Recapitulare: logică și progresii

Ai ajuns la capătul primului an de liceu și e momentul pentru genul de privire pe care o arunci de pe deal, la întoarcerea dintr-o drumeție: nu mai vezi fiecare piatră de pe potecă, ci vezi traseul întreg și înțelegi, în sfârșit, de ce a fost condus exact așa. Clasa a IX-a a început cu două capitole care păreau, la prima vedere, complet străine unul de celălalt. Întâi logica matematică — o gramatică a lui „adevărat" și „fals", cu tabele, negații și cuantificatori. Apoi progresiile — șiruri de numere care cresc după o regulă fixă, cu formule pentru termenul de rang $n$ și pentru sume.

De sus, de pe deal, legătura se vede însă limpede. Logica ți-a dat limbajul în care se scriu enunțurile matematice: ce înseamnă „pentru orice", ce înseamnă „există", cum se neagă corect o afirmație, când un raționament este valid. Progresiile au fost primul teren pe care ai folosit acest limbaj: „pentru orice $n$ , $a_{n + 1} - a_{n} = r$ " nu e o formulă decorativă, ci un enunț cu cuantificator, care se verifică sau se infirmă după regulile din primul capitol. Recapitularea de față face turul ambelor teritorii, adună formulele în tabele pe care le poți duce la teză și insistă acolo unde se pierd cele mai multe puncte. Nu înlocuiește lecțiile detaliate — le leagă între ele și îți spune unde să te întorci dacă simți o fisură.

Ce vei învăța

Vei ști să refaci, din memorie, tabla operațiilor logice ( $\neg$ , $\land$ , $\lor$ , $\Rightarrow$ , $\Leftrightarrow$ ) și să calculezi valoarea de adevăr a unui enunț compus.
Vei ști să negi corect orice enunț: cu legile lui De Morgan, cu regula de negare a implicației și cu schimbarea cuantificatorilor.
Vei ști să recunoști un raționament valid și să depistezi cele două erori clasice: greșeala reciprocei și negarea ipotezei.
Vei ști să folosești fără ezitare cele patru formule ale progresiilor: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ , $S_{n} = \frac{( a _{1} + a _{n} ) n}{2}$ , $b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ , $S_{n} = b_{1} \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ .
Vei ști să alegi modelul potrivit într-o problemă practică: adun mereu același număr (aritmetică) sau înmulțesc mereu cu același număr (geometrică)?
Vei ști să rezolvi problemele-tip de teză: trei numere în progresie, rangul unui termen, numărul de termeni dintr-o sumă, comparația dintre o creștere fixă și una procentuală.

Hai să descoperim împreună

1. Harta temei: două teritorii și podul dintre ele

Materia pe care o recapitulăm se așază pe două blocuri mari, fiecare cu subîmpărțirile lui:

Teritoriu	Ce conține	Lecțiile de bază
Logică matematică	propoziții și valoare de adevăr; operațiile $\neg, \land, \lor, \Rightarrow, \Leftrightarrow$ ; tabele de adevăr	Propoziția logică și valoarea ei de adevăr, Tabelul de adevăr al unui enunț compus
Predicate și cuantificatori	predicate, mulțime de adevăr, $\forall$ și $\exists$ , negarea lor	Predicate și variabile, Cuantificatorii «oricare» și «există»
Progresii aritmetice	rația $r$ , termenul general, suma primilor $n$ termeni	Progresia aritmetică și rația ei, Suma primilor n termeni
Progresii geometrice	rația $q$ , termenul general, suma, creșteri procentuale	Progresia geometrică și rația ei, Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice

Podul dintre cele două teritorii este noțiunea de șir. Un șir este o funcție care asociază fiecărui rang $n$ un termen $a_{n}$ ; l-ai întâlnit prima dată în Șiruri de numere: termen, rang, formula termenului general. Iar afirmațiile despre șiruri sunt, aproape toate, enunțuri cu cuantificator universal: „progresie aritmetică" înseamnă „pentru orice $n \geq 1$ , $a_{n + 1} - a_{n} = r$ ". De aceea, ca să arăți că un șir este progresie, ai nevoie de un argument valabil pentru toate rangurile; ca să arăți că nu este, îți ajunge un singur contraexemplu. Este exact asimetria dintre $\forall$ și $\exists$ , aplicată la numere.

2. Tabla operațiilor logice, refăcută din memorie

Tot capitolul de logică încape într-un singur tabel. Merită să-l poți scrie pe o foaie goală, în mai puțin de un minut, înainte să începi lucrarea:

$p$	$q$	$\neg p$	$p \land q$	$p \lor q$	$p \Rightarrow q$	$p \Leftrightarrow q$
A	A	F	A	A	A	A
A	F	F	F	A	F	F
F	A	A	F	A	A	F
F	F	A	F	F	A	A

Trei observații care rezolvă majoritatea exercițiilor de la teză. Întâi, conjuncția este pretențioasă, iar disjuncția este generoasă: „și" cere ambele adevărate, „sau" se mulțumește cu una (vezi Conjuncția și Disjuncția). Apoi, implicația este falsă într-un singur caz: ipoteză adevărată și concluzie falsă. O implicație cu ipoteza falsă este adevărată „în gol" — surprinzător prima dată, dar absolut necesar, altfel enunțuri precum „dacă $n$ se divide cu $4$ , atunci $n$ este par" ar pica pentru $n = 3$ . În fine, echivalența este adevărată exact când cele două propoziții au aceeași valoare — inclusiv când sunt amândouă false.

Ordinea de calcul este fixă: mai întâi $\neg$ , apoi $\land$ , apoi $\lor$ , la urmă $\Rightarrow$ și $\Leftrightarrow$ . Un enunț cu $n$ propoziții simple are $2^{n}$ linii în tabel: $4$ linii pentru două propoziții, $8$ pentru trei. Iar clasificarea finală se citește pe ultima coloană: numai A înseamnă tautologie, numai F înseamnă contradicție, amestec înseamnă enunț realizabil.

3. Negarea: singurul loc unde se pierd puncte „gratis"

Dacă ar fi să alegi o singură deprindere de logică pe care s-o duci mai departe, aceea ar fi negarea corectă. Iată tot ce trebuie, într-un tabel:

Enunțul	Negația lui	Capcana de evitat
$p \land q$	$\neg p \lor \neg q$	nu $\neg p \land \neg q$
$p \lor q$	$\neg p \land \neg q$	nu $\neg p \lor \neg q$
$p \Rightarrow q$	$p \land \neg q$	negația unei implicații nu este implicație
$\forall x \in M, P (x)$	$\exists x \in M, \neg P (x)$	nu „pentru orice $x$ , $\neg P (x)$ "
$\exists x \in M, P (x)$	$\forall x \in M, \neg P (x)$	„niciunul" apare doar aici
$x > a$	$x \leq a$	nu $x < a$

Primele două rânduri sunt legile lui De Morgan: negația intră în paranteză, neagă fiecare bucată și schimbă operatorul. Rândurile patru și cinci sunt regulile din Negarea propozițiilor cu cuantificatori: la negație se schimbă și cuantificatorul, și predicatul. Ultimul rând este cel mai des greșit la teză, deși e cel mai simplu: negația lui „mai mare" nu este „mai mic", pentru că mai există și egalitatea.

În limbaj obișnuit: negația lui „toți sunt" este „cel puțin unul nu este", nu „niciunul nu este". Dacă „toți elevii clasei au luat nota $8$ " e fals, asta nu înseamnă că niciun elev nu a luat $8$ , ci doar că cel puțin unul nu a luat. De aici, instrumentul de respingere: pentru a arăta că un enunț universal e fals, cauți un singur contraexemplu.

4. Raționament valid: două reguli bune și două capcane

Ultima lecție a capitolului de logică, Validarea logică a pașilor unui raționament, este cea care leagă logica de tot restul matematicii. Reține patru scheme, două corecte și două greșite:

Modus ponens (corect): din $p$ și $p \Rightarrow q$ deduc $q$ .
Modus tollens (corect): din $\neg q$ și $p \Rightarrow q$ deduc $\neg p$ .
Greșeala reciprocei (nevalid): din $q$ și $p \Rightarrow q$ deduc $p$ .
Negarea ipotezei (nevalid): din $\neg p$ și $p \Rightarrow q$ deduc $\neg q$ .

Exemplu concret cu progresii: fie implicația adevărată „dacă un șir este progresie aritmetică de rație $r$ , atunci $a_{n + 1} - a_{n} = r$ pentru orice $n$ ". Din faptul că $a_{2} - a_{1} = 3$ nu rezultă că șirul este progresie aritmetică de rație $3$ — asta e greșeala reciprocei, iar șirul $1, 4, 100$ o ilustrează perfect. În schimb, din faptul că $a_{3} - a_{2} \neq = a_{2} - a_{1}$ rezultă corect, prin modus tollens, că șirul nu este progresie aritmetică. Acesta este raționamentul pe care îl faci, fără să-i spui pe nume, ori de câte ori aplici testul diferențelor.

5. Progresia aritmetică: patru formule și un reflex

Ce ai	Ce afli	Formula
$a_{1}$ , $r$ , $n$	termenul de rang $n$	$a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$
doi termeni oarecare	rația	$r = \frac{a _{n} - a _{m}}{n - m}$
$a_{1}$ , $a_{n}$ , $n$	suma primilor $n$ termeni	$S_{n} = \frac{( a _{1} + a _{n} ) n}{2}$
$a_{1}$ , $r$ , $n$	suma, fără ultimul termen	$S_{n} = \frac{[ 2 a _{1} + ( n - 1 ) r ] n}{2}$
trei termeni consecutivi	condiția de progresie	$2 a_{2} = a_{1} + a_{3}$

Reflexul de bază, din Termenul general al unei progresii aritmetice: numărul de pași este cu unu mai mic decât rangul. De la $a_{1}$ la $a_{12}$ faci $11$ pași de mărime $r$ , nu $12$ . Testul de siguranță: înlocuiește $n = 1$ în formula ta; trebuie să obții exact $a_{1}$ .

Al doilea reflex, din Suma primilor n termeni: suma este media capetelor înmulțită cu numărul de termeni. Dacă numărul de termeni nu e dat, îl afli întâi — de la rangul $p$ la rangul $q$ sunt $q - p + 1$ termeni, nu $q - p$ . Și reține că $S_{n}$ este de gradul al doilea în $n$ : întrebările „câți termeni dau suma…" duc la o ecuație de gradul al doilea, din care păstrezi doar soluția naturală nenulă. Iar pentru trei numere în progresie cu suma dată, notația $a - r, a, a + r$ transformă suma în $3 a$ și rezolvă problema dintr-o linie.

6. Progresia geometrică: aceleași patru întrebări, alte formule

Ce ai	Ce afli	Formula
$b_{1}$ , $q$ , $n$	termenul de rang $n$	$b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$
doi termeni oarecare	rația	$\frac{b _{n}}{b _{k}} = q^{n - k}$
$b_{1}$ , $q \neq = 1$ , $n$	suma primilor $n$ termeni	$S_{n} = b_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$
$q = 1$	suma, caz special	$S_{n} = n \cdot b_{1}$
trei termeni consecutivi nenuli	condiția de progresie	$b_{2}^{2} = b_{1} \cdot b_{3}$

Trei atenționări care valorează puncte. Prima: în termenul general apare $q^{n - 1}$ , iar în sumă apare $q^{n}$ — este cea mai frecventă confuzie de la teză. A doua: cazul $q = 1$ se tratează separat, pentru că formula cu fracție ar avea numitorul zero. A treia: la ecuațiile în $q$ , exponentul par dă două soluții ( $q^{2} = 9 \Rightarrow q = \pm 3$ ), iar exponentul impar dă una singură ( $q^{3} = 8 \Rightarrow q = 2$ ). Detaliile complete sunt în Termenul general al unei progresii geometrice.

Pentru trei numere în progresie geometrică cu produsul dat, notația inspirată este $\frac{b}{q}, b, b q$ : produsul devine $b^{3}$ și problema se rupe în două. Și reține că forma corectă a criteriului este cea pătratică, $b_{2}^{2} = b_{1} b_{3}$ ; scrierea $b_{2} = b_{1} b_{3}$ e valabilă doar pentru termeni pozitivi, fiindcă radicalul dă exclusiv valoarea nenegativă.

7. Când e aritmetică și când e geometrică

Aceasta este întrebarea care decide jumătate din problemele practice, iar răspunsul, din Aritmetică sau geometrică? Cum alegi modelul potrivit, încape într-o propoziție: adun mereu același număr sau înmulțesc mereu cu același număr?

În enunț apare…	Model	Exemplu tipic
„cu $30$ de lei mai mult în fiecare lună"	aritmetică, $r = 30$	dobânda simplă
„cu $5%$ mai mult în fiecare an"	geometrică, $q = 1, 05$	dobânda compusă
„se dublează la fiecare oră"	geometrică, $q = 2$	populații, viruși
„scade cu $20%$ pe an"	geometrică, $q = 0, 8$	deprecierea unui obiect
„cu $3$ locuri mai mult pe fiecare rând"	aritmetică, $r = 3$	sală de spectacol

Traducerea procentelor în factori este pasul care se uită cel mai des: $+ p %$ înseamnă înmulțire cu $1 + \frac{p}{100}$ , iar $- p %$ înseamnă înmulțire cu $1 - \frac{p}{100}$ . Modificările succesive se compun înmulțind factorii, niciodată adunând procentele — o scădere de $20%$ urmată de una de $30%$ dă factorul $0, 8 \cdot 0, 7 = 0, 56$ , adică o reducere totală de $44%$ , nu de $50%$ . Toate detaliile, în Creștere și descreștere procentuală repetată.

Și încă o idee de reținut pentru viață, nu doar pentru teză: orice creștere procentuală, oricât de mică, depășește în cele din urmă orice creștere cu pas constant. La început pare mult mai lentă; pe termen lung câștigă întotdeauna.

8. Ce vine mai departe, pentru cine merge mai adânc

Dacă urmezi un parcurs cu mai multe ore de matematică, tema continuă cu trei lecții de aprofundare: Moduri de definire a unui șir; șiruri date prin recurență, Caracterizarea progresiilor și Condiția ca n numere să fie în progresie. Acolo, relațiile $2 a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2}$ și $b_{n + 1}^{2} = b_{n} b_{n + 2}$ se demonstrează ca echivalențe, iar formula $a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{n - 1} + \dots + b^{n - 1})$ arată de unde vine, de fapt, suma progresiei geometrice.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Valoarea de adevăr a unui enunț compus

Se consideră propozițiile $p$ : „ $5$ este număr prim", $q$ : „ $2^{3} = 6$ ", $r$ : „ $16 = 4$ ". Determinați valoarea de adevăr a enunțului $(p \land \neg q) \Rightarrow (q \lor r)$ .

Rezolvare. Stabilim întâi valorile propozițiilor simple: $5$ este prim, deci $v (p) = A$ ; $2^{3} = 8 \neq = 6$ , deci $v (q) = F$ ; $16 = 4$ , deci $v (r) = A$ .

Calculăm pe bucăți, respectând prioritatea operatorilor. Negația: $v (\neg q) = A$ . Conjuncția: $v (p \land \neg q) = A \land A = A$ . Disjuncția: $v (q \lor r) = F \lor A = A$ . În final, implicația cu ipoteză adevărată și concluzie adevărată: $A \Rightarrow A = A$ .

Enunțul este adevărat. Observă disciplina calculului: fiecare pas folosește numai valori deja stabilite, exact ca într-un tabel de adevăr construit coloană cu coloană.

Exemplul 2 — Negare cu cuantificatori și contraexemplu

Negați enunțul: „Orice progresie aritmetică cu rația pozitivă are toți termenii pozitivi." Este enunțul adevărat sau fals?

Rezolvare. Scriem enunțul în limbaj formal: $\forall$ progresie aritmetică $(a_{n})$ cu $r > 0$ , $\forall n \geq 1$ , $a_{n} > 0$ . Are doi cuantificatori universali, deci negația îi schimbă pe amândoi și neagă predicatul:

Există o progresie aritmetică cu rația pozitivă care are cel puțin un termen mai mic sau egal cu zero.

Atenție la ultimul detaliu: negația lui $a_{n} > 0$ este $a_{n} \leq 0$ , nu $a_{n} < 0$ .

Enunțul inițial este fals, iar pentru a-l respinge ne ajunge un singur contraexemplu. Luăm progresia cu $a_{1} = - 5$ și $r = 2$ : termenii sunt $- 5, - 3, - 1, 1, 3, \dots$ Rația este pozitivă, dar primii trei termeni sunt negativi. Un exemplu, o singură dată, doboară un „pentru orice".

Exemplul 3 — Progresie aritmetică din doi termeni

Într-o progresie aritmetică se știe că $a_{3} = 7$ și $a_{8} = 22$ . Determinați rația, primul termen și suma primilor $20$ de termeni.

Rezolvare. Folosim formula generalizată, care leagă doi termeni oarecare: $r = \frac{a _{8} - a _{3}}{8 - 3} = \frac{22 - 7}{5} = \frac{15}{5} = 3$ . La numitor stă diferența rangurilor, nu numărul lor.

Primul termen: din $a_{3} = a_{1} + 2 r$ obținem $a_{1} = 7 - 2 \cdot 3 = 1$ .

Pentru sumă avem nevoie de $a_{20} = a_{1} + 19 r = 1 + 19 \cdot 3 = 58$ , apoi

$S_{20} = \frac{( a _{1} + a _{20} ) \cdot 20}{2} = \frac{( 1 + 58 ) \cdot 20}{2} = 59 \cdot 10 = 590.$

Verificare cu a doua formulă: $S_{20} = \frac{[ 2 \cdot 1 + 19 \cdot 3 ] \cdot 20}{2} = \frac{59 \cdot 20}{2} = 590$ . ✓

Exemplul 4 — Progresie geometrică din doi termeni

Într-o progresie geometrică se știe că $b_{2} = 6$ și $b_{5} = 48$ . Determinați rația, primul termen și $S_{8}$ .

Rezolvare. Din legătura dintre doi termeni oarecare: $\frac{b _{5}}{b _{2}} = q^{5 - 2} = q^{3}$ , deci $q^{3} = \frac{48}{6} = 8$ , de unde $q = 2$ . Exponentul fiind impar, soluția este unică — nu apare și varianta negativă.

Primul termen: din $b_{2} = b_{1} q$ rezultă $b_{1} = \frac{6}{2} = 3$ .

Suma: cu $q \neq = 1$ aplicăm formula

$S_{8} = b_{1} \cdot \frac{q ^{8} - 1}{q - 1} = 3 \cdot \frac{256 - 1}{1} = 3 \cdot 255 = 765.$

Observă că în sumă a apărut $q^{8}$ (exponent egal cu numărul de termeni), în timp ce în $b_{8}$ ar apărea $q^{7}$ . Confuzia dintre cei doi exponenți este greșeala numărul unu la progresiile geometrice.

Exemplul 5 — Scădere procentuală repetată

Un laptop costă $3000$ de lei și se depreciază cu $20%$ în fiecare an. a) Cât valorează după $3$ ani? b) După câți ani valoarea scade sub $1000$ de lei?

Rezolvare. O scădere de $20%$ înseamnă înmulțire cu factorul $1 - 0, 20 = 0, 8$ . Valorile succesive formează o progresie geometrică de rație $q = 0, 8$ , cu $V_{0} = 3000$ .

a) $V_{3} = 3000 \cdot 0, 8^{3} = 3000 \cdot 0, 512 = 1536$ lei.

b) Continuăm: $V_{4} = 3000 \cdot 0, 4096 = 1228, 8$ lei, iar $V_{5} = 3000 \cdot 0, 32768 = 983, 04$ lei. Așadar, valoarea scade sub $1000$ de lei după $5$ ani.

Observă că după $5$ ani laptopul nu a pierdut $5 \cdot 20% = 100%$ din valoare, cum ar sugera adunarea procentelor: factorul total este $0, 8^{5} = 0, 32768$ , adică o pierdere de circa $67%$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

a) Determinați numărul real $x$ pentru care numerele $x - 1$ , $x + 3$ și $3 x + 1$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. b) Pentru valoarea găsită, calculați suma primilor $20$ de termeni ai progresiei aritmetice care are ca primi doi termeni numerele de la punctul a).

Rezolvare. a) Trei numere sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice dacă și numai dacă cel din mijloc este media aritmetică a celorlalte două, adică $2 (x + 3) = (x - 1) + (3 x + 1)$ . Rezolvăm:

$2 x + 6 = 4 x ⟺ 2 x = 6 ⟺ x = 3.$

Verificare: numerele devin $2$ , $6$ , $10$ — într-adevăr, $6 - 2 = 10 - 6 = 4$ . ✓

b) Progresia are $a_{1} = 2$ și $r = 4$ . Atunci $a_{20} = 2 + 19 \cdot 4 = 78$ și

$S_{20} = \frac{( 2 + 78 ) \cdot 20}{2} = \frac{80 \cdot 20}{2} = 800.$

Ambele puncte se rezolvă în câteva rânduri, cu condiția să pornești de la relația corectă. La barem, punctele se acordă separat pentru scrierea condiției $2 a_{2} = a_{1} + a_{3}$ , pentru rezolvarea ecuației și pentru aplicarea formulei sumei — deci scrie toți pașii, chiar dacă îi vezi din ochi.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu toți pașii scriși. Începe cu exercițiile de logică (sunt scurte și îți încălzesc atenția la detalii), apoi treci la progresii. Înainte de fiecare problemă de progresie, scrie explicit ce cunoști și ce ceri: $a_{1}$ , $r$ , $n$ , $a_{n}$ , $S_{n}$ .

1. Fie propozițiile $p$ : „ $3^{2} = 9$ ", $q$ : „ $5 \in Q$ ", $r$ : „ $- 2 \in N$ ". Determinați $v (p \land q)$ , $v (p \lor r)$ , $v (r \Rightarrow p)$ și $v (q \Leftrightarrow r)$ .

2. Negați enunțurile: a) „ $x \geq 4$ "; b) „toate numerele prime sunt impare"; c) „există un pătrat perfect de forma $4 k + 3$ "; d) „dacă $n$ este par, atunci $n^{2}$ este par".

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Negația enunțului « $a > 0$ și $b > 0$ » este « $a \leq 0$ și $b \leq 0$ »."

4. Alcătuiți tabelul de adevăr al enunțului $(p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)$ și precizați cu ce operator logic este echivalent.

5. Se știe că implicația „dacă un patrulater este pătrat, atunci are toate laturile congruente" este adevărată. Care dintre următoarele deducții sunt valide? a) Patrulaterul $A B C D$ este pătrat, deci are toate laturile congruente. b) Patrulaterul $A B C D$ are toate laturile congruente, deci este pătrat. c) Patrulaterul $A B C D$ nu are toate laturile congruente, deci nu este pătrat.

6. Scrieți negația enunțului „ $\forall x \in R, x^{2} + 1 > 0$ " și precizați care dintre cele două enunțuri este adevărat.

7. Într-o progresie aritmetică, $a_{1} = 5$ și $r = 4$ . Calculați $a_{12}$ și $S_{12}$ .

8. Într-o progresie geometrică, $b_{1} = 2$ și $q = 3$ . Calculați $b_{6}$ și $S_{6}$ .

9. Determinați rația și primul termen ale progresiei aritmetice în care $a_{4} = 11$ și $a_{9} = 31$ .

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Șirul cu termenul general $a_{n} = 3 n + 2$ este o progresie aritmetică de rație $3$ ."

11. Determinați numărul real $x$ pentru care numerele $x - 2$ , $2 x + 1$ și $5 x - 1$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

12. Determinați numărul real pozitiv $x$ pentru care numerele $2$ , $x$ și $18$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

13. Calculați suma $3 + 7 + 11 + \dots + 99$ .

14. (Problemă aplicată.) Într-un laborator, o cultură de bacterii pornește de la $500$ de indivizi și se triplează la fiecare oră. Într-un al doilea vas, numărul de bacterii pornește tot de la $500$ , dar crește cu $4000$ în fiecare oră. Completați numărul de bacterii din fiecare vas la orele $1$ , $2$ , $3$ și $4$ și precizați la ce oră devine prima cultură mai numeroasă decât a doua.

15. (Problemă aplicată.) O sală de spectacol are $18$ locuri pe primul rând și, pe fiecare rând următor, cu $3$ locuri mai mult decât pe cel dinaintea lui. Câte locuri are rândul al $15$ -lea și câte locuri are sala, dacă are exact $15$ rânduri?

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră progresia aritmetică $(a_{n})_{n \geq 1}$ în care $a_{1} = 4$ și $a_{5} = 16$ . a) Determinați rația progresiei. b) Calculați $S_{25}$ . c) Determinați numărul natural $n$ pentru care $S_{n} = 375$ .

17. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră progresia geometrică $(b_{n})_{n \geq 1}$ cu $b_{1} = 1$ și rația $q = 2$ . a) Calculați $b_{1} + b_{2} + \dots + b_{10}$ . b) Determinați rangul termenului egal cu $512$ .

18. (Provocare.) Trei numere formează o progresie aritmetică cu suma $15$ . Dacă adunăm $1$ la primul, $1$ la al doilea și $4$ la al treilea, obținem trei numere care formează o progresie geometrică. Determinați numerele inițiale (există două soluții).

Răspunsuri și explicații

1. $v (p) = A$ (căci $3^{2} = 9$ ), $v (q) = A$ (orice număr întreg este rațional), $v (r) = F$ (numerele naturale nu sunt negative). Atunci: $v (p \land q) = A$ ; $v (p \lor r) = A$ (disjuncția cere măcar una adevărată); $v (r \Rightarrow p) = A$ (ipoteză falsă $\Rightarrow$ implicație adevărată „în gol"); $v (q \Leftrightarrow r) = F$ (valori diferite).

2. a) „ $x < 4$ ". b) „Există un număr prim par" — enunț adevărat, contraexemplul fiind $2$ ; deci enunțul inițial era fals. c) „Orice pătrat perfect nu este de forma $4 k + 3$ " — adevărat, pentru că $(2 m)^{2} = 4 m^{2}$ și $(2 m + 1)^{2} = 4 (m^{2} + m) + 1$ . d) „ $n$ este par și $n^{2}$ este impar" — negația unei implicații este o conjuncție, niciodată o implicație.

3. Fals. Prin legea lui De Morgan, $\neg (p \land q) \equiv \neg p \lor \neg q$ , deci negația corectă este „ $a \leq 0$ sau $b \leq 0$ ". Negația schimbă operatorul; enunțul propus („și") ar însemna că amândouă sunt nepozitive, ceea ce e mult mai mult decât cere negația.

4. Coloanele finale, în ordinea A A, A F, F A, F F: $p \Rightarrow q$ dă A, F, A, A; $q \Rightarrow p$ dă A, A, F, A; conjuncția lor dă A, F, F, A. Este exact coloana echivalenței, deci $(p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p) \equiv p \Leftrightarrow q$ — regăsim faptul că echivalența este dubla implicație.

5. a) Validă (modus ponens). b) Nevalidă — este greșeala reciprocei: rombul are toate laturile congruente fără să fie pătrat. c) Validă (modus tollens): din negarea concluziei rezultă negarea ipotezei.

6. Negația: „ $\exists x \in R, x^{2} + 1 \leq 0$ ". Enunțul inițial este adevărat, pentru că $x^{2} \geq 0$ pentru orice $x$ real, deci $x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ ; negația este falsă. Atenție la $\leq$ : negația lui „mai mare" include și egalitatea.

7. $a_{12} = a_{1} + 11 r = 5 + 11 \cdot 4 = 49$ ; $S_{12} = \frac{( 5 + 49 ) \cdot 12}{2} = 54 \cdot 6 = 324$ .

8. $b_{6} = b_{1} q^{5} = 2 \cdot 243 = 486$ ; $S_{6} = 2 \cdot \frac{3 ^{6} - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{728}{2} = 728$ . Observă exponenții diferiți: $q^{5}$ la termen, $q^{6}$ la sumă.

9. $r = \frac{a _{9} - a _{4}}{9 - 4} = \frac{31 - 11}{5} = 4$ ; apoi $a_{1} = a_{4} - 3 r = 11 - 12 = - 1$ . Verificare: $a_{9} = - 1 + 8 \cdot 4 = 31$ . ✓

10. Adevărat. Calculăm diferența cu $n$ literă: $a_{n + 1} - a_{n} = [3 (n + 1) + 2] - (3 n + 2) = 3$ , constantă și independentă de $n$ . Orice formulă de gradul întâi $a_{n} = p n + q$ dă o progresie aritmetică de rație $p$ .

11. Condiția $2 (2 x + 1) = (x - 2) + (5 x - 1)$ dă $4 x + 2 = 6 x - 3$ , deci $x = \frac{5}{2}$ . Numerele sunt $\frac{1}{2}, 6, \frac{23}{2}$ , cu rația $\frac{11}{2}$ . Verificare: $6 - \frac{1}{2} = \frac{11}{2}$ și $\frac{23}{2} - 6 = \frac{11}{2}$ . ✓

12. Condiția $x^{2} = 2 \cdot 18 = 36$ dă $x = \pm 6$ ; cum se cere $x > 0$ , răspunsul este $x = 6$ . Progresia $2, 6, 18$ are rația $q = 3$ . (Fără condiția de pozitivitate ar fi fost valabilă și varianta $2, - 6, 18$ , cu $q = - 3$ .)

13. Termenii formează o progresie aritmetică cu $a_{1} = 3$ și $r = 4$ . Numărul de termeni: din $99 = 3 + (n - 1) \cdot 4$ rezultă $n - 1 = 24$ , deci $n = 25$ . Suma: $S_{25} = \frac{( 3 + 99 ) \cdot 25}{2} = 51 \cdot 25 = 1275$ .

14. Prima cultură: $1500$ , $4500$ , $13500$ , $40500$ (progresie geometrică, $q = 3$ ). A doua: $4500$ , $8500$ , $12500$ , $16500$ (progresie aritmetică, $r = 4000$ ). La ora $1$ și la ora $2$ a doua cultură este mai numeroasă (la ora $1$ chiar de trei ori), dar la ora $3$ prima o depășește ( $13500 > 12500$ ) și de acolo încolo diferența crește exploziv. Este ilustrarea perfectă a regulii: creșterea geometrică pierde la început și câștigă definitiv mai târziu.

15. $a_{15} = 18 + 14 \cdot 3 = 60$ de locuri pe rândul al $15$ -lea. Total: $S_{15} = \frac{( 18 + 60 ) \cdot 15}{2} = 39 \cdot 15 = 585$ de locuri.

16. a) Din $a_{5} = a_{1} + 4 r$ rezultă $16 = 4 + 4 r$ , deci $r = 3$ . b) $a_{25} = 4 + 24 \cdot 3 = 76$ , deci $S_{25} = \frac{( 4 + 76 ) \cdot 25}{2} = \frac{80 \cdot 25}{2} = 1000$ . c) $S_{n} = \frac{[ 2 \cdot 4 + ( n - 1 ) \cdot 3 ] \cdot n}{2} = \frac{( 3 n + 5 ) n}{2} = 375$ , adică $3 n^{2} + 5 n - 750 = 0$ , cu $Δ = 25 + 9000 = 9025 = 9 5^{2}$ și $n = \frac{- 5 + 95}{6} = 15$ . Soluția negativă se respinge, rangul fiind număr natural nenul.

17. a) $S_{10} = 1 \cdot \frac{2 ^{10} - 1}{2 - 1} = 1024 - 1 = 1023$ . b) $b_{n} = 2^{n - 1} = 512 = 2^{9}$ , deci $n - 1 = 9$ și $n = 10$ : termenul $512$ are rangul $10$ .

18. Notăm numerele $a - r, a, a + r$ ; suma fiind $3 a = 15$ , obținem $a = 5$ , deci numerele sunt $5 - r$ , $5$ , $5 + r$ . După modificări avem $6 - r$ , $6$ , $9 + r$ , iar condiția de progresie geometrică este $6^{2} = (6 - r) (9 + r)$ , adică $36 = 54 - 3 r - r^{2}$ , deci $r^{2} + 3 r - 18 = 0$ , cu soluțiile $r = 3$ și $r = - 6$ . Pentru $r = 3$ : numerele $2, 5, 8$ , care devin $3, 6, 12$ (progresie geometrică de rație $2$ ). Pentru $r = - 6$ : numerele $11, 5, - 1$ , care devin $12, 6, 3$ (rație $\frac{1}{2}$ ). Ambele variante verifică enunțul.

De reținut

Tabla operațiilor logice se reține prin excepții: conjuncția e adevărată doar în cazul A A, disjuncția e falsă doar în cazul F F, implicația e falsă doar în cazul A F, echivalența e adevărată doar când valorile coincid.
Negarea schimbă operatorul (De Morgan), transformă implicația în conjuncție ( $\neg (p \Rightarrow q) \equiv p \land \neg q$ ) și schimbă cuantificatorul împreună cu predicatul ( $\forall \leftrightarrow \exists$ , $>\leftrightarrow\leq$ ).
Progresia aritmetică: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ și $S_{n} = \frac{( a _{1} + a _{n} ) n}{2}$ ; numărul de pași este cu unu mai mic decât rangul, iar de la rangul $p$ la rangul $q$ sunt $q - p + 1$ termeni.
Progresia geometrică: $b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ și $S_{n} = b_{1} \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ pentru $q \neq = 1$ (cazul $q = 1$ dă $S_{n} = n b_{1}$ ); exponentul din sumă este cu unu mai mare decât cel din termenul general.
Alegerea modelului: pas constant adunat $\Rightarrow$ aritmetică; factor constant înmulțit (procent din valoarea curentă) $\Rightarrow$ geometrică. Procentele se compun înmulțind factorii, nu adunând procentele.

Greșeli frecvente

Negarea lui „și" cu „și". Negația enunțului „ $a > 0$ și $b > 0$ " este „ $a \leq 0$ sau $b \leq 0$ ". Reține: negația intră în paranteză și schimbă operatorul.
Negația lui „mai mare" scrisă „mai mic". $\neg (x > 5)$ este $x \leq 5$ , nu $x < 5$ — egalitatea face parte din negație. Aceeași grijă la $\geq$ , $<$ , $\leq$ .
Confuzia exponenților la progresia geometrică. În $b_{n}$ apare $q^{n - 1}$ , în $S_{n}$ apare $q^{n}$ . Test rapid: pentru $n = 1$ , formula termenului general trebuie să dea $b_{1}$ , iar formula sumei tot $b_{1}$ .
Numărul greșit de termeni într-o sumă. De la $a_{5}$ la $a_{20}$ sunt $20 - 5 + 1 = 16$ termeni, nu $15$ . Când suma e dată prin capete („ $3 + 7 + \dots + 99$ "), numărul de termeni se află întâi, din formula termenului general.
Adunarea procentelor. O creștere de $10%$ urmată de alta de $10%$ nu dă $20%$ , ci $21%$ ; o creștere de $20%$ urmată de o scădere de $20%$ lasă o pierdere de $4%$ . Traduci fiecare procent în factor și înmulțești factorii.

Aplică acasă

Fișa de formule de o pagină. Scrie pe o coală A4, din memorie, tabla operațiilor logice, regulile de negare și cele patru formule ale progresiilor. Verifică apoi cu lecția și marchează cu roșu ce ai uitat — exact acele rânduri le repeți cu o zi înainte de teză.
Vânătoarea de progresii prin casă. Găsește trei situații reale modelate de progresii: un abonament care crește anual cu o sumă fixă, un telefon care se depreciază cu un procent pe an, economiile puse deoparte săptămânal. Pentru fiecare, scrie primul termen, rația, tipul progresiei și calculează termenul de rang $10$ și suma primilor $10$ termeni.
Testul negării, cu un coleg. Scrieți fiecare cinci enunțuri „periculoase" (cu „și", „sau", „dacă…, atunci…", „toți", „există"), apoi faceți schimb și negați-le. Corectați-vă după tabelul din secțiunea 3: cine găsește la celălalt o negație în care operatorul sau cuantificatorul nu s-a schimbat câștigă un punct.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este o sinteză, nu o introducere: presupune parcurse lecțiile de logică și cele de progresii și le reunește într-o singură hartă. Rolul ei este dublu — să refacă legăturile dintre noțiuni (de ce condiția de progresie este un enunț cu cuantificator, de ce testul diferențelor este de fapt un modus tollens) și să concentreze formulele într-o formă tabelară, utilă la pregătirea tezei.

Punctele de verificat la elev: (1) reface tabla operațiilor logice fără să se uite; (2) neagă corect un enunț cu „și"/„sau" și unul cu cuantificator, inclusiv trecerea de la $>$ la $\leq$ ; (3) distinge greșeala reciprocei de modus tollens; (4) scrie corect termenul general și suma pentru ambele tipuri de progresie, fără să confunde exponenții; (5) traduce un procent în factor multiplicativ. Întrebări bune de control: „Care e negația lui «toți elevii au trecut»?", „De la $a_{7}$ la $a_{20}$ câți termeni sunt?", „Ce înseamnă, în factor, o scădere de $15%$ ?".

La examenul de Bacalaureat, progresiile apar în mod constant la primul subiect, în forma întâlnită aici: doi termeni dați, se cere rația sau un alt termen; trei numere în progresie, se cere parametrul; o sumă, se cere numărul de termeni. Redactarea completă (scrierea formulei folosite înainte de înlocuirea numerelor) aduce puncte chiar și când calculul final greșește. Semne că elevul a înțeles: alege singur, dintr-un enunț practic, dacă modelul este aritmetic sau geometric, și își verifică rezultatul cu a doua formulă a sumei.

Întrebări frecvente

Cum recapitulez rapid logica matematică de clasa a 9-a? Începe cu tabelul celor cinci operații ( $\neg$ , $\land$ , $\lor$ , $\Rightarrow$ , $\Leftrightarrow$ ) și reține-l prin excepții: fiecare operație are un singur caz „special". Apoi treci la negație — De Morgan, negarea implicației și schimbarea cuantificatorilor. Cu aceste două blocuri rezolvi majoritatea exercițiilor de logică de la teză.

Care este negația corectă a enunțului „toți elevii au promovat"? „Există cel puțin un elev care nu a promovat." Negația lui $\forall$ este $\exists$ , iar predicatul se neagă și el. Formularea „niciun elev nu a promovat" este greșită — ea este negația enunțului „există un elev care a promovat".

Care sunt formulele progresiei aritmetice pe care trebuie să le știu? Patru: termenul general $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ ; rația din doi termeni oarecare $r = \frac{a _{n} - a _{m}}{n - m}$ ; suma $S_{n} = \frac{( a _{1} + a _{n} ) n}{2}$ ; forma echivalentă a sumei $S_{n} = \frac{[ 2 a _{1} + ( n - 1 ) r ] n}{2}$ , utilă când nu cunoști ultimul termen.

Cum îmi dau seama dacă o problemă cere progresie aritmetică sau geometrică? Pune-ți o singură întrebare: trec de la o valoare la următoarea adunând mereu același număr sau înmulțind mereu cu același număr? „Cu $50$ de lei mai mult în fiecare lună" este aritmetică; „cu $5%$ mai mult în fiecare lună" este geometrică, pentru că procentul se aplică valorii curente, care se schimbă.

De ce nu pot aduna procentele când se aplică de mai multe ori? Pentru că fiecare procent se calculează din valoarea de la momentul respectiv, nu din cea inițială. Traduse în factori, două creșteri de $10%$ dau $1, 1 \cdot 1, 1 = 1, 21$ , adică $21%$ , iar o creștere de $20%$ urmată de o scădere de $20%$ dă $1, 2 \cdot 0, 8 = 0, 96$ , adică o pierdere de $4%$ .

Cum aflu câți termeni are o sumă de tipul $2 + 5 + 8 + \dots + 92$ ? Identifici progresia ( $a_{1} = 2$ , $r = 3$ ), apoi rezolvi ecuația $a_{n} = 92$ , adică $2 + (n - 1) \cdot 3 = 92$ , de unde $n = 31$ . Abia după aceea aplici formula sumei. Numărul de termeni este cea mai frecventă sursă de eroare la acest tip de exercițiu.

Ce greșesc cel mai des elevii la progresia geometrică? Confundă exponenții: scriu $q^{n}$ în termenul general sau $q^{n - 1}$ în sumă. Verificarea rapidă este să pui $n = 1$ : termenul general trebuie să dea $b_{1}$ , iar suma primului termen tot $b_{1}$ . A doua greșeală ca frecvență este uitarea cazului $q = 1$ , în care formula cu fracție nu se poate aplica.

Se dau probleme cu progresii la Bacalaureat? Da, aproape în fiecare sesiune, la primul subiect. Formele obișnuite sunt: se dau doi termeni și se cere rația sau un al treilea termen; se cere valoarea unui parametru pentru care trei expresii sunt în progresie; se cere suma primilor $n$ termeni sau rangul unui termen dat. Sunt exerciții scurte, care se rezolvă în câteva rânduri dacă știi formulele pe de rost.