Cum găsesc regula de formare a unui șir?

Lecția pe scurt · clasa a V-a · Șiruri și regula de formare

Scazi fiecare număr din cel care îl urmează și te uiți dacă rezultatul se repetă. În $4, 9, 14, 19$ toate diferențele dau 5, deci șirul urcă din 5 în 5, iar următorul număr este 24. Când diferențele nu sunt egale, încearcă înmulțirea: dacă fiecare termen se obține dublând pe cel dinainte, regula este de altă natură. Verifică regula pe cel puțin trei perechi, fiindcă două numere nu sunt de ajuns.

Un șir de numere naturale este o listă ordonată de numere; fiecare număr se numește termen și are o poziție (locul lui în șir).

Ca să descoperi regula de formare, calculezi diferența dintre fiecare termen și cel dinaintea lui. Dacă toate diferențele sunt egale, șirul are pas constant: de exemplu $4, 9, 14, 19, \dots$ are pasul $+ 5$ , pentru că $9 - 4 = 14 - 9 = 19 - 14 = 5$ .

Ca să continui șirul, aplici pasul asupra ultimului termen: după 19 urmează $19 + 5 = 24$ .

Ca să afli termenul de pe poziția $n$ fără să scrii toți termenii, folosești formula: $termen = primul termen + (n - 1) \times pasul .$

Exemplu: în șirul $4, 9, 14, \dots$ (primul termen 4, pas 5), al 10-lea termen este $4 + (10 - 1) \times 5 = 4 + 45 = 49$ .

Atenție: la poziția $n$ faci doar $n - 1$ salturi, nu $n$ , pentru că la primul termen ești deja acolo.

De reținut

diferențe egale înseamnă pas constant
termenul de pe poziția $n$ : primul termen $+ (n - 1) \times$ pasul
de la poziția 1 la poziția $n$ se fac $n - 1$ salturi
regula se verifică pe cel puțin trei termeni

Greșeala tipică

Se înmulțește cu poziția în loc de poziția minus 1, așa că fiecare termen iese cu un pas mai mare. De pe treapta întâi până pe a cincea se fac patru pași, nu cinci.

Exerciții din această mini-lecție

Numărul 53 face parte din șirul $5, 8, 11, 14, \dots$ ? Dacă da, pe ce poziție se află?
- a) Nu, 53 nu face parte din șir
- b) Da, pe poziția a 17-a
- c) Da, pe poziția a 16-a
- d) Da, pe poziția a 18-a
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Da, pe poziția a 17-a

Pasul este $8 - 5 = 3$ , primul termen este 5. Scădem primul termen din 53: $53 - 5 = 48$ . Împărțim la pas: $48 : 3 = 16$ exact (rest 0), deci 53 este în șir. Poziția este cu unu mai mare decât numărul de salturi: $16 + 1 = 17$ . Verificare: $5 + (17 - 1) \times 3 = 5 + 48 = 53$ . ✓
Care este al 25-lea termen al șirului $8, 18, 28, 38, \dots$ ?
- a) 258
- b) 238
- c) 248
- d) 240
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) 248

Pasul este $18 - 8 = 10$ , iar primul termen este $8$ . Folosim formula termen $=$ primul termen $+ (n - 1) \times$ pasul: $8 + (25 - 1) \times 10 = 8 + 240 = 248$ . Greșeli frecvente: folosirea a $25$ pași în loc de $24$ dă $258$ (a), folosirea a $23$ pași dă $238$ (b), iar $240$ (d) apare dacă uiți să adaugi primul termen: $24 \times 10 = 240$ .
Numărul 100 face parte din șirul $6, 10, 14, 18, \dots$ ? Dacă da, pe ce poziție se află?
- a) Nu, 100 nu face parte din șir
- b) Da, pe poziția a 24-a
- c) Da, pe poziția a 23-a
- d) Da, pe poziția a 25-a
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Nu, 100 nu face parte din șir

Pasul este $10 - 6 = 4$ , primul termen este $6$ . Scădem primul termen din 100: $100 - 6 = 94$ . Împărțim la pas: $94 : 4 = 23, 5$ , nu iese un număr întreg (nu este multiplu de 4), deci 100 nu se poate obține pornind de la 6 cu pasul constant $4$ . Numărul 100 nu face parte din șir.

Întrebări conexe

Cum arată un șir în care pasul crește de fiecare dată?

Diferențele nu mai sunt egale, ci formează ele însele un șir cu pas constant. La $1, 3, 6, 10, 15$ diferențele sunt 2, 3, 4 și 5, deci fiecare salt este cu unu mai mare decât cel dinainte. Regula se caută atunci pe al doilea rând de diferențe.

Ce fel de șiruri sunt numerele pare și cele impare?

Amândouă au pasul 2, dar pornesc din locuri diferite: parele de la 0, imparele de la 1. Al zecelea număr par este $0 + 9 \cdot 2 = 18$ , iar al zecelea impar este $1 + 9 \cdot 2 = 19$ . Între oricare doi termeni vecini se strecoară exact un număr din celălalt șir.

Cum continui un șir în care numerele se dublează?

Înmulțești ultimul termen cu 2, în loc să aduni ceva. Din $3, 6, 12, 24$ urmează 48, apoi 96. Diferențele nu se repetă aici, ci se dublează și ele, semn sigur că regula nu este o adunare, ci o înmulțire.

Ce este șirul lui Fibonacci?

Un șir în care fiecare număr se obține adunând pe cele două dinaintea lui: $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21$ . Regula nu este un pas constant, ci o legătură între trei termeni vecini. Șirul apare în natură, la aranjarea petalelor și a semințelor.

Cum aflu suma primilor termeni ai unui șir cu pas constant?

Aduni primul termen cu ultimul, înmulțești cu numărul de termeni și împarți la 2. Pentru $1 + 2 + \dots + 100$ ies $\frac{( 1 + 100 ) \cdot 100}{2} = 5050$ . Trucul funcționează fiindcă termenii se pot grupa în perechi cu aceeași sumă.

Oamenii mai întreabă și: regula de formare a unui șir · cum continui un șir de numere · pasul unui șir · cum aflu regula unui șir de numere