Teorema cosinusului

Două drumuri pleacă din aceeași intersecție și se despart sub un unghi de $60^{\circ }$. O mașină parcurge $40$ km pe primul drum, alta $60$ km pe al doilea. Cât de departe sunt mașinile una de alta? Dacă unghiul dintre drumuri ar fi fost de $90^{\circ }$, ai fi scos imediat teorema lui Pitagora. Dar la $60^{\circ }$? Pitagora tace: teorema lui funcționează numai în triunghiuri dreptunghice.

Aici intră în scenă teorema cosinusului — poate cea mai folosită unealtă din toată geometria clasei a IX-a. Ea este, de fapt, teorema lui Pitagora cu un „termen de corecție" care ține cont de unghi: dacă unghiul e ascuțit, latura opusă iese puțin mai scurtă decât ar spune Pitagora; dacă e obtuz, puțin mai lungă; iar la exact $90^{\circ }$ corecția dispare și o regăsești pe bătrâna teoremă. Cu ea vei calcula laturi din unghiuri, unghiuri din laturi și distanțe pe care nu le poți măsura direct — de la navigație și GPS până la subiectele de Bacalaureat.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți teorema cosinusului pentru fiecare latură a unui triunghi și să identifici corect „latura opusă unghiului".
• Vei ști să o demonstrezi, descompunând triunghiul în două triunghiuri dreptunghice.
• Vei ști să calculezi a treia latură a unui triunghi când cunoști două laturi și unghiul dintre ele (cazul LUL).
• Vei ști să afli cosinusul oricărui unghi al unui triunghi cu toate laturile cunoscute (cazul LLL).
• Vei ști să clasifici un triunghi (ascuțitunghic, dreptunghic, obtuzunghic) doar comparând $a^2$ cu $b^2+c^2$.
• Vei ști să aplici teorema în probleme practice: distanțe inaccesibile, diagonale de paralelogram, segmente din interiorul triunghiului.

Hai să descoperim împreună

1. Convenția de notație și un cosinus care poate fi negativ

Într-un triunghi $ABC$ notăm, prin tradiție, laturile cu litera mică a vârfului opus: $a=BC$ (opusă lui $A$), $b=AC$ (opusă lui $B$), $c=AB$ (opusă lui $C$). Ține minte regula „latura mică stă în fața vârfului mare" — aproape toate greșelile la teorema cosinusului vin din împerecherea greșită a laturii cu unghiul.

Mai avem nevoie de un fapt esențial din trigonometrie: unghiurile unui triunghi sunt cuprinse între $0^{\circ }$ și $180^{\circ }$, iar pe acest interval cosinusul își schimbă semnul:

$$\cos x>0\text{pentru}x\in (0^{\circ },90^{\circ }),\cos 90^{\circ }=0,\cos x<0\text{pentru}x\in (90^{\circ },180^{\circ }).$$

Pentru unghiurile obtuze folosim reducerea la primul cadran: $\cos (180^{\circ }-x)=-\cos x$, de unde valori ca $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ sau $\cos 135^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Semnul acesta va purta toată „inteligența" teoremei.

2. Enunțul: Pitagora cu termen de corecție

Teorema cosinusului. În orice triunghi $ABC$:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A.$$

Prin rotirea rolurilor, formula se scrie pentru fiecare latură:

$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B,c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.$$

Citirea corectă: pătratul unei laturi = suma pătratelor celorlalte două, minus dublul produsului lor înmulțit cu cosinusul unghiului dintre ele (adică al unghiului opus laturii calculate). Structura e mereu aceeași: latura din stânga și unghiul din dreapta sunt „față în față".

3. Demonstrația

Demonstrăm formula $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ pentru cazul în care unghiul $A$ este ascuțit; vei vedea că raționamentul se adaptează imediat și la obtuz.

Ducem înălțimea $BD\perp AC$, cu $D$ pe dreapta $AC$. În triunghiul dreptunghic $ABD$ (dreptunghic în $D$), catetele se exprimă cu funcții trigonometrice ale unghiului $A$:

$$AD=c\cos A,BD=c\sin A.$$

Atunci $DC=AC-AD=b-c\cos A$. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $BDC$:

$$a^2=B{D}^2+D{C}^2=c^2{\sin }^{2}A+(b-c\cos A{)}^2.$$

Desfacem pătratul și grupăm:

$$a^2=c^2{\sin }^{2}A+b^2-2bc\cos A+c^2{\cos }^{2}A=b^2+c^2({\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A)-2bc\cos A.$$

Cu formula fundamentală a trigonometriei, ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$, obținem exact:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A.■$$

Dacă unghiul $A$ este obtuz, piciorul $D$ al înălțimii cade în afara segmentului $AC$; calculul e același, doar că $AD=c\cos (180^{\circ }-A)=-c\cos A$, iar $DC=b+(-c\cos A)\cdot (-1)=b-c\cos A$ rămâne valabil ca expresie — semnul negativ al lui $\cos A$ face toată treaba. Iar dacă $A=90^{\circ }$, formula nici nu mai are ce demonstra: $\cos 90^{\circ }=0$ o transformă în Pitagora.

4. Pitagora generalizat și clasificarea triunghiurilor

Privește formula $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ ca pe un „Pitagora reglabil":

• $A=90^{\circ }\Rightarrow \cos A=0\Rightarrow a^2=b^2+c^2$ — teorema lui Pitagora, caz particular;
• $A<90^{\circ }\Rightarrow \cos A>0\Rightarrow a^2<b^2+c^2$ — latura opusă unui unghi ascuțit e „mai scurtă decât la Pitagora";
• $A>90^{\circ }\Rightarrow \cos A<0\Rightarrow a^2>b^2+c^2$ — unghiul obtuz „împinge" latura opusă.

Citite invers, aceste trei situații îți dau un criteriu de clasificare fără să calculezi niciun unghi: compari pătratul celei mai mari laturi cu suma pătratelor celorlalte două. Dacă $a$ e cea mai mare latură și $a^2<b^2+c^2$, triunghiul e ascuțitunghic; egalitate — dreptunghic; $a^2>b^2+c^2$ — obtuzunghic. (De ce doar cea mai mare latură? Pentru că unghiul cel mai mare stă în fața ei; dacă el e ascuțit, toate sunt.)

5. Cazul LLL: aflarea unghiurilor din laturi

Izolând cosinusul din formulă, obținem varianta „de citit unghiuri":

$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.$$

Cu toate cele trei laturi cunoscute, calculezi cosinusul oricărui unghi — și, din valorile remarcabile, unghiul însuși. Semnul rezultatului îți spune imediat dacă unghiul e ascuțit (cosinus pozitiv) sau obtuz (negativ). Aceasta este jumătatea „LLL" a teoremei; jumătatea „LUL" (două laturi și unghiul dintre ele $\to$ a treia latură) am văzut-o în enunț. Pentru celelalte configurații (o latură și două unghiuri), unealta potrivită va fi teorema sinusurilor — iar strategia completă de alegere o construim în lecția despre rezolvarea triunghiurilor.

6. Cum alegi formula potrivită, fără ezitare

Rutina de lucru, în trei întrebări:

1. Ce cunosc? Două laturi și unghiul dintre ele $\to$ teorema cosinusului, forma directă. Trei laturi $\to$ forma cu cosinusul izolat.
2. Ce perechi folosesc? Latura pe care o calculez și unghiul din formulă trebuie să fie opuse. Scrie triunghiul, marchează perechea, abia apoi înlocuiește.
3. Ce semn are cosinusul? La unghiuri obtuze, nu uita minusul — el se combină cu minusul din formulă și adună termenul de corecție.

Un obicei bun de examen: după calcul, verifică rezultatul cu bunul-simț geometric — latura găsită trebuie să fie mai mică decât suma celorlalte două și mai mare decât diferența lor (inegalitatea triunghiului), iar în fața unghiului mai mare trebuie să stea latura mai mare.

7. Distanțe pe care nu le poți măsura

Puterea practică a teoremei: transformă măsurători accesibile (două distanțe de la un punct comun și unghiul dintre direcții) într-o distanță inaccesibilă (între capete). Exact problema mașinilor din deschidere:

$$d^2=40^2+60^2-2\cdot 40\cdot 60\cdot \cos 60^{\circ }=1600+3600-4800\cdot \frac{1}{2}=2800,$$

deci $d=\sqrt{2800}=20\sqrt{7}\approx 52,9$ km. Așa se calculează distanțe peste lacuri și râpe, între nave sau drone, ba chiar și lungimea diagonalelor în structuri metalice — oriunde poți măsura „din vârf" dar nu „de-a curmezișul".

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cazul LUL: a treia latură

În triunghiul $ABC$ se cunosc $b=AC=5$, $c=AB=8$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$. Calculați $a=BC$.

Rezolvare. Unghiul cunoscut este între laturile cunoscute, deci aplicăm direct teorema cosinusului pentru latura opusă lui $A$:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot \cos 60^{\circ }=89-80\cdot \frac{1}{2}=49.$$

Deci $a=7$. Verificare rapidă: $7<5+8$ și $7>8-5$ ✓, iar $a$ e cuprinsă între $b$ și $c$, plauzibil pentru un unghi de $60^{\circ }$. $■$

Exemplul 2 — Cazul LLL: cosinusul unui unghi

Triunghiul are laturile $a=7$, $b=8$, $c=9$. Calculați $\cos A$.

Rezolvare. $A$ este unghiul opus laturii $a=7$, deci:

$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{64+81-49}{2\cdot 8\cdot 9}=\frac{96}{144}=\frac{2}{3}.$$

Cosinusul e pozitiv, deci $A$ este ascuțit — firesc, e unghiul opus celei mai mici laturi. $■$

Exemplul 3 — Unghi obtuz: minusul care adună

În triunghiul $ABC$, $b=3$, $c=5$ și $m(\angle A)=120^{\circ }$. Calculați $a$.

Rezolvare. Cu $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$:

$$a^2=9+25-2\cdot 3\cdot 5\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=34+15=49\Rightarrow a=7.$$

Observă mecanismul: termenul de corecție a mărit suma pătratelor, pentru că unghiul obtuz „deschide" triunghiul. Compară cu Pitagora: $\sqrt{9+25}=\sqrt{34}\approx 5,8<7$. $■$

Exemplul 4 — Clasificarea unui triunghi din laturi

Stabiliți natura triunghiului cu laturile $4$, $5$, $6$ (ascuțitunghic, dreptunghic sau obtuzunghic).

Rezolvare. Cea mai mare latură este $6$; comparăm $6^2$ cu $4^2+5^2$: $36<16+25=41$. Pătratul celei mai mari laturi e mai mic decât suma celorlalte pătrate, deci unghiul cel mai mare e ascuțit — triunghiul este ascuțitunghic. Pentru confirmare: $\cos (\text{unghiul opus lui }6)=\frac{16+25-36}{2\cdot 4\cdot 5}=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}>0$. ✓ $■$

Exemplul 5 — Distanța dintre două drone

Două drone decolează din același punct. Prima zboară $300$ m spre nord-est, a doua $500$ m pe o direcție care face $120^{\circ }$ cu prima. Aflați distanța dintre drone.

Rezolvare. Triunghiul are laturile $300$ și $500$ cu unghiul de $120^{\circ }$ între ele; distanța $d$ este latura opusă:

$$d^2=300^2+500^2-2\cdot 300\cdot 500\cdot \cos 120^{\circ }=90000+250000+150000=490000,$$

deci $d=700$ m. (Termenul $-2\cdot 300\cdot 500\cdot (-\frac{1}{2})=+150000$ — minus ori minus dă plus.) $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat: diagonalele paralelogramului

Un paralelogram are laturile de $4$ și $6$ și un unghi de $60^{\circ }$. Calculați lungimile celor două diagonale.

Rezolvare. Diagonala mică este latura opusă unghiului de $60^{\circ }$ în triunghiul format de cele două laturi:

$$d_1^2=4^2+6^2-2\cdot 4\cdot 6\cdot \cos 60^{\circ }=52-24=28\Rightarrow d_1=2\sqrt{7}.$$

Unghiurile alăturate ale paralelogramului sunt suplementare, deci a doua diagonală „vede" unghiul de $120^{\circ }$:

$$d_2^2=4^2+6^2-2\cdot 4\cdot 6\cdot \cos 120^{\circ }=52+24=76\Rightarrow d_2=2\sqrt{19}.$$

Verificare elegantă cu „legea paralelogramului" (suma pătratelor diagonalelor = dublul sumei pătratelor laturilor): $28+76=104=2(16+36)$. ✓ $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Scrie de fiecare dată triunghiul, marchează perechea latură–unghi opus și abia apoi înlocuiește în formulă; rezultatele iraționale rămân în formă exactă.

1. În triunghiul $ABC$, $b=8$, $c=5$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$. Calculează $a$.

2. În triunghiul $ABC$, $b=2$, $c=3$ și $m(\angle A)=90^{\circ }$. Calculează $a$ cu teorema cosinusului și explică de ce rezultatul coincide cu teorema lui Pitagora.

3. Triunghiul are laturile $a=7$, $b=5$, $c=6$. Calculează $\cos A$.

4. Verifică teorema cosinusului pe un triunghi echilateral de latură $4$: calculează $a^2$ din formulă folosind $b=c=4$ și $A=60^{\circ }$ și compară cu valoarea directă.

5. În triunghiul $ABC$, $b=4$, $c=3\sqrt{2}$ și $m(\angle A)=45^{\circ }$. Calculează $a$.

6. În triunghiul $ABC$, $b=7$, $c=8$ și $m(\angle A)=120^{\circ }$. Calculează $a$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă într-un triunghi $a^2>b^2+c^2$, atunci unghiul $A$ este obtuz."

8. Triunghiul are laturile $2$, $3$ și $\sqrt{7}$. Calculează măsura unghiului opus laturii $\sqrt{7}$.

9. Stabilește natura triunghiului cu laturile $3$, $5$, $7$ și calculează măsura celui mai mare unghi.

10. Un paralelogram are laturile de $5$ și $8$ și un unghi de $60^{\circ }$. Calculează ambele diagonale.

11. În triunghiul isoscel $ABC$ cu $AB=AC=5$ și $BC=6$, $M$ este mijlocul lui $BC$. Calculează $AM$ și verifică rezultatul observând că în triunghiul isoscel mediana din vârf este și înălțime.

12. (Problemă aplicată.) Două nave pleacă din același port, pe direcții care formează un unghi de $120^{\circ }$. După o oră, prima a parcurs $30$ km, iar a doua $50$ km. La ce distanță se află navele una de alta?

13. Din punctul $P$ de pe mal se văd două balize: $PA=10\sqrt{2}$ m, $PB=6$ m, iar unghiul $\angle APB$ are $45^{\circ }$. Calculează distanța $AB$ dintre balize.

14. Triunghiul are laturile $a=4$, $b=13$, $c=15$. Calculează $\cos A$ (unghiul opus laturii $4$).

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) În triunghiul $ABC$, $AB=6$, $AC=10$ și $BC=14$. a) Arată că $m(\angle A)=120^{\circ }$. b) Calculează aria triunghiului. (Folosește $\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ și formula $\mathcal{A}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A$.)

16. Demonstrează, folosind teorema cosinusului, reciproca teoremei lui Pitagora: dacă într-un triunghi $a^2=b^2+c^2$, atunci $m(\angle A)=90^{\circ }$.

17. (Raționament.) Folosind faptul că $\cos A\le 1$ pentru orice unghi, demonstrează că în orice triunghi $a^2\ge (b-c{)}^2$, adică $a\ge |b-c|$. Ce inegalitate cunoscută regăsești?

18. (Provocare.) În triunghiul $ABC$ cu $AB=4$, $BC=5$, $CA=6$, punctul $M\in (BC)$ cu $BM=2$. Calculează $AM$. (Plan: află întâi $\cos B$ din triunghiul mare, apoi aplică teorema cosinusului în triunghiul $ABM$.)

Răspunsuri și explicații

1. $a^2=64+25-2\cdot 8\cdot 5\cdot \frac{1}{2}=89-40=49$, deci $a=7$.

2. $a^2=4+9-2\cdot 2\cdot 3\cdot \cos 90^{\circ }=13-0=13$, deci $a=\sqrt{13}$. Cum $\cos 90^{\circ }=0$, termenul de corecție dispare și formula devine chiar $a^2=b^2+c^2$: Pitagora este cazul particular al teoremei cosinusului pentru unghi drept.

3. $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{25+36-49}{2\cdot 5\cdot 6}=\frac{12}{60}=\frac{1}{5}$.

4. Din formulă: $a^2=16+16-2\cdot 16\cdot \frac{1}{2}=32-16=16$, deci $a=4$ — exact latura triunghiului echilateral. Formula „știe" singură că triunghiul cu două laturi egale și unghi de $60^{\circ }$ între ele este echilateral.

5. $a^2=16+18-2\cdot 4\cdot 3\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=34-24=10$ (produsul $24\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=24$), deci $a=\sqrt{10}$.

6. $a^2=49+64-2\cdot 7\cdot 8\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=113+56=169$, deci $a=13$.

7. Adevărat. Din $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$, condiția $a^2>b^2+c^2$ face numărătorul negativ (numitorul e mereu pozitiv), deci $\cos A<0$, iar pe intervalul $(0^{\circ },180^{\circ })$ cosinusul e negativ exact pentru unghiuri obtuze.

8. $\cos =\frac{4+9-7}{2\cdot 2\cdot 3}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$, deci unghiul are $60^{\circ }$.

9. Cea mai mare latură e $7$: $49>9+25=34$, deci triunghiul e obtuzunghic. Unghiul opus lui $7$: $\cos =\frac{9+25-49}{2\cdot 3\cdot 5}=\frac{-15}{30}=-\frac{1}{2}$, deci are $120^{\circ }$.

10. Diagonala „văzută" de unghiul de $60^{\circ }$: $d_1^2=25+64-80\cdot \frac{1}{2}=49$, $d_1=7$. Cealaltă, cu $120^{\circ }$: $d_2^2=25+64+40=129$, $d_2=\sqrt{129}$. Verificare: $49+129=178=2(25+64)$ ✓.

11. În triunghiul $ABM$: $BM=3$, $AB=5$, iar $\cos B$ din triunghiul mare: $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{36+25-25}{2\cdot 6\cdot 5}=\frac{36}{60}=\frac{3}{5}$. Atunci $A{M}^2=25+9-2\cdot 5\cdot 3\cdot \frac{3}{5}=34-18=16$, deci $AM=4$. Verificare: mediana din vârful isoscel e înălțime, iar Pitagora în $ABM$ dă $\sqrt{25-9}=4$ ✓.

12. $d^2=900+2500-2\cdot 30\cdot 50\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=3400+1500=4900$, deci navele sunt la $70$ km una de alta.

13. $A{B}^2=(10\sqrt{2}{)}^2+36-2\cdot 10\sqrt{2}\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=200+36-120=116$, deci $AB=\sqrt{116}=2\sqrt{29}$ m $\approx 10,8$ m.

14. $\cos A=\frac{169+225-16}{2\cdot 13\cdot 15}=\frac{378}{390}=\frac{63}{65}$. Cosinus foarte aproape de $1$ — unghi foarte mic, firesc pentru latura $4$ față de $13$ și $15$.

15. a) $\cos A=\frac{36+100-196}{2\cdot 6\cdot 10}=\frac{-60}{120}=-\frac{1}{2}$, deci $m(\angle A)=120^{\circ }$. b) $\mathcal{A}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 10\cdot \sin 120^{\circ }=30\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}$. (Formulele de arie le sistematizăm în lecția despre aria triunghiului.)

16. Din teorema cosinusului, $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Dacă $a^2=b^2+c^2$, prin scădere rezultă $2bc\cos A=0$; cum $b,c>0$, obligatoriu $\cos A=0$, iar singurul unghi din $(0^{\circ },180^{\circ })$ cu cosinusul zero este $90^{\circ }$. $■$

17. Din $\cos A\le 1$: $-2bc\cos A\ge -2bc$, deci $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\ge b^2+c^2-2bc=(b-c{)}^2$. Extrăgând radicalul (ambele nenegative): $a\ge |b-c|$ — jumătatea „inferioară" a inegalității triunghiului: o latură e cel puțin diferența celorlalte două. (Cealaltă jumătate, $a\le b+c$, iese analog din $\cos A\ge -1$.)

18. Pas 1, în triunghiul $ABC$: $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-C{A}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{16+25-36}{2\cdot 4\cdot 5}=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}$. Pas 2, în triunghiul $ABM$ cu $AB=4$, $BM=2$ și unghiul $B$ comun: $A{M}^2=16+4-2\cdot 4\cdot 2\cdot \frac{1}{8}=20-2=18$, deci $AM=3\sqrt{2}$. Tehnica „unghi comun, aplicat de două ori" este exact ideea din spatele relației lui Stewart, pe care o vei învăța peste câteva lecții.

De reținut

• Teorema cosinusului: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ — și analoagele pentru $b$ și $c$. Latura calculată și unghiul din formulă sunt mereu opuse.
• Varianta pentru unghiuri: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ — cu trei laturi cunoscute afli cosinusul oricărui unghi; semnul lui spune dacă unghiul e ascuțit sau obtuz.
• Pitagora e cazul particular $A=90^{\circ }$. Comparația $a^2$ cu $b^2+c^2$ (pentru cea mai mare latură $a$) clasifică triunghiul: $<$ ascuțitunghic, $=$ dreptunghic, $>$ obtuzunghic.
• Cazurile de utilizare: LUL (două laturi + unghiul dintre ele $\to$ a treia latură) și LLL (trei laturi $\to$ unghiuri). Pentru o latură și două unghiuri, treci la teorema sinusurilor.
• La unghiuri obtuze, $\cos$ este negativ: termenul $-2bc\cos A$ devine pozitiv și mărește latura opusă. Verifică mereu rezultatul cu inegalitatea triunghiului.

Greșeli frecvente

• Perechea greșită latură–unghi. Se scrie $a^2=b^2+c^2-2bc\cos B$ — unghi care nu e opus laturii calculate. Formula cere unghiul dintre cele două laturi din dreapta, adică opusul laturii din stânga.
• Semnul cosinusului la unghiuri obtuze. Se înlocuiește $\cos 120^{\circ }$ cu $+\frac{1}{2}$ și corecția scade în loc să adune. Reține: $\cos (180^{\circ }-x)=-\cos x$.
• Uitarea factorului $2$ din $2bc\cos A$ — verifică structura formulei înainte de calcul, mai ales sub presiunea examenului.
• Aplicarea la unghiul nepotrivit în cazul LLL. Pentru clasificare se testează cea mai mare latură (unghiul cel mai mare); testarea unei laturi mici poate arăta un cosinus pozitiv deși triunghiul e obtuzunghic.
• Rezultat neverificat. O latură „calculată" mai mare decât suma celorlalte două trădează o greșeală de semn sau de pereche — inegalitatea triunghiului este detectorul tău de erori gratuit.

Aplică acasă

1. Harta orașului tău. Alege pe o hartă (Google Maps) două locuri la care ajungi din casa ta pe direcții diferite — de exemplu școala și un magazin. Măsoară cele două distanțe în linie dreaptă și estimează unghiul dintre direcții cu un raportor pe ecran. Calculează distanța școală–magazin cu teorema cosinusului, apoi compar-o cu cea măsurată direct pe hartă. Cât de aproape ai fost?

2. Foarfeca de bucătărie. Deschide o foarfecă (sau un compas) astfel încât brațele de lungimi cunoscute să formeze pe rând $60^{\circ }$, $90^{\circ }$, $120^{\circ }$ (măsoară cu raportorul). Pentru fiecare deschidere, calculează distanța dintre vârfuri cu teorema cosinusului și verifică apoi cu rigla. Observă cum crește distanța când unghiul devine obtuz.

3. Ceasul de perete. Acele unui ceas au, să zicem, $6$ cm și $9$ cm. Calculează distanța dintre vârfurile acelor la ora 14:00 (unghi $60^{\circ }$), la 15:00 ($90^{\circ }$) și la 16:00 ($120^{\circ }$). La care oră distanța este exact cea dată de Pitagora și de ce?

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide unitatea „Aplicații ale trigonometriei în geometrie" din segmentul de specialitate (CS) al programei de matematică-informatică și este piatra de temelie a întregului capitol de relații metrice: teorema sinusurilor, formulele de arie, relația lui Stewart și rezolvarea completă a triunghiurilor se sprijină pe ea. Elevul trebuie să stăpânească ambele sensuri de utilizare — LUL (calculul laturii) și LLL (calculul cosinusului) — și să înțeleagă teorema ca generalizare a teoremei lui Pitagora, cu termenul de corecție dictat de unghi.

Întrebări bune de control: „Care unghi intră în formulă când calculezi latura $a$?" (cel opus, dintre $b$ și $c$); „Ce se întâmplă cu formula la $90^{\circ }$?" (devine Pitagora); „De ce la $120^{\circ }$ latura opusă iese mai lungă decât ar da Pitagora?" (cosinus negativ); „Cum decizi din laturi, fără calcul de unghi, dacă triunghiul e obtuzunghic?" (compari pătratul celei mai mari laturi cu suma celorlalte pătrate). Semne că a înțeles: împerechează fără greșeală latura cu unghiul opus, tratează corect semnul cosinusului la unghiuri obtuze și își verifică singur rezultatele cu inegalitatea triunghiului.

La Bacalaureat M1, teorema cosinusului apare constant la subiectul de geometrie și trigonometrie: calculul unei laturi sau al unui cosinus, demonstrarea naturii unui triunghi, arii combinate cu $\sin$ din unghiul găsit, distanțe în configurații practice. Exercițiul standard „arătați că $m(\angle A)=120^{\circ }$" (Exemplul 15 de la exersare) merită exersat până devine reflex.

Întrebări frecvente

Ce spune teorema cosinusului, pe scurt? În orice triunghi, pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două, minus dublul produsului lor înmulțit cu cosinusul unghiului dintre ele: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Latura din stânga și unghiul din formulă sunt opuse.

Care este legătura dintre teorema cosinusului și teorema lui Pitagora? Pitagora este cazul particular al teoremei cosinusului pentru unghi drept: la $A=90^{\circ }$, $\cos A=0$ și formula devine $a^2=b^2+c^2$. De aceea teorema cosinusului se mai numește „teorema lui Pitagora generalizată".

Când folosesc teorema cosinusului și când teorema sinusurilor? Teorema cosinusului: când cunoști două laturi și unghiul dintre ele (cazul LUL) sau toate cele trei laturi (cazul LLL). Teorema sinusurilor: când ai o latură și unghiul opus ei printre datele cunoscute — de regulă la o latură și două unghiuri.

Cum aflu un unghi al triunghiului dacă știu toate laturile? Izolezi cosinusul: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$, unde $a$ este latura opusă unghiului căutat. Din valoarea și semnul cosinusului citești unghiul: pozitiv — ascuțit, zero — drept, negativ — obtuz.

Cum îmi dau seama dacă un triunghi este obtuzunghic doar din laturi? Compari pătratul celei mai mari laturi cu suma pătratelor celorlalte două: dacă e mai mare, triunghiul e obtuzunghic; egal — dreptunghic; mai mic — ascuțitunghic. Este exact citirea semnului termenului de corecție din teorema cosinusului.

De ce apare semnul minus în formulă dacă la unghiuri obtuze latura crește? Pentru că la unghiuri obtuze cosinusul însuși este negativ, iar minus înmulțit cu minus dă plus: termenul $-2bc\cos A$ devine pozitiv și se adună. Formula rămâne aceeași pentru orice unghi — semnul cosinusului face automat diferența.

Se poate demonstra teorema cosinusului fără trigonometrie avansată? Da — exact așa am făcut-o în lecție: duci o înălțime, exprimi catetele cu $\sin$ și $\cos$ în primul triunghi dreptunghic, aplici Pitagora în al doilea și folosești ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$. E o demonstrație de două rânduri odată ce stăpânești trigonometria triunghiului dreptunghic.

Unde se folosește teorema cosinusului în viața reală? Oriunde se calculează o distanță care nu poate fi măsurată direct, dar se cunosc două distanțe dintr-un punct comun și unghiul dintre direcții: navigație maritimă și aeriană, GPS, topografie (distanțe peste ape sau râpe), robotică și grafică 3D, proiectarea structurilor metalice.