Ce formulă dă termenul progresiei geometrice?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Termenul general al progresiei geometrice

Formula este $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ , cu exponent egal cu rangul minus unu: de la primul termen până la al $n$ -lea se fac $n - 1$ înmulțiri cu rația. Pentru $b_{1} = 3$ și $q = 2$ iese $b_{7} = 3 \cdot 2^{6} = 192$ . Din doi termeni oarecare afli rația cu $\frac{b _{n}}{b _{m}} = q^{n - m}$ : din $b_{3} = 12$ și $b_{6} = 96$ rezultă $q^{3} = 8$ , deci $q = 2$ .

Termenul de rang $n$ al unei progresii geometrice se calculează direct cu formula $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ .

Exponentul este $n - 1$ , nu $n$ , din același motiv ca la progresia aritmetică: de la $b_{1}$ până la $b_{n}$ faci $n - 1$ înmulțiri. Pentru $b_{1} = 3$ și $q = 2$ : $b_{7} = 3 \cdot 2^{6} = 3 \cdot 64 = 192$ .

Și aici formula leagă patru mărimi, deci cu trei o afli pe a patra. Din $b_{1} = 5$ , $b_{n} = 405$ și $q = 3$ obținem $3^{n - 1} = 81 = 3^{4}$ , deci $n - 1 = 4$ și $n = 5$ .

Când problema dă doi termeni oarecare, folosește $\frac{b _{n}}{b _{m}} = q^{n - m}$ . Din $b_{3} = 12$ și $b_{6} = 96$ ies $q^{3} = 8$ și $q = 2$ , fără să calculezi întâi $b_{1}$ .

Verificarea rapidă: pune $n = 1$ . Trebuie să iasă chiar $b_{1}$ , pentru că $q^{0} = 1$ oricare ar fi rația nenulă.

De reținut

$b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$
$\frac{b _{n}}{b _{m}} = q^{n - m}$
verificarea: la $n = 1$ iese $b_{1}$ , fiindcă $q^{0} = 1$

Greșeala tipică

Se scrie $b_{4} = b_{1} q^{4}$ , cu o înmulțire în plus, iar rezultatul iese de $q$ ori prea mare. Pune rangul $1$ în formulă: trebuie să rămână chiar primul termen.

Exerciții din această mini-lecție

O progresie geometrică are $b_{1} = 2$ și $q = 3$ . Cât este $b_{6}$ ?
- a) $162$
- b) $216$
- c) $486$
- d) $1458$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $486$

$b_{6} = 2 \cdot 3^{6 - 1} = 2 \cdot 3^{5} = 2 \cdot 243 = 486$ . Cine folosește exponentul $6$ obține $1458$ , adică $b_{7}$ ; iar $162$ este $b_{5} = 2 \cdot 81$ .
Într-o progresie geometrică, $b_{1} = 4$ și $q = \frac{1}{2}$ . Cât este $b_{5}$ ?
- a) $\frac{1}{4}$
- b) $\frac{1}{2}$
- c) $\frac{1}{8}$
- d) $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{1}{4}$

$b_{5} = 4 \cdot (\frac{1}{2})^{4} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$ . Se vede și pas cu pas: $4, 2, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ . Răspunsul $\frac{1}{2}$ este $b_{4}$ .
Într-o progresie geometrică cu termeni pozitivi, $b_{2} = 6$ și $b_{5} = 48$ . Cât este rația?
- a) $2$
- b) $3$
- c) $4$
- d) $8$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $2$

Între rangurile $2$ și $5$ sunt trei pași, deci $\frac{b _{5}}{b _{2}} = q^{3}$ . Din $\frac{48}{6} = 8 = q^{3}$ iese $q = 2$ . Răspunsul $8$ este $q^{3}$ , nu $q$ .

Întrebări conexe

De ce trebuie paranteze când rația este negativă?

Pentru că semnul intră în putere numai dacă este cuprins de paranteză. La $b_{1} = 3$ și $q = - 2$ , al cincilea termen este $3 \cdot (- 2)^{4} = 48$ , nu $- 48$ . Fără paranteze, minusul rămâne în afara puterii și rezultatul iese cu semn greșit.

Ce ordine au operațiile în formula termenului general?

Întâi se ridică rația la putere, apoi se înmulțește cu primul termen. La $3 \cdot 2^{4}$ iese $3 \cdot 16 = 48$ , în timp ce $(3 \cdot 2)^{4}$ ar da $1296$ . Puterea se calculează înaintea înmulțirii, ca la orice expresie fără paranteze.

Câte soluții are ecuația în care rația la pătrat face 9?

Două, $q = 3$ și $q = - 3$ , fiindcă exponentul este par. La exponent impar situația se schimbă: din $q^{3} = 8$ rezultă doar $q = 2$ . De aceea, la problemele cu putere pară, se discută amândouă variantele și se alege după datele enunțului.

Cât este al cincilea termen dacă primul e 2 și rația 3?

Se fac patru înmulțiri, deci $b_{5} = 2 \cdot 3^{4} = 2 \cdot 81 = 162$ . Verificarea se poate face pas cu pas: $2$ , $6$ , $18$ , $54$ , $162$ . Greșeala obișnuită este ridicarea la puterea a cincea, care ar da $486$ .

Ce se întâmplă cu formula dacă rația este egală cu 1?

Toți termenii rămân egali cu primul, fiindcă orice putere a lui $1$ face tot $1$ . Progresia devine constantă, iar formula funcționează în continuare, fără nicio problemă. Diferența apare abia la formula sumei, unde acest caz se tratează separat.

Cum scriu al treilea termen dacă îl cunosc pe al șaptelea?

Cobori patru pași, deci împarți de patru ori la rație: $b_{3} = \frac{b _{7}}{q ^{4}}$ . Pentru $b_{7} = 162$ și $q = 3$ obții $\frac{162}{81} = 2$ . Legătura dintre doi termeni merge în ambele sensuri, iar diferența rangurilor dă exponentul.

Oamenii mai întreabă și: formula termenului general al progresiei geometrice · termenul general progresie geometrică · cum aflu al n-lea termen geometric · b n egal b 1 ori q la n minus 1 · cum aflu rația din doi termeni