Teorema lui Ceva și concurența cevienelor

Din gimnaziu știi trei fapte pe care le-ai acceptat fără demonstrație: cele trei mediane ale unui triunghi se întâlnesc într-un punct, cele trei bisectoare interioare se întâlnesc într-un punct și cele trei înălțimi se întâlnesc într-un punct. Trei drepte alese la întâmplare în plan aproape sigur nu trec prin același punct — se taie două câte două și formează un triunghi mic. Faptul că se întâmplă de trei ori la rând, în orice triunghi, nu poate fi o coincidență. Trebuie să existe o cauză comună.

Cauza există și are un nume: teorema lui Ceva, publicată în 1678 de inginerul și matematicianul italian Giovanni Ceva. Ea spune că trei ceviene sunt concurente exact atunci când produsul a trei rapoarte, scrise după aceeași regulă ca la teorema lui Menelaus, este egal cu $1$. Cu un singur criteriu vei demonstra, în trei rânduri fiecare, toate cele trei concurențe din gimnaziu — și încă multe altele. Programa de mate-info o cere explicit: „stabilirea concurenței a trei drepte determinate de câte un vârf al unui triunghi și un punct situat pe dreapta suport a laturii opuse vârfului respectiv".

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți teorema lui Ceva în forma cu segmente neorientate și să o deosebești clar de teorema lui Menelaus.
• Vei ști să o demonstrezi în două moduri: prin rapoarte de arii și prin dubla aplicare a teoremei lui Menelaus.
• Vei ști să enunți și să folosești reciproca teoremei lui Ceva ca test de concurență.
• Vei ști să demonstrezi, cu reciproca, concurența medianelor, a bisectoarelor și a înălțimilor.
• Vei ști să calculezi raportul în care punctul de concurență împarte o ceviană (relația lui Van Aubel).
• Vei ști să folosești forma trigonometrică a teoremei lui Ceva, atunci când datele problemei sunt unghiuri, nu segmente.

Hai să descoperim împreună

1. Trei ceviene și o singură întrebare

Reluăm configurația din lecțiile precedente: în triunghiul $ABC$ luăm $M$ pe dreapta $BC$, $N$ pe dreapta $CA$ și $P$ pe dreapta $AB$, niciunul dintre ele nefiind vârf. Segmentele $AM$, $BN$, $CP$ se numesc ceviene — segmente care unesc un vârf cu un punct de pe latura opusă, exact obiectele studiate în lecția despre relația lui Stewart.

Întrebarea lecției: când trec cele trei ceviene prin același punct?

Observă contrastul cu lecția anterioară. Acolo cele trei puncte $M$, $N$, $P$ erau coliniare, iar regula parității cerea un număr impar de puncte exterioare laturilor. Aici punctele nu mai sunt pe o dreaptă comună; în cazul standard toate trei sunt pe laturi, deci numărul punctelor exterioare este $0$ — par. Aceeași formulă, două configurații complementare.

2. Enunțul teoremei lui Ceva

Teorema lui Ceva. Fie triunghiul $ABC$ și punctele $M\in (BC)$, $N\in (CA)$, $P\in (AB)$. Dacă cevienele $AM$, $BN$, $CP$ sunt concurente, atunci

$$\frac{MB}{MC}\cdot \frac{NC}{NA}\cdot \frac{PA}{PB}=1.$$

Formula este identică, literă cu literă, cu cea a lui Menelaus — inclusiv regula mnemonică: parcurgi laturile în ordine ciclică $BC$, $CA$, $AB$ și scrii fiecare fracție cu literele laturii, în ordinea lor. Ceea ce diferă este configurația: la Menelaus punctele stau pe o transversală, la Ceva cevienele trec printr-un punct.

3. Demonstrația prin arii

Fie $O$ punctul comun al celor trei ceviene. Ideea: exprimăm fiecare raport de segmente ca raport de arii și lăsăm ariile să se simplifice.

Triunghiurile $ABM$ și $ACM$ au aceeași înălțime din $A$ către $BC$, deci raportul ariilor este raportul bazelor:

$$\frac{{\mathcal{A}}_{ABM}}{{\mathcal{A}}_{ACM}}=\frac{MB}{MC}.$$

Triunghiurile $OBM$ și $OCM$ au aceeași înălțime din $O$ către $BC$, deci

$$\frac{{\mathcal{A}}_{OBM}}{{\mathcal{A}}_{OCM}}=\frac{MB}{MC}.$$

Cele două fracții sunt egale, deci și fracția obținută scăzând numărătorii și numitorii are aceeași valoare. Cum $O\in (AM)$, avem ${\mathcal{A}}_{ABM}-{\mathcal{A}}_{OBM}={\mathcal{A}}_{AOB}$ și ${\mathcal{A}}_{ACM}-{\mathcal{A}}_{OCM}={\mathcal{A}}_{AOC}$, prin urmare

$$\frac{MB}{MC}=\frac{{\mathcal{A}}_{AOB}}{{\mathcal{A}}_{AOC}}.$$

Repetând raționamentul pentru celelalte două ceviene:

$$\frac{NC}{NA}=\frac{{\mathcal{A}}_{BOC}}{{\mathcal{A}}_{BOA}},\frac{PA}{PB}=\frac{{\mathcal{A}}_{COA}}{{\mathcal{A}}_{COB}}.$$

Înmulțim cele trei egalități. Fiecare dintre ariile ${\mathcal{A}}_{AOB}$, ${\mathcal{A}}_{BOC}$, ${\mathcal{A}}_{COA}$ apare o dată la numărător și o dată la numitor, deci produsul este $1$:

$$\frac{MB}{MC}\cdot \frac{NC}{NA}\cdot \frac{PA}{PB}=\frac{{\mathcal{A}}_{AOB}}{{\mathcal{A}}_{AOC}}\cdot \frac{{\mathcal{A}}_{BOC}}{{\mathcal{A}}_{AOB}}\cdot \frac{{\mathcal{A}}_{AOC}}{{\mathcal{A}}_{BOC}}=1.■$$

4. A doua demonstrație, prin teorema lui Menelaus

Cele două teoreme nu sunt rivale, ci prietene: din una se obține cealaltă. Aplicăm teorema lui Menelaus de două ori, în două triunghiuri diferite, folosind de fiecare dată aceeași transversală.

Prima aplicare: în triunghiul $ABM$, dreapta $C$–$O$–$P$ este transversală (taie dreapta $BM$ în $C$, dreapta $MA$ în $O$, dreapta $AB$ în $P$):

$$\frac{CB}{CM}\cdot \frac{OM}{OA}\cdot \frac{PA}{PB}=1.$$

A doua aplicare: în triunghiul $ACM$, dreapta $B$–$O$–$N$ este transversală (taie dreapta $CM$ în $B$, dreapta $MA$ în $O$, dreapta $AC$ în $N$):

$$\frac{BC}{BM}\cdot \frac{OM}{OA}\cdot \frac{NA}{NC}=1.$$

Împărțim prima relație la a doua. Factorul $\frac{OM}{OA}$ se simplifică, la fel și $BC=CB$, iar rapoartele rămase se rearanjează:

$$\frac{BM}{CM}\cdot \frac{PA}{PB}\cdot \frac{NC}{NA}=1,$$

adică exact teorema lui Ceva. $■$

5. Reciproca teoremei lui Ceva

Reciproca. Fie $M\in (BC)$, $N\in (CA)$, $P\in (AB)$ astfel încât

$$\frac{MB}{MC}\cdot \frac{NC}{NA}\cdot \frac{PA}{PB}=1.$$

Atunci cevienele $AM$, $BN$, $CP$ sunt concurente.

Demonstrație. Cevienele $AM$ și $BN$ sunt interioare triunghiului, deci se intersectează într-un punct $O$ din interiorul lui. Dreapta $CO$ taie latura $(AB)$ într-un punct $P^{\prime }$. Aplicând teorema directă cevienelor $AM$, $BN$, $C{P}^{\prime }$ (care sunt concurente în $O$, prin construcție):

$$\frac{MB}{MC}\cdot \frac{NC}{NA}\cdot \frac{P^{\prime }A}{P^{\prime }B}=1.$$

Comparând cu ipoteza, rezultă $\frac{PA}{PB}=\frac{P^{\prime }A}{P^{\prime }B}$. Cum $P$ și $P^{\prime }$ sunt amândouă în interiorul segmentului $(AB)$, iar un punct interior este unic determinat de raportul în care împarte segmentul, obținem $P=P^{\prime }$. Prin urmare $CP$ trece prin $O$. $■$

Varianta extinsă. Reciproca rămâne adevărată și dacă punctele nu sunt toate pe laturi, cu condiția ca numărul punctelor exterioare să fie par — adică $0$ sau $2$; în acest caz concluzia corectă este că cele trei drepte sunt concurente sau paralele (cazul paralel corespunde unui punct de concurență „aruncat la infinit" și se elimină imediat ce arăți că două dintre drepte se taie). Cazul „două puncte exterioare" nu e o curiozitate: el apare la înălțimile unui triunghi obtuzunghic și la bisectoarele exterioare, iar în ambele situații dreptele chiar se întâlnesc. Reține contrastul cu Menelaus: impar $\Rightarrow$ coliniare, par $\Rightarrow$ concurente.

6. Cele trei concurențe din gimnaziu, demonstrate

Medianele. Dacă $M$, $N$, $P$ sunt mijloacele laturilor, toate cele trei rapoarte sunt egale cu $1$, deci produsul este $1$. Din reciproca teoremei lui Ceva, medianele sunt concurente. Punctul lor comun se numește centru de greutate și se notează $G$.

Bisectoarele interioare. Din teorema bisectoarei, piciorul bisectoarei din $A$ verifică $\frac{MB}{MC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}$. Analog, $\frac{NC}{NA}=\frac{BC}{BA}=\frac{a}{c}$ și $\frac{PA}{PB}=\frac{CA}{CB}=\frac{b}{a}$. Produsul:

$$\frac{c}{b}\cdot \frac{a}{c}\cdot \frac{b}{a}=1.$$

Bisectoarele sunt deci concurente, în punctul numit centrul cercului înscris și notat $I$ — punctul pe care îl folosești la calculul razei $r$ în lecția despre razele cercurilor înscris și circumscris.

Înălțimile. Fie triunghiul ascuțitunghic și $H_A$ piciorul înălțimii din $A$. În triunghiul dreptunghic $AB{H}_A$ avem $H_{A}B=AB\cos B=c\cos B$, iar în $AC{H}_A$ avem $H_{A}C=b\cos C$. Prin urmare

$$\frac{H_{A}B}{H_{A}C}=\frac{c\cos B}{b\cos C},\frac{H_{B}C}{H_{B}A}=\frac{a\cos C}{c\cos A},\frac{H_{C}A}{H_{C}B}=\frac{b\cos A}{a\cos B}.$$

Produsul lor este $\frac{c\cdot a\cdot b}{b\cdot c\cdot a}\cdot \frac{\cos B\cos C\cos A}{\cos C\cos A\cos B}=1$, deci înălțimile sunt concurente, în ortocentrul $H$. Într-un triunghi obtuzunghic, două picioare de înălțime cad în afara laturilor — număr par, deci varianta extinsă a reciprocei se aplică în continuare.

Verificare numerică. Pentru triunghiul cu $a=7$, $b=8$, $c=6$ avem $\cos A=\frac{17}{32}$, $\cos B=\frac{1}{4}$, $\cos C=\frac{11}{16}$, de unde $H_{A}B=\frac{3}{2}$ și $H_{A}C=\frac{11}{2}$ (suma lor este $7=a$ ✓). Cele trei rapoarte sunt $\frac{3}{11}$, $\frac{77}{51}$, $\frac{17}{7}$, iar produsul lor este exact $1$.

7. Cât de departe este punctul de concurență: relația lui Van Aubel

Reciproca îți spune că cevienele se întâlnesc; următoarea relație îți spune unde.

Relația lui Van Aubel. Dacă cevienele $AM$, $BN$, $CP$ sunt concurente în $O$, atunci

$$\frac{AO}{OM}=\frac{AP}{PB}+\frac{AN}{NC}.$$

Ea se obține imediat combinând teorema lui Ceva cu rezultatul demonstrat la exercițiile din lecția despre teorema lui Menelaus: notând $p=\frac{BM}{MC}$ și $q=\frac{AN}{NC}$, acolo am găsit $\frac{AO}{OM}=\frac{q(p+1)}{p}$, iar din teorema lui Ceva rezultă $\frac{AP}{PB}=\frac{q}{p}$. Suma din membrul drept este $\frac{q}{p}+q=\frac{q(1+p)}{p}$ — aceeași expresie.

Consecință imediată. La mediane, $\frac{AP}{PB}=\frac{AN}{NC}=1$, deci $\frac{AG}{GM}=2$: centrul de greutate se află la două treimi de vârf. La bisectoare, $\frac{AP}{PB}=\frac{b}{a}$ și $\frac{AN}{NC}=\frac{c}{a}$, deci $\frac{AI}{ID}=\frac{b+c}{a}$.

8. Forma trigonometrică

Când datele problemei sunt unghiuri, nu segmente, teorema lui Ceva are o variantă mult mai comodă. Folosind formula ariei cu sinus, $\frac{MB}{MC}=\frac{{\mathcal{A}}_{ABM}}{{\mathcal{A}}_{ACM}}=\frac{c\sin \angle BAM}{b\sin \angle MAC}$, și analoagele ei, laturile se simplifică exact ca mai sus și rămâne:

$$\frac{\sin \angle BAM}{\sin \angle MAC}\cdot \frac{\sin \angle CBN}{\sin \angle NBA}\cdot \frac{\sin \angle ACP}{\sin \angle PCB}=1.$$

Fiecare fracție compară cele două „jumătăți" în care ceviana împarte unghiul din vârful ei. Forma aceasta arată încă o dată de ce bisectoarele sunt concurente: fiecare fracție devine $\frac{\sin x}{\sin x}=1$, iar produsul e $1$ fără niciun calcul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Raportul al treilea, din concurență

În triunghiul $ABC$, cevienele $AM$, $BN$, $CP$ sunt concurente, cu $M\in (BC)$, $N\in (CA)$, $P\in (AB)$. Se știe că $\frac{BM}{MC}=\frac{1}{2}$ și $\frac{CN}{NA}=3$. Calculați $\frac{PA}{PB}$.

Rezolvare. Teorema lui Ceva:

$$\frac{1}{2}\cdot 3\cdot \frac{PA}{PB}=1⟹\frac{PA}{PB}=\frac{2}{3}.$$

Verificare prin coordonate, cu $A(0,0)$, $B(12,0)$, $C(3,9)$: se obțin $M(9,3)$, $N\left(\frac{3}{4},\frac{9}{4}\right)$, punctul de concurență $O\left(\frac{9}{2},\frac{3}{2}\right)$ și $P\left(\frac{24}{5},0\right)$, deci $PA:PB=\frac{24}{5}:\frac{36}{5}=2:3$ ✓. $■$

Exemplul 2 — Test de concurență cu reciproca

În triunghiul $ABC$ se iau $M\in (BC)$, $N\in (CA)$, $P\in (AB)$ cu $\frac{MB}{MC}=2$, $\frac{NC}{NA}=3$ și $\frac{PA}{PB}=\frac{1}{6}$. Sunt cevienele $AM$, $BN$, $CP$ concurente?

Rezolvare. Produsul este $2\cdot 3\cdot \frac{1}{6}=1$, iar toate cele trei puncte sunt pe laturi (zero puncte exterioare, deci număr par). Reciproca teoremei lui Ceva se aplică: cevienele sunt concurente.

Atenție la contrastul cu lecția anterioară: același produs, dar dacă unul dintre puncte ar fi fost pe o prelungire, concluzia ar fi fost coliniaritatea, nu concurența. $■$

Exemplul 3 — Când NU sunt concurente

Se iau $M\in (BC)$, $N\in (CA)$, $P\in (AB)$ cu $\frac{MB}{MC}=\frac{NC}{NA}=\frac{PA}{PB}=2$. Arătați că cevienele $AM$, $BN$, $CP$ nu sunt concurente.

Rezolvare. Dacă ar fi concurente, teorema directă ar da produsul $1$. Dar produsul este $2\cdot 2\cdot 2=8\ne 1$, contradicție. Deci cele trei ceviene formează un triunghi interior (uneori numit triunghiul cevian interior), nu trec prin același punct. $■$

Exemplul 4 — Concurența bisectoarelor, cu numere

În triunghiul $ABC$ cu $BC=7$, $CA=8$, $AB=6$, verificați numeric relația lui Ceva pentru cele trei bisectoare interioare și calculați $\frac{AI}{ID}$, unde $D$ este piciorul bisectoarei din $A$.

Rezolvare. Cu $a=7$, $b=8$, $c=6$:

$$\frac{DB}{DC}=\frac{c}{b}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4},\frac{NC}{NA}=\frac{a}{c}=\frac{7}{6},\frac{PA}{PB}=\frac{b}{a}=\frac{8}{7}.$$

Produsul: $\frac{3}{4}\cdot \frac{7}{6}\cdot \frac{8}{7}=\frac{168}{168}=1$ ✓.

Din relația lui Van Aubel, $\frac{AI}{ID}=\frac{AP}{PB}+\frac{AN}{NC}=\frac{b}{a}+\frac{c}{a}=\frac{b+c}{a}=\frac{14}{7}=2$. Așadar centrul cercului înscris împarte bisectoarea $AD$ în raportul $2:1$ dinspre $A$ — coincidență numerică plăcută: în acest triunghi particular, $I$ stă pe $AD$ exact unde ar sta centrul de greutate pe mediană. $■$

Exemplul 5 — Punctul lui Gergonne

Cercul înscris în triunghiul $ABC$ atinge laturile $(BC)$, $(CA)$, $(AB)$ în $M$, $N$, $P$. Arătați că cevienele $AM$, $BN$, $CP$ sunt concurente.

Rezolvare. Tangentele duse dintr-un punct exterior la un cerc sunt congruente, deci $AP=AN$, $BP=BM$, $CM=CN$. Notând $x=AP=AN$, $y=BP=BM$, $z=CM=CN$, avem $y+z=a$, $z+x=b$, $x+y=c$, de unde $x=s-a$, $y=s-b$, $z=s-c$, cu $s$ semiperimetrul.

Produsul lui Ceva:

$$\frac{MB}{MC}\cdot \frac{NC}{NA}\cdot \frac{PA}{PB}=\frac{y}{z}\cdot \frac{z}{x}\cdot \frac{x}{y}=1.$$

Toate punctele sunt pe laturi, deci reciproca se aplică: cevienele sunt concurente, în punctul lui Gergonne. Pentru $a=7$, $b=8$, $c=6$ se obțin $s=\frac{21}{2}$ și rapoartele $\frac{5}{9}$, $\frac{9}{7}$, $\frac{7}{5}$, cu produsul $1$ ✓. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

În triunghiul $ABC$, punctele $M\in (BC)$ și $N\in (CA)$ verifică $\frac{BM}{MC}=\frac{1}{2}$ și $\frac{AN}{NC}=\frac{1}{3}$. Dreptele $AM$ și $BN$ se intersectează în $O$, iar dreapta $CO$ taie $(AB)$ în $P$. a) Calculați $\frac{AP}{PB}$. b) Calculați $\frac{AO}{OM}$.

Rezolvare. a) Din $\frac{AN}{NC}=\frac{1}{3}$ rezultă $\frac{NC}{NA}=3$. Cevienele sunt concurente în $O$ prin construcție, deci teorema lui Ceva dă

$$\frac{1}{2}\cdot 3\cdot \frac{PA}{PB}=1⟹\frac{AP}{PB}=\frac{2}{3}.$$

b) Relația lui Van Aubel: $\frac{AO}{OM}=\frac{AP}{PB}+\frac{AN}{NC}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1$. Așadar $O$ este mijlocul cevianei $AM$ — rezultat confirmat de coordonatele din Exemplul 1, unde $O\left(\frac{9}{2},\frac{3}{2}\right)$ este într-adevăr mijlocul lui $A(0,0)$ și $M(9,3)$ ✓. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Înainte de orice calcul, verifică unde se află fiecare punct (pe latură sau pe prelungire) și numără punctele exterioare — paritatea îți spune dacă lucrezi cu Ceva sau cu Menelaus.

1. Cevienele $AM$, $BN$, $CP$ ale triunghiului $ABC$ sunt concurente. Dacă $\frac{MB}{MC}=4$ și $\frac{NC}{NA}=\frac{1}{2}$, calculează $\frac{PA}{PB}$.

2. În triunghiul $ABC$, cevienele $AM$, $BN$, $CP$ sunt concurente, $\frac{AP}{PB}=2$ și $\frac{BM}{MC}=3$. Calculează $\frac{AN}{NC}$.

3. Verifică, folosind reciproca teoremei lui Ceva, dacă cevienele determinate de $M\in (BC)$, $N\in (CA)$, $P\in (AB)$ cu $\frac{MB}{MC}=\frac{3}{2}$, $\frac{NC}{NA}=\frac{4}{3}$ și $\frac{PA}{PB}=\frac{1}{2}$ sunt concurente.

4. Aceleași puncte, dar cu $\frac{MB}{MC}=\frac{NC}{NA}=\frac{PA}{PB}=3$. Sunt cevienele concurente? Justifică.

5. Demonstrează, folosind reciproca teoremei lui Ceva, că medianele unui triunghi sunt concurente.

6. Demonstrează, folosind teorema bisectoarei și reciproca teoremei lui Ceva, că bisectoarele interioare ale unui triunghi sunt concurente.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $M$, $N$, $P$ sunt puncte pe dreptele $BC$, $CA$, $AB$ și produsul $\frac{MB}{MC}\cdot \frac{NC}{NA}\cdot \frac{PA}{PB}$ este egal cu $1$, atunci cevienele $AM$, $BN$, $CP$ sunt concurente."

8. În triunghiul ascuțitunghic cu $BC=7$, $CA=8$, $AB=6$, calculează $\cos B$ și $\cos C$, apoi lungimile $H_{A}B$ și $H_{A}C$, unde $H_A$ este piciorul înălțimii din $A$. Verifică faptul că $H_{A}B+H_{A}C=BC$.

9. Folosind exprimarea $H_{A}B=c\cos B$ și analoagele ei, demonstrează că înălțimile unui triunghi ascuțitunghic sunt concurente.

10. Cercul înscris în triunghiul cu laturile $a=7$, $b=8$, $c=6$ atinge laturile în $M$, $N$, $P$. Calculează cele trei rapoarte din teorema lui Ceva și verifică faptul că produsul lor este $1$.

11. În triunghiul $ABC$, cevienele concurente $AM$, $BN$, $CP$ verifică $\frac{AP}{PB}=\frac{3}{2}$ și $\frac{AN}{NC}=\frac{1}{2}$. Calculează $\frac{AO}{OM}$, unde $O$ este punctul de concurență.

12. Într-un triunghi cu $a=5$, $b=7$, $c=8$, calculează raportul în care centrul cercului înscris împarte bisectoarea din $A$.

13. (Problemă aplicată.) Trei drumuri drepte pleacă din cele trei colțuri ale unui parc triunghiular $ABC$ către puncte de pe laturile opuse: din $A$ către $M\in (BC)$ cu $\frac{BM}{MC}=\frac{2}{3}$, din $B$ către $N\in (CA)$ cu $\frac{CN}{NA}=\frac{3}{4}$. În ce raport trebuie să împartă al treilea drum latura $(AB)$, pentru ca toate trei să se întâlnească în aceeași fântână?

14. (Exercițiu tip Bacalaureat.) În triunghiul $ABC$, $M\in (BC)$ cu $\frac{BM}{MC}=\frac{2}{1}$ și $N\in (CA)$ cu $\frac{AN}{NC}=\frac{1}{2}$. Dreptele $AM$ și $BN$ se intersectează în $O$, iar $CO$ taie $(AB)$ în $P$. a) Calculează $\frac{AP}{PB}$. b) Calculează $\frac{AO}{OM}$. c) Precizează dacă $P$ este mijlocul laturii $(AB)$.

15. Arată că bisectoarea interioară din $A$ și bisectoarele exterioare din $B$ și din $C$ determină trei puncte al căror produs de rapoarte este $1$ și explică, folosind regula parității, de ce cele trei drepte sunt concurente (în centrul unui cerc exînscris), nu coliniare.

16. Demonstrează reciproca teoremei lui Ceva, în cazul în care toate cele trei puncte sunt situate pe laturi.

17. (Raționament.) Explică, în cel mult cinci rânduri, care este singura deosebire dintre ipotezele teoremei lui Menelaus și cele ale teoremei lui Ceva și de ce aceeași egalitate a produsului duce la două concluzii diferite.

18. (Provocare.) Demonstrează relația lui Van Aubel: dacă cevienele $AM$, $BN$, $CP$ sunt concurente în $O$, atunci

$$\frac{AO}{OM}=\frac{AP}{PB}+\frac{AN}{NC}.$$

(Indicație: notează $p=\frac{BM}{MC}$, $q=\frac{AN}{NC}$, folosește rezultatul $\frac{AO}{OM}=\frac{q(p+1)}{p}$ obținut cu teorema lui Menelaus și exprimă $\frac{AP}{PB}$ cu teorema lui Ceva.)

Răspunsuri și explicații

1. $4\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{PA}{PB}=1$, deci $\frac{PA}{PB}=\frac{1}{2}$.

2. Din $\frac{AP}{PB}=2$ avem $\frac{PA}{PB}=2$, iar $\frac{MB}{MC}=3$. Atunci $3\cdot \frac{NC}{NA}\cdot 2=1$, deci $\frac{NC}{NA}=\frac{1}{6}$ și $\frac{AN}{NC}=6$.

3. Produsul este $\frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{1}{2}=1$, iar toate cele trei puncte sunt pe laturi (zero puncte exterioare — număr par). Reciproca teoremei lui Ceva se aplică: cevienele sunt concurente.

4. Produsul este $3^3=27\ne 1$. Dacă cevienele ar fi concurente, teorema directă ar impune produsul $1$ — contradicție. Deci nu sunt concurente.

5. Dacă $M$, $N$, $P$ sunt mijloacele laturilor $(BC)$, $(CA)$, $(AB)$, atunci $MB=MC$, $NC=NA$, $PA=PB$, deci fiecare raport este $1$ și produsul este $1$. Toate punctele fiind pe laturi, reciproca teoremei lui Ceva garantează concurența medianelor. $■$

6. Piciorul bisectoarei din $A$ dă $\frac{MB}{MC}=\frac{c}{b}$, cel din $B$ dă $\frac{NC}{NA}=\frac{a}{c}$, iar cel din $C$ dă $\frac{PA}{PB}=\frac{b}{a}$. Produsul este $\frac{c}{b}\cdot \frac{a}{c}\cdot \frac{b}{a}=1$, iar toate picioarele sunt pe laturi. Reciproca lui Ceva încheie demonstrația. $■$

7. Fals ca enunț general. Lipsește condiția de poziție: concluzia „ceviene concurente" cere ca numărul punctelor exterioare laturilor să fie par ($0$ sau $2$). Dacă numărul este impar, aceeași egalitate a produsului conduce, prin reciproca teoremei lui Menelaus, la concluzia opusă — punctele sunt coliniare, iar cevienele nu sunt concurente.

8. $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{49+36-64}{84}=\frac{21}{84}=\frac{1}{4}$ și $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{49+64-36}{112}=\frac{77}{112}=\frac{11}{16}$. Atunci $H_{A}B=c\cos B=6\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{2}$ și $H_{A}C=b\cos C=8\cdot \frac{11}{16}=\frac{11}{2}$. Suma: $\frac{3}{2}+\frac{11}{2}=7=BC$ ✓.

9. Cu notațiile din lecție, $\frac{H_{A}B}{H_{A}C}=\frac{c\cos B}{b\cos C}$, $\frac{H_{B}C}{H_{B}A}=\frac{a\cos C}{c\cos A}$, $\frac{H_{C}A}{H_{C}B}=\frac{b\cos A}{a\cos B}$. Produsul lor:

$$\frac{c\cos B}{b\cos C}\cdot \frac{a\cos C}{c\cos A}\cdot \frac{b\cos A}{a\cos B}=1,$$

pentru că fiecare latură și fiecare cosinus apar exact o dată la numărător și o dată la numitor (toți cosinușii sunt nenuli, triunghiul fiind ascuțitunghic). Punctele fiind pe laturi, reciproca lui Ceva dă concurența înălțimilor. $■$

10. $s=\frac{7+8+6}{2}=\frac{21}{2}$, deci $s-a=\frac{7}{2}$, $s-b=\frac{5}{2}$, $s-c=\frac{9}{2}$. Atunci $\frac{MB}{MC}=\frac{s-b}{s-c}=\frac{5}{9}$, $\frac{NC}{NA}=\frac{s-c}{s-a}=\frac{9}{7}$, $\frac{PA}{PB}=\frac{s-a}{s-b}=\frac{7}{5}$. Produsul: $\frac{5}{9}\cdot \frac{9}{7}\cdot \frac{7}{5}=1$ ✓.

11. Van Aubel: $\frac{AO}{OM}=\frac{AP}{PB}+\frac{AN}{NC}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2$.

12. $\frac{AI}{ID}=\frac{b+c}{a}=\frac{7+8}{5}=3$. Centrul cercului înscris se află la trei sferturi din bisectoare, măsurat dinspre $A$.

13. Din date, $\frac{MB}{MC}=\frac{2}{3}$ și $\frac{NC}{NA}=\frac{3}{4}$. Pentru concurență trebuie ca $\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{PA}{PB}=1$, deci $\frac{PA}{PB}=2$: al treilea drum trebuie să ajungă în punctul $P\in (AB)$ care împarte latura în raportul $AP:PB=2:1$, adică la două treimi de $A$.

14. a) $\frac{MB}{MC}=2$ și $\frac{NC}{NA}=2$, deci $2\cdot 2\cdot \frac{PA}{PB}=1$ și $\frac{AP}{PB}=\frac{1}{4}$. b) Van Aubel: $\frac{AO}{OM}=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$. c) Nu: mijlocul ar însemna $\frac{AP}{PB}=1$, pe când aici raportul este $\frac{1}{4}$, deci $P$ este mult mai aproape de $A$.

15. Bisectoarea interioară din $A$ dă $M\in (BC)$ cu $\frac{MB}{MC}=\frac{c}{b}$; bisectoarea exterioară din $B$ dă pe dreapta $CA$ punctul $N$, exterior segmentului, cu $\frac{NC}{NA}=\frac{a}{c}$; bisectoarea exterioară din $C$ dă pe dreapta $AB$ punctul $P$, exterior, cu $\frac{PA}{PB}=\frac{b}{a}$. Produsul este $1$. Numărul punctelor exterioare este $2$ — par, deci se aplică varianta extinsă a reciprocei teoremei lui Ceva: cele trei drepte sunt concurente, în centrul cercului exînscris corespunzător laturii $(BC)$.

16. Fie $O$ punctul de intersecție al cevienelor $AM$ și $BN$ (ele se taie, fiind ceviene interioare). Dreapta $CO$ intersectează $(AB)$ într-un punct $P^{\prime }$. Cevienele $AM$, $BN$, $C{P}^{\prime }$ fiind concurente în $O$, teorema directă dă $\frac{MB}{MC}\cdot \frac{NC}{NA}\cdot \frac{P^{\prime }A}{P^{\prime }B}=1$. Din ipoteză, același produs cu $P$ este $1$, deci $\frac{PA}{PB}=\frac{P^{\prime }A}{P^{\prime }B}$. Pe segmentul $(AB)$ există un singur punct care îl împarte într-un raport dat, deci $P=P^{\prime }$ și cele trei ceviene trec prin $O$. $■$

17. Ipotezele diferă printr-un singur lucru: paritatea numărului de puncte situate în afara laturilor. La Menelaus acest număr este impar ($1$ sau $3$) — configurația unei drepte care traversează triunghiul; la Ceva este par ($0$ sau $2$) — configurația a trei ceviene. Egalitatea produsului este condiția necesară comună, dar ea nu determină singură configurația: poziția punctelor decide dacă cele trei puncte sunt coliniare sau cele trei ceviene sunt concurente.

18. Notăm $p=\frac{BM}{MC}$ și $q=\frac{AN}{NC}$. Din teorema lui Ceva, $p\cdot \frac{1}{q}\cdot \frac{PA}{PB}=1$, deci $\frac{AP}{PB}=\frac{q}{p}$. Pe de altă parte, aplicând teorema lui Menelaus în triunghiul $AMC$ cu transversala $B$–$O$–$N$ se obține $\frac{AO}{OM}=\frac{q(p+1)}{p}$. Rămâne de verificat identitatea algebrică:

$$\frac{AP}{PB}+\frac{AN}{NC}=\frac{q}{p}+q=\frac{q+qp}{p}=\frac{q(p+1)}{p}=\frac{AO}{OM}.■$$

Verificare numerică: pentru $p=\frac{1}{2}$ și $q=\frac{1}{3}$ se obține $\frac{AP}{PB}=\frac{2}{3}$ și $\frac{AO}{OM}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1$, adică $O$ este mijlocul lui $(AM)$ — exact rezultatul din Exemplul 6.

De reținut

• Teorema lui Ceva: dacă cevienele $AM$, $BN$, $CP$ sunt concurente, atunci $\frac{MB}{MC}\cdot \frac{NC}{NA}\cdot \frac{PA}{PB}=1$. Formula este identică cu cea a lui Menelaus.
• Deosebirea stă în paritatea numărului de puncte exterioare laturilor: impar $\Rightarrow$ coliniare (Menelaus), par $\Rightarrow$ ceviene concurente (Ceva).
• Reciproca este testul de concurență: produs $=1$ plus paritate pară $\Rightarrow$ cele trei ceviene trec prin același punct.
• Cele trei concurențe clasice se demonstrează în câteva rânduri: mediane (toate rapoartele $1$), bisectoare (rapoartele $\frac{c}{b}$, $\frac{a}{c}$, $\frac{b}{a}$), înălțimi (rapoartele cu $\cos$).
• Van Aubel: $\frac{AO}{OM}=\frac{AP}{PB}+\frac{AN}{NC}$ — de aici $\frac{AG}{GM}=2$ la mediane și $\frac{AI}{ID}=\frac{b+c}{a}$ la bisectoare.

Greșeli frecvente

• Confundarea lui Ceva cu Menelaus. Aceeași formulă, configurații diferite. Înainte de a scrie concluzia, numără punctele situate în afara laturilor: par înseamnă concurență, impar înseamnă coliniaritate.
• Aplicarea reciprocei fără verificarea poziției punctelor. Produsul $1$ singur nu decide nimic; el este necesar în ambele situații.
• Rapoarte inversate. Datele se dau adesea ca $\frac{AN}{NC}$, iar formula cere $\frac{NC}{NA}$. Regula de control rămâne aceeași: fiecare vârf apare o dată la numărător și o dată la numitor.
• Uitarea cazului obtuzunghic la înălțimi. Într-un triunghi obtuzunghic două picioare de înălțime cad pe prelungiri; concurența rămâne valabilă tocmai pentru că numărul punctelor exterioare este $2$ — par.
• Folosirea relației lui Van Aubel cu rapoartele greșite. În membrul drept apar $\frac{AP}{PB}$ și $\frac{AN}{NC}$ — ambele „pornind din $A$", vârful cevianei studiate. Cu alte rapoarte, formula devine falsă.

Aplică acasă

1. Cele trei puncte remarcabile. Desenează pe o coală un triunghi scalen mare și construiește, cu rigla și compasul, medianele, bisectoarele și înălțimile. Marchează $G$, $I$ și $H$ și măsoară pe mediană raportul $AG:GM$ — trebuie să obții aproximativ $2:1$. Verifică apoi și $AI:ID$ cu formula $\frac{b+c}{a}$, măsurând întâi laturile.

2. Fântâna din parc. Desenează un parc triunghiular și alege pe două dintre laturi punctele de sosire a două alei, în rapoartele care îți plac. Calculează cu teorema lui Ceva unde trebuie să ajungă a treia alee pentru ca toate să se întâlnească într-o fântână. Trasează apoi desenul la scară și verifică grafic dacă cele trei alei chiar se întâlnesc.

3. Testul de coliniaritate vs. concurență. Ia aceleași trei valori ale rapoartelor, cu produsul $1$ — de exemplu $\frac{MB}{MC}=2$, $\frac{NC}{NA}=3$, $\frac{PA}{PB}=\frac{1}{6}$ — și construiește două desene ale aceluiași triunghi. În primul, așază toate cele trei puncte pe laturi și trasează cevienele: ele vor trece prin același punct. În al doilea, mută doar punctul $M$ pe prelungirea lui $BC$ dincolo de $C$ (păstrând $MB=2MC$, adică $MC=BC$) și lasă $N$, $P$ pe laturi: acum cele trei puncte se vor alinia pe o dreaptă. Aceeași aritmetică, două concluzii — diferența o face paritatea.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie unitatea de trigonometrie aplicată în geometrie și răspunde unei cerințe explicite a programei de matematică-informatică: „stabilirea concurenței a trei drepte determinate de câte un vârf al unui triunghi și un punct situat pe dreapta suport a laturii opuse". Valoarea ei formativă depășește însă conținutul: pentru prima dată, elevul demonstrează riguros trei rezultate pe care le folosea din gimnaziu ca pe niște adevăruri revelate — concurența medianelor, a bisectoarelor și a înălțimilor. Este o lecție despre ce înseamnă, de fapt, o demonstrație.

Punctul critic al învățării este distincția Ceva–Menelaus. Cele două teoreme au exact aceeași egalitate și se deosebesc doar prin paritatea numărului de puncte situate în afara laturilor. Un elev care recită formula fără să știe să numere punctele exterioare va da răspunsuri corecte la exerciții simple și va greși sistematic la problemele de examen. Întrebări bune de control: „Câte puncte sunt în afara laturilor la Ceva?" (zero sau două); „Ce concluzie trag dacă produsul e $1$ și toate punctele sunt pe laturi?" (ceviene concurente); „De ce sunt bisectoarele concurente?" (produsul $\frac{c}{b}\cdot \frac{a}{c}\cdot \frac{b}{a}=1$); „Unde se află centrul de greutate pe mediană?" (la două treimi de vârf, din Van Aubel).

La Bacalaureatul M1, teorema apare cel mai des în forma „aflați raportul în care a treia ceviană împarte latura, știind că cele trei sunt concurente" și în probleme combinate cu teorema lui Menelaus, unde se cere atât un raport, cât și poziția punctului de concurență. Exercițiile 13, 14 și 18 acoperă aceste tipare.

Întrebări frecvente

Ce spune teorema lui Ceva? Dacă cevienele $AM$, $BN$, $CP$ ale triunghiului $ABC$ sunt concurente, atunci $\frac{MB}{MC}\cdot \frac{NC}{NA}\cdot \frac{PA}{PB}=1$. Reciproca este adevărată și servește drept test de concurență.

Care este diferența dintre teorema lui Ceva și teorema lui Menelaus? Egalitatea produsului este identică; diferă configurația. La Menelaus, numărul punctelor situate în afara laturilor este impar și punctele sunt coliniare; la Ceva, numărul este par și cevienele sunt concurente.

Cum demonstrez că trei ceviene sunt concurente? Calculezi produsul celor trei rapoarte în ordinea ciclică $BC$, $CA$, $AB$. Dacă produsul este $1$ și numărul punctelor exterioare laturilor este par, reciproca teoremei lui Ceva garantează concurența.

Cum se demonstrează că medianele unui triunghi sunt concurente? Fiecare mijloc împarte latura în două părți egale, deci fiecare raport este $1$ și produsul este $1$. Toate punctele fiind pe laturi, reciproca teoremei lui Ceva dă concurența, în centrul de greutate.

Cum se demonstrează concurența bisectoarelor? Din teorema bisectoarei, rapoartele sunt $\frac{c}{b}$, $\frac{a}{c}$ și $\frac{b}{a}$, iar produsul lor este $1$. Reciproca teoremei lui Ceva încheie demonstrația; punctul comun este centrul cercului înscris.

Cum se demonstrează concurența înălțimilor? Piciorul înălțimii din $A$ determină $H_{A}B=c\cos B$ și $H_{A}C=b\cos C$. Scriind cele trei rapoarte analog, laturile și cosinușii se simplifică, produsul iese $1$ și reciproca lui Ceva dă concurența în ortocentru.

Unde se află punctul de concurență pe ceviană? Relația lui Van Aubel îți dă răspunsul: $\frac{AO}{OM}=\frac{AP}{PB}+\frac{AN}{NC}$. Pentru mediane obții $2$ (centrul de greutate), pentru bisectoare obții $\frac{b+c}{a}$.

Ce este forma trigonometrică a teoremei lui Ceva și când o folosesc? Este egalitatea $\frac{\sin \angle BAM}{\sin \angle MAC}\cdot \frac{\sin \angle CBN}{\sin \angle NBA}\cdot \frac{\sin \angle ACP}{\sin \angle PCB}=1$. O folosești când datele problemei sunt măsuri de unghiuri, nu lungimi de segmente — de exemplu la ceviene care formează unghiuri date cu laturile.