Evaluare sumativă — clasa a IX-a (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — testele de mate-info, clasa a IX-a → ·

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Evaluări generale

Exerciții

Partea I – Recunoașterea noțiunilor de bază (30 de puncte)

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Valoarea expresiei $E = [75] + 3 - 7$ este: A. $11 - 7$ ; B. $5 + 7$ ; C. $12 - 7$ ; D. $11 + 7$ .

b) Într-o progresie aritmetică $(a_{n})_{n \geq 1}$ se cunosc $a_{3} = 19$ și $a_{8} = 4$ . Rația progresiei este: A. $- 3$ ; B. $3$ ; C. $- 5$ ; D. $- 15$ .

c) Valoarea expresiei $F = cos \frac{5 π}{6} + sin \frac{7 π}{6}$ este: A. $\frac{3 + 1}{2}$ ; B. $- \frac{3 + 1}{2}$ ; C. $\frac{3 - 1}{2}$ ; D. $- \frac{3 - 1}{2}$ .

Exercițiul 2 (6 puncte)

a) Se consideră propozițiile $p$ : „ $5 \in Q$ " și $q$ : „ $3^{2} > 8$ ". Stabilește valoarea de adevăr a propoziției $p \Rightarrow q$ și a reciprocei ei, $q \Rightarrow p$ , cu justificare. (2 p) b) Într-un laborator se spune: „orice probă din lotul acesta are pH-ul mai mare decât $7$ ". Scrie negația enunțului folosind cuantificatori și precizează ce anume trebuie găsit ca să-l respingi. (2 p) c) Alcătuiește tabelul de adevăr al enunțului $(p \land \overline{q}) \lor q$ și arată că el are aceleași valori de adevăr ca $p \lor q$ . (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

a) Se consideră mulțimile $A = (- 3, 4]$ și $B = [1, 7)$ . Determină $A \cap B$ , $A \cup B$ și $∁_{R} A$ . (2 p) b) Șirul $(a_{n})_{n \geq 1}$ este dat de $a_{n} = \frac{3 n - 1}{n + 2}$ . Calculează $a_{1}$ și $a_{4}$ , apoi arată, cu metoda diferenței, că șirul este crescător. (2 p) c) Raționalizează numitorul fracției $\frac{10}{11 - 3}$ și scrie rezultatul sub forma cea mai simplă. (2 p)

Exercițiul 4 (6 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (- 6, 1)$ și $B (2, 5)$ . a) Calculează lungimea segmentului $A B$ și determină coordonatele mijlocului $M$ al lui. (2 p) b) Determină panta dreptei $A B$ și scrie ecuația ei sub forma $y = m x + n$ . (2 p) c) Determină coordonatele punctelor în care dreapta $A B$ intersectează axele de coordonate și arată că dreapta $d : x - 2 y + 12 = 0$ este paralelă cu $A B$ . (2 p)

Exercițiul 5 (6 puncte)

a) Se consideră polinomul $f = 2 X^{3} + X^{2} - 8 X + 5$ , care se împarte la $X - 3$ . Calculează restul, folosind teorema restului. (2 p) b) Determină câtul aceleiași împărțiri, folosind schema lui Horner. (2 p) c) Arată că polinomul $g = X^{3} - 7 X^{2} + 2 X + 40$ se divide cu $X + 2$ și scrie descompunerea lui în factori de gradul întâi. (2 p)

Partea a II-a – Aplicații și modele din științe (30 de puncte)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = - x^{2} - 4 x + 12$ .

a) Calculează coordonatele vârfului parabolei, scrie ecuația axei de simetrie și determină punctele în care graficul intersectează axele de coordonate. (2 p) b) Alcătuiește tabelul de variație al funcției și precizează imaginea ei, $Im f$ . (2 p) c) Determină, citind graficul, mulțimea valorilor lui $x$ pentru care $f (x) \geq 12$ . (2 p)

Exercițiul 7 (6 puncte)

a) Fie funcțiile $u, v : R \to R$ , $u (x) = 2 x - 3$ și $v (x) = x + 4$ . Scrie expresia funcției produs $p = u \cdot v$ sub forma $a x^{2} + b x + c$ și determină zerourile ei. (2 p) b) Determină domeniul maxim de definiție al funcției $q (x) = \frac{6 - x}{x + 1}$ și calculează $q (5)$ . (2 p) c) Precizează domeniul de definiție al funcției $r (x) = 3 x - 5$ , calculează $r (- 3)$ și $r (13)$ și arată pentru ce valori ale lui $x$ avem $r (x) \geq 0$ . (2 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

Concentrația ionilor de hidrogen dintr-o soluție apoasă se notează cu $c$ și se măsoară în moli pe litru, iar pH-ul soluției este $pH = - lo g_{10} c$ . O soluție este acidă când pH-ul ei este mai mic decât $7$ .

a) O soluție are concentrația $c = 1 0^{- 5}$ moli pe litru. Calculează pH-ul ei și precizează dacă soluția este acidă. (2 p) b) Sucul de lămâie are pH-ul $2$ , iar apa de ploaie curată are pH-ul $5$ . De câte ori este mai mare concentrația ionilor de hidrogen din sucul de lămâie? (2 p) c) Rezolvă în $R$ ecuația $3^{2 x - 1} = 27$ și calculează valoarea expresiei $G = lo g_{5} 125 - lo g_{2} \frac{1}{8}$ . (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Se consideră triunghiul $A B C$ , cu $A B = 6$ , $A C = 10$ și $A = 12 0^{\circ}$ .

a) Calculează lungimea laturii $B C$ , folosind teorema cosinusului. (2 p) b) Calculează aria triunghiului cu formula sinusului și verifică rezultatul cu formula lui Heron. (2 p) c) Calculează $sin B$ , folosind teorema sinusurilor, și determină raza $R$ a cercului circumscris triunghiului. (2 p)

Exercițiul 10 (6 puncte)

Într-o cultură de laborator, masa de biomasă crește cu $50%$ în fiecare zi. La începutul primei zile masa este de $16$ grame, iar modelul este considerat valabil în primele cinci zile. Notăm cu $b_{n}$ masa de la începutul zilei $n$ .

a) Arată că șirul $(b_{n})$ este o progresie geometrică, scrie rația și termenul general, apoi calculează $b_{5}$ . (2 p) b) Calculează masa totală măsurată la începutul primelor patru zile, adică $S_{4} = b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4}$ . (2 p) c) Se consideră progresia aritmetică cu $a_{1} = 5$ și rația $r = 4$ . Demonstrează, prin inducție matematică, că suma primilor $n$ termeni ai ei este $S_{n} = n (2 n + 3)$ , pentru orice număr natural $n \geq 1$ . (2 p)

Partea a III-a – Probleme, demonstrații și itemi de tip examen (30 de puncte)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $A B C$ , cu $A B = 4$ , $A C = 6$ și $A = 6 0^{\circ}$ , și fie $M$ mijlocul laturii $B C$ .

a) Arătați că $A M = \frac{1}{2} (A B + A C)$ . (2 p) b) Calculați produsul scalar $A B \cdot A C$ . (2 p) c) Calculați $∥ A M ∥$ , adică lungimea medianei din $A$ . (2 p) d) Determinați numărul real $t$ pentru care vectorii $A B + t A C$ și $A C$ sunt perpendiculari. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se știe că $sin a = \frac{15}{17}$ , cu $a \in (\frac{π}{2}, π)$ , și că $cos b = \frac{5}{13}$ , cu $b \in (0, \frac{π}{2})$ .

a) Calculați $cos a$ și $sin b$ . (2 p) b) Calculați $tg a$ și valoarea expresiei $H = sin (π - a) \cdot cos (π + a)$ . (3 p) c) Calculați $sin (a + b)$ și $cos 2 b$ . (3 p)

Exercițiul 13 (7 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) În reperul cartezian $x O y$ se consideră cercul $C$ de ecuație $x^{2} + y^{2} - 8 x + 6 y - 24 = 0$ și punctul $P (7, 1)$ .

a) Determinați coordonatele centrului $C$ și raza cercului $C$ , apoi stabiliți poziția punctului $P$ față de cerc. (3 p) b) Determinați poziția dreptei $d : y = x - 14$ față de cercul $C$ și, dacă există, coordonatele punctelor comune. (2 p) c) Scrieți ecuația cercului cu centrul în $P$ care este tangent interior cercului $C$ . (2 p)

Exercițiul 14 (7 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră polinomul $f = X^{3} - 5 X^{2} + m X + 12$ , cu $m$ număr real.

a) Determinați $m$ , știind că $f (3) = 0$ . (2 p) b) Pentru valoarea găsită a lui $m$ , scrieți descompunerea $f = (X - 3) (X^{2} + pX + q)$ și rezolvați ecuația $f (x) = 0$ . (2 p) c) Fără a calcula rădăcinile, arătați că suma pătratelor rădăcinilor ecuației $x^{2} - 2 x - 4 = 0$ este $12$ , iar suma inverselor lor este $- \frac{1}{2}$ . (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Partea I – 30 p (itemii 1–5) · Partea a II-a – 30 p (itemii 6–10) · Partea a III-a – 30 p (itemii 11–14).

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) A. Din $64 \leq 75 < 81$ rezultă $[75] = 8$ . Apoi $3^{2} = 9 > 7$ , deci $3 > 7$ și modulul se deschide cu semnele schimbate: $3 - 7 = 3 - 7$ . Așadar $E = 8 + 3 - 7 = 11 - 7$ . (Varianta B apare dacă modulul se deschide greșit, ca $7 - 3$ .)

b) A. Între rangurile $3$ și $8$ sunt cinci pași de rație: $a_{8} = a_{3} + 5 r$ , adică $4 = 19 + 5 r$ , deci $5 r = - 15$ și $r = - 3$ . (Varianta D confundă rația cu diferența $a_{8} - a_{3}$ .)

c) B. Punctul asociat lui $\frac{5 π}{6}$ este în cadranul al II-lea, unde cosinusul este negativ: $cos \frac{5 π}{6} = - cos \frac{π}{6} = - \frac{3}{2}$ . Punctul asociat lui $\frac{7 π}{6}$ este în cadranul al III-lea, unde sinusul este negativ: $sin \frac{7 π}{6} = - sin \frac{π}{6} = - \frac{1}{2}$ . Suma lor este $F = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = - \frac{3 + 1}{2}$ .

Exercițiul 2. (6 p)

a) (2 p) $5$ este irațional, deci $p$ este falsă (0,5 p); $3^{2} = 9 > 8$ , deci $q$ este adevărată (0,5 p). O implicație cu premisa falsă este adevărată, deci $p \Rightarrow q$ este adevărată (0,5 p). Reciproca $q \Rightarrow p$ are premisa adevărată și concluzia falsă, deci este falsă (0,5 p). (De reținut: reciproca unei implicații adevărate nu este neapărat adevărată.)

b) (2 p) Enunțul are forma „ $(\forall)$ probă din lot, pH-ul probei $> 7$ " (0,5 p). Negația schimbă cuantificatorul universal în cel existențial și neagă predicatul: „ $(\exists)$ cel puțin o probă din lot pentru care pH-ul $\leq 7$ ", adică există o probă cu pH cel mult $7$ (1 p). Ca să respingi enunțul inițial este de ajuns un singur contraexemplu — o probă măsurată cu pH cel mult $7$ (0,5 p).

c) (2 p) Tabelul (1,5 p):

$p$	$q$	$\overline{q}$	$p \land \overline{q}$	$(p \land \overline{q}) \lor q$	$p \lor q$
A	A	F	F	A	A
A	F	A	A	A	A
F	A	F	F	A	A
F	F	A	F	F	F

Ultimele două coloane coincid linie cu linie, deci $(p \land \overline{q}) \lor q \equiv p \lor q$ (0,5 p). (Citit în cuvinte: „ori $p$ fără $q$ , ori $q$ " acoperă exact cazurile în care cel puțin una dintre ele se întâmplă.)

Exercițiul 3. (6 p)

a) (2 p) Intersecția ia capătul mai mare la stânga și pe cel mai mic la dreapta, păstrând tipul capătului din mulțimea care îl impune: $A \cap B = [1, 4]$ (0,75 p). Intervalele se suprapun, fiindcă $1 \leq 4$ , deci reuniunea este tot un interval: $A \cup B = (- 3, 7)$ (0,75 p). Complementara inversează tipul capătului: $∁_{R} A = (- \infty, - 3] \cup (4, + \infty)$ (0,5 p).

b) (2 p) $a_{1} = \frac{3 \cdot 1 - 1}{1 + 2} = \frac{2}{3}$ și $a_{4} = \frac{3 \cdot 4 - 1}{4 + 2} = \frac{11}{6}$ (0,5 p). Metoda diferenței (1,5 p): $a_{n + 1} - a_{n} = \frac{3 n + 2}{n + 3} - \frac{3 n - 1}{n + 2} = \frac{( 3 n + 2 ) ( n + 2 ) - ( 3 n - 1 ) ( n + 3 )}{( n + 2 ) ( n + 3 )} = \frac{( 3 n ^{2} + 8 n + 4 ) - ( 3 n ^{2} + 8 n - 3 )}{( n + 2 ) ( n + 3 )} = \frac{7}{( n + 2 ) ( n + 3 )} .$ Numitorul este pozitiv pentru orice $n \geq 1$ , deci diferența este strict pozitivă și șirul este crescător.

c) (2 p) Se amplifică cu expresia conjugată $11 + 3$ (1 p): $\frac{10}{11 - 3} = \frac{10 ( 11 + 3 )}{( 11 ) ^{2} - 3 ^{2}} = \frac{10 ( 11 + 3 )}{11 - 9} = 5 (11 + 3) (1 p),$ adică $511 + 15$ .

Exercițiul 4. (6 p)

a) (2 p) $A B = (2 - (- 6))^{2} + (5 - 1)^{2} = 64 + 16 = 80 = 45$ (1 p). Mijlocul: $M (- 2, 3)$ (1 p).

b) (2 p) $m = \frac{5 - 1}{2 - ( - 6 )} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ (1 p). Din $y - 1 = \frac{1}{2} (x + 6)$ rezultă $y = \frac{1}{2} x + 4$ (1 p). (Control: pentru $x = 2$ se obține $y = 5$ , adică punctul $B$ .)

c) (2 p) Pentru $y = 0$ : $\frac{1}{2} x + 4 = 0$ , deci intersecția cu $O x$ este $(- 8, 0)$ ; pentru $x = 0$ se obține intersecția cu $O y$ , $(0, 4)$ (1 p). Dreapta $d$ se scrie $2 y = x + 12$ , adică $y = \frac{1}{2} x + 6$ : are aceeași pantă $\frac{1}{2}$ ca $A B$ , dar altă ordonată la origine ( $6 \neq = 4$ ), deci cele două drepte sunt paralele și distincte (1 p).

Exercițiul 5. (6 p)

a) (2 p) Restul împărțirii lui $f$ la $X - 3$ este $f (3) = 2 \cdot 27 + 9 - 24 + 5 = 54 + 9 - 24 + 5 = 44$ .

b) (2 p) Coeficienții lui $f$ sunt $2, 1, - 8, 5$ , iar $a = 3$ : $2$ ; $1 + 3 \cdot 2 = 7$ ; $- 8 + 3 \cdot 7 = 13$ ; $5 + 3 \cdot 13 = 44$ (1 p). Rândul de jos dă câtul $q = 2 X^{2} + 7X + 13$ , iar ultimul număr este chiar restul $44$ , ca la punctul a) (1 p).

c) (2 p) $g (- 2) = - 8 - 28 - 4 + 40 = 0$ , deci, prin teorema lui Bézout, $X + 2$ divide $g$ (1 p). Cu schema lui Horner, $a = - 2$ : $1$ ; $- 7 - 2 = - 9$ ; $2 + 18 = 20$ ; $40 - 40 = 0$ , deci câtul este $X^{2} - 9 X + 20 = (X - 4) (X - 5)$ și $g = (X + 2) (X - 4) (X - 5)$ (1 p).

Exercițiul 6. (6 p)

a) (2 p) $a = - 1$ , $b = - 4$ , $c = 12$ , deci $x_{V} = - \frac{- 4}{- 2} = - 2$ și $y_{V} = f (- 2) = - 4 + 8 + 12 = 16$ : vârful este $V (- 2, 16)$ , iar axa de simetrie are ecuația $x = - 2$ (1 p). Din $Δ = 16 + 48 = 64$ rezultă zerourile $x_{1} = - 6$ și $x_{2} = 2$ , deci graficul taie axa $O x$ în $(- 6, 0)$ și $(2, 0)$ , iar axa $O y$ în $(0, 12)$ (1 p).

b) (2 p) Coeficientul dominant este negativ, deci funcția crește până în vârf și scade după el (1 p):

$x$	$- \infty$		$- 2$		$+ \infty$
$f (x)$	$- \infty$	$↗$	$16$	$↘$	$- \infty$

Prin urmare $Im f = (- \infty, 16]$ (1 p).

c) (2 p) Dreapta orizontală $y = 12$ taie parabola în punctele de abscise date de $- x^{2} - 4 x + 12 = 12$ , adică $x^{2} + 4 x = 0$ , cu soluțiile $x = - 4$ și $x = 0$ (1 p). Pe grafic, parabola se află deasupra dreptei exact între aceste abscise, deci $f (x) \geq 12$ pentru $x \in [- 4, 0]$ (1 p).

Exercițiul 7. (6 p)

a) (2 p) $p (x) = (2 x - 3) (x + 4) = 2 x^{2} + 8 x - 3 x - 12$ , deci $p (x) = 2 x^{2} + 5x - 12$ (1 p). Un produs este nul când unul dintre factori se anulează: $2 x - 3 = 0$ dă $x = \frac{3}{2}$ , iar $x + 4 = 0$ dă $x = - 4$ (1 p).

b) (2 p) Radicalul de ordinul al doilea cere $6 - x \geq 0$ , adică $x \leq 6$ , iar numitorul cere $x \neq = - 1$ , deci domeniul maxim este $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 6]$ (1 p). Apoi $q (5) = \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$ (1 p).

c) (2 p) Radicalul de ordinul al treilea este definit pentru orice număr real, deci domeniul este $R$ (0,5 p). $r (- 3) = 3 - 8 = - 2$ și $r (13) = 38 = 2$ (1 p). Semnul radicalului de ordin impar este semnul expresiei de sub el, deci $r (x) \geq 0$ exact pentru $x \geq 5$ (0,5 p).

Exercițiul 8. (6 p)

a) (2 p) $pH = - lo g_{10} (1 0^{- 5}) = - (- 5) = 5$ (1 p). Cum $5 < 7$ , soluția este acidă (1 p).

b) (2 p) Din $pH = - lo g_{10} c$ rezultă $c = 1 0^{- pH}$ , deci concentrațiile sunt $1 0^{- 2}$ și $1 0^{- 5}$ moli pe litru (1 p). Raportul lor este $\frac{1 0 ^{- 2}}{1 0 ^{- 5}} = 1 0^{3} = 1000$ , deci concentrația din sucul de lămâie este de $1000$ de ori mai mare (1 p).

c) (2 p) $27 = 3^{3}$ , deci ecuația devine $3^{2 x - 1} = 3^{3}$ ; funcția exponențială fiind injectivă, $2 x - 1 = 3$ , deci $x = 2$ (1 p). Apoi $lo g_{5} 125 = 3$ , fiindcă $5^{3} = 125$ , iar $lo g_{2} \frac{1}{8} = - 3$ , fiindcă $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ ; prin urmare $G = 3 - (- 3) = 6$ (1 p).

Exercițiul 9. (6 p)

a) (2 p) $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ (0,5 p), deci, prin teorema cosinusului, $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 \cdot A B \cdot A C \cdot cos 12 0^{\circ} = 36 + 100 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot (- \frac{1}{2}) = 136 + 60 = 196,$ de unde $BC = 14$ (1,5 p). (Control: $6 + 10 = 16 > 14$ , deci inegalitatea triunghiului este respectată.)

b) (2 p) Cu formula sinusului, $S = \frac{A B \cdot A C \cdot sin 12 0 ^{\circ}}{2} = \frac{6 \cdot 10}{2} \cdot \frac{3}{2} = 153$ (1 p). Verificare cu Heron: $s = \frac{6 + 10 + 14}{2} = 15$ , deci $S = 15 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 1 = 675 = 153$ — aceeași valoare (1 p).

c) (2 p) Latura opusă unghiului $B$ este $A C = 10$ , iar latura opusă lui $A$ este $B C = 14$ , deci din $\frac{A C}{sin B} = \frac{B C}{sin A}$ rezultă $sin B = \frac{A C \cdot sin A}{B C} = \frac{10 \cdot \frac{3}{2}}{14} = \frac{5 3}{14} (1 p) .$ Din aceeași teoremă, $2 R = \frac{B C}{sin A} = \frac{14}{\frac{3}{2}} = \frac{28}{3}$ , deci $R = \frac{14}{3} = \frac{14 3}{3}$ (1 p).

Exercițiul 10. (6 p)

a) (2 p) O creștere cu $50%$ înseamnă înmulțire cu $1 + \frac{50}{100} = \frac{3}{2}$ la fiecare pas, deci raportul a doi termeni consecutivi este constant: șirul este o progresie geometrică cu rația $q = \frac{3}{2}$ (1 p). Termenul general este $b_{n} = 16 \cdot (\frac{3}{2})^{n - 1}$ , iar $b_{5} = 16 \cdot \frac{81}{16} = 81$ grame (1 p).

b) (2 p) Termenii sunt $16$ , $24$ , $36$ și $54$ grame (1 p), deci $S_{4} = b_{1} \frac{q ^{4} - 1}{q - 1} = 16 \cdot \frac{\frac{81}{16} - 1}{\frac{1}{2}} = 16 \cdot \frac{65}{16} \cdot 2 = 130 grame (1 p) .$

c) (2 p) Verificarea pentru $n = 1$ : $S_{1} = a_{1} = 5$ , iar formula dă $1 \cdot (2 + 3) = 5$ — egalitate (0,5 p). Pasul de inducție: presupunem $S_{n} = n (2 n + 3)$ pentru un rang $n$ (0,5 p). Termenul următor este $a_{n + 1} = 5 + 4 n$ , deci $S_{n + 1} = S_{n} + a_{n + 1} = n (2 n + 3) + 4 n + 5 = 2 n^{2} + 7 n + 5 = (n + 1) (2 n + 5) = (n + 1) (2 (n + 1) + 3),$ adică exact formula la rangul $n + 1$ (0,75 p). Cum verificarea și pasul sunt îndeplinite, formula este adevărată pentru orice $n \geq 1$ (0,25 p).

Exercițiul 11. (8 p)

a) (2 p) $M$ fiind mijlocul lui $B C$ , avem $M B + M C = 0$ (0,5 p). Scriind $A B = A M + M B$ și $A C = A M + M C$ și adunând, termenii cu $M$ se anulează: $A B + A C = 2 A M$ (1 p), de unde $A M = \frac{1}{2} (A B + A C)$ (0,5 p).

b) (2 p) $A B \cdot A C = ∥ A B ∥ \cdot ∥ A C ∥ \cdot cos 6 0^{\circ} = 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 12$ .

c) (2 p) Se ridică la pătrat scalar egalitatea de la a) (0,5 p): $∥ A M ∥^{2} = \frac{1}{4} (∥ A B ∥^{2} + 2 A B \cdot A C + ∥ A C ∥^{2}) = \frac{1}{4} (16 + 24 + 36) = \frac{76}{4} = 19,$ deci $∥ A M ∥ = 19$ (1,5 p). (Control cu formula medianei: $B C^{2} = 16 + 36 - 24 = 28$ , iar $\frac{2 \cdot 36 + 2 \cdot 16 - 28}{4} = 19$ .)

d) (2 p) Doi vectori nenuli sunt perpendiculari exact când produsul lor scalar este nul (0,5 p): $(A B + t A C) \cdot A C = A B \cdot A C + t ∥ A C ∥^{2} = 12 + 36 t .$ Din $12 + 36 t = 0$ rezultă $t = - \frac{1}{3}$ (1,5 p).

Exercițiul 12. (8 p)

a) (2 p) Din formula fundamentală, $cos^{2} a = 1 - \frac{225}{289} = \frac{64}{289}$ ; unghiul $a$ fiind în cadranul al II-lea, cosinusul este negativ, deci $cos a = - \frac{8}{17}$ (1 p). Analog, $sin^{2} b = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$ , iar $b$ fiind în cadranul I, $sin b = \frac{12}{13}$ (1 p).

b) (3 p) $tg a = \frac{sin a}{cos a} = \frac{15/17}{- 8/17} = - \frac{15}{8}$ (1,5 p). Prin reducere la primul cadran, $sin (π - a) = sin a$ și $cos (π + a) = - cos a$ , deci $H = sin a \cdot (- cos a) = \frac{15}{17} \cdot \frac{8}{17} = \frac{120}{289} (1,5 p) .$

c) (3 p) Cu formula de adunare (1,5 p): $sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b = \frac{15}{17} \cdot \frac{5}{13} + (- \frac{8}{17}) \cdot \frac{12}{13} = \frac{75 - 96}{221} = - \frac{21}{221} .$ Cu formula unghiului dublu (1,5 p): $cos 2 b = 2 cos^{2} b - 1 = \frac{50}{169} - 1 = - \frac{119}{169}$ .

Exercițiul 13. (7 p)

a) (3 p) Din ecuație se citesc coeficienții $m = - 8$ , $n = 6$ și $p = - 24$ (0,5 p). Centrul este $C (- \frac{m}{2}, - \frac{n}{2}) = C (4, - 3)$ (1 p), iar $r^{2} = \frac{m ^{2} + n ^{2} - 4 p}{4} = \frac{64 + 36 + 96}{4} = 49$ , deci $r = 7$ (1 p). (Aceleași valori ies și prin formarea pătratelor: $(x - 4)^{2} + (y + 3)^{2} = 49$ .) Pentru punctul $P$ : $C P^{2} = (7 - 4)^{2} + (1 + 3)^{2} = 9 + 16 = 25 < 49$ , deci $P$ este în interiorul cercului (0,5 p).

b) (2 p) Se înlocuiește $y = x - 14$ în ecuația cercului (0,5 p): $x^{2} + (x - 14)^{2} - 8 x + 6 (x - 14) - 24 = 2 x^{2} - 30 x + 88 = 0.$ Discriminantul acestei ecuații de gradul al doilea este $Δ = 900 - 704 = 196 > 0$ , deci dreapta este secantă (1 p). Din $x^{2} - 15 x + 44 = 0$ se obțin $x = 4$ și $x = 11$ , deci punctele comune sunt $(4, - 10)$ și $(11, - 3)$ (0,5 p).

c) (2 p) Distanța dintre centre este $C P = 25 = 5$ (0,5 p). Două cercuri sunt tangente interior când distanța dintre centre este egală cu diferența razelor, deci $7 - r^{'} = 5$ și $r^{'} = 2$ (1 p). Cercul căutat are ecuația $(x - 7)^{2} + (y - 1)^{2} = 4$ (0,5 p).

Exercițiul 14. (7 p)

a) (2 p) $f (3) = 27 - 45 + 3 m + 12 = 3 m - 6$ (1 p). Din $3 m - 6 = 0$ rezultă $m = 2$ (1 p).

b) (2 p) Pentru $m = 2$ avem $f = X^{3} - 5 X^{2} + 2 X + 12$ . Cu schema lui Horner, $a = 3$ : $1$ ; $- 5 + 3 = - 2$ ; $2 - 6 = - 4$ ; $12 - 12 = 0$ , deci $f = (X - 3) (X^{2} - 2X - 4)$ (1 p). Ecuația $f (x) = 0$ are soluțiile $x = 3$ și rădăcinile lui $x^{2} - 2 x - 4 = 0$ , adică $x = 1 \pm 5$ (din $Δ = 4 + 16 = 20$ ) (1 p).

c) (3 p) Din relațiile lui Viète pentru $x^{2} - 2 x - 4 = 0$ : $S = x_{1} + x_{2} = 2$ și $P = x_{1} x_{2} = - 4$ (1 p). Atunci $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2} = S^{2} - 2 P = 4 + 8 = 12 (1 p),$ iar $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} x _{2}} = \frac{S}{P} = \frac{2}{- 4} = - \frac{1}{2} (1 p) .$ (Rădăcinile sunt reale și distincte, fiindcă $Δ = 20 > 0$ , iar $P < 0$ arată că au semne contrare — de aceea suma inverselor este negativă.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta este lucrarea de final de an a traseului de matematică pentru științe ale naturii: o probă transversală care trece prin toate cele douăsprezece unități parcurse în clasa a IX-a, de la structura numerelor reale până la suplimentul de pregătire pentru Bacalaureatul M2. Nu repetă testele de unitate, ci le încrucișează: fiecare item cere elevului să recunoască tipul de problemă înainte de a alege instrumentul. Ponderea fiecărei teme urmează ponderea ei din traseu, nu gustul autorului — unitățile lungi (funcțiile și trigonometria) primesc cele mai multe puncte, cele scurte (numerele reale, produsul scalar, formulele de adunare) unul sau două subpuncte.

Harta materiei acoperite (în paranteză, punctele alocate):

Mulțimea numerelor reale — partea întreagă, modulul, raționalizarea numitorului. (Itemii 1a, 3c — 4 puncte)
Elemente de logică matematică — valoarea de adevăr, implicația și reciproca ei, cuantificatorii și negarea lor, tabelul de adevăr, inducția matematică. (Itemii 2, 10c — 8 puncte)
Polinoame cu coeficienți reali — teorema restului, schema lui Horner, teorema lui Bézout, descompunerea în factori, ecuații polinomiale. (Itemii 5, 14a, 14b — 10 puncte)
Progresii aritmetice și geometrice — rația, termenul general, suma primilor $n$ termeni, creșterea procentuală. (Itemii 1b, 10a, 10b — 6 puncte)
Geometrie analitică în plan — distanța, mijlocul, panta, ecuația dreptei, intersecțiile cu axele, paralelismul, ecuația cercului și pozițiile relative. (Itemii 4, 13 — 13 puncte)
Funcții și lecturi grafice — funcția de gradul al doilea, operații cu funcții, domeniul maxim de definiție, funcția radical de ordinul al treilea, funcția exponențială și funcția logaritmică. (Itemii 6, 7, 8 — 18 puncte)
Elemente de trigonometrie și aplicații în geometrie — cercul trigonometric, formulele de reducere, formula fundamentală, teorema cosinusului, teorema sinusurilor, aria triunghiului. (Itemii 1c, 9, 12a, 12b — 13 puncte)
Supliment Bacalaureat M2 — vectori și calcul vectorial, produsul scalar, formulele trigonometrice de adunare și de dublu unghi, relațiile lui Viète, mulțimi și intervale, șiruri. (Itemii 3a, 3b, 11, 12c, 14c — 18 puncte)

Cum se aplică:

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 90 de minute. Fiind o probă de an întreg, ea se poate da și în două reprize: Partea I și Partea a II-a într-o oră, Partea a III-a în ora următoare; oficiul se acordă o singură dată, la punctajul final.
Materiale: foaie de matematică, riglă, creion. Fără calculator — toate valorile trigonometrice cerute sunt cele ale unghiurilor de bază sau se obțin din formula fundamentală, iar celelalte numere au fost alese ca să dea rezultate exacte. Fracțiile se lasă ireductibile și radicalii nu se aproximează.
Redactare: la Partea a III-a se cere rezolvare completă, cu justificări scrise; un rezultat corect fără raționament nu e o rezolvare completă. La itemii marcați ca fiind de tip examen, cerința este formulată exact în limbajul modelului oficial de subiect.

Interpretarea rezultatului:

Punctaj	Nivel	Ce înseamnă
90–100 p	foarte bine	Anul este stăpânit integral, inclusiv suplimentul; se poate trece la clasa a X-a fără recuperări.
75–89 p	bine	Baza este solidă. De reluat, în vacanță, doar unitatea cu cele mai multe puncte pierdute.
60–74 p	satisfăcător	Exercițiile standard ies, dar itemii care combină două unități încă nu. De lucrat pe Partea a III-a.
sub 60 p	de reluat	Se reia traseul unitate cu unitate, în ordinea din manual, cu câte un test scurt după fiecare.

Formule de reținut, pe unități:

Numere reale: $[x]$ este singurul întreg $k$ cu $k \leq x < k + 1$ ; $∣ a - b ∣ = a - b$ dacă $a \geq b$ și $b - a$ altfel; raționalizarea cu expresia conjugată se sprijină pe $(a - b) (a + b) = a - b^{2}$ .
Logică: $p \Rightarrow q$ este falsă doar când $p$ este adevărată și $q$ falsă; $\overline{p \land q} \equiv \overline{p} \lor \overline{q}$ ; negarea lui $(\forall)$ dă $(\exists)$ cu predicatul negat.
Polinoame: $f = g \cdot q + r$ , cu $r = 0$ sau $grad r < grad g$ ; restul împărțirii lui $f$ la $X - a$ este $f (a)$ ; teorema lui Bézout: $X - a$ divide $f$ dacă și numai dacă $f (a) = 0$ ; în schema lui Horner intră $grad f + 1$ numere, cu zerouri pe locurile lipsă.
Progresii: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ , $S_{n} = \frac{( a _{1} + a _{n} ) n}{2}$ ; $b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ , $S_{n} = b_{1} \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ pentru $q \neq = 1$ ; o creștere cu $p %$ înseamnă $q = 1 + \frac{p}{100}$ .
Geometrie analitică: $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ ; $M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$ ; $m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ ; două drepte oblice sunt paralele când au aceeași pantă și ordonate la origine diferite; cercul: $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ , iar din forma generală $x^{2} + y^{2} + m x + n y + p = 0$ se citesc $C (- \frac{m}{2}, - \frac{n}{2})$ și $r^{2} = \frac{m ^{2} + n ^{2} - 4 p}{4}$ .
Funcții: vârful parabolei $V (- \frac{b}{2 a}, - \frac{Δ}{4 a})$ , cu $Δ = b^{2} - 4 a c$ ; $E (x)$ cere $E (x) \geq 0$ , iar $3 E (x)$ este definit pe tot $R$ ; $a^{x} = a^{y} ⟺ x = y$ ; $lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b$ , cu $b > 0$ .
Trigonometrie: $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ ; reducerea la primul cadran — $sin (π - x) = sin x$ , $cos (π + x) = - cos x$ , $tg (π + x) = tg x$ ; teorema cosinusului $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ ; teorema sinusurilor $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$ ; aria $S = \frac{b c sin A}{2}$ și formula lui Heron $S = s (s - a) (s - b) (s - c)$ .
Supliment: $u \cdot v = ∥ u ∥ \cdot ∥ v ∥ cos θ$ , iar $u ⊥ v ⟺ u \cdot v = 0$ ; $sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b$ ; $cos 2 b = 2 cos^{2} b - 1$ ; relațiile lui Viète $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ , $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .
Programa și examenul. Evaluarea urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) temele ei se împart între domeniul Algebră (numerele reale, logica, polinoamele, progresiile, funcțiile) și domeniul Geometrie. Trigonometrie (reperul cartezian, dreapta, ecuația cercului, trigonometria și aplicațiile ei în triunghi). Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, unde regăsesc aproape tot ce se verifică aici: la Subiectul I numerele, progresiile, funcțiile, geometria analitică, vectorii și trigonometria, iar la Subiectul al II-lea polinoamele, ca materie de clasa a XII-a. Două teme fac excepție, în sensuri opuse: ecuația cercului apare numai în programa nouă, deci numai la MAT_P2 2030 — de aceea itemul 13 poartă marcajul „MAT_P2 2030"; vectorii, produsul scalar și formulele trigonometrice de adunare apar numai în programa de examen 2014 și lipsesc din anexa 28, deci itemii 11 și 12 sunt de tip Bacalaureat M2, dar nu vor mai fi cerute din 2030.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".