă punctul S este la 2 cm de d, unde se află S′ față de dreapta d?

Rezolvare. Punctul T se află pe axă, deci este punct fix: simetricul lui este chiar el, T′ = T.

Pentru S, simetricul S′ se află de cealaltă parte a dreptei, tot la 2 cm de ea, pe perpendiculara din S. Distanța de la S′ la axă este 2 cm, iar segmentul SS′ = 2 · 2 = 4 cm, perpendicular pe d.

Exemplul 6 — Numărarea axelor de simetrie

Câte axe de simetrie are fiecare dintre figurile: un pătrat, un dreptunghi care nu e pătrat, un triunghi echilateral și litera de tipar T?

Rezolvare.

Pătratul: 4 axe (două prin mijloacele laturilor opuse și două pe diagonale).
Dreptunghiul (care nu e pătrat): 2 axe (doar cele prin mijloacele laturilor opuse; diagonalele nu sunt axe).
Triunghiul echilateral: 3 axe (fiecare trece printr-un vârf și prin mijlocul laturii opuse).
Litera T: 1 axă (verticală, prin mijloc).

Verifică fiecare cu „testul îndoirii": îndoi figura pe presupusa axă și cele două jumătăți trebuie să se suprapună perfect.

Să exersăm

Completează: simetricul unui punct A față de o dreaptă d este punctul A′ pentru care dreapta d este ............... segmentului AA′.
Adevărat sau fals? Simetria față de o dreaptă schimbă lungimea unui segment.
Adevărat sau fals? Dacă un punct se află pe axa de simetrie, atunci simetricul lui este chiar el.
Punctul A se află la 3 cm de dreapta d. Cât este lungimea segmentului AA′, unde A′ este simetricul lui A față de d?
Segmentul MN are 9 cm. Care este lungimea segmentului M′N′, simetricul lui față de o dreaptă?
Un unghi are măsura de 62°. Ce măsură are simetricul lui față de o dreaptă?
Încercuiește figura care nu are nicio axă de simetrie: (a) pătrat; (b) litera S; (c) cerc; (d) triunghi echilateral.
Câte axe de simetrie are un dreptunghi care nu este pătrat?
Completează: distanța dintre un punct și simetricul lui față de o dreaptă este egală cu ............... distanța de la punct la dreaptă.
Desenează o dreaptă d și un punct P în afara ei. Construiește, cu rigla și echerul, simetricul P′ al punctului P față de d.
Triunghiul ABC are perimetrul 24 cm. Care este perimetrul triunghiului A′B′C′, simetricul lui față de o dreaptă?
Potrivește fiecare figură cu numărul axelor sale de simetrie: (A) pătrat — (B) litera H — (C) cerc — (D) litera A
1. o axă; 2) două axe; 3) patru axe; 4) o infinitate de axe.
Punctul B este la 4 cm de dreapta d, iar B′ este simetricul lui. La ce distanță de d se află B′?
Adevărat sau fals? Diagonalele unui dreptunghi (care nu e pătrat) sunt axe de simetrie ale lui.
Pe o foaie, desenează un segment AB de 5 cm și o dreaptă d care nu îl atinge. Construiește simetricul A′B′ și măsoară-l: ce lungime trebuie să-ți dea?
Litera de tipar E are axă de simetrie? Dacă da, este verticală sau orizontală?
Punctul A are simetricul A′ față de dreapta d, iar AA′ = 10 cm. Cât este distanța de la A la dreapta d?
Pe foaia de matematică, axa de simetrie este verticală. Punctul A se află la 4 pătrățele în stânga axei. La câte pătrățele de axă și în ce parte se află simetricul A′?
Adevărat sau fals? Un cerc are exact două axe de simetrie.
Problemă. Un steag dreptunghiular are pe el desenat un triunghi cu laturile de 12 cm, 12 cm și 8 cm. Croitorul vrea să coasă pe spatele steagului exact „oglinda" triunghiului, simetrica lui față de marginea verticală a steagului. Cât material de tiv (perimetru) îi trebuie pentru triunghiul de pe spate?

Răspunsuri și explicații

mediatoarea. Aceasta este definiția: d este mediatoarea lui AA′ (perpendiculară pe el și prin mijlocul lui).
Fals. Simetria axială păstrează lungimile; segmentul și simetricul lui sunt egale.
Adevărat. Punctele de pe axă sunt puncte fixe: B′ = B.
6 cm. AA′ = 2 · 3 = 6 cm (axa trece prin mijlocul lui AA′, deci AM = MA′ = 3 cm).
9 cm. Lungimea se păstrează: M′N′ = MN = 9 cm.
62°. Simetria păstrează măsurile unghiurilor.
(b) litera S. S nu se suprapune peste ea prin nicio îndoire. (Pătratul are 4 axe, cercul o infinitate, triunghiul echilateral 3.)
2 axe — cele prin mijloacele laturilor opuse. Diagonalele nu sunt axe.
dublul (de două ori). AA′ = 2 · (distanța de la A la d).
Construcție. Coboară perpendiculara din P pe d (cu echerul), notează cu M piciorul ei, măsoară PM și raportează aceeași lungime de cealaltă parte a dreptei, obținând P′. Verificare: d trebuie să fie mediatoarea lui PP′.
24 cm. Perimetrul se păstrează prin simetrie (figurile sunt congruente).
A–3 (pătrat: patru axe); B–2 (litera H: două axe); C–4 (cerc: infinitate); D–1 (litera A: o axă verticală).
4 cm. Simetricul este la aceeași distanță de axă ca originalul.
Fals. La dreptunghi diagonalele nu sunt axe de simetrie (îndoit pe diagonală, colțurile nu se suprapun). Doar la pătrat diagonalele sunt axe.
5 cm. A′B′ = AB = 5 cm — oglinda păstrează lungimea.
Da, are o singură axă, orizontală (prin mijlocul literei). Vertical, litera E nu se suprapune.
5 cm. Axa trece prin mijlocul lui AA′, deci distanța de la A la d este jumătate din AA′: 10 : 2 = 5 cm.
4 pătrățele în dreapta axei, la aceeași înălțime. Pe foaia de matematică, simetricul față de o axă verticală păstrează înălțimea și trece de partea opusă la același număr de pătrățele.
Fals. Cercul are o infinitate de axe de simetrie: orice dreaptă care trece prin centrul lui.
32 cm. Simetria păstrează lungimile laturilor, deci triunghiul de pe spate are aceleași laturi: 12 + 12 + 8 = 32 cm de tiv.

De reținut

Simetricul A′ al unui punct A față de o dreaptă d se află astfel încât d este mediatoarea segmentului AA′: d este perpendiculară pe AA′ și trece prin mijlocul lui.
Distanțele se păstrează: A și A′ sunt egal depărtate de axă, iar AA′ = 2 · (distanța de la A la d).
Simetria axială păstrează lungimile și unghiurile, deci o figură și simetrica ei sunt congruente (au același perimetru și aceeași arie); se schimbă doar orientarea.
Un punct de pe axă rămâne pe loc (este punct fix): simetricul lui este el însuși.
O dreaptă este axă de simetrie a unei figuri dacă, îndoind figura pe acea dreaptă, cele două jumătăți se suprapun perfect (pătrat: 4 axe, dreptunghi: 2, triunghi echilateral: 3, cerc: o infinitate).

Greșeli frecvente

Confuzia stânga–dreapta vs. perpendiculară. Mulți elevi „mută" punctul orizontal, de cealaltă parte a axei, fără să țină cont de direcție. Reține: simetricul se obține mereu pe perpendiculara dusă din punct pe axă, nu pe orice direcție.
Distanța dublată. Se confundă AA′ (distanța dintre punct și simetric) cu AM (distanța de la punct la axă). Corect: AA′ = 2 · AM. Întreabă-te mereu „mă întreabă distanța până la oglindă sau până la geamăn?".
Diagonalele dreptunghiului ca axe. Este greșit să spui că diagonalele dreptunghiului sunt axe de simetrie. La dreptunghi axele sunt doar cele prin mijloacele laturilor. Verifică prin îndoire.
Crezi că oglinda schimbă mărimea. Simetria nu mărește și nu micșorează nimic. Dacă răspunsul tău spune că segmentul simetric are altă lungime, ceva e greșit — lungimile sunt mereu egale.

Joc acasă

Pata de simetrie. Ia o foaie albă, îndoaie-o pe mijloc și redeschide-o. Pune câteva picături de vopsea (sau pastă de dinți colorată) pe o jumătate, lângă pliu. Îndoaie din nou foaia și apasă ușor, apoi deschide. Vei obține un model perfect simetric față de linia de îndoire — exact ca un fluture! Linia de pliu este axa de simetrie.
Vânătoarea de axe prin casă. Plimbă-te prin casă cu o foaie de hârtie și notează 5 obiecte care au axă de simetrie (o farfurie, o lingură, o ușă, o literă de pe o cutie) și 3 obiecte care nu au. Pentru fiecare, desenează obiectul și trasează cu linie punctată axele găsite. Câte axe are farfuria? (Răspuns: o infinitate, ca cercul.)
Oglinda și rigla. Așază o oglinjoară vertical pe o foaie, lipită de o dreaptă desenată. Pune un punct A la 4 cm de oglindă și privește reflexia lui. Ridică oglinda și marchează unde părea reflexia: A′. Măsoară cu rigla — distanța de la A′ la dreaptă trebuie să fie tot 4 cm. Ai verificat experimental proprietatea simetriei!

Pentru părinți și învățători

Această lecție leagă două idei pe care copilul le-a întâlnit deja: perpendicularitatea și mediatoarea unui segment. Cel mai puternic mod de a o preda este experimental, prin pliere și oglindă, înainte de a trece la construcția cu instrumente.

Cum predați pas cu pas:

Începeți cu o oglindă reală sau cu plierea unei foi. Lăsați copilul să observe singur că reflexia este „la fel de departe, de partea cealaltă" și „întoarsă".
Treceți apoi la limbajul exact: axă = oglinda, simetric = reflexia. Insistați pe ideea-cheie că axa este mediatoarea segmentului dintre punct și simetricul lui — aici se concentrează toată rigoarea geometrică.
Cereți-i să construiască simetricul unui punct cu echerul și rigla, verificând la final că AM = MA′ și că unghiul la M este drept.

Întrebări bune de pus:

„Dacă punctul este chiar pe dreaptă, unde ajunge simetricul lui?" (Pe loc — punct fix.)
„Se schimbă lungimea segmentului când îl reflectăm?" (Nu — testează înțelegerea izometriei.)
„Câte axe are un dreptunghi? Dar diagonalele sunt axe?" (Două; diagonalele nu sunt — eroarea clasică.)

Cum verificați că a înțeles: dați-i o literă de tipar la întâmplare și cereți-i să spună câte axe are și să le deseneze, justificând prin îndoire. Dacă reușește să explice de ce litera S nu are nicio axă, a prins esența.

Întrebări frecvente

Ce este simetria față de o dreaptă în clasa a VI-a? Este reflectarea unui punct sau a unei figuri într-o „oglindă" care este o dreaptă, numită axă. Simetricul unui punct A este punctul A′ pentru care dreapta este mediatoarea segmentului AA′. Se mai numește și simetrie axială.

Cum construiesc simetricul unui punct față de o dreaptă? Cobori perpendiculara din punct pe dreaptă și notezi cu M piciorul ei. Apoi măsori distanța de la punct la M și o raportezi cu aceeași lungime de cealaltă parte a dreptei. Punctul nou obținut este simetricul căutat.

Ce este o axă de simetrie? Este o dreaptă care împarte o figură în două jumătăți care se suprapun perfect prin îndoire. Dacă pliezi figura pe acea dreaptă și cele două părți coincid, dreapta este axă de simetrie a figurii.

Câte axe de simetrie are un pătrat? Un pătrat are patru axe de simetrie: două care trec prin mijloacele laturilor opuse și două care sunt diagonalele lui. La dreptunghiul care nu este pătrat sunt doar două axe, iar diagonalele nu sunt axe.

Simetria axială schimbă lungimile sau unghiurile? Nu. Simetria față de o dreaptă păstrează atât lungimile segmentelor, cât și măsurile unghiurilor. De aceea o figură și simetrica ei sunt congruente, având același perimetru și aceeași arie; se schimbă doar orientarea.

Care este diferența dintre simetria față de o dreaptă și simetria față de un punct? La simetria față de o dreaptă, „oglinda" este o dreaptă, iar figura apare oglindită (stânga devine dreapta). La simetria față de un punct, figura se rotește cu 180° în jurul acelui punct. În clasa a VI-a studiem mai ales simetria axială, față de o dreaptă.

De ce un punct de pe axă rămâne pe loc? Pentru că distanța de la el la axă este zero. Simetricul trebuie să fie la aceeași distanță de cealaltă parte, dar zero de o parte înseamnă tot zero — deci punctul coincide cu el însuși. Aceste puncte se numesc puncte fixe.

Cum verific repede dacă o dreaptă este axă de simetrie? Folosește „testul îndoirii": îndoaie figura de-a lungul dreptei. Dacă cele două jumătăți se suprapun exact, una peste cealaltă, dreapta este axă de simetrie; dacă rămân părți care ies în afară, nu este.