Teorema sinusurilor și cercul circumscris

Un topograf trebuie să afle cât de departe este o insulă de mal. Nu poate întinde ruleta peste apă, așa că măsoară ce poate măsura: fixează pe plajă două jaloane $A$ și $B$, la $100$ m unul de altul, apoi vizează insula $C$ din fiecare jalon și citește unghiurile — $m(\angle A)=45^{\circ }$ și $m(\angle B)=105^{\circ }$. Atât. O latură și două unghiuri. Scoate teorema cosinusului… și se oprește: ea are nevoie de două laturi. Aici, teorema cosinusului nu are cu ce lucra.

Îi trebuie o altă lege, una care să lege o latură de unghiul din fața ei. Aceasta este teorema sinusurilor, iar frumusețea ei este că ascunde un invitat surpriză: raportul dintre o latură și sinusul unghiului opus nu doar că este același pentru toate cele trei laturi, ci este exact diametrul cercului circumscris triunghiului. Cu o singură formulă vei rezolva triunghiuri din unghiuri, vei calcula raza cercului circumscris fără să-i cauți centrul și vei măsura distanțe peste ape, prăpăstii sau orașe întregi.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți teorema sinusurilor sub forma $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$.
• Vei ști să o demonstrezi, folosind cercul circumscris și unghiurile înscrise, cu discuția completă a cazurilor (unghi ascuțit, drept, obtuz).
• Vei ști să calculezi raza cercului circumscris dintr-o latură și unghiul opus ei, fără construcții auxiliare.
• Vei ști să afli laturile unui triunghi când cunoști o latură și două unghiuri (cazurile ULU și LUU).
• Vei ști să recunoști cazul ambiguu (două laturi și un unghi neinclus), în care sinusul poate indica două triunghiuri diferite.
• Vei ști să folosești teorema în triangulație: distanțe inaccesibile, măsurate din două puncte de observație.

Hai să descoperim împreună

1. De unde pornim și ce ne lipsește

Păstrăm notațiile din teorema cosinusului: în triunghiul $ABC$, laturile poartă litera mică a vârfului opus, adică $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$. Regula „latura stă în fața vârfului" rămâne cheia întregii unități.

Teorema cosinusului acoperă două configurații de date: două laturi și unghiul dintre ele (LUL) sau trei laturi (LLL). Dar un triunghi este determinat și de alte combinații: o latură cu unghiurile alăturate ei (ULU), o latură cu un unghi alăturat și unul opus (LUU), două laturi cu un unghi care nu e între ele (LLU). În toate acestea apar unghiuri fără cele două laturi care le încadrează — exact ce nu poate mesteca teorema cosinusului. Ne trebuie o relație care să pună față în față o latură și unghiul opus ei.

2. Prima descoperire: raportul latură–sinus nu se schimbă

Pornim de la o singură înălțime. Fie $CD\perp AB$, cu $D$ pe dreapta $AB$, și notăm $h=CD$.

În triunghiul dreptunghic $ADC$, cateta $CD$ se vede din unghiul $A$: $h=b\sin A$. În triunghiul dreptunghic $BDC$, aceeași catetă se vede din unghiul $B$: $h=a\sin B$. Egalăm cele două exprimări ale aceleiași înălțimi:

$$b\sin A=a\sin B⟺\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}.$$

Dacă unul dintre unghiurile $A$ sau $B$ este obtuz, piciorul $D$ cade în afara segmentului $AB$, iar în triunghiul dreptunghic apare unghiul suplementar; dar $\sin (180^{\circ }-A)=\sin A$, deci relația rămâne identică. Spre deosebire de cosinus, sinusul nu-și schimbă semnul pe intervalul $(0^{\circ },180^{\circ })$: el este pozitiv pentru orice unghi al unui triunghi. Aceasta este marea comoditate a teoremei sinusurilor și, cum vom vedea, și singura ei capcană.

Repetând raționamentul cu înălțimea din $A$ obținem $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$, deci toate cele trei rapoarte sunt egale:

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}.$$

3. Enunțul complet: constanta are un nume

Orice triunghi are un cerc circumscris unic — cercul care trece prin cele trei vârfuri, cu centrul $O$ în intersecția mediatoarelor laturilor și raza notată $R$. Teorema sinusurilor spune că valoarea comună a rapoartelor de mai sus nu e un număr oarecare, ci chiar diametrul acestui cerc.

Teorema sinusurilor. În orice triunghi $ABC$, cu $R$ raza cercului circumscris:

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R.$$

4. Demonstrația

Demonstrăm relația $\frac{a}{\sin A}=2R$; pentru celelalte două, raționamentul se repetă schimbând literele.

Construim cercul circumscris de centru $O$ și rază $R$ și ducem diametrul $B{A}^{\prime }$, unde $A^{\prime }$ este punctul diametral opus lui $B$ (deci $B{A}^{\prime }=2R$). Presupunem întâi $A^{\prime }\ne C$.

Unghiul $\angle BC{A}^{\prime }$ este înscris în semicerc, deci $m(\angle BC{A}^{\prime })=90^{\circ }$. În triunghiul dreptunghic $BC{A}^{\prime }$, cateta $BC=a$ se vede din unghiul $\angle B{A}^{\prime }C$:

$$\sin (\angle B{A}^{\prime }C)=\frac{BC}{B{A}^{\prime }}=\frac{a}{2R}.$$

Observă un detaliu de care vom avea nevoie imediat: unghiul $\angle B{A}^{\prime }C$ este ascuțit, fiind unul dintre cele două unghiuri nedrepte ale unui triunghi dreptunghic. Comparăm acum acest unghi cu unghiul $A$ al triunghiului nostru; ambele „privesc" coarda $BC$.

Cazul $A$ ascuțit. Atunci $A$ și $A^{\prime }$ se află de aceeași parte a dreptei $BC$, adică pe același arc determinat de coarda $BC$. Unghiurile $\angle BAC$ și $\angle B{A}^{\prime }C$ sunt unghiuri înscrise care subîntind același arc, deci sunt egale:

$$\sin A=\sin (\angle B{A}^{\prime }C)=\frac{a}{2R}⟹\frac{a}{\sin A}=2R.$$

Cazul $A$ obtuz. Cum $\angle B{A}^{\prime }C$ este mereu ascuțit, punctele $A$ și $A^{\prime }$ sunt acum de o parte și de alta a dreptei $BC$, iar patrulaterul $AB{A}^{\prime }C$ este inscriptibil. Unghiurile opuse ale unui patrulater inscriptibil sunt suplementare, deci $m(\angle A)+m(\angle B{A}^{\prime }C)=180^{\circ }$. Dar sinusul nu face diferența între unghiuri suplementare:

$$\sin A=\sin (180^{\circ }-m(\angle A))=\sin (\angle B{A}^{\prime }C)=\frac{a}{2R},$$

deci concluzia este aceeași.

Cazul $A$ drept. Aici $A^{\prime }=C$: latura $BC$ trece prin centru și este chiar un diametru, $a=2R$. Cum $\sin 90^{\circ }=1$, avem din nou $\frac{a}{\sin A}=\frac{2R}{1}=2R$. (Regăsim teorema lui Thales: unghiul drept al unui triunghi „stă" pe diametru.)

În toate cazurile $\frac{a}{\sin A}=2R$, iar același raționament aplicat vârfurilor $B$ și $C$ încheie demonstrația. $■$

5. Trei forme, trei utilizări

Aceeași teoremă se rescrie în funcție de ce cauți:

• forma cu raport — $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$: dintre patru mărimi, trei cunoscute o dau pe a patra;
• forma cu latura izolată — $a=2R\sin A$: laturile sunt proporționale cu sinusurile unghiurilor opuse, $a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C$;
• forma cu raza izolată — $R=\frac{a}{2\sin A}$: raza cercului circumscris se calculează dintr-o singură pereche latură–unghi opus, fără să construiești mediatoarele.

Din a doua formă iese imediat o consecință utilă: cum $\sin A\le 1$, avem $a\le 2R$ — nicio latură nu poate depăși diametrul, iar egalitatea are loc exact când $A=90^{\circ }$. Tot de aici: într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza este diametrul cercului circumscris, deci $R=\frac{\text{ipotenuza}}{2}$.

6. Cazurile ULU și LUU: o latură și două unghiuri

Regula de aur a teoremei sinusurilor: ai nevoie de o pereche completă — o latură împreună cu unghiul opus ei. Odată ce ai perechea, valoarea $2R$ este cunoscută și oricare altă latură sau unghi se obține dintr-un singur raport.

• LUU (latură, unghi alăturat, unghi opus): perechea completă e deja acolo; aplici direct.
• ULU (două unghiuri și latura dintre ele): perechea nu e completă, dar se completează gratuit — al treilea unghi se află din $m(\angle A)+m(\angle B)+m(\angle C)=180^{\circ }$, și abia apoi aplici teorema.

De reținut ordinea la ULU: întâi suma unghiurilor, apoi sinusurile. Elevii care sar peste primul pas rămân blocați, deși problema era rezolvată pe jumătate.

7. Semnalul de alarmă: cazul LLU

Dacă știi două laturi și un unghi care nu este între ele (LLU), teorema sinusurilor îți dă sinusul unui alt unghi — și aici apare capcana. Ecuația $\sin B=k$, cu $k\in (0,1)$, are pe intervalul $(0^{\circ },180^{\circ })$ două soluții: $B$ și $180^{\circ }-B$.

Exemplu: $a=5$, $b=5\sqrt{3}$, $m(\angle A)=30^{\circ }$. Atunci

$$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{5\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}}{5}=\frac{\sqrt{3}}{2},$$

deci $m(\angle B)=60^{\circ }$ sau $m(\angle B)=120^{\circ }$. Ambele variante dau triunghiuri veritabile (suma cu $30^{\circ }$ rămâne sub $180^{\circ }$), deci problema are două soluții. Nu e o greșeală de calcul, ci o realitate geometrică: două triunghiuri diferite au aceleași date.

Un reper rapid: dacă latura opusă unghiului cunoscut este cea mai mare dintre cele două, soluția e unică; dacă e mai mică, trebuie făcută discuția. Analiza completă, cu toate situațiile posibile, o facem în lecția despre rezolvarea triunghiurilor.

8. Distanțe pe care nu le poți parcurge: triangulația

Ne întoarcem la topograful din deschidere. Datele: $AB=100$ m (baza măsurabilă), $m(\angle A)=45^{\circ }$, $m(\angle B)=105^{\circ }$. Al treilea unghi, cel din insulă:

$$m(\angle C)=180^{\circ }-45^{\circ }-105^{\circ }=30^{\circ }.$$

Latura $AB=c=100$ și unghiul opus $C=30^{\circ }$ formează perechea completă, deci $2R=\frac{100}{\sin 30^{\circ }}=200$. Distanța de la jalonul $B$ la insulă este latura $a=BC$, opusă unghiului $A$:

$$a=2R\sin A=200\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=100\sqrt{2}\approx 141,4\text{m}.$$

Pe același drum, $b=AC=200\sin 105^{\circ }\approx 193,2$ m. Exact acesta este principiul triangulației, folosit de la hărțile secolului al XIX-lea până la sistemele moderne de poziționare: măsori o bază accesibilă și două unghiuri, iar restul îl calculezi.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Raza cercului circumscris dintr-o singură pereche

În triunghiul $ABC$, $a=8$ și $m(\angle A)=30^{\circ }$. Calculați raza cercului circumscris.

Rezolvare. Perechea latură–unghi opus este completă, deci aplicăm direct:

$$2R=\frac{a}{\sin A}=\frac{8}{\sin 30^{\circ }}=\frac{8}{\frac{1}{2}}=16\Rightarrow R=8.$$

Observă că celelalte elemente ale triunghiului nici nu au fost necesare: o singură pereche determină cercul circumscris. $■$

Exemplul 2 — Cazul LUU: a doua latură

În triunghiul $ABC$, $a=10$, $m(\angle A)=30^{\circ }$, $m(\angle B)=45^{\circ }$. Calculați $b$ și $R$.

Rezolvare. Din perechea $(a,A)$: $2R=\frac{10}{\sin 30^{\circ }}=20$, deci $R=10$. Apoi:

$$b=2R\sin B=20\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=10\sqrt{2}\approx 14,14.$$

Verificare de bun-simț: $B>A$, deci trebuie ca $b>a$ — și într-adevăr $10\sqrt{2}>10$. ✓ $■$

Exemplul 3 — Cazul ULU: triunghiul rezolvat complet

În triunghiul $ABC$, $a=10$, $m(\angle B)=m(\angle C)=30^{\circ }$. Calculați $b$, $c$ și $R$.

Rezolvare. Latura $a$ este între unghiurile cunoscute, deci nu avem pereche completă. O completăm din suma unghiurilor:

$$m(\angle A)=180^{\circ }-30^{\circ }-30^{\circ }=120^{\circ }.$$

Acum perechea $(a,A)$ funcționează: $2R=\frac{10}{\sin 120^{\circ }}=\frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{20}{\sqrt{3}}=\frac{20\sqrt{3}}{3}$, deci $R=\frac{10\sqrt{3}}{3}\approx 5,77$. Mai departe:

$$b=c=2R\sin 30^{\circ }=\frac{20\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{10\sqrt{3}}{3}\approx 5,77.$$

Triunghiul e isoscel, cum era de așteptat din $B=C$. Control cu teorema cosinusului: $b^2+c^2-2bc\cos A=\frac{100}{3}+\frac{100}{3}+\frac{100}{3}=100=a^2$ ✓. $■$

Exemplul 4 — Sinusul citit din laturi

Triunghiul $ABC$ are $a=13$, $b=14$, $c=15$. Calculați $\sin A$ și raza cercului circumscris.

Rezolvare. Cu trei laturi cunoscute, drumul trece prin teorema cosinusului:

$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{196+225-169}{2\cdot 14\cdot 15}=\frac{252}{420}=\frac{3}{5}.$$

Din formula fundamentală a trigonometriei, cu $\sin A>0$ (unghi de triunghi):

$$\sin A=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}.$$

Acum teorema sinusurilor dă raza: $R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{13}{2\cdot \frac{4}{5}}=\frac{65}{8}=8,125$. Reține combinația: cosinusul deschide ușa (din laturi), sinusul o traversează (spre cerc). $■$

Exemplul 5 — Cazul ambiguu, cu ambele soluții

În triunghiul $ABC$, $a=5$, $b=5\sqrt{3}$, $m(\angle A)=30^{\circ }$. Aflați toate triunghiurile posibile.

Rezolvare. $2R=\frac{5}{\sin 30^{\circ }}=10$, iar $\sin B=\frac{b}{2R}=\frac{5\sqrt{3}}{10}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $m(\angle B)\in \{60^{\circ },120^{\circ }\}$.

• Dacă $m(\angle B)=60^{\circ }$: $m(\angle C)=90^{\circ }$ și $c=2R\sin C=10$. Triunghiul $(5,5\sqrt{3},10)$ este dreptunghic.
• Dacă $m(\angle B)=120^{\circ }$: $m(\angle C)=30^{\circ }$ și $c=10\cdot \frac{1}{2}=5$. Triunghiul $(5,5\sqrt{3},5)$ este isoscel.

Ambele respectă inegalitatea triunghiului ($5+5=10>5\sqrt{3}\approx 8,66$), deci problema are două soluții. Cauza: $a<b$, adică unghiul cunoscut nu se opune celei mai mari laturi. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

În triunghiul $ABC$ se știe că $AB=6$, $AC=10$ și $BC=14$. a) Arătați că $m(\angle A)=120^{\circ }$. b) Calculați raza cercului circumscris triunghiului.

Rezolvare. a) Cu $a=BC=14$, $b=AC=10$, $c=AB=6$:

$$\cos A=\frac{100+36-196}{2\cdot 10\cdot 6}=\frac{-60}{120}=-\frac{1}{2}\Rightarrow m(\angle A)=120^{\circ }.$$

b) $\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci

$$R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{14}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{14}{\sqrt{3}}=\frac{14\sqrt{3}}{3}\approx 8,08.$$

Control: $a\le 2R$ înseamnă $14\le 16,17$ ✓ — latura opusă unui unghi obtuz e mare, dar tot sub diametru. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare problemă, scrie mai întâi ce pereche latură–unghi opus ai la dispoziție; dacă nu ai niciuna, caută-o prin suma unghiurilor sau prin teorema cosinusului. Rezultatele iraționale rămân în formă exactă.

1. În triunghiul $ABC$, $a=8$ și $m(\angle A)=30^{\circ }$. Calculează $2R$ și $R$.

2. În triunghiul $ABC$, $a=10$ și $m(\angle A)=45^{\circ }$. Calculează raza cercului circumscris.

3. În triunghiul $ABC$, $a=6$, $m(\angle A)=30^{\circ }$, $m(\angle B)=45^{\circ }$. Calculează $b$.

4. În triunghiul $ABC$, $a=12$, $m(\angle A)=45^{\circ }$, $m(\angle B)=60^{\circ }$. Calculează $b$.

5. Raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ este $R=5$, iar $m(\angle A)=30^{\circ }$. Calculează $a$.

6. Calculează raza cercului circumscris unui triunghi echilateral cu latura $6$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă într-un triunghi $\sin A=\sin B$, atunci triunghiul este isoscel."

8. În triunghiul $ABC$ cu $a=13$, $b=14$, $c=15$ se știe că $\sin C=\frac{12}{13}$. Calculează $R$ și compară rezultatul cu cel din Exemplul 4.

9. Un triunghi este înscris într-un cerc de rază $5$ și are o latură de $10$. Arată că triunghiul este dreptunghic.

10. În triunghiul $ABC$, $a=6$, $b=6\sqrt{2}$ și $m(\angle A)=30^{\circ }$. Află valorile posibile ale lui $m(\angle B)$ și explică de ce sunt acceptabile amândouă.

11. În triunghiul $ABC$, $a=5$, $b=5\sqrt{2}$ și $m(\angle A)=45^{\circ }$. Arată că problema are soluție unică și determină triunghiul complet.

12. Într-un triunghi, $\frac{a}{\sin A}=12$ și $m(\angle B)=60^{\circ }$. Calculează $b$.

13. În triunghiul $ABC$, $m(\angle A)=60^{\circ }$, $m(\angle B)=45^{\circ }$ și $b=4\sqrt{2}$. Calculează $a$ și $R$.

14. (Problemă aplicată.) De pe malul unui râu, doi topografi stau în punctele $A$ și $B$, la $60$ m unul de altul, și vizează un copac $C$ de pe malul opus: $m(\angle A)=105^{\circ }$, $m(\angle B)=30^{\circ }$. Calculează distanța $AC$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) În triunghiul $ABC$, $BC=10$ și $m(\angle A)=45^{\circ }$. Calculează raza cercului circumscris triunghiului $ABC$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) În triunghiul $ABC$, $AB=8$, $AC=5$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$. a) Calculează $BC$. b) Calculează $\sin B$.

17. Demonstrează, folosind teorema sinusurilor, teorema proiecțiilor: în orice triunghi, $a=b\cos C+c\cos B$. (Indicație: $A=180^{\circ }-(B+C)$, deci $\sin A=\sin (B+C)$.)

18. (Provocare.) Într-un triunghi $ABC$ are loc $\frac{a}{\cos A}=\frac{b}{\cos B}=\frac{c}{\cos C}$. Demonstrează că triunghiul este echilateral.

Răspunsuri și explicații

1. $2R=\frac{8}{\sin 30^{\circ }}=\frac{8}{1/2}=16$, deci $R=8$. Latura este egală cu raza, ceea ce e firesc: unghiul de $30^{\circ }$ „vede" o coardă egală cu raza.

2. $2R=\frac{10}{\sin 45^{\circ }}=\frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=10\sqrt{2}$, deci $R=5\sqrt{2}\approx 7,07$.

3. $2R=\frac{6}{\sin 30^{\circ }}=12$, deci $b=12\sin 45^{\circ }=12\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}\approx 8,49$. Cum $B>A$, era de așteptat $b>a$ ✓.

4. $2R=\frac{12}{\sin 45^{\circ }}=12\sqrt{2}$, deci $b=12\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{6}\approx 14,70$.

5. $a=2R\sin A=10\cdot \frac{1}{2}=5$.

6. Toate unghiurile au $60^{\circ }$, deci $2R=\frac{6}{\sin 60^{\circ }}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$ și $R=2\sqrt{3}\approx 3,46$. (În general, pentru latura $\ell$: $R=\frac{\ell \sqrt{3}}{3}$.)

7. Adevărat. Din $a=2R\sin A$ și $b=2R\sin B$, egalitatea sinusurilor dă imediat $a=b$, deci triunghiul e isoscel. Atenție: $\sin A=\sin B$ nu implică $A=B$ în general (poate fi $B=180^{\circ }-A$), dar într-un triunghi acest al doilea caz ar da $A+B=180^{\circ }$, imposibil. Deci aici cele două unghiuri chiar sunt egale.

8. $R=\frac{c}{2\sin C}=\frac{15}{2\cdot \frac{12}{13}}=\frac{15\cdot 13}{24}=\frac{65}{8}$ — exact valoarea din Exemplul 4. Confirmă teorema: orice pereche latură–unghi opus dă același $2R$.

9. Fie $a=10$ latura dată; atunci $\sin A=\frac{a}{2R}=\frac{10}{10}=1$, deci $m(\angle A)=90^{\circ }$ (singurul unghi din $(0^{\circ },180^{\circ })$ cu sinusul $1$). Latura de $10$ este chiar diametrul, iar triunghiul e dreptunghic — reciproca teoremei lui Thales.

10. $2R=\frac{6}{\sin 30^{\circ }}=12$, deci $\sin B=\frac{6\sqrt{2}}{12}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $m(\angle B)\in \{45^{\circ },135^{\circ }\}$. Ambele sunt acceptabile: $30^{\circ }+45^{\circ }=75^{\circ }<180^{\circ }$ și $30^{\circ }+135^{\circ }=165^{\circ }<180^{\circ }$, deci al treilea unghi există în ambele situații ($105^{\circ }$, respectiv $15^{\circ }$). Este cazul ambiguu: $a<b$.

11. $2R=\frac{5}{\sin 45^{\circ }}=5\sqrt{2}$, deci $\sin B=\frac{5\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}=1$ și $m(\angle B)=90^{\circ }$ — o singură valoare, pentru că $\sin B=1$ are soluție unică. Atunci $m(\angle C)=45^{\circ }$ și $c=5\sqrt{2}\sin 45^{\circ }=5$. Triunghiul $(5,5\sqrt{2},5)$ este dreptunghic isoscel. Acesta e cazul „de graniță" dintre zero și două soluții.

12. $b=12\sin 60^{\circ }=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\approx 10,39$.

13. $2R=\frac{b}{\sin B}=\frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=8$, deci $R=4$ și $a=8\sin 60^{\circ }=4\sqrt{3}\approx 6,93$.

14. $m(\angle C)=180^{\circ }-105^{\circ }-30^{\circ }=45^{\circ }$. Perechea completă este $(c,C)$ cu $c=AB=60$: $2R=\frac{60}{\sin 45^{\circ }}=60\sqrt{2}$. Distanța $AC$ este latura $b$, opusă unghiului $B$:

$$b=2R\sin B=60\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}=30\sqrt{2}\approx 42,43\text{m}.$$

15. $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{10}{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}\approx 7,07$.

16. a) Teorema cosinusului (LUL): $B{C}^2=64+25-2\cdot 8\cdot 5\cdot \frac{1}{2}=89-40=49$, deci $BC=7$. b) Latura opusă lui $B$ este $b=AC=5$, iar $a=BC=7$:

$$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{7}=\frac{5\sqrt{3}}{14}\approx 0,62.$$

Cum $b<a$, unghiul $B$ este ascuțit — nu există ambiguitate.

17. Din teorema sinusurilor, $a=2R\sin A$, $b=2R\sin B$, $c=2R\sin C$. Cum $A=180^{\circ }-(B+C)$, avem $\sin A=\sin (B+C)=\sin B\cos C+\cos B\sin C$. Înmulțind cu $2R$:

$$a=2R\sin B\cos C+2R\cos B\sin C=b\cos C+c\cos B.■$$

18. Din teorema sinusurilor, $a=2R\sin A$ și $b=2R\sin B$, deci prima egalitate devine $\frac{2R\sin A}{\cos A}=\frac{2R\sin B}{\cos B}$, adică $\mathrm{tg}A=\mathrm{tg}B$ (cosinusurile sunt nenule, altfel rapoartele n-ar avea sens, deci niciun unghi nu e drept). Pe intervalul $(0^{\circ },180^{\circ })\setminus \{90^{\circ }\}$ funcția tangentă este injectivă pe fiecare ramură, iar două unghiuri cu aceeași tangentă diferă cu $180^{\circ }$ — imposibil într-un triunghi. Rămâne $A=B$. Analog $B=C$, deci toate unghiurile au $60^{\circ }$ și triunghiul este echilateral. $■$

De reținut

• Teorema sinusurilor: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, unde $R$ este raza cercului circumscris. Latura și unghiul dintr-un raport sunt mereu opuse.
• Pentru a porni ai nevoie de o pereche completă (latură + unghiul opus ei). La ULU o obții aflând întâi al treilea unghi din suma $180^{\circ }$.
• $R=\frac{a}{2\sin A}$ — raza cercului circumscris se calculează dintr-o singură pereche, fără să construiești centrul.
• Sinusul este pozitiv pe tot intervalul $(0^{\circ },180^{\circ })$ și nu distinge unghiurile suplementare: $\sin (180^{\circ }-x)=\sin x$. De aici cazul ambiguu LLU, cu două triunghiuri posibile.
• Consecințe imediate: $a=2R\sin A\le 2R$ (nicio latură nu depășește diametrul) și, în triunghiul dreptunghic, ipotenuza este diametrul, deci $R=\frac{\text{ipotenuza}}{2}$.

Greșeli frecvente

• Perechea incompletă. Se aplică teorema sinusurilor la date de tip LUL (două laturi și unghiul dintre ele), unde niciun unghi nu are latura opusă cunoscută. Acolo se începe cu teorema cosinusului.
• Uitarea celei de-a doua soluții la LLU. Din $\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$ se scrie doar $B=60^{\circ }$, deși $B=120^{\circ }$ poate fi la fel de valabil. Verifică întotdeauna dacă suma cu unghiul cunoscut rămâne sub $180^{\circ }$.
• Confuzia $R$ cu $2R$. Raportul $\frac{a}{\sin A}$ este diametrul, nu raza. Jumătate din erorile de la această lecție sunt exact aici.
• Trecerea la unghi prin sinus când se putea prin cosinus. Dacă știi toate laturile, cosinusul dă unghiul fără ambiguitate (semnul lui distinge ascuțit de obtuz), pe când sinusul lasă două variante.
• Amestecul gradelor cu radianii. Dacă lucrezi la calculator, verifică modul: $\sin 30$ în radiani nu este $0,5$, iar rezultatul iese complet aiurea.

Aplică acasă

1. Măsoară un obiect inaccesibil. Alege un copac, un stâlp sau un bloc pe care nu-l poți atinge. Marchează pe sol două puncte $A$ și $B$ la o distanță cunoscută (numără pași sau folosește o ruletă) și măsoară din fiecare unghiul dintre direcția $AB$ și direcția către obiect (poți folosi o aplicație de raportor din telefon). Calculează distanțele cu teorema sinusurilor, apoi verifică una dintre ele mergând efectiv până acolo.

2. Cercul circumscris, cu ață și riglă. Desenează pe o coală un triunghi oarecare, măsoară cu raportorul un unghi și cu rigla latura opusă lui, apoi calculează $R=\frac{a}{2\sin A}$. Construiește mediatoarele a două laturi, găsește centrul $O$ și măsoară raza reală. Cât de aproape ești? Repetă cu alte două perechi latură–unghi și compară cele trei valori.

3. Harta orașului. Pe o hartă digitală, alege trei repere ale orașului tău care formează un triunghi vizibil. Măsoară cele trei distanțe cu instrumentul de măsurare al hărții, calculează un unghi cu teorema cosinusului, apoi raza cercului care trece prin cele trei repere. Desenează-l pe hartă: trece exact prin toate trei?

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce a doua unealtă fundamentală a unității „Aplicații ale trigonometriei în geometrie" și o leagă de cercul circumscris. Elevul trebuie să rețină nu doar formula, ci și condiția de utilizare: teorema sinusurilor pornește doar dintr-o pereche completă latură–unghi opus. Demonstrația cu unghiuri înscrise este cerută la nivelul curriculumului de specialitate (CS) și merită reluată oral, cu accent pe cele trei cazuri (unghi ascuțit, drept, obtuz) — este un exemplu excelent de raționament cu discuție de cazuri, exact ce se cere la Bacalaureatul M1.

Întrebări bune de control: „Ce trebuie să cunosc ca să pot porni cu teorema sinusurilor?" (o latură și unghiul opus ei); „Cât este raportul $\frac{a}{\sin A}$?" ($2R$, diametrul, nu raza); „De ce la ULU trebuie întâi suma unghiurilor?" (ca să obțin perechea completă); „De ce $\sin B=\frac{1}{2}$ poate însemna două unghiuri?" (sinusul nu distinge unghiurile suplementare). Semne că a înțeles: alege singur între teorema sinusurilor și cea a cosinusului, identifică imediat cazul ambiguu și verifică rezultatele cu regula „latura mai mare se opune unghiului mai mare".

La Bacalaureatul M1, teorema sinusurilor apare cel mai des sub forma „calculați raza cercului circumscris triunghiului $ABC$", de obicei după un prim punct în care se determină un unghi cu teorema cosinusului — exact lanțul din Exemplele 4 și 6. Recomandăm exersarea acestui traseu complet (laturi $\to$ cosinus $\to$ sinus $\to$ rază) până devine automat, pentru că el se continuă direct în lecția despre razele cercurilor înscris și circumscris.

Întrebări frecvente

Ce spune teorema sinusurilor? În orice triunghi, raportul dintre o latură și sinusul unghiului opus ei este același pentru toate cele trei laturi și este egal cu diametrul cercului circumscris: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$.

Când folosesc teorema sinusurilor și când teorema cosinusului? Teorema sinusurilor, când printre date există o latură împreună cu unghiul opus ei (cazurile LUU, ULU, LLU). Teorema cosinusului, când ai două laturi și unghiul dintre ele (LUL) sau toate cele trei laturi (LLL).

Cum calculez raza cercului circumscris fără să găsesc centrul? Cu formula $R=\frac{a}{2\sin A}$: îți trebuie doar o latură și unghiul opus ei. Dacă știi cele trei laturi, afli întâi $\cos A$ cu teorema cosinusului, apoi $\sin A$ din formula fundamentală și abia apoi $R$.

De ce raportul este egal cu $2R$ și nu cu $R$? Pentru că în demonstrație intervine diametrul cercului circumscris: latura se vede ca o catetă într-un triunghi dreptunghic a cărui ipotenuză este diametrul $2R$. Confuzia dintre $R$ și $2R$ este greșeala numărul unu la această lecție.

Ce este cazul ambiguu al teoremei sinusurilor? Este situația LLU — două laturi și un unghi care nu e între ele. Ecuația $\sin B=k$ are două soluții pe $(0^{\circ },180^{\circ })$, deci pot exista două triunghiuri diferite cu aceleași date. Dacă latura opusă unghiului cunoscut este cea mai mare, soluția e unică.

Teorema sinusurilor funcționează și în triunghiul obtuzunghic? Da, în orice triunghi. Sinusul este pozitiv pe tot intervalul $(0^{\circ },180^{\circ })$, iar în demonstrație cazul obtuz se tratează cu patrulaterul inscriptibil și cu relația $\sin (180^{\circ }-x)=\sin x$.

Ce legătură are teorema sinusurilor cu teorema lui Thales despre unghiul înscris în semicerc? Este cazul particular $A=90^{\circ }$: atunci $\sin A=1$ și $a=2R$, adică ipotenuza unui triunghi dreptunghic este exact diametrul cercului circumscris, iar raza este jumătate din ipotenuză.

Unde se folosește teorema sinusurilor în practică? În triangulație — metoda prin care se măsoară distanțe inaccesibile din două puncte de observație: topografie, cartografie, navigație, astronomie (distanțele până la stelele apropiate se calculează exact așa, cu baza dată de orbita Pământului) și localizarea unei surse de semnal după direcțiile din care e recepționată.