Test: Divizibilitate, Bézout și ecuații polinomiale (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — testele de mate-info, clasa a IX-a → ·

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Polinoame cu coeficienți reali

Exerciții

Partea I – Divizibilitate și teorema lui Bézout

Exercițiul 1 (6 puncte)

Se consideră polinoame cu coeficienți reali. Răspunde scurt, cu justificare de o propoziție (câte 1 punct): a) Dacă $f (- 3) = 0$ , care binom de forma $X - a$ îl divide pe $f$ ? b) Dacă $X - 7$ divide $f$ , ce valoare are $f (7)$ ? c) Ce condiție pune teorema lui Bézout pentru ca $X + 1$ să-l dividă pe $f$ ? d) Poate un polinom de gradul al treilea să aibă patru rădăcini reale distincte? e) Care sunt rădăcinile reale ale polinomului $f = (X - 1) (X + 5) (X - 4)$ ? f) Adevărat sau fals: „restul împărțirii lui $f$ la $X - a$ este zero dacă și numai dacă $a$ este rădăcină a lui $f$ ".

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră polinomul $f = X^{3} - 31 X + 30$ . a) Arată, folosind teorema lui Bézout, că $X - 1$ divide $f$ . (2 p) b) Scrie câtul împărțirii lui $f$ la $X - 1$ . (2 p) c) Descompune $f$ în factori de gradul întâi. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Se consideră polinomul $f = X^{3} + 5 X^{2} + m X - 14$ , cu $m$ număr real, care se divide cu $X + 2$ . a) Determină $m$ . (2 p) b) Scrie câtul împărțirii lui $f$ la $X + 2$ . (2 p) c) Arată că celelalte două rădăcini reale ale lui $f$ nu sunt numere raționale. (2 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Polinomul $f = X^{3} + 2 X^{2} - 25 X - 50$ se divide cu: A. $X - 1$ ; B. $X + 2$ ; C. $X - 3$ ; D. $X + 4$ .

b) Rădăcinile întregi ale polinomului $f = X^{3} + 5 X^{2} - 2 X - 24$ se caută printre divizorii lui: A. $1$ ; B. $5$ ; C. $- 24$ ; D. $- 2$ .

c) Un polinom de gradul al treilea are rădăcinile $1$ , $- 2$ și $5$ . Atunci el este: A. $(X - 1) (X + 2) (X - 5)$ , unic determinat; B. $a (X - 1) (X + 2) (X - 5)$ , cu $a$ real nenul; C. $a (X + 1) (X - 2) (X + 5)$ , cu $a$ real nenul; D. $(X - 1) (X - 2) (X - 5)$ .

d) Numărul soluțiilor reale ale ecuației $(x - 2) (x^{2} + 9) = 0$ este: A. $0$ ; B. $1$ ; C. $2$ ; D. $3$ .

Partea a II-a – Rădăcini reale și descompuneri

Exercițiul 5 (6 puncte)

Se consideră polinomul $f = X^{3} - 7 X^{2} + 4 X + 12$ . a) Scrie lista candidaților la rădăcini întregi. (2 p) b) Găsește o rădăcină întreagă și scrie câtul obținut prin coborârea gradului. (2 p) c) Descompune $f$ în factori de gradul întâi și scrie toate rădăcinile reale. (2 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Se consideră polinomul $f = X^{4} + a X^{3} - 7 X^{2} + b X + 12$ , cu $a$ și $b$ numere reale, care se divide cu $(X - 1) (X + 3)$ . a) Determină $a$ și $b$ . (4 p) b) Descompune $f$ în factori de gradul întâi. (2 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 2 puncte): a) „Dacă $f (3) = 0$ , atunci $X - 3$ divide $f$ ." b) „Orice polinom de gradul al patrulea cu coeficienți reali are cel puțin o rădăcină reală." c) „Dacă $f$ se divide cu $X - 3$ și cu $X + 1$ , atunci $f$ se divide cu $X^{2} - 2 X - 3$ ." d) „Dacă $f$ și $g$ sunt polinoame nenule și $f$ divide $g$ , atunci $grad f \leq grad g$ ."

Exercițiul 8 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră polinomul $f = X^{3} + m X^{2} - 16 X + 12$ , cu $m$ număr real. a) Determină $m$ , știind că $2$ este rădăcină a lui $f$ . (2 p) b) Pentru valoarea găsită a lui $m$ , scrie câtul împărțirii lui $f$ la $X - 2$ . (2 p) c) Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $f (x) = 0$ . (2 p)

Partea a III-a – Ecuații polinomiale și modele

Exercițiul 9 (6 puncte)

Puterea dezvoltată de un motoraș electric, măsurată în wați, depinde de turația $n$ , măsurată în mii de rotații pe minut, după modelul $P (n) = - n^{3} + 2 n^{2} + 15 n$ , valabil pentru $0 \leq n \leq 5$ . a) Calculează puterea la turația $n = 3$ și scrie unitatea de măsură. (2 p) b) Descompune $P (n)$ în factori de gradul întâi. (2 p) c) Determină turațiile la care puterea este nulă și precizează care dintre ele au sens în intervalul declarat. (2 p)

Exercițiul 10 (8 puncte)

Se consideră polinoamele $f = X^{4} + 3 X^{3} - 7 X^{2} - 9 X + 12$ și $g = X^{2} - 3$ . a) Efectuează împărțirea lui $f$ la $g$ și arată că $g$ divide $f$ . (4 p) b) Descompune $f$ cât mai mult în factori și scrie toate rădăcinile reale ale lui $f$ . (2 p) c) Arată că $X - 2$ nu divide $f$ . (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Se consideră ecuația $3 x^{3} + 2 x^{2} - 27 x - 18 = 0$ . a) Grupează termenii și scrie membrul stâng ca produs de doi factori. (3 p) b) Descompune complet și rezolvă ecuația în mulțimea numerelor reale. (3 p) c) Verifică prin calcul direct că $x = - \frac{2}{3}$ este soluție. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Suprafața acoperită de o cultură de mucegai pe un mediu de laborator, măsurată în centimetri pătrați, este descrisă de $A (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 12 t$ , unde $t$ este timpul în zile de la însămânțare, iar modelul este valabil pentru $0 \leq t \leq 10$ . a) Calculează suprafața după $3$ zile și scrie unitatea de măsură. (2 p) b) Arată că ecuația $A (t) = 35$ are soluția $t = 5$ și scrie câtul împărțirii lui $t^{3} - 6 t^{2} + 12 t - 35$ la $t - 5$ . (3 p) c) Arată că $t = 5$ este singurul moment în care suprafața este de $35$ de centimetri pătrați. (3 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră polinomul $f = X^{3} + 4 X^{2} - 15 X - 18$ . a) Calculează $f (3)$ și arată că $X - 3$ divide $f$ . (2 p) b) Scrie câtul împărțirii lui $f$ la $X - 3$ și descompune $f$ în factori de gradul întâi. (3 p) c) Determină numărul real $m$ pentru care polinomul $g = X^{3} + 4 X^{2} - 15 X + m$ îl are pe $1$ ca rădăcină, apoi arată că, pentru această valoare a lui $m$ , polinomul $g$ nu se divide cu $X - 3$ . (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) Binomul este $X + 3$ , adică $X - (- 3)$ : teorema lui Bézout leagă rădăcina $- 3$ de factorul $X - (- 3)$ . b) $f (7) = 0$ — dacă $X - 7$ divide $f$ , restul împărțirii, care este chiar $f (7)$ , este nul. c) Condiția este $f (- 1) = 0$ , pentru că $X + 1 = X - (- 1)$ . d) Nu. Fiecare rădăcină distinctă dă un factor de gradul întâi, iar patru asemenea factori ar da un polinom de grad cel puțin $4$ . e) Rădăcinile sunt $1$ , $- 5$ și $4$ — se anulează pe rând câte un factor. f) Adevărat. Este chiar teorema lui Bézout, scrisă cu restul: restul împărțirii la $X - a$ este $f (a)$ , iar el este zero exact când $f (a) = 0$ .

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) $f (1) = 1 - 31 + 30 = 0$ , deci, după teorema lui Bézout, $X - 1$ divide $f$ . b) (2 p) Cu schema lui Horner, coeficienții sunt $1, 0, - 31, 30$ (termenul în $X^{2}$ lipsește, deci se scrie $0$ ), iar $a = 1$ : $1$ ; $0 + 1 = 1$ ; $- 31 + 1 = - 30$ ; $30 - 30 = 0$ . Câtul este $q = X^{2} + X - 30$ , iar restul $0$ . c) (2 p) Rădăcinile lui $X^{2} + X - 30$ sunt $5$ și $- 6$ , deci $f = (X - 1) (X - 5) (X + 6)$ .

Exercițiul 3. (6 p) a) (2 p) Condiția de divizibilitate cu $X + 2 = X - (- 2)$ este $f (- 2) = 0$ , adică $- 8 + 20 - 2 m - 14 = 0$ , deci $- 2 m = 2$ și $m = - 1$ . b) (2 p) Pentru $m = - 1$ , $f = X^{3} + 5 X^{2} - X - 14$ . Cu schema lui Horner și $a = - 2$ : $1$ ; $5 - 2 = 3$ ; $- 1 - 6 = - 7$ ; $- 14 + 14 = 0$ . Câtul este $q = X^{2} + 3X - 7$ . c) (2 p) Celelalte rădăcini sunt rădăcinile lui $X^{2} + 3 X - 7$ , cu $Δ = 9 + 28 = 37 > 0$ , deci $x_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 37}{2}$ . Cum $37$ nu este pătrat perfect, $37$ este irațional și niciuna dintre rădăcini nu este număr rațional.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) B — $f (- 2) = - 8 + 8 + 50 - 50 = 0$ , deci $X + 2$ divide $f$ . Celelalte dau $f (1) = - 72$ , $f (3) = - 80$ , $f (- 4) = 18$ . b) C — coeficientul dominant este $1$ , deci rădăcinile întregi se caută printre divizorii termenului liber, adică ai lui $- 24$ . c) B — cele trei rădăcini dau factorii $X - 1$ , $X + 2$ și $X - 5$ , dar coeficientul dominant poate fi orice număr real nenul. d) B — din $x - 2 = 0$ se obține $x = 2$ , iar $x^{2} + 9 > 0$ pentru orice număr real $x$ , deci al doilea factor nu se anulează niciodată.

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) Coeficientul dominant este $1$ , iar termenul liber este $12$ , deci candidații sunt divizorii lui $12$ : $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 3$ , $\pm 4$ , $\pm 6$ , $\pm 12$ . b) (2 p) $f (1) = 1 - 7 + 4 + 12 = 10 \neq = 0$ , dar $f (2) = 8 - 28 + 8 + 12 = 0$ , deci $2$ este rădăcină. Cu schema lui Horner și $a = 2$ : $1$ ; $- 7 + 2 = - 5$ ; $4 - 10 = - 6$ ; $12 - 12 = 0$ . Câtul este $q = X^{2} - 5X - 6$ . c) (2 p) $X^{2} - 5 X - 6 = (X - 6) (X + 1)$ , deci $f = (X - 2) (X - 6) (X + 1)$ , iar rădăcinile reale sunt $2$ , $6$ și $- 1$ .

Exercițiul 6. (6 p) a) (4 p) Divizibilitatea cu produsul celor doi factori distincți cere ca amândoi să dividă $f$ , adică $f (1) = 0$ și $f (- 3) = 0$ (1 p). Din $f (1) = 1 + a - 7 + b + 12 = 0$ rezultă $a + b = - 6$ (1 p). Din $f (- 3) = 81 - 27 a - 63 - 3 b + 12 = 0$ rezultă $27 a + 3 b = 30$ , adică $9 a + b = 10$ (1 p). Scăzând prima relație din a doua: $8 a = 16$ , deci $a = 2$ și $b = - 8$ (1 p). b) (2 p) Pentru aceste valori, $f = X^{4} + 2 X^{3} - 7 X^{2} - 8 X + 12$ . Cu schema lui Horner și $a = 1$ se obține câtul $X^{3} + 3 X^{2} - 4 X - 12$ , iar cu $a = - 3$ aplicat acestuia se obține $X^{2} - 4$ . Așadar $f = (X - 1) (X + 3) (X - 2) (X + 2)$ .

Exercițiul 7. (8 p) — câte 2 puncte (1 p răspunsul, 1 p justificarea). a) A. Este exact teorema lui Bézout: $f (3) = 0$ înseamnă că restul împărțirii lui $f$ la $X - 3$ este zero. b) F. Contraexemplu: $f = X^{4} + 1$ . Pentru orice număr real $x$ avem $x^{4} \geq 0$ , deci $x^{4} + 1 \geq 1 > 0$ și polinomul nu se anulează niciodată. c) A. Cele două rădăcini $3$ și $- 1$ sunt distincte, deci $f$ se scrie $f = (X - 3) (X + 1) \cdot h$ , iar $(X - 3) (X + 1) = X^{2} - 2 X - 3$ . d) A. Din $g = f \cdot h$ , cu $h$ nenul, rezultă $grad g = grad f + grad h \geq grad f$ .

Exercițiul 8. (6 p) a) (2 p) Condiția este $f (2) = 0$ , adică $8 + 4 m - 32 + 12 = 0$ , deci $4 m = 12$ și $m = 3$ . b) (2 p) Pentru $m = 3$ , $f = X^{3} + 3 X^{2} - 16 X + 12$ . Cu schema lui Horner și $a = 2$ : $1$ ; $3 + 2 = 5$ ; $- 16 + 10 = - 6$ ; $12 - 12 = 0$ . Câtul este $q = X^{2} + 5X - 6$ . c) (2 p) Ecuația devine $(x - 2) (x^{2} + 5 x - 6) = 0$ , iar $x^{2} + 5 x - 6 = (x - 1) (x + 6)$ . Soluțiile reale sunt $x \in {- 6, 1, 2}$ .

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) $P (3) = - 27 + 18 + 45 = 36$ wați. b) (2 p) $P (n) = - n (n^{2} - 2 n - 15) = - n (n - 5) (n + 3)$ , adică $P (n) = n (5 - n) (n + 3)$ . c) (2 p) Puterea este nulă pentru $n = 0$ , $n = 5$ și $n = - 3$ . În intervalul declarat $0 \leq n \leq 5$ au sens doar $n = 0$ (motorul oprit) și $n = 5$ (turația la care modelul se oprește); valoarea $n = - 3$ nu are sens, fiindcă turația nu poate fi negativă.

Exercițiul 10. (8 p) a) (4 p) $X^{4} : X^{2} = X^{2}$ ; se scade $X^{2} (X^{2} - 3) = X^{4} - 3 X^{2}$ și rămâne $3 X^{3} - 4 X^{2} - 9 X + 12$ (1 p). $3 X^{3} : X^{2} = 3 X$ ; se scade $3 X (X^{2} - 3) = 3 X^{3} - 9 X$ și rămâne $- 4 X^{2} + 12$ (1 p). $- 4 X^{2} : X^{2} = - 4$ ; se scade $- 4 (X^{2} - 3) = - 4 X^{2} + 12$ și rămâne $0$ (1 p). Câtul este $q = X^{2} + 3X - 4$ , iar restul este $0$ , deci $g$ divide $f$ (1 p). b) (2 p) $X^{2} + 3 X - 4 = (X - 1) (X + 4)$ , deci $f = (X^{2} - 3) (X - 1) (X + 4)$ . Rădăcinile reale sunt $1$ , $- 4$ , $3$ și $- 3$ ; ultimele două vin din $X^{2} - 3$ , care nu se descompune cu coeficienți raționali. c) (2 p) $f (2) = 16 + 24 - 28 - 18 + 12 = 6 \neq = 0$ , deci, după teorema lui Bézout, $X - 2$ nu divide $f$ .

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) Se grupează primii doi termeni și ultimii doi: $x^{2} (3 x + 2) - 9 (3 x + 2) = (3 x + 2) (x^{2} - 9)$ . b) (3 p) $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ , deci ecuația devine $(3 x + 2) (x - 3) (x + 3) = 0$ , cu soluțiile $x \in {- \frac{2}{3}, - 3, 3}$ . c) (2 p) $3 \cdot (- \frac{2}{3})^{3} + 2 \cdot (- \frac{2}{3})^{2} - 27 \cdot (- \frac{2}{3}) - 18 = - \frac{8}{9} + \frac{8}{9} + 18 - 18 = 0$ .

Exercițiul 12. (8 p) a) (2 p) $A (3) = 9$ centimetri pătrați, din $27 - 54 + 36$ . b) (3 p) $A (5) = 125 - 150 + 60 = 35$ , deci $t = 5$ este soluție (1 p). Cu schema lui Horner aplicată coeficienților $1, - 6, 12, - 35$ și $a = 5$ : $1$ ; $- 6 + 5 = - 1$ ; $12 - 5 = 7$ ; $- 35 + 35 = 0$ . Câtul este $t^{2} - t + 7$ , iar restul $0$ (2 p). c) (3 p) Ecuația se scrie $(t - 5) (t^{2} - t + 7) = 0$ (1 p). Pentru al doilea factor, $Δ = 1 - 28 = - 27 < 0$ , deci nu are rădăcini reale (1 p). Rămâne singura soluție $t = 5$ , iar ea se află în intervalul de valabilitate $0 \leq t \leq 10$ (1 p).

Exercițiul 13. (8 p) a) (2 p) $f (3) = 27 + 36 - 45 - 18 = 0$ , deci, după teorema lui Bézout, $X - 3$ divide $f$ . b) (3 p) Cu schema lui Horner și $a = 3$ : $1$ ; $4 + 3 = 7$ ; $- 15 + 21 = 6$ ; $- 18 + 18 = 0$ . Câtul este $q = X^{2} + 7X + 6$ , iar $X^{2} + 7 X + 6 = (X + 1) (X + 6)$ , deci $f = (X - 3) (X + 1) (X + 6)$ . c) (3 p) Condiția este $g (1) = 0$ , adică $1 + 4 - 15 + m = 0$ , deci $m = 10$ (2 p). Pentru $m = 10$ , $g (3) = 27 + 36 - 45 + 10 = 28 \neq = 0$ , deci $X - 3$ nu divide $g$ (1 p).

Pentru părinți și profesori

Testul verifică al treilea strat al unității de polinoame: ce se întâmplă când restul este zero. Sunt acoperite trei lecții — Divizibilitatea polinoamelor și teorema lui Bézout (definiția divizibilității, criteriul $f (a) = 0$ , parametrul aflat dintr-o condiție de divizibilitate), Rădăcini reale și ecuații polinomiale (lista candidaților întregi, coborârea gradului, rezolvarea completă în mulțimea numerelor reale) și Polinoame în fizică, chimie și biologie (modele aplicate, cu interval de valabilitate și unitate de măsură). Forma algebrică, gradul, operațiile și funcția polinomială au fost verificate în primul test al unității; teorema împărțirii cu rest și schema lui Horner, în al doilea — aici ele sunt unelte de lucru, nu obiect de evaluare: nu se cere niciun enunț de teoremă despre cât și rest, ci doar folosirea lor corectă.

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator — toate numerele sunt alese astfel încât calculele să se facă în minte sau în scris. La fiecare condiție de divizibilitate se cere scrisă relația folosită ( $f (a) = 0$ ), nu doar rezultatul; la modelele aplicate se cere unitatea de măsură la fiecare răspuns.
Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau cele trei lecții, în special legătura dintre „restul este zero", „ $a$ este rădăcină" și „ $X - a$ este factor".
Formule de reținut: divizibilitatea — spunem că $g$ divide $f$ și scriem $g ∣ f$ dacă există un polinom $h$ cu $f = g \cdot h$ ; teorema lui Bézout — pentru $a$ număr real, $(X - a) ∣ f$ dacă și numai dacă $f (a) = 0$ , adică exact atunci când restul împărțirii lui $f$ la $X - a$ este zero; dacă $f ∣ g$ și ambele sunt nenule, atunci $grad f \leq grad g$ ; rădăcinile întregi ale unui polinom cu coeficienți întregi și coeficient dominant $1$ se caută printre divizorii termenului liber; după ce o rădăcină $a$ a fost găsită, gradul se coboară scriind $f = (X - a) \cdot q$ , cu $q$ obținut prin schema lui Horner; un polinom de gradul $n$ are cel mult $n$ rădăcini reale; o ecuație polinomială se rezolvă aducând membrul stâng la un produs de factori și anulând pe rând fiecare factor.
Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la capitolul de clasa a IX-a, unde programa scrie „divizibilitatea polinoamelor: definiție" și „rădăcini reale ale polinoamelor; teorema lui Bézout". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, unde „divizibilitatea polinoamelor, teorema lui Bézout" și „rădăcini ale polinoamelor" apar la Subiectul al II-lea, ca materie de clasa a XII-a (capitolul „Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp comutativ"). Diferența dintre cele două programe este mediul de lucru: la clasa a IX-a se lucrează numai cu coeficienți reali și se caută numai rădăcini reale.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".