Mediatoarea unui segment. Construcția mediatoarei

Imaginează-ți două orașe pe o hartă și că vrei să construiești o stație de încărcare pentru mașini electrice exact la fel de aproape de amândouă. Unde o pui? Răspunsul ascunde o dreaptă specială pe care matematicienii o numesc mediatoarea unui segment. În această lecție de matematică pentru clasa a VI-a vei descoperi ce este mediatoarea, cum o construiești corect cu compasul și rigla și de ce fiecare punct de pe ea este la fel de depărtat de capetele segmentului. Pregătește-ți rigla, compasul și un creion bine ascuțit — facem geometrie adevărată.

Ce vei învăța

Vei ști să definești corect mediatoarea unui segment ca perpendiculara dusă prin mijlocul segmentului.
Vei ști să construiești mediatoarea unui segment cu compasul și rigla, pas cu pas.
Vei ști să folosești proprietatea punctelor de pe mediatoare: ele sunt egal depărtate de capetele segmentului.
Vei ști să recunoști mediatoarea într-o figură și să o deosebești de alte drepte (perpendiculară oarecare, bisectoare, mijlocul segmentului).
Vei ști să rezolvi aplicații și probleme în care apar puncte egal depărtate de două puncte fixe.

Hai să descoperim împreună

Ne amintim trei lucruri din lecțiile trecute

Înainte de a porni, hai să ne reamintim trei idei pe care le folosim imediat. Sunt ca trei unelte din trusă.

Segmentul. Un segment $[A B]$ este bucata de dreaptă cuprinsă între două puncte $A$ și $B$ , numite capetele (sau extremitățile) segmentului. Lungimea lui se notează $A B$ .

Mijlocul unui segment. Mijlocul segmentului $[A B]$ este punctul $M$ situat pe segment, la egală distanță de capete: $M A = M B$ . El împarte segmentul în două bucăți egale.

Drepte perpendiculare. Două drepte sunt perpendiculare dacă, întâlnindu-se, formează un unghi de $90°$ (unghi drept). Scriem $d ⊥ A B$ și marcăm unghiul drept cu un mic pătrățel. Dacă vrei să revezi cum se trasează o perpendiculară, ai lecția Drepte perpendiculare: definiție și construcție.

Acum punem cele două idei împreună — mijlocul și perpendiculara — și obținem o dreaptă nouă.

Ce este mediatoarea unui segment

Hai să facem un experiment în minte. Desenăm segmentul $[A B]$ . Găsim mijlocul $M$ . Și acum, prin $M$ , ridicăm o dreaptă perpendiculară pe segment. Această dreaptă are un nume:

Definiție. Mediatoarea unui segment $[A B]$ este dreapta perpendiculară pe segment, care trece prin mijlocul lui.

Cu alte cuvinte, mediatoarea are două însușiri în același timp:

trece prin mijlocul $M$ al segmentului (deci $M A = M B$ );
este perpendiculară pe segment ( $d ⊥ A B$ , unghi de $90°$ ).

Reține bine: amândouă condițiile trebuie să fie îndeplinite. O dreaptă care trece prin mijloc, dar nu e perpendiculară, nu este mediatoare. O dreaptă perpendiculară pe segment, dar care taie segmentul în alt punct decât mijlocul, nu este mediatoare. Doar perpendiculara dusă exact prin mijloc este mediatoarea.

De ce „mediatoare"? Cuvântul vine de la „median" / „mijloc" — ea trece prin mijlocul segmentului. E ușor de ținut minte: mediatoare → mijloc.

O analogie ca să nu uiți niciodată

Gândește-te la o balanță cu două talere. La capete pui două greutăți egale, $A$ și $B$ . Linia de echilibru — axul perfect drept care stă vertical chiar la mijloc — este ca mediatoarea: trece fix prin centru și stă „drept", la $90°$ față de bara balanței. Orice abatere de la mijloc sau de la verticală strică echilibrul. La fel, orice abatere strică mediatoarea.

O a doua analogie: o foaie de hârtie pe care e desenat segmentul $[A B]$ . Dacă îndoi foaia astfel încât punctul $A$ să cadă exact peste punctul $B$ , cuta (linia de îndoire) este chiar mediatoarea segmentului. Vom folosi acest truc la „Joc acasă".

Marea proprietate: punctele de pe mediatoare sunt egal depărtate de capete

Acum vine partea cea mai puternică a lecției, proprietatea care face mediatoarea atât de folositoare.

Proprietatea mediatoarei. Orice punct $P$ situat pe mediatoarea segmentului $[A B]$ este egal depărtat de capetele segmentului: $P A = P B .$ Și reciproc: orice punct egal depărtat de $A$ și $B$ se află pe mediatoarea segmentului $[A B]$ .

Cu alte cuvinte: mediatoarea este „drumul" tuturor punctelor care văd capetele $A$ și $B$ de la aceeași distanță. Dacă stai pe mediatoare, ești la fel de aproape de $A$ ca și de $B$ . Dacă ești la fel de aproape de $A$ și de $B$ , atunci sigur stai pe mediatoare.

Hai să înțelegem de ce este adevărat, pas cu pas, fără formule complicate.

De ce un punct de pe mediatoare e egal depărtat de capete? Fie $P$ un punct oarecare de pe mediatoare și $M$ mijlocul segmentului. Privește cele două triunghiuri mici: $P M A$ și $P M B$ .

Latura $P M$ este comună amândurora (e aceeași).
$M A = M B$ , pentru că $M$ este mijlocul segmentului.
Unghiurile din $M$ sunt amândouă de $90°$ , pentru că mediatoarea e perpendiculară pe segment.

Cele două triunghiuri au, deci, două laturi egale și unghiul dintre ele egal. Sunt „la fel de mari", adică oglindite unul față de celălalt. De aceea și a treia latură este egală: $P A = P B$ . (Mai târziu, la Criteriul de congruență LUL, vei demonstra riguros acest pas; pentru clasa a VI-a, ideea de oglindire este suficientă acum.)

De ce e adevărat și reciproc? Dacă un punct $Q$ are $Q A = QB$ , înseamnă că $Q$ „ține echilibrul" între $A$ și $B$ , deci nu poate fi decât pe linia de echilibru — mediatoarea. Un punct mai aproape de $A$ ar avea $Q A < QB$ ; unul mai aproape de $B$ ar avea $Q A > QB$ . Egalitatea perfectă $Q A = QB$ se întâmplă exact pe mediatoare.

Reține fraza de aur a lecției: „Pe mediatoare ⇔ egal depărtat de capete." Săgeata dublă înseamnă că merge în ambele sensuri.

Construcția mediatoarei cu compasul și rigla

A trasa „din ochi" o perpendiculară prin mijloc nu e geometrie precisă. Matematicienii construiesc mediatoarea folosind doar compasul și rigla (rigla doar ca să unești puncte, fără să citești pe ea), iar rezultatul iese perfect, fără să măsori nimic. Iată rețeta, pas cu pas.

Pasul 1 — Pregătește segmentul. Desenează segmentul $[A B]$ . Dacă îl ai deja, sari direct la pasul 2.

Pasul 2 — Deschide compasul mai mult de jumătate. Pune vârful compasului în $A$ și deschide-l la o rază $r$ mai mare decât jumătate din lungimea segmentului ( $r > \frac{A B}{2}$ ). E important: dacă deschizi prea puțin, arcele nu se vor întâlni. O alegere comodă: aproape cât tot segmentul.

Pasul 3 — Trasează primul arc. Cu vârful în $A$ și deschiderea $r$ , trasează un arc de cerc care trece pe deasupra și pe dedesubtul segmentului (un arc destul de lung de fiecare parte).

Pasul 4 — Trasează al doilea arc, cu aceeași deschidere. Foarte important: nu schimba deschiderea compasului. Mută vârful în $B$ și, cu aceeași rază $r$ , trasează un al doilea arc. Cele două arce se vor intersecta în două puncte: unul deasupra segmentului, să-l numim $C$ , și unul dedesubt, să-l numim $D$ .

Pasul 5 — Unește punctele de intersecție. Cu rigla, trasează dreapta care trece prin $C$ și $D$ . Aceasta este mediatoarea segmentului $[A B]$ ! Ea taie segmentul exact în mijlocul $M$ și formează unghi de $90°$ cu el.

De ce funcționează această construcție? Iată secretul, și e chiar proprietatea de mai sus. Punctul $C$ a fost obținut din $A$ și din $B$ cu aceeași deschidere de compas, deci $C A = C B$ . La fel, $D A = D B$ . Așadar atât $C$ , cât și $D$ sunt egal depărtate de $A$ și $B$ — și știm că toate punctele egal depărtate de capete stau pe mediatoare! Două puncte determină o dreaptă unică, deci dreapta $C D$ este mediatoarea. Vezi cât de frumos se leagă construcția de proprietate?

Greșeala de evitat la construcție: dacă schimbi deschiderea compasului între pasul 3 și pasul 4, arcele se taie în puncte care nu mai sunt egal depărtate de $A$ și $B$ , iar dreapta obținută nu va mai fi mediatoarea. Regula de aur: aceeași deschidere pentru ambele arce.

Cum găsești mijlocul unui segment folosind mediatoarea

Construcția de mai sus îți dă, ca bonus, mijlocul segmentului fără riglă gradată: punctul $M$ în care mediatoarea taie segmentul $[A B]$ este mijlocul lui. Așadar, dacă cineva îți cere „găsește mijlocul lui $[A B]$ doar cu compasul și rigla", construiești mediatoarea și citești unde taie ea segmentul. Foarte util la construcții și la probleme.

Unde se folosește mediatoarea — patru aplicații concrete

Mediatoarea nu e doar o linie frumoasă; rezolvă probleme reale.

1. Locul egal depărtat de două puncte. Vrei un loc la fel de aproape de două sate $A$ și $B$ (o fântână, o stație, o antenă)? Orice punct de pe mediatoarea lui $[A B]$ e o soluție. Dacă, în plus, vrei să fie pe un anumit drum, punctul căutat este intersecția mediatoarei cu acel drum.

2. Centrul cercului care trece prin două puncte. Dacă vrei un cerc care trece și prin $A$ , și prin $B$ , centrul lui trebuie să fie egal depărtat de cele două (raza e aceeași), deci centrul stă pe mediatoarea lui $[A B]$ .

3. Cercul circumscris unui triunghi. Mai târziu vei vedea la Mediatoarele unui triunghi. Cercul circumscris că mediatoarele celor trei laturi ale unui triunghi se întâlnesc într-un singur punct, egal depărtat de toate vârfurile — centrul cercului care trece prin toate trei. Astăzi punem temelia pentru acea lecție.

4. Simetria față de o dreaptă. Două puncte sunt simetrice față de o dreaptă dacă dreapta este mediatoarea segmentului care le unește. Vei aprofunda la Simetria față de o dreaptă.

Mediatoarea NU este bisectoarea — atenție la confuzie

Mediatoarea seamănă la nume cu bisectoarea, dar sunt lucruri diferite:

Mediatoarea este legată de un segment: e perpendiculara prin mijlocul lui. Punctele ei sunt egal depărtate de capetele segmentului.
Bisectoarea este legată de un unghi: e semidreapta care împarte unghiul în două unghiuri egale. Punctele ei sunt egal depărtate de laturile unghiului.

Dacă vrei să revezi bisectoarea, ai lecția Bisectoarea unui unghi. Construcția bisectoarei. Ține minte: mediatoare → segment și mijloc; bisectoare → unghi tăiat în doi.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recunoaștem mediatoarea

Pe figură, dreapta $d$ trece prin mijlocul $M$ al segmentului $[A B]$ și formează cu el un unghi de $90°$ . Este $d$ mediatoarea segmentului $[A B]$ ?

Rezolvare. Verificăm cele două condiții din definiție:

$d$ trece prin mijlocul segmentului? Da, prin $M$ , mijlocul. ✓
$d$ este perpendiculară pe segment? Da, unghiul este $90°$ . ✓

Amândouă condițiile sunt îndeplinite, deci da, $d$ este mediatoarea segmentului $[A B]$ .

Exemplul 2 — Folosim proprietatea mediatoarei

Punctul $P$ se află pe mediatoarea segmentului $[A B]$ . Știm că $P A = 7$ cm. Cât este $P B$ ?

Rezolvare. Proprietatea mediatoarei spune că orice punct de pe ea este egal depărtat de capete: $P A = P B$ . Deci $P B = P A = 7$ cm. Nu trebuie să măsurăm nimic — proprietatea ne dă răspunsul direct.

Exemplul 3 — De la „egal depărtat" la „pe mediatoare"

Un punct $Q$ are $Q A = QB = 5$ cm. Putem fi siguri că $Q$ se află pe mediatoarea segmentului $[A B]$ ?

Rezolvare. Da. Reciproca proprietății spune: orice punct egal depărtat de $A$ și de $B$ se află pe mediatoarea lui $[A B]$ . Cum $Q A = QB$ , punctul $Q$ este pe mediatoare. (Observă că nu contează cât de mare e segmentul $A B$ ; contează doar că distanțele la capete sunt egale.)

Exemplul 4 — O mică ecuație cu mediatoarea

Punctul $P$ este pe mediatoarea segmentului $[A B]$ . Se știe că $P A = 2 x + 3$ și $P B = x + 8$ (în cm). Află $x$ și apoi lungimea $P A$ .

Rezolvare. Fiindcă $P$ e pe mediatoare, avem $P A = P B$ : $2 x + 3 = x + 8.$ Scădem $x$ din ambii membri: $x + 3 = 8$ . Scădem $3$ : $x = 5$ . Atunci $P A = 2 \cdot 5 + 3 = 13$ cm, iar $P B = 5 + 8 = 13$ cm. Verificare: $P A = P B = 13$ cm. ✓ Răspuns: $x = 5$ , $P A = 13$ cm. (Ai folosit fără să-ți dai seama ce ai învățat la Ecuații cu numere raționale.)

Exemplul 5 — Construcție pas cu pas

Construiește mediatoarea unui segment $[M N]$ cu $M N = 6$ cm și verifică unde taie segmentul.

Rezolvare.

Desenăm $[M N]$ de $6$ cm cu rigla.
Deschidem compasul la o rază mai mare decât jumătate, adică mai mult de $3$ cm — alegem, de exemplu, $4$ cm.
Cu vârful în $M$ și rază $4$ cm, trasăm un arc deasupra și sub segment.
Fără să schimbăm deschiderea, cu vârful în $N$ și aceeași rază $4$ cm, trasăm al doilea arc. Arcele se taie în $C$ (sus) și $D$ (jos).
Unim $C$ cu $D$ cu rigla: aceasta e mediatoarea. Ea taie segmentul în punctul $O$ .

Verificare: măsurăm și găsim $M O = O N = 3$ cm (jumătate din $6$ ), iar unghiul în $O$ este de $90°$ . Mediatoarea a nimerit exact mijlocul. ✓

Exemplul 6 — Aplicație practică (locul egal depărtat)

Două blocuri, $A$ și $B$ , sunt marcate pe un plan. Primăria vrea să amplaseze un coș de gunoi inteligent la fel de aproape de ambele blocuri, chiar pe aleea care trece prin zonă. Cum găsești locul?

Rezolvare. Locurile egal depărtate de $A$ și $B$ formează mediatoarea segmentului $[A B]$ . Locul căutat trebuie să fie și pe alee. Deci:

Construiește mediatoarea lui $[A B]$ (cu compasul, ca mai sus).
Vezi unde taie mediatoarea aleea — acel punct de intersecție este locul potrivit, pentru că e și pe alee, și egal depărtat de cele două blocuri.

Dacă aleea ar fi chiar mediatoarea, atunci orice punct de pe ea ar fi bun. Dacă aleea nu atinge mediatoarea (sunt paralele), nu există loc pe alee egal depărtat de cele două blocuri.

Exemplul 7 — Două puncte de pe mediatoare

Punctele $P$ și $Q$ se află amândouă pe mediatoarea segmentului $[A B]$ . Se știe că $P A = 8$ cm și $Q A = 5$ cm. Cât sunt $P B$ și $QB$ ? Sunt $P$ și $Q$ același punct?

Rezolvare. Fiecare punct de pe mediatoare este egal depărtat de capete. Pentru $P$ : $P B = P A = 8$ cm. Pentru $Q$ : $QB = Q A = 5$ cm. $P$ și $Q$ nu sunt același punct, fiindcă au distanțe diferite la $A$ (8 cm față de 5 cm) — sunt două puncte distincte, situate la înălțimi diferite pe aceeași mediatoare. Reține: pe mediatoare încap infinit de multe puncte, fiecare egal depărtat de $A$ și $B$ , dar la distanțe diferite de capete.

Exemplul 8 — Mediatoarea și triunghiul isoscel

Punctul $P$ este pe mediatoarea segmentului $[A B]$ , iar $M$ este mijlocul lui $[A B]$ . Arată că triunghiul $P A B$ este isoscel și că $P M$ este înălțimea lui din $P$ .

Rezolvare. Fiindcă $P$ e pe mediatoare, $P A = P B$ , deci triunghiul $P A B$ are două laturi egale — este isoscel cu vârful în $P$ . Segmentul $P M$ pleacă din $P$ și cade pe latura $A B$ formând unghi de $90°$ (mediatoarea e perpendiculară pe segment), deci $P M$ este înălțimea din $P$ . Mai mult, $M$ fiind mijlocul lui $[A B]$ , $P M$ este în același timp mediană și (se poate arăta) bisectoarea unghiului din $P$ . Iată o legătură frumoasă: la triunghiul isoscel, mediatoarea bazei trece prin vârf și conține înălțimea, mediana și bisectoarea din acel vârf.

Să exersăm

Rezolvă în caiet. Ai nevoie de riglă, compas și creion pentru exercițiile de construcție.

1. Completează: Mediatoarea unui segment este dreapta __________ pe segment, care trece prin __________ lui.

2. Adevărat sau fals? O dreaptă care trece prin mijlocul segmentului, dar nu e perpendiculară pe el, este mediatoarea segmentului.

3. Adevărat sau fals? Orice punct de pe mediatoarea segmentului $[A B]$ este egal depărtat de $A$ și de $B$ .

4. Încercuiește răspunsul corect. Câte condiții trebuie să îndeplinească o dreaptă ca să fie mediatoarea unui segment? a) una; b) două; c) trei.

5. Punctul $P$ este pe mediatoarea segmentului $[A B]$ și $P B = 9, 5$ cm. Cât este $P A$ ?

6. Punctul $T$ are $T A = 6$ cm și $T B = 6$ cm. Se află $T$ pe mediatoarea segmentului $[A B]$ ? Justifică.

7. Punctul $S$ are $S A = 4$ cm și $S B = 7$ cm. Poate fi $S$ pe mediatoarea segmentului $[A B]$ ? De ce?

8. Mediatoarea taie segmentul $[A B]$ în punctul $M$ . Dacă $A B = 14$ cm, cât este $A M$ ? Dar $M B$ ?

9. Punctul $P$ este pe mediatoarea lui $[A B]$ . Se dau $P A = 3 x + 1$ și $P B = 2 x + 5$ (cm). Află $x$ și lungimea $P A$ .

10. Desenează un segment $[A B]$ de $8$ cm și construiește mediatoarea lui cu compasul și rigla. Marchează mijlocul $M$ și unghiul drept.

11. Desenează un segment $[C D]$ de $5$ cm și, folosind doar compasul și rigla, găsește mijlocul lui (fără riglă gradată).

12. Potrivește fiecare noțiune cu definiția corectă: A. Mediatoarea 1. semidreapta care împarte un unghi în două unghiuri egale B. Bisectoarea 2. punctul care împarte segmentul în două părți egale C. Mijlocul 3. perpendiculara prin mijlocul segmentului

13. Pe mediatoarea segmentului $[A B]$ se iau punctele $P$ și $Q$ . Știind că $P A = 10$ cm și $QB = 7$ cm, cât sunt $P B$ și $Q A$ ?

14. Adevărat sau fals? Mediatoarea unui segment trece întotdeauna prin capetele segmentului.

15. Un punct $P$ este la $5$ cm de $A$ și la $5$ cm de $B$ . Triunghiul $P A B$ are două laturi egale: $P A = P B$ . Cum se numește un astfel de triunghi? (Indiciu: ai întâlnit ideea la triunghiuri.)

16. Mediatoarea segmentului $[A B]$ taie segmentul în $M$ , iar pe ea se ia punctul $P$ astfel încât $P M = 4$ cm. Știind că $A M = 3$ cm, calculează $P A$ . (Indiciu: triunghiul $P M A$ are unghi drept în $M$ — folosește Teorema lui Pitagora.)

17. Problemă. Două antene $A$ și $B$ sunt amplasate pe o hartă. Vrei un releu egal depărtat de ambele, situat pe o șosea dreaptă din apropiere. Explică în cuvinte cum găsești locul releului.

18. Provocare. Punctul $P$ este pe mediatoarea lui $[A B]$ și știm că perimetrul triunghiului $P A B$ este $26$ cm, iar $A B = 10$ cm. Cât este lungimea $P A$ ?

19. Punctele $P$ și $Q$ se află pe mediatoarea segmentului $[A B]$ , cu $P A = 12$ cm și $QB = 9$ cm. Scrie $P B$ și $Q A$ . Pot $P$ și $Q$ să fie același punct? Explică.

20. Provocare. Mediatoarea segmentului $[A B]$ taie segmentul în $M$ . Pe mediatoare se ia $P$ cu $P M = 8$ cm, iar $A B = 12$ cm. Calculează $P A$ . (Indiciu: cât este $A M$ ? apoi folosește triunghiul dreptunghic $P M A$ .)

Răspunsuri și explicații

1. „...dreapta perpendiculară pe segment, care trece prin mijlocul lui." Acestea sunt cele două condiții din definiție.

2. Fals. Lipsește condiția de perpendicularitate. Trebuie să treacă prin mijloc și să fie perpendiculară.

3. Adevărat. Aceasta este chiar proprietatea mediatoarei: pe mediatoare ⇒ $P A = P B$ .

4. b) două — să treacă prin mijloc și să fie perpendiculară pe segment.

5. $P A = P B = 9, 5$ cm, pentru că $P$ e pe mediatoare, deci egal depărtat de capete.

6. Da, $T$ se află pe mediatoare. Are $T A = T B$ ( $6 = 6$ ), iar reciproca proprietății spune că punctele egal depărtate de capete sunt pe mediatoare.

7. Nu. Dacă $S$ ar fi pe mediatoare, ar trebui $S A = S B$ . Dar $4 \neq = 7$ , deci $S$ nu poate fi pe mediatoarea lui $[A B]$ .

8. Mediatoarea trece prin mijloc, deci $A M = M B = \frac{14}{2} = 7$ cm fiecare.

9. $P$ pe mediatoare ⇒ $P A = P B$ : $3 x + 1 = 2 x + 5 \Rightarrow x = 4$ . Apoi $P A = 3 \cdot 4 + 1 = 13$ cm (verificare: $P B = 2 \cdot 4 + 5 = 13$ cm ✓).

10. Construcție. Pași: desenezi $[A B] = 8$ cm; deschizi compasul mai mult de $4$ cm (de ex. $5$ cm); arc din $A$ , apoi arc cu aceeași deschidere din $B$ ; obții $C$ și $D$ ; trasezi $C D$ — mediatoarea; ea taie $[A B]$ în $M$ cu $A M = M B = 4$ cm și unghi de $90°$ .

11. Construcție. Mijlocul lui $[C D]$ este punctul în care mediatoarea (construită cu cele două arce de rază egală din $C$ și din $D$ ) taie segmentul. Acolo $C M = M D = 2, 5$ cm.

12. A–3, B–1, C–2. Mediatoarea = perpendiculara prin mijloc; bisectoarea = împarte unghiul în două; mijlocul = punctul care împarte segmentul în două părți egale.

13. $P$ și $Q$ sunt pe mediatoare, deci fiecare e egal depărtat de capete: $P B = P A = 10$ cm și $Q A = QB = 7$ cm.

14. Fals. Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului, nu prin capete. (Dacă ar trece printr-un capăt, n-ar mai trece prin mijloc.)

15. Un triunghi cu două laturi egale se numește triunghi isoscel. Aici $P A = P B$ , deci $P A B$ e isoscel. (Vezi Triunghiul isoscel. Proprietăți.)

16. Triunghiul $P M A$ are unghi drept în $M$ , cu catetele $P M = 4$ cm și $A M = 3$ cm. După Pitagora, $P A^{2} = P M^{2} + A M^{2} = 16 + 9 = 25$ , deci $P A = 5$ cm.

17. Construiești mediatoarea segmentului $[A B]$ (locul tuturor punctelor egal depărtate de cele două antene). Releul trebuie să fie și pe șosea, deci locul potrivit este intersecția mediatoarei cu șoseaua. Acolo distanțele la $A$ și la $B$ sunt egale.

18. $P$ pe mediatoare ⇒ $P A = P B$ . Perimetrul: $P A + P B + A B = 26$ , deci $P A + P B = 26 - 10 = 16$ . Cum $P A = P B$ , fiecare e $16 : 2 = 8$ cm.

19. Ambele puncte sunt egal depărtate de capete: $P B = P A = 12$ cm și $Q A = QB = 9$ cm. $P$ și $Q$ nu pot fi același punct, deoarece au distanțe diferite la capete ( $12 \neq = 9$ ); sunt două puncte distincte de pe aceeași mediatoare.

20. Mediatoarea trece prin mijloc, deci $A M = \frac{A B}{2} = \frac{12}{2} = 6$ cm. Triunghiul $P M A$ are unghi drept în $M$ , cu catetele $P M = 8$ cm și $A M = 6$ cm. După Pitagora: $P A^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 100$ , deci $P A = 10$ cm.

De reținut

Mediatoarea unui segment $[A B]$ = dreapta perpendiculară pe segment care trece prin mijlocul lui (două condiții deodată).
Proprietatea de aur: un punct este pe mediatoare dacă și numai dacă este egal depărtat de capete ( $P A = P B$ ).
Construcția cu compasul: două arce de aceeași rază ( $> \frac{A B}{2}$ ) din $A$ și din $B$ ; dreapta prin cele două intersecții este mediatoarea.
Mediatoarea îți dă gratis mijlocul segmentului (punctul în care taie segmentul).
Mediatoarea se folosește la: loc egal depărtat de două puncte, centrul cercului prin două puncte, cercul circumscris, simetria față de o dreaptă.

Greșeli frecvente

„Mediatoarea = orice perpendiculară pe segment." Nu. Trebuie să treacă exact prin mijloc. O perpendiculară care taie segmentul în alt punct nu e mediatoare.
Confuzia mediatoare ↔ bisectoare. Mediatoarea ține de un segment (mijloc + perpendiculară); bisectoarea ține de un unghi (îl taie în două unghiuri egale). Nume asemănătoare, obiecte diferite.
La construcție, schimbi deschiderea compasului între arce. Atunci punctele de intersecție nu mai sunt egal depărtate de capete, iar dreapta obținută nu e mediatoarea. Folosește aceeași rază pentru ambele arce, mai mare decât jumătate.
„Mediatoarea trece prin capete." Nu, trece prin mijloc. Capetele sunt egal depărtate de orice punct al mediatoarei, dar mediatoarea însăși nu le atinge.

Joc acasă

1. Mediatoarea din îndoirea hârtiei. Desenează pe o foaie un segment $[A B]$ (poți marca două puncte oriunde). Îndoaie foaia cu grijă astfel încât punctul $A$ să cadă exact peste $B$ . Apasă bine cuta, apoi desfă foaia: linia de cută este chiar mediatoarea! Verifică cu rigla că taie segmentul la mijloc și că face unghi de $90°$ . Întreabă-te: de ce funcționează? (Pentru că îndoirea suprapune $A$ peste $B$ , deci fiecare punct al cutei e la fel de departe de amândouă.)

2. Comoara egal depărtată. Pune două obiecte mici pe masă ( $A$ și $B$ , de exemplu două capace). Cu o sfoară, găsește câteva locuri de pe masă care sunt la fel de depărtate de ambele (ții sfoara întinsă la aceeași lungime spre fiecare). Marchează aceste locuri cu bilețele. Vei observa că toate stau pe o linie dreaptă — mediatoarea segmentului dintre cele două obiecte.

3. Constructorul cu compasul. Provoacă un coleg sau un părinte: dați-vă reciproc segmente de lungimi diferite și construiți mediatoarea fiecăruia doar cu compasul și rigla, fără să măsurați. Apoi verificați cu rigla gradată dacă ați nimerit mijlocul. Cine greșește cel mai puțin câștigă.

Pentru părinți și învățători

Această lecție leagă două idei pe care elevul le are deja — mijlocul segmentului și perpendicularitatea — într-un concept nou și foarte fertil: mediatoarea. Valoarea ei reală nu e doar definiția, ci proprietatea de echidistanță (egal depărtat de capete), care reapare la cercul circumscris, la simetrie și în multe probleme de gimnaziu și liceu.

Cum sprijiniți elevul:

Insistați pe cele două condiții ale definiției. Întrebare de verificare: „Dă-mi exemplu de o dreaptă care trece prin mijloc, dar NU e mediatoare." (Răspuns: orice dreaptă oblică prin mijloc.)
Faceți împreună construcția cu compasul, de mai multe ori, cu segmente diferite. Reamintiți regula: aceeași deschidere, mai mare decât jumătate. Dacă arcele nu se întâlnesc, deschiderea a fost prea mică — un bun moment de descoperire.
Legați proprietatea de viață: „Unde ai pune o fântână ca să fie la fel de aproape de două case?" Lăsați copilul să ajungă singur la „pe mediatoare".

Cum verificați înțelegerea: cereți elevului (a) să formuleze definiția cu cuvintele lui; (b) să spună de ce $P A = P B$ pe mediatoare; (c) să deosebească mediatoarea de bisectoare; (d) să execute corect construcția. Dacă toate patru sunt bune, lecția e stăpânită. Continuarea naturală este Simetria față de o dreaptă.

Întrebări frecvente

Ce este mediatoarea unui segment la clasa a VI-a? Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe acel segment care trece prin mijlocul lui. Ea îndeplinește două condiții în același timp: e perpendiculară pe segment (unghi de $90°$ ) și trece prin mijlocul lui. Toate punctele de pe ea sunt egal depărtate de capetele segmentului.

Cum se construiește mediatoarea cu compasul și rigla? Deschizi compasul la o rază mai mare decât jumătate din segment. Trasezi un arc cu centrul într-un capăt, apoi, cu aceeași deschidere, un arc cu centrul în celălalt capăt. Cele două arce se taie în două puncte; dreapta care le unește, trasată cu rigla, este mediatoarea.

Care este proprietatea mediatoarei? Orice punct situat pe mediatoarea segmentului $[A B]$ este egal depărtat de capete: $P A = P B$ . Reciproc, orice punct egal depărtat de $A$ și $B$ se află pe mediatoare. Pe scurt: a fi pe mediatoare înseamnă a fi la fel de aproape de ambele capete.

Ce diferență este între mediatoare și bisectoare? Mediatoarea este legată de un segment: e perpendiculara prin mijlocul lui, iar punctele ei sunt egal depărtate de capetele segmentului. Bisectoarea este legată de un unghi: îl împarte în două unghiuri egale, iar punctele ei sunt egal depărtate de laturile unghiului. Au nume asemănătoare, dar obiecte diferite.

De ce trebuie să deschid compasul mai mult de jumătate din segment? Pentru ca cele două arce, trasate din capetele segmentului, să se poată intersecta. Dacă deschiderea este mai mică decât jumătate din lungimea segmentului, arcele nu ajung să se întâlnească și nu obții punctele necesare pentru a trasa mediatoarea.

Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului? Da, întotdeauna. Aceasta este una dintre cele două condiții din definiție. Punctul în care mediatoarea taie segmentul este chiar mijlocul lui, deci construcția mediatoarei este și o metodă de a găsi mijlocul fără riglă gradată.

Câte mediatoare are un segment? Un segment are o singură mediatoare. Există un singur mijloc și o singură perpendiculară pe segment care trece prin acel mijloc, deci mediatoarea este unică.

Unde se folosește mediatoarea în probleme? Se folosește când cauți puncte egal depărtate de două puncte date, când vrei centrul unui cerc care trece prin două puncte, la cercul circumscris unui triunghi și la simetria față de o dreaptă. Este o unealtă care apare des în geometria de gimnaziu și mai târziu în liceu.