Evaluare sumativă — clasa a X-a (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Evaluări generale

Exerciții

Partea I – Verificarea noțiunilor de bază (24 de puncte)

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Valoarea lui $C_7^2$ este egală cu: A. $14$; B. $21$; C. $42$; D. $49$.

b) Modulul numărului complex $z=8-6i$ este egal cu: A. $2$; B. $10$; C. $14$; D. $\sqrt{28}$.

c) Valoarea lui ${\log }_{5}125$ este egală cu: A. $25$; B. $5$; C. $3$; D. $\frac{1}{3}$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

a) Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $2\cos \left(x+\frac{\pi }{10}\right)=-\sqrt{2}$. (2 p) b) Calculează ${\log }_{2}48-{\log }_{2}3$. (2 p) c) Determină domeniul maxim de definiție al funcției $f(x)={\log }_7(x-5)$. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Timpii, în minute, în care cei $20$ de elevi ai unei clase au terminat o măsurătoare de laborator sunt strânși în tabelul următor:

a) Scrie șirul frecvențelor cumulate și precizează câți elevi au terminat în cel mult $6$ minute. (2 p) b) Calculează media aritmetică ponderată a timpilor. (2 p) c) Determină mediana și amplitudinea setului de date. (2 p)

Exercițiul 4 (6 puncte)

a) Calculează $P_4$ și $C_6^2$. (2 p) b) Determină numărul natural $n$, $n\ge 2$, pentru care $A_n^2=72$. (2 p) c) Câte submulțimi cu cel puțin $4$ elemente are o mulțime cu $5$ elemente? (2 p)

Partea a II-a – Aplicații și raționamente (34 de puncte)

Exercițiul 5 (8 puncte)

Într-o cutie sunt $12$ fiole: $5$ cu ser fiziologic, $4$ cu glucoză și $3$ cu vitamina C. a) Se extrage o fiolă la întâmplare. Calculează probabilitatea ca ea să conțină glucoză. (2 p) b) Calculează probabilitatea ca fiola extrasă să nu conțină ser fiziologic. (2 p) c) Se extrag simultan două fiole. Calculează probabilitatea ca amândouă să conțină ser fiziologic. (2 p) d) Se extrage o singură fiolă. Calculează probabilitatea ca ea să conțină ser fiziologic sau glucoză. (2 p)

Exercițiul 6 (7 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-14x+40$. a) Calculează $f(8)$ și $f(11)$, apoi rata creșterii lui $f$ pe intervalul $[8,11]$, adică $\frac{f(11)-f(8)}{11-8}$, și precizează ce arată semnul ei. (3 p) b) Arată că dreapta $x=7$ este axă de simetrie a graficului, verificând că $f(7-t)=f(7+t)$ pentru orice număr real $t$. (2 p) c) Precizează dacă funcția $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x+7)$, este pară, impară sau niciuna, cu justificare. (2 p)

Exercițiul 7 (7 puncte)

Se consideră numerele complexe $z_1=4-7i$ și $z_2=2+3i$. a) Calculează $z_1+z_2$ și $z_1\cdot z_2$. (2 p) b) Calculează $z_1\cdot \overline{z_1}$ și $|z_1|$. (2 p) c) Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $x^2-8x+65=0$ și compară soluțiile cu numărul $z_1$. (2 p) d) Punctele $A$ și $B$ sunt imaginile geometrice ale numerelor $z_1$ și $z_2$ în planul complex. Precizează afixul punctului $M$ pentru care $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$. (1 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) a) Calculați $8^{\frac{2}{3}}$ și $16^{-\frac{3}{4}}$. (2 p) b) Arătați că $\frac{7^{\sqrt{3}}\cdot 7^{2-\sqrt{3}}}{7}=7$. (2 p) c) Arătați că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x-9$, este bijectivă și determinați inversa ei. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Diametrul, în milimetri, al celor opt colonii bacteriene crescute pe aceeași placă, măsurat după douăzeci și patru de ore, a fost, în ordine crescătoare: $10$, $12$, $14$, $14$, $16$, $16$, $18$, $20$. a) Calculează media și amplitudinea setului. (2 p) b) Determină cuartilele $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ și abaterea intercuartilică. (2 p) c) Calculează dispersia și abaterea standard $\sigma$ ale setului. (2 p)

Partea a III-a – Probleme și itemi de tip Bacalaureat M2 (32 de puncte)

Exercițiul 10 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Într-o colecție de $30$ de minerale, $18$ conțin fier, $14$ conțin sulf, iar $6$ dintre ele conțin ambele elemente. a) Determinați câte minerale conțin cel puțin unul dintre cele două elemente. (2 p) b) Determinați câte minerale nu conțin niciunul dintre ele. (2 p) c) Determinați câte minerale conțin doar fier și câte conțin doar sulf. (2 p) d) Se alege un mineral la întâmplare. Calculați probabilitatea ca el să conțină exact unul dintre cele două elemente. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) a) Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $4^x-10\cdot 2^x+16=0$. (3 p) b) Rezolvați ecuația ${\log }_5(x-1)+{\log }_5(x+3)=1$. (3 p) c) Arătați că ${\log }_{4}8=\frac{3}{2}$. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Într-un laborator se aleg la întâmplare $3$ probe dintr-un lot de $10$ probe, dintre care $4$ sunt contaminate. a) În câte moduri se pot alege cele trei probe? (2 p) b) Calculează probabilitatea ca toate trei să fie necontaminate. (2 p) c) Calculează probabilitatea ca exact una dintre ele să fie contaminată. (2 p) d) Calculează probabilitatea ca cel puțin una dintre ele să fie contaminată. (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Cerințele de mai jos sunt scurte: fiecare se redactează în câteva rânduri (câte 2 puncte). a) Determinați numărul funcțiilor $f:\{1,2,3\}\to \{1,2,3,4\}$ și numărul celor injective. b) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(4,1)$ și $B(7,5)$. Determinați coordonatele vectorului $\overrightarrow{AB}$ și lungimea segmentului $AB$. c) O sumă de $4000$ de lei este depusă cu dobândă compusă de $10\%$ pe an. Arătați că soldul după doi ani este de $4840$ de lei. d) Calculați distanța de la punctul $A(4,1)$ la dreapta $d:4x+3y-9=0$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) B — $C_7^2=\frac{7\cdot 6}{1\cdot 2}=21$. Varianta C este $A_7^2$, adică numărul aranjamentelor, la care ordinea contează. b) B — $|z|=\sqrt{8^2+(-6{)}^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$. Varianta A vine din scăderea părților, nu din formula modulului. c) C — ${\log }_{5}125=3$, fiindcă $5^3=125$.

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) Ecuația devine $\cos \left(x+\frac{\pi }{10}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, iar $\arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{3\pi }{4}$, deci $x+\frac{\pi }{10}=\pm \frac{3\pi }{4}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (1 p). Scăzând $\frac{\pi }{10}$: $x=\frac{13\pi }{20}+2k\pi$ sau $x=-\frac{17\pi }{20}+2k\pi$, adică $S=\left\{\frac{13\pi }{20}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}\cup \left\{-\frac{17\pi }{20}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$ (1 p). b) (2 p) ${\log }_{2}48-{\log }_{2}3={\log }_2\frac{48}{3}={\log }_{2}16=4$, fiindcă $2^4=16$. c) (2 p) Logaritmul cere argument strict pozitiv: $x-5>0$, adică $x>5$. Domeniul maxim este $(5,+\infty )$.

Exercițiul 3. (6 p) a) (2 p) Frecvențele cumulate sunt $3$, $7$, $13$, $17$, $20$ — ultima dintre ele este chiar efectivul total, $20$ de elevi. În cel mult $6$ minute au terminat $13$ elevi. b) (2 p) $\bar{x}=\frac{4\cdot 3+5\cdot 4+6\cdot 6+7\cdot 4+8\cdot 3}{20}=\frac{12+20+36+28+24}{20}=\frac{120}{20}=6$ minute. c) (2 p) Efectivul $n=20$ fiind par, mediana este media valorilor de pe pozițiile $10$ și $11$ ale șirului ordonat; din frecvențele cumulate ($7$ elevi până la $5$ minute, $13$ până la $6$ minute) ambele poziții cad în grupa lui $6$, deci mediana este $6$ minute. Amplitudinea este $8-4=4$ minute.

Exercițiul 4. (6 p) a) (2 p) $P_4=4!=24$ și $C_6^2=\frac{6\cdot 5}{1\cdot 2}=15$. b) (2 p) $A_n^2=n(n-1)$, deci $n(n-1)=72$, adică $n^2-n-72=0$, cu $\Delta =1+288=289$ și soluțiile $n=9$, respectiv $n=-8$. Condiția $n\ge 2$ o lasă doar pe prima: $n=9$. Verificare: $9\cdot 8=72$. c) (2 p) Submulțimile cu cel puțin $4$ elemente sunt cele cu $4$ elemente și cea cu $5$: $C_5^4+C_5^5=5+1=6$ submulțimi.

Exercițiul 5. (8 p) a) (2 p) Cazurile posibile sunt $12$, cele favorabile $4$, deci $P=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$. b) (2 p) Evenimentul „conține ser fiziologic" are probabilitatea $\frac{5}{12}$, deci evenimentul contrar are probabilitatea $1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}$. c) (2 p) Cazurile posibile sunt $C_{12}^2=66$, iar cele favorabile $C_5^2=10$, deci $P=\frac{10}{66}=\frac{5}{33}$. d) (2 p) Cele două evenimente sunt disjuncte (o fiolă nu poate fi și una, și alta), deci probabilitatea reuniunii este suma: $\frac{5}{12}+\frac{4}{12}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$.

Exercițiul 6. (7 p) a) (3 p) $f(8)=64-112+40=-8$ (1 p) și $f(11)=121-154+40=7$ (1 p). Rata creșterii este $\frac{7-(-8)}{11-8}=\frac{15}{3}=5$ (1 p). Fiind pozitivă, ea arată că funcția crește pe intervalul $[8,11]$. b) (2 p) $f(7-t)=(7-t{)}^2-14(7-t)+40=49-14t+t^2-98+14t+40=t^2-9$, iar $f(7+t)=49+14t+t^2-98-14t+40=t^2-9$. Cele două valori coincid pentru orice $t$ real, deci punctele graficului aflate la aceeași distanță de dreapta $x=7$ au aceeași ordonată: dreapta este axă de simetrie. c) (2 p) Din calculul anterior, $g(x)=f(x+7)=x^2-9$; termenul liber al lui $g$ este $-9$, iar $g(-x)=(-x{)}^2-9=x^2-9=g(x)$ pentru orice $x$ real, deci $g$ este pară. Translația cu $7$ unități mută axa de simetrie a lui $f$ peste axa $Oy$.

Exercițiul 7. (7 p) a) (2 p) $z_1+z_2=6-4i$ (1 p). $z_1\cdot z_2=(4-7i)(2+3i)=8+12i-14i-21i^2=8-2i+21=29-2i$ (1 p). b) (2 p) $z_1\cdot \overline{z_1}=4^2+(-7{)}^2=16+49=65$, deci $|z_1|=\sqrt{65}$. c) (2 p) $\Delta =64-4\cdot 65=64-260=-196<0$, deci $-\Delta =196$, $\sqrt{-\Delta }=14$ și $x_{1,2}=\frac{8\pm 14i}{2}=4\pm 7i$. Soluțiile sunt chiar $z_1$ și conjugatul său: la o ecuație cu coeficienți reali, rădăcinile nereale vin în perechi conjugate. d) (1 p) Adunarea numerelor complexe corespunde adunării vectorilor de poziție, deci afixul lui $M$ este $z_1+z_2=6-4i$.

Exercițiul 8. (6 p) a) (2 p) $8^{\frac{2}{3}}={\left(\sqrt[3]{8}\right)}^2=2^2=4$ (1 p). $16^{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{{\left(\sqrt[4]{16}\right)}^3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$ (1 p). b) (2 p) La înmulțirea puterilor cu aceeași bază exponenții se adună, iar cei doi exponenți iraționali se reduc: $\sqrt{3}+\left(2-\sqrt{3}\right)=2$. Numărătorul este deci $7^2=49$, iar fracția este $\frac{49}{7}=7$. Nu e nevoie de nicio aproximare a lui $\sqrt{3}$. c) (2 p) Funcția este de gradul întâi, cu panta $4\ne 0$. Injectivitate: din $4x_1-9=4x_2-9$ rezultă $x_1=x_2$. Surjectivitate: pentru orice $y$ real, ecuația $4x-9=y$ are soluția reală $x=\frac{y+9}{4}$. Fiind și injectivă, și surjectivă, $f$ este bijectivă, iar inversa ei este $f^{-1}(y)=\frac{y+9}{4}$.

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) $\bar{x}=\frac{10+12+14+14+16+16+18+20}{8}=\frac{120}{8}=15$ milimetri; amplitudinea este $20-10=10$ milimetri. b) (2 p) Efectivul $n=8$ fiind par, $Q_2=\frac{14+16}{2}=15$ mm. Jumătatea inferioară, $10,12,14,14$, are mediana $Q_1=\frac{12+14}{2}=13$ mm, iar jumătatea superioară, $16,16,18,20$, are mediana $Q_3=\frac{16+18}{2}=17$ mm. Abaterea intercuartilică este $Q_3-Q_1=17-13=4$ mm. c) (2 p) Abaterile de la medie sunt $-5,-3,-1,-1,1,1,3,5$, iar suma pătratelor lor este $25+9+1+1+1+1+9+25=72$. Dispersia este ${\sigma }^2=\frac{72}{8}=9$ (milimetri pătrați), deci abaterea standard este $\sigma =3$ milimetri — în medie, o colonie se abate cu $3$ mm de la diametrul mediu.

Exercițiul 10. (8 p) a) (2 p) Cu principiul includerii și al excluderii, $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=18+14-6=26$ de minerale. Scăderea lui $6$ e necesară fiindcă mineralele care conțin ambele elemente au fost numărate de două ori. b) (2 p) $30-26=4$ minerale nu conțin niciunul dintre cele două elemente. c) (2 p) Doar fier conțin $18-6=12$ minerale, iar doar sulf $14-6=8$ minerale. Control: $12+8+6=26$, adică reuniunea de la a). d) (2 p) Cazurile favorabile sunt $12+8=20$, iar cele posibile $30$, deci $P=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}$.

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) Cum $4^x={\left(2^x\right)}^2$, notăm $t=2^x$, cu $t>0$, și ecuația devine $t^2-10t+16=0$ (1 p). $\Delta =100-64=36$, deci $t=2$ sau $t=8$, amândouă pozitive (1 p). Revenind la substituție: $2^x=2$ dă $x=1$, iar $2^x=8=2^3$ dă $x=3$ (1 p). b) (3 p) Condițiile de existență sunt $x-1>0$ și $x+3>0$, adică $x>1$ (1 p). Suma logaritmilor devine logaritmul produsului: ${\log }_5((x-1)(x+3))=1$, deci $(x-1)(x+3)=5^1=5$, adică $x^2+2x-8=0$ (1 p). Soluțiile sunt $x=2$ și $x=-4$; a doua nu respectă condiția, deci rămâne $x=2$ (1 p). c) (2 p) $4^{\frac{3}{2}}={\left(\sqrt{4}\right)}^3=2^3=8$, deci ${\log }_{4}8=\frac{3}{2}$, ceea ce trebuia arătat. (Echivalent: ${\log }_{4}8=\frac{{\log }_{2}8}{{\log }_{2}4}=\frac{3}{2}$.)

Exercițiul 12. (8 p) a) (2 p) Ordinea probelor nu contează, deci numărul de alegeri este $C_{10}^3=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3}=120$. b) (2 p) Probele necontaminate sunt $10-4=6$, deci cazurile favorabile sunt $C_6^3=20$ și $P=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$. c) (2 p) Se alege o probă contaminată din $4$ și două necontaminate din $6$: $C_4^1\cdot C_6^2=4\cdot 15=60$ cazuri favorabile, deci $P=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}$. d) (2 p) Evenimentul contrar este „niciuna nu e contaminată", cu probabilitatea calculată la b), deci $P=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$.

Exercițiul 13. (8 p) — câte 2 puncte. a) Fiecare dintre cele $3$ elemente ale domeniului poate fi dus în oricare dintre cele $4$ valori, independent, deci sunt $4^3=64$ de funcții. Cele injective cer valori distincte, deci sunt $A_4^3=4\cdot 3\cdot 2=24$. b) $\overrightarrow{AB}$ are coordonatele $(7-4,5-1)=(3,4)$, iar $AB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$. c) Factorul anual este $1+\frac{10}{100}=1,1$, deci soldul după doi ani este $4000\cdot 1,1^2=4000\cdot 1,21=4840$ de lei, ceea ce trebuia arătat. d) $d(A,d)=\frac{\left|4\cdot 4+3\cdot 1-9\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{\left|16+3-9\right|}{5}=\frac{10}{5}=2$.

Pentru părinți și profesori

Aceasta este lucrarea de sfârșit de an a traseului de științe ale naturii (M2) al clasei a X-a. Ea trece prin toate cele patru unități mari ale anului — metodele de numărare, statistica și probabilitățile, funcțiile și numerele complexe —, la care se adaugă temele suplimentului pentru Bacalaureat M2 2027–2029. Nu urmărește exerciții exotice: verifică dacă elevul recunoaște tipul de problemă, alege instrumentul potrivit și își redactează raționamentul. Ultimii doi itemi sunt scriși în stilul probei de examen, cu cerințe scurte, ca elevul să vadă cum arată materia anului atunci când e cerută pe subiecte, nu pe capitole.

Harta materiei acoperite. Punctajele urmează ponderea unităților din traseul clasei (103 pași de parcurs), cu o singură abatere declarată: suplimentul primește câteva puncte în plus față de proporția lui, fiindcă el este materie de examen pentru generația care dă Bacalaureatul M2 în $2027$–$2029$.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 90 de minute. Fiind o probă de an întreg, ea cere mai mult decât o oră de curs; orientativ, $20$ de minute pentru Partea I, $35$ pentru Partea a II-a și $35$ pentru Partea a III-a. Dacă orarul nu permite o oră și jumătate, proba se poate da în două reprize — Partea I cu Partea a II-a într-o oră ($58$ de puncte), Partea a III-a în ora următoare ($32$ de puncte) —, iar oficiul se acordă o singură dată, la punctajul final.
• Materiale: foaie de matematică, riglă, creion. Fără calculator — toate puterile, logaritmii și valorile trigonometrice sunt de bază, datele statistice au fost alese ca media, cuartilele și abaterea standard să iasă exacte, iar probabilitățile se lasă sub formă de fracții ireductibile.
• Redactare: la Partea a III-a se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La cerințele de numărare și de probabilități, un rezultat corect fără raționamentul care îl susține nu e o rezolvare completă. Rezultatele aplicative se scriu cu unitatea de măsură.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine, anul e stăpânit integral; 75–89 p = bine, de reluat în vacanță doar capitolul cu cele mai multe puncte pierdute; 60–74 p = satisfăcător, exercițiile standard ies, cele care combină două capitole încă nu; sub 60 p = se reia anul unitate cu unitate, cu câte un test scurt după fiecare.
• Formule de reținut, pe unități: numărare — $P_n=n!$, $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$, $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, $C_n^k=C_n^{n-k}$, $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$, numărul funcțiilor $f:A\to B$ este $|B{|}^{|A|}$, iar al celor injective $A_{|B|}^{|A|}$; statistică — media ponderată $\bar{x}=\frac{\sum n_i{x}_i}{n}$, mediana taie setul ordonat în două, cuartilele $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$, amplitudinea $=x_{\max }-x_{\min }$, dispersia ${\sigma }^2=\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n}$ și abaterea standard $\sigma =\sqrt{{\sigma }^2}$; probabilități — $P(A)=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$, $P(\overline{A})=1-P(A)$, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$; funcții — $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$, $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$, ${\log }_{a}b=c⟺a^c=b$, ${\log }_{a}x+{\log }_{a}y={\log }_a(xy)$, ${\log }_{a}x-{\log }_{a}y={\log }_a\frac{x}{y}$, iar graficul funcției de gradul al doilea are axa de simetrie $x=-\frac{b}{2a}$; numere complexe — $i^2=-1$, $\overline{a+bi}=a-bi$, $z\overline{z}=a^2+b^2=|z{|}^2$, iar pentru $\Delta <0$ rădăcinile sunt $\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta }}{2a}$; geometrie analitică — $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A,y_B-y_A)$, $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$ și $d(M,d)=\frac{|a{x}_M+b{y}_M+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
• Programa și examenul. Evaluarea urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) temele ei se împart între domeniul Algebră (numărarea, funcțiile, numerele complexe) și domeniul Date, statistică matematică și probabilități. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, iar în varianta-model pentru 2026 toate cele șase cerințe scurte ale Subiectului I sunt pe teme din clasele a IX-a și a X-a (prima este un calcul cu numere complexe); programa de examen nu împarte însă materia pe subiecte. Pentru ei, evaluarea cuprinde și temele suplimentului — puterile cu exponent real, bijectivitatea, interpretarea geometrică a operațiilor cu numere complexe, matematicile financiare, dispersia, numărarea prin funcții și coordonatele unui vector în plan —, cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014), dar care nu mai figurează în programa nouă a clasei. O singură temă merge în sens invers: principiul includerii și al excluderii nu apare în programa de examen din 2014, ci abia în cea nouă, așa că itemul construit pe el poartă marcajul „MAT_P2 2030".

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".