Test: Ecuația cercului și poziții relative (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — testele de mate-info, clasa a IX-a → ·

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Geometrie analitică în plan

Exerciții

Partea I – Ecuația cercului: centru, rază, puncte

Exercițiul 1 (6 puncte)

Se consideră cercul de ecuație $(x + 1)^{2} + (y - 6)^{2} = 49$ . Răspunde scurt, cu justificare de o propoziție (câte 1 punct): a) Care sunt coordonatele centrului? b) Cât este raza? c) Scrie ecuația cercului sub formă generală. d) Cum se află față de cerc punctul $A (6, 6)$ ? e) Cum se află față de cerc punctul $B (2, 3)$ ? f) Câte puncte ale cercului au abscisa $6$ ?

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră ecuația $x^{2} + y^{2} + 10 x - 4 y - 7 = 0$ . a) Adu ecuația la forma canonică, prin formarea pătratelor. (3 p) b) Scrie coordonatele centrului și raza. (2 p) c) Verifică raza cu formula $r^{2} = \frac{m ^{2} + n ^{2} - 4 p}{4}$ . (1 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Rezolvă cele două cerințe: a) Scrie ecuația cercului cu centrul $C (- 3, 5)$ care trece prin punctul $A (1, 2)$ . (3 p) b) Scrie ecuația cercului cu centrul $D (4, - 1)$ , tangent axei $O y$ . (3 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Centrul cercului de ecuație $x^{2} + y^{2} + 6 x - 14 y + 10 = 0$ este: A. $(3, - 7)$ ; B. $(- 3, 7)$ ; C. $(- 6, 14)$ ; D. $(6, - 14)$ .

b) Mulțimea punctelor care verifică ecuația $x^{2} + y^{2} - 2 x + 10 y + 26 = 0$ este: A. un cerc de rază $1$ ; B. un singur punct; C. mulțimea vidă; D. o dreaptă.

c) Raza cercului de ecuație $2 x^{2} + 2 y^{2} - 4 x + 16 y - 22 = 0$ este: A. $27$ ; B. $310$ ; C. $28$ ; D. $14$ .

d) Punctul $M (- 2, 3)$ se află, față de cercul $x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y + 9 = 0$ : A. pe cerc; B. în interior; C. în exterior; D. nu se poate decide.

Partea a II-a – Dreapta și cercul

Exercițiul 5 (6 puncte)

Se consideră cercul $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 25$ și dreapta $d : y = x - 4$ . a) Înlocuiește $y$ în ecuația cercului și adu totul la forma $a x^{2} + b x + c = 0$ . (2 p) b) Calculează discriminantul și precizează poziția dreptei față de cerc. (2 p) c) Determină coordonatele punctelor comune. (2 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Se consideră cercul $(x + 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 100$ . Stabilește poziția fiecărei drepte față de el și, când există, punctele comune: a) dreapta $x = 3$ ; (2 p) b) dreapta $y = - 6$ ; (2 p) c) dreapta $x = - 15$ . (2 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 2 puncte): a) „Dacă discriminantul ecuației obținute prin substituție este negativ, dreapta este tangentă cercului." b) „Printr-un punct situat în interiorul unui cerc nu se poate duce nicio tangentă la acel cerc." c) „Ecuația $x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y + 15 = 0$ are ca mulțime a soluțiilor un cerc." d) „O dreaptă care trece prin centrul cercului este întotdeauna secantă."

Exercițiul 8 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) În reperul cartezian $x O y$ se consideră cercul de ecuație $x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y = 0$ . a) Arată că raza cercului este egală cu $5$ . (2 p) b) Determină coordonatele punctelor în care cercul taie axa $O y$ . (2 p) c) Determină coordonatele punctului cercului diametral opus originii reperului. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Pe discul unei centrifuge de laborator, un tub fixat în punctul $A (- 1, 1)$ se rotește în jurul axului din punctul $C (3, - 2)$ , descriind un cerc. Coordonatele sunt în centimetri. a) Scrie ecuația traiectoriei tubului și precizează raza ei, cu unitatea de măsură. (2 p) b) Pe placa de sub disc sunt fixate două șuruburi, în $P (5, 1)$ și $Q (8, 1)$ . Stabilește, pentru fiecare, dacă se află în interiorul traiectoriei sau în exteriorul ei. (2 p) c) Traiectoria taie dreapta $y = - 2$ , marcată pe placă, în două puncte. Determină distanța dintre ele și explică rezultatul. (2 p)

Partea a III-a – Două cercuri și sinteză

Exercițiul 10 (8 puncte)

Se consideră cercurile $C_{1} : x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y - 20 = 0$ și $C_{2} : (x - 4)^{2} + (y + 7)^{2} = 25$ . a) Scrie centrul și raza fiecărui cerc. (3 p) b) Calculează pătratul distanței dintre centre și precizează poziția relativă a celor două cercuri. (3 p) c) Arată că punctul $T (1, - 3)$ aparține amândurora. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Se consideră cercul $C : (x - 5)^{2} + (y - 3)^{2} = 9$ și punctul $B (- 7, 8)$ . Notăm cu $C^{'}$ cercul de centru $B$ și rază $R > 0$ . a) Determină $R$ astfel încât cele două cercuri să fie tangente exterior. (3 p) b) Determină $R$ astfel încât cele două cercuri să fie tangente interior. (3 p) c) Precizează pentru ce valori ale lui $R$ cercurile sunt secante. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Se consideră cercul $x^{2} + y^{2} = 45$ și punctul $A (3, 6)$ . a) Arată că $A$ aparține cercului și scrie ecuația unei drepte oarecare, neverticală, care trece prin $A$ . (2 p) b) Determină panta pentru care dreapta este tangentă cercului și scrie ecuația tangentei. (4 p) c) Arată că dreapta verticală care trece prin $A$ nu este tangentă cercului. (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) În reperul cartezian $x O y$ se consideră cercul de ecuație $x^{2} + y^{2} - 2 x + 6 y - 15 = 0$ . a) Arată că centrul cercului este $C (1, - 3)$ , iar raza este egală cu $5$ . (2 p) b) Determină numerele reale $a$ pentru care dreapta de ecuație $x = a$ este tangentă cercului. (3 p) c) Stabilește poziția relativă a acestui cerc față de cercul de ecuație $x^{2} + y^{2} - 8 x - 2 y + 8 = 0$ . (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) Centrul este $C (- 1, 6)$ : în paranteze se scad coordonatele centrului, deci $x + 1 = x - (- 1)$ și $y - 6$ . b) $r^{2} = 49$ , deci raza este $7$ (raza este un număr pozitiv). c) Desfacem pătratele: $x^{2} + 2 x + 1 + y^{2} - 12 y + 36 - 49 = 0$ , adică $x^{2} + y^{2} + 2 x - 12 y - 12 = 0$ . d) $(6 + 1)^{2} + (6 - 6)^{2} = 49 + 0 = 49 = r^{2}$ , deci $A$ este pe cerc. e) $(2 + 1)^{2} + (3 - 6)^{2} = 9 + 9 = 18 < 49$ , deci $B$ este în interiorul cercului. f) Unul singur: pentru $x = 6$ rămâne $(y - 6)^{2} = 0$ , cu soluția dublă $y = 6$ — punctul $A$ de la punctul d).

Exercițiul 2. (6 p) a) (3 p) $x^{2} + 10 x = (x + 5)^{2} - 25$ și $y^{2} - 4 y = (y - 2)^{2} - 4$ , deci ecuația devine $(x + 5)^{2} - 25 + (y - 2)^{2} - 4 - 7 = 0$ , adică $(x + 5)^{2} + (y - 2)^{2} = 36$ . b) (2 p) Centrul este $C (- 5, 2)$ , iar raza este $6$ . c) (1 p) Cu $m = 10$ , $n = - 4$ , $p = - 7$ : $r^{2} = \frac{100 + 16 + 28}{4} = \frac{144}{4} = 36$ , deci $r = 6$ — același rezultat.

Exercițiul 3. (6 p) a) (3 p) Raza este distanța de la centru la punct: $r^{2} = (1 + 3)^{2} + (2 - 5)^{2} = 16 + 9 = 25$ (2 p). Ecuația este $(x + 3)^{2} + (y - 5)^{2} = 25$ (1 p). b) (3 p) Tangența la axa $O y$ înseamnă că dreapta $x = 0$ are un singur punct comun cu cercul; înlocuind $x = 0$ în $(x - 4)^{2} + (y + 1)^{2} = r^{2}$ rămâne $(y + 1)^{2} = r^{2} - 16$ , iar soluția este unică doar când $r^{2} = 16$ (2 p). Deci $r = 4$ , egal cu distanța de la centru la axă, iar ecuația este $(x - 4)^{2} + (y + 1)^{2} = 16$ (1 p).

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) B — $m = 6$ și $n = - 14$ dau centrul $(- \frac{6}{2}, \frac{14}{2}) = (- 3, 7)$ . b) B — $m^{2} + n^{2} - 4 p = 4 + 100 - 104 = 0$ , deci ecuația se scrie $(x - 1)^{2} + (y + 5)^{2} = 0$ și are o singură soluție, punctul $(1, - 5)$ . c) A — se împarte întâi toată ecuația prin $2$ : $x^{2} + y^{2} - 2 x + 8 y - 11 = 0$ , de unde $r^{2} = \frac{4 + 64 + 44}{4} = 28$ și $r = 27$ . (Fără împărțire ar ieși $90 = 310$ — varianta B, greșeala clasică.) d) B — centrul cercului este $(- 2, 3)$ , adică chiar punctul $M$ , iar $r^{2} = \frac{16 + 36 - 36}{4} = 4 > 0$ ; centrul se află în interiorul discului.

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) Înlocuind $y = x - 4$ : $(x - 2)^{2} + (x - 4 + 1)^{2} = 25$ , adică $(x - 2)^{2} + (x - 3)^{2} = 25$ și, după desfacere, $2 x^{2} - 10 x - 12 = 0$ (echivalent cu $x^{2} - 5 x - 6 = 0$ ). b) (2 p) $Δ = 100 + 96 = 196 > 0$ (pe forma simplificată, $Δ = 25 + 24 = 49 > 0$ — același semn), deci ecuația are două soluții reale distincte și dreapta este secantă. c) (2 p) Din $x^{2} - 5 x - 6 = 0$ rezultă $x = 6$ și $x = - 1$ ; ordonatele se iau din ecuația dreptei: $y = 2$ , respectiv $y = - 5$ . Punctele comune sunt $(6, 2)$ și $(- 1, - 5)$ . Control: $16 + 9 = 25$ și $9 + 16 = 25$ .

Exercițiul 6. (6 p) a) (2 p) Pentru $x = 3$ : $(3 + 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 100$ , adică $(y - 4)^{2} = 100 - 36 = 64$ și $y - 4 = \pm 8$ , deci $y \in {12, - 4}$ . Dreapta este secantă, iar punctele comune sunt $(3, 12)$ și $(3, - 4)$ . b) (2 p) Pentru $y = - 6$ : $(x + 3)^{2} + 100 = 100$ , adică $(x + 3)^{2} = 0$ , cu soluția dublă $x = - 3$ . Dreapta este tangentă, în punctul $(- 3, - 6)$ — este tangenta orizontală de jos a cercului, dusă în capătul de jos al diametrului vertical. c) (2 p) Pentru $x = - 15$ : $(- 15 + 3)^{2} = 144$ , deci $(y - 4)^{2} = 100 - 144 = - 44 < 0$ , imposibil. Dreapta este exterioară.

Exercițiul 7. (8 p) — câte 2 puncte (1 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F. Discriminantul negativ înseamnă că ecuația nu are soluții reale, deci dreapta nu are niciun punct comun cu cercul: este exterioară. Tangenta corespunde lui $Δ = 0$ . b) A. Orice dreaptă prin acel punct are cu cercul două puncte comune, pentru că trece dintr-o parte în alta a lui; nu poate rămâne una singură, deci nu există tangentă. c) F. $m^{2} + n^{2} - 4 p = 36 + 4 - 60 = - 20 < 0$ , iar $(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = - 5$ nu poate fi verificată de niciun punct: mulțimea soluțiilor este vidă. d) A. Centrul este în interiorul cercului, deci orice dreaptă prin el intră și iese din cerc; prin calcul, substituția dă mereu $Δ > 0$ .

Exercițiul 8. (6 p) a) (2 p) Cu $m = - 6$ , $n = 8$ , $p = 0$ : $r^{2} = \frac{36 + 64 - 0}{4} = \frac{100}{4} = 25$ , deci $r = 5$ . (Prin formarea pătratelor: $(x - 3)^{2} + (y + 4)^{2} = 25$ , cu centrul $C (3, - 4)$ .) b) (2 p) Punem $x = 0$ : $y^{2} + 8 y = 0$ , adică $y (y + 8) = 0$ , deci $y = 0$ sau $y = - 8$ . Punctele sunt $(0, 0)$ și $(0, - 8)$ . c) (2 p) Originea aparține cercului, iar centrul $C (3, - 4)$ este mijlocul diametrului; din $\frac{0 + x}{2} = 3$ și $\frac{0 + y}{2} = - 4$ rezultă punctul $(6, - 8)$ . Control: $36 + 64 - 36 - 64 = 0$ .

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) Raza este distanța $C A$ : $r^{2} = (- 1 - 3)^{2} + (1 + 2)^{2} = 16 + 9 = 25$ , deci $r = 5$ cm. Ecuația traiectoriei este $(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$ . b) (2 p) Pentru $P (5, 1)$ : $(5 - 3)^{2} + (1 + 2)^{2} = 4 + 9 = 13 < 25$ , deci șurubul se află în interiorul traiectoriei și tubul nu trece niciodată pe deasupra lui. Pentru $Q (8, 1)$ : $(8 - 3)^{2} + (1 + 2)^{2} = 25 + 9 = 34 > 25$ , deci al doilea șurub este în exteriorul traiectoriei. c) (2 p) Pentru $y = - 2$ rămâne $(x - 3)^{2} = 25$ , deci $x = 8$ sau $x = - 2$ ; punctele sunt $(8, - 2)$ și $(- 2, - 2)$ , iar distanța dintre ele este $10$ cm. Rezultatul era de așteptat: dreapta trece prin axul de rotație, deci taie traiectoria după un diametru, adică $2 r = 10$ cm.

Exercițiul 10. (8 p) a) (3 p) Pentru $C_{1}$ : $m = 4$ , $n = - 2$ , $p = - 20$ , deci centrul este $C_{1} (- 2, 1)$ și $r^{2} = \frac{16 + 4 + 80}{4} = 25$ , adică $R_{1} = 5$ (2 p). Pentru $C_{2}$ , citim direct centrul $C_{2} (4, - 7)$ și $R_{2} = 5$ (1 p). b) (3 p) $d^{2} = (4 + 2)^{2} + (- 7 - 1)^{2} = 36 + 64 = 100$ , deci $d = 10$ (2 p). Cum $R_{1} + R_{2} = 10 = d$ , cercurile sunt tangente exterior (1 p). c) (2 p) În $C_{1}$ : $1 + 9 + 4 \cdot 1 - 2 \cdot (- 3) - 20 = 1 + 9 + 4 + 6 - 20 = 0$ . În $C_{2}$ : $(1 - 4)^{2} + (- 3 + 7)^{2} = 9 + 16 = 25$ . Deci $T$ este chiar punctul lor de tangență.

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) Centrul lui $C$ este $(5, 3)$ , cu raza $3$ , iar $d^{2} = (- 7 - 5)^{2} + (8 - 3)^{2} = 144 + 25 = 169$ , deci $d = 13$ (2 p). Tangența exterioară cere $d = 3 + R$ , deci $R = 10$ (1 p). b) (3 p) Tangența interioară cere $d = ∣ R - 3 ∣$ , adică $∣ R - 3 ∣ = 13$ (2 p). Rezultă $R = 16$ sau $R = - 10$ ; a doua valoare se aruncă, fiindcă raza este pozitivă, deci $R = 16$ (1 p). c) (2 p) Cercurile sunt secante când $∣ R - 3 ∣ < 13 < R + 3$ , adică $R > 10$ și $R < 16$ : $R \in (10, 16)$ .

Exercițiul 12. (8 p) a) (2 p) $3^{2} + 6^{2} = 9 + 36 = 45$ , deci $A$ aparține cercului (1 p). O dreaptă neverticală prin $A$ are ecuația $y - 6 = k (x - 3)$ , adică $y = k x - 3 k + 6$ (1 p). b) (4 p) Înlocuim în ecuația cercului: $x^{2} + (k x - 3 k + 6)^{2} = 45$ , adică $(1 + k^{2}) x^{2} + 2 k (6 - 3 k) x + (6 - 3 k)^{2} - 45 = 0$ (1 p). Discriminantul este $Δ = 4 k^{2} (6 - 3 k)^{2} - 4 (1 + k^{2}) [(6 - 3 k)^{2} - 45] = 4 [45 + 45 k^{2} - (6 - 3 k)^{2}] = 36 (2 k + 1)^{2}$ (2 p). Tangența cere $Δ = 0$ , deci $k = - \frac{1}{2}$ , iar tangenta este $y - 6 = - \frac{1}{2} (x - 3)$ , adică $x + 2 y - 15 = 0$ (1 p). Control: panta razei $O A$ este $2$ , iar $2 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 1$ , deci tangenta este perpendiculară pe rază. c) (2 p) Dreapta verticală prin $A$ este $x = 3$ ; înlocuind, $9 + y^{2} = 45$ , deci $y^{2} = 36$ și $y \in {6, - 6}$ . Are două puncte comune cu cercul, deci este secantă, nu tangentă — prin urmare tangenta găsită la b) este singura.

Exercițiul 13. (8 p) a) (2 p) Cu $m = - 2$ , $n = 6$ , $p = - 15$ : centrul este $C (1, - 3)$ , iar $r^{2} = \frac{4 + 36 + 60}{4} = \frac{100}{4} = 25$ , deci raza este $5$ . b) (3 p) Înlocuind $x = a$ în $(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 25$ rămâne $(y + 3)^{2} = 25 - (a - 1)^{2}$ (1 p). Dreapta este tangentă când ecuația are soluție unică, adică $(a - 1)^{2} = 25$ (1 p), deci $a - 1 = 5$ sau $a - 1 = - 5$ : $a = 6$ sau $a = - 4$ (1 p). c) (3 p) Al doilea cerc are centrul $C_{2} (4, 1)$ și $r^{2} = \frac{64 + 4 - 32}{4} = 9$ , deci raza $3$ (1 p). Distanța dintre centre are $d^{2} = (4 - 1)^{2} + (1 + 3)^{2} = 9 + 16 = 25$ , deci $d = 5$ (1 p). Cum $(5 - 3)^{2} = 4 < 25 < 64 = (5 + 3)^{2}$ , rezultă $∣ R_{1} - R_{2} ∣ < d < R_{1} + R_{2}$ , deci cele două cercuri sunt secante (1 p).

Pentru părinți și profesori

Testul verifică partea de cerc a unității de geometrie analitică: ecuația cercului în formă canonică și în formă generală, trecerea dintr-o formă în alta prin formarea pătratelor, poziția unui punct față de cerc, poziția unei drepte față de cerc (prin substituție și semnul discriminantului) și pozițiile relative a două cercuri, decise de distanța dintre centre. Sunt acoperite trei lecții — Ecuația cercului, Dreapta și cercul: poziții relative și Două cercuri: poziții relative. Reperul cartezian, distanța dintre două puncte, mijlocul unui segment, panta și ecuațiile dreptei au fost verificate în testul anterior al unității; aici ele se folosesc doar ca unelte, nu se mai evaluează ca atare. Formula distanței de la un punct la o dreaptă nu intră în programa clasei, așa că nicio cerință nu o presupune.

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator — toate numerele sunt alese astfel încât calculele să se facă în minte sau în scris. Un desen făcut de mână ajută, dar nu ține loc de calcul: verdictul se dă pe cifre. La final se compară rezolvările cu Baremul și răspunsurile.
Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau cele trei lecții, în special formarea pătratelor și citirea semnului discriminantului.
Formule de reținut: forma canonică a cercului de centru $C (a, b)$ și rază $r > 0$ este $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ ; forma generală este $x^{2} + y^{2} + m x + n y + p = 0$ , cu centrul $C (- \frac{m}{2}, - \frac{n}{2})$ și $r^{2} = \frac{m ^{2} + n ^{2} - 4 p}{4}$ — figura este cerc doar când acest număr este strict pozitiv, este un singur punct când este nul și nu există niciun punct când este negativ. Un punct este pe cerc, în interior sau în exterior după cum $(x - a)^{2} + (y - b)^{2}$ este egal, mai mic sau mai mare decât $r^{2}$ . Dreapta și cercul: se înlocuiește $y$ din ecuația dreptei în ecuația cercului și se numără soluțiile reale — $Δ > 0$ dă secantă, $Δ = 0$ dă tangentă, $Δ < 0$ dă dreaptă exterioară; la o dreaptă verticală $x = x_{0}$ se înlocuiește direct $x_{0}$ . Două cercuri, cu razele $R_{1}$ , $R_{2}$ și distanța dintre centre $d$ : exterioare când $d > R_{1} + R_{2}$ , tangente exterior când $d = R_{1} + R_{2}$ , secante când $∣ R_{1} - R_{2} ∣ < d < R_{1} + R_{2}$ , tangente interior când $d = ∣ R_{1} - R_{2} ∣$ (cu raze diferite), interioare când $d < ∣ R_{1} - R_{2} ∣$ .
Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Geometrie. Trigonometrie, la capitolul de clasa a IX-a, unde programa scrie „Ecuația cercului", iar pozițiile relative ale dreptelor și ale cercurilor sunt cerute de competența IX.CS.5.5. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, unde tema nu apare deloc: programa de examen din 2014 conține geometria analitică a dreptei, dar nu și cercul. De aceea cerințele scrise aici în forma scurtă a probei de examen sunt marcate „MAT_P2 2030" — pentru proba aceea nu există încă model oficial, așa că forma lor este împrumutată de la cerințele de geometrie analitică ale probei de azi.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".