Test: Funcții: lecturi grafice și proprietăți (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Funcții — observarea proprietăților prin lecturi grafice

Exerciții

Partea I – Funcția afină și lectura graficului

Exercițiul 1 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-3x+12$. Răspunde scurt, cu justificare de o propoziție (câte 1 punct): a) Cât este $f(0)$? b) Cât este $f(-2)$? c) Care este soluția ecuației $f(x)=0$? d) Este $f$ crescătoare sau descrescătoare? e) În ce punct taie graficul axa $Oy$? f) Ce semn are $f(x)$ pentru $x>4$?

Exercițiul 2 (6 puncte)

Figura de mai jos arată graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+4x-12$.

a) Scrie coordonatele vârfului și ecuația axei de simetrie. (2 p) b) Scrie coordonatele punctelor în care graficul taie axele. (2 p) c) Scrie mulțimea valorilor funcției și intervalul pe care ea este crescătoare. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Două probe sunt încălzite în același timp. Temperatura lor, în grade Celsius, după $x$ minute, este dată de funcțiile afine $u(x)=3x+18$ și $v(x)=5x+4$, modelul fiind valabil în primele $20$ de minute. a) Determină minutul în care cele două probe au aceeași temperatură și coordonatele punctului comun al celor două grafice. (2 p) b) Rezolvă inecuația $u(x)>v(x)$ pe intervalul de valabilitate și spune ce înseamnă rezultatul pe grafic. (2 p) c) Determină minutul în care prima probă ajunge la $48$ °C și precizează care este rata de încălzire a fiecărei probe, cu unitatea de măsură. (2 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Domeniul maxim de definiție al funcției $h(x)=\sqrt{5-2x}$ este: A. $\left[\frac{5}{2},+\infty \right)$; B. $\left(-\infty ,\frac{5}{2}\right]$; C. $\mathbb{R}$; D. $\left[-\frac{5}{2},+\infty \right)$.

b) Valoarea lui ${\log }_{3}81$ este: A. $3$; B. $4$; C. $27$; D. $9$.

c) Pentru $h:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $h(x)=x^{-5}$, valoarea $h(-2)$ este: A. $\frac{1}{32}$; B. $-32$; C. $-\frac{1}{32}$; D. $-10$.

d) Pentru funcția $h:\mathbb{R}\setminus \{-4\}\to \mathbb{R}$, $h(x)=\frac{5x-2}{x+4}$, se cunosc valorile $h(96)=4,78$, $h(996)=4,978$ și $h(-1004)=5,022$. Graficul funcției are asimptota orizontală de ecuație: A. $y=5$; B. $y=-4$; C. $y=-\frac{1}{2}$; D. $y=0$.

Partea a II-a – Gradul al doilea, operații cu funcții, aplicații

Exercițiul 5 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x^2+8x-7$. a) Scrie forma canonică a expresiei. (2 p) b) Precizează valoarea extremă și punctul în care se atinge. (2 p) c) Determină intervalele pe care $f(x)>0$ și pe care $f(x)<0$. (2 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Se consideră funcțiile afine $u,v:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $u(x)=x-5$ și $v(x)=2x+3$. a) Scrie expresia funcției $w=u\cdot v$ sub forma unui trinom și precizează zerourile ei. (2 p) b) Stabilește semnul lui $w$, folosind semnele celor doi factori. (2 p) c) Determină domeniul maxim al funcției $t(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$. Știind că $t(998,5)=0,49675$ și $t(-1001,5)=0,50325$, scrie ecuația asimptotei orizontale a graficului. (2 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 2 puncte): a) „Funcția $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=(0,7{)}^x$, este strict descrescătoare." b) „Domeniul maxim de definiție al funcției $f(x)=\sqrt[3]{x-4}$ este $[4,+\infty )$." c) „Numărul $e$, baza logaritmului natural, este un număr rațional, egal cu $2,72$." d) „Pentru orice bază $a>1$, funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)={\log }_{a}x$, este strict crescătoare, iar graficul ei taie axa $Ox$ în punctul $(1,0)$."

Exercițiul 8 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-3x-10$. a) Calculează $f(0)+f(3)$. (2 p) b) Determină coordonatele punctelor în care graficul funcției taie axa $Ox$. (2 p) c) Arată că $f(x)\ge -\frac{49}{4}$ pentru orice număr real $x$. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Aciditatea unei soluții se măsoară cu $\mathrm{pH}=-\lg c$, unde $c$ este concentrația ionilor de hidrogen, exprimată în moli pe litru. O soluție are $c=10^{-5}$ moli pe litru. a) Calculează pH-ul soluției și spune dacă ea este acidă sau bazică (apa pură are pH-ul $7$). (2 p) b) O a doua soluție are pH-ul egal cu $8$. Determină concentrația ei. (2 p) c) De câte ori este concentrația primei soluții mai mare decât a celei de-a doua? Explică de ce o scădere cu o unitate a pH-ului înseamnă înmulțirea concentrației cu $10$. (2 p)

Partea a III-a – Modele din științe și sinteză

Exercițiul 10 (8 puncte)

Într-un experiment de cinetică chimică, viteza de reacție $v$, măsurată în milimoli pe litru și pe minut, depinde de temperatura $t$, măsurată în grade Celsius, după modelul $$v(t)=-0,02t^2+1,6t-14,20\le t\le 60.$$ a) Determină temperatura la care viteza este maximă și valoarea maximă, cu unitățile de măsură. (3 p) b) Arată că pe tot intervalul dat viteza rămâne strict pozitivă. (3 p) c) Precizează intervalele de monotonie ale vitezei pe $[20,60]$. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Numărul de celule dintr-o cultură de drojdie este dat de $N(t)=250\cdot 3^t$, unde $t$ este timpul măsurat în ore de la începutul experimentului. a) Calculează $N(0)$ și $N(2)$ și precizează de câte ori crește numărul de celule în primele două ore. (3 p) b) Determină momentul în care cultura ajunge la $20250$ de celule. (3 p) c) Scrie, folosind logaritmi, timpul după care numărul de celule se dublează și încadrează-l între două numere întregi consecutive. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Rezolvă cerințele: a) Determină domeniul maxim de definiție al funcției $f(x)=\sqrt{-x^2+8x-7}$. Poți folosi semnul stabilit la itemul 5. (3 p) b) Se consideră funcția $g:[-3,18]\to \mathbb{R}$, $g(x)=\sqrt{x+7}$. Precizează monotonia funcției și determină mulțimea ei de valori. (3 p) c) Compară numerele $\sqrt[3]{-216}$ și $\sqrt[3]{-343}$, fără calculator, și spune pe ce proprietate te-ai sprijinit. (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x+1$ și $g(x)=2x-7$. a) Calculează $f(1)-g(1)$. (2 p) b) Determină coordonatele punctelor de intersecție a graficelor celor două funcții. (3 p) c) Determină numerele reale $m$ pentru care ecuația $f(x)=m$ are exact două soluții reale distincte. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) $f(0)=12$ — termenul liber este chiar valoarea în zero. b) $f(-2)=6+12=18$. c) $-3x+12=0$ dă $x=4$. d) Strict descrescătoare, fiindcă panta $a=-3$ este negativă. e) În punctul $(0,12)$, adică $(0,b)$. f) Negativ: zeroul este $4$, iar la o funcție cu panta negativă valorile de după zerou sunt negative. Control: $f(5)=-3$.

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) $x_V=-\frac{4}{2}=-2$ și $y_V=4-8-12=-16$, deci vârful este $V(-2,-16)$, iar axa de simetrie are ecuația $x=-2$. b) (2 p) Cu axa $Ox$: $x^2+4x-12=(x+6)(x-2)=0$, deci $x\in \{-6,2\}$ și tăieturile sunt $(-6,0)$ și $(2,0)$; pe figură, ele sunt la egală distanță de axa $x=-2$. Cu axa $Oy$: $(0,-12)$. c) (2 p) Ramurile sunt în sus ($a=1>0$), deci mulțimea valorilor este $[-16,+\infty )$, iar funcția este crescătoare pe $[-2,+\infty )$.

Exercițiul 3. (6 p) a) (2 p) $3x+18=5x+4$ dă $2x=14$, deci $x=7$ minute; temperatura comună este $u(7)=39$, iar punctul comun al graficelor este $(7,39)$. b) (2 p) $3x+18>5x+4⟺14>2x⟺x<7$, deci, pe intervalul de valabilitate, $x\in [0,7)$. Pe grafic: până la minutul al șaptelea, dreapta lui $u$ este deasupra dreptei lui $v$ — prima probă este mai caldă, pentru că a pornit de la o temperatură mai mare. c) (2 p) $3x+18=48$ dă $3x=30$, deci $x=10$ minute (valoare aflată în intervalul de valabilitate). Ratele de încălzire sunt pantele: $3$ °C pe minut pentru prima probă și $5$ °C pe minut pentru a doua.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) B — condiția este $5-2x\ge 0$, adică $x\le \frac{5}{2}$. b) B — ${\log }_{3}81=4$, fiindcă $3^4=81$. c) C — exponentul negativ înseamnă inversul puterii: $(-2{)}^{-5}=\frac{1}{(-2{)}^5}=-\frac{1}{32}$. Exponentul fiind impar, funcția este impară, deci valorile ei sunt negative pentru argumente negative. d) A — valorile din tabel, $4,78$, $4,978$ și $5,022$, se strâng în jurul lui $5$ când $|x|$ crește, de o parte și de alta, deci asimptota orizontală este $y=5$. (Valoarea $-4$ anulează numitorul și dă asimptota verticală, nu pe cea orizontală.)

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) $-x^2+8x-7=-(x^2-8x)-7=-\left[(x-4{)}^2-16\right]-7=-(x-4{)}^2+9$. b) (2 p) Coeficientul dominant este negativ, deci funcția are un maxim, egal cu $9$, atins în $x=4$. c) (2 p) Zerourile sunt $1$ și $7$ (din $x^2-8x+7=0$). Ramurile sunt în jos, deci $f(x)>0$ pe $(1,7)$ și $f(x)<0$ pe $(-\infty ,1)\cup (7,+\infty )$.

Exercițiul 6. (6 p) a) (2 p) $w(x)=(x-5)(2x+3)=2x^2+3x-10x-15=2x^2-7x-15$; zerourile sunt $5$ și $-\frac{3}{2}$, adică zerourile celor doi factori. b) (2 p) Produsul este negativ când factorii au semne diferite, adică pe $\left(-\frac{3}{2},5\right)$, și pozitiv pe $\left(-\infty ,-\frac{3}{2}\right)\cup (5,+\infty )$. Control: $w(0)=-15<0$. c) (2 p) Se cere $2x+3\ne 0$, deci domeniul este $\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{3}{2}\right\}$ (1 p); valorile date, $0,49675$ și $0,50325$, se apropie de $0,5$ din ambele părți, deci asimptota orizontală are ecuația $y=\frac{1}{2}$ (1 p).

Exercițiul 7. (8 p) — câte 2 puncte (1 p răspunsul, 1 p justificarea). a) A. Baza $0,7$ este cuprinsă între $0$ și $1$, iar pentru o astfel de bază funcția exponențială este strict descrescătoare. b) F. Radicalul de ordinul al treilea este definit pentru orice număr real, inclusiv negativ, deci domeniul este $\mathbb{R}$. De exemplu $\sqrt[3]{-8}=-2$. c) F. Numărul $e$ este irațional: $e=2,718281828\dots$, deci se scrie doar aproximativ, cu semnul $\approx$, și nu este egal cu $2,72$ (nici cu vreo altă fracție de numere întregi). d) A. Pentru $a>1$ funcția logaritmică este strict crescătoare: unei valori mai mari a argumentului îi corespunde un exponent mai mare. Iar ${\log }_{a}1=0$ pentru orice bază, fiindcă $a^0=1$, deci graficul trece prin $(1,0)$.

Exercițiul 8. (6 p) a) (2 p) $f(0)=-10$ și $f(3)=9-9-10=-10$, deci $f(0)+f(3)=-20$. b) (2 p) $x^2-3x-10=(x-5)(x+2)=0$, deci $x=5$ sau $x=-2$; punctele sunt $(5,0)$ și $(-2,0)$. c) (2 p) Forma canonică: $f(x)={\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2-\frac{9}{4}-10={\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2-\frac{49}{4}$. Cum pătratul este mereu mai mare sau egal cu $0$, rezultă $f(x)\ge -\frac{49}{4}$, cu egalitate pentru $x=\frac{3}{2}$.

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) $\mathrm{pH}=-\lg 10^{-5}=5$ (pH-ul este un număr fără unitate de măsură). Fiind mai mic decât $7$, soluția este acidă. b) (2 p) Din $-\lg c=8$ rezultă $\lg c=-8$, deci $c=10^{-8}$ moli pe litru. c) (2 p) $\frac{10^{-5}}{10^{-8}}=10^3=1000$, deci prima soluție este de $1000$ de ori mai concentrată. O scădere cu o unitate a pH-ului înseamnă creșterea cu $1$ a exponentului lui $c$, adică înmulțirea concentrației cu $10$ — asta face o scară logaritmică: pași egali pe scară, înmulțiri egale în realitate.

Exercițiul 10. (8 p) a) (3 p) $t_V=-\frac{1,6}{2\cdot (-0,02)}=\frac{1,6}{0,04}=40$ (2 p), iar $v(40)=-0,02\cdot 1600+64-14=-32+50=18$. Viteza maximă este de $18$ milimoli pe litru și pe minut, la temperatura de $40$ °C (1 p). b) (3 p) Rezolvăm $-0,02t^2+1,6t-14=0$; înmulțind cu $-50$ obținem $t^2-80t+700=(t-10)(t-70)=0$, deci $t\in \{10,70\}$ (2 p). Ramurile fiind în jos, $v(t)>0$ exact pe $(10,70)$, iar intervalul $[20,60]$ este cuprins în el, deci viteza rămâne strict pozitivă — cum și trebuie, pentru că o viteză de reacție nu poate fi negativă. Control la capete: $v(20)=v(60)=10$ milimoli pe litru și pe minut (1 p). Se acceptă, notată la fel, și lectura grafică: vârful $t=40$ este în interval și ramurile sunt în jos, deci pe $[20,60]$ cea mai mică valoare este la capete, unde $v(20)=v(60)=10>0$. c) (2 p) Vârful fiind în $t=40$ și ramurile în jos, viteza este crescătoare pe $[20,40]$ și descrescătoare pe $[40,60]$.

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) $N(0)=250\cdot 3^0=250$ de celule și $N(2)=250\cdot 9=2250$ de celule (2 p); raportul este $\frac{2250}{250}=9$, deci numărul crește de $9$ ori (1 p). b) (3 p) $250\cdot 3^t=20250$ dă $3^t=81$ (2 p). Cum $81=3^4$, exponentul căutat este, prin definiția logaritmului, $4$: cultura ajunge la $20250$ de celule după $t=4$ ore (1 p). c) (2 p) Dublarea cere $250\cdot 3^t=500$, adică $3^t=2$, deci $t={\log }_{3}2$ ore (1 p). Cum $3^0=1<2<3=3^1$, rezultă $0<{\log }_{3}2<1$: numărul de celule se dublează în mai puțin de o oră (1 p).

Exercițiul 12. (8 p) a) (3 p) Condiția de existență este $-x^2+8x-7\ge 0$ (1 p). Expresia este chiar $f$ de la itemul 5, cu zerourile $1$ și $7$ și ramurile în jos, deci este pozitivă între zerouri și nulă în ele (1 p). Domeniul este $[1,7]$, cu ambele capete incluse (1 p). b) (3 p) Funcția radical păstrează ordinea, deci $g$ este strict crescătoare pe $[-3,18]$ (1 p). Valorile la capete sunt $g(-3)=\sqrt{4}=2$ și $g(18)=\sqrt{25}=5$ (1 p), deci mulțimea valorilor este $[2,5]$ (1 p). c) (2 p) $\sqrt[3]{-216}=-6$ și $\sqrt[3]{-343}=-7$, deci $\sqrt[3]{-216}>\sqrt[3]{-343}$. Se putea răspunde și fără să calculăm: funcția radical de ordinul al treilea este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, iar $-216>-343$.

Exercițiul 13. (8 p) a) (2 p) $f(1)=1-4+1=-2$ și $g(1)=-5$, deci $f(1)-g(1)=-2+5=3$. b) (3 p) $x^2-4x+1=2x-7$ dă $x^2-6x+8=(x-2)(x-4)=0$, deci $x\in \{2,4\}$ (2 p). Ordonatele se iau din $g$: $g(2)=-3$ și $g(4)=1$, deci punctele sunt $(2,-3)$ și $(4,1)$ (1 p). Control în $f$: $f(2)=-3$ și $f(4)=1$. c) (3 p) $f(x)=(x-2{)}^2-3$, deci graficul este o parabolă cu ramurile în sus și vârful $V(2,-3)$ (1 p). Dreapta orizontală $y=m$ taie parabola în două puncte exact când este deasupra vârfului (1 p), adică pentru $m>-3$; pentru $m=-3$ soluția este unică, iar pentru $m<-3$ nu există soluții reale (1 p).

Pentru părinți și profesori

Testul acoperă toată unitatea de funcții, așa cum o cere programa de științe: noțiunea de funcție și lectura graficului, funcția afină (monotonie, semn, tăieturi cu axele), ecuații și inecuații rezolvate grafic, funcția de gradul al doilea (vârf, axă de simetrie, tăieturi, extrem, mulțimea valorilor, semn), funcții obținute prin înmulțire și prin împărțire, comportamentul asimptotic, funcția putere cu exponent întreg, funcțiile radical de ordinul al doilea și al treilea cu domeniile lor, funcția exponențială și creșterea exponențială, logaritmul, funcția logaritmică și scările logaritmice. Accentul cade pe citirea proprietăților, nu pe tratarea analitică: la științe ale naturii monotonia, semnul și extremul se justifică pe grafic sau prin forma canonică, nu prin studiul diferenței $f(x_1)-f(x_2)$. Ecuațiile exponențiale și logaritmice propriu-zise sunt materie de clasa a X-a: aici se cer doar valori citite direct din definiția logaritmului. Tratarea analitică a funcției de gradul al doilea (formula rădăcinilor, relațiile lui Viète) aparține unităților de supliment și se verifică acolo.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator — toate numerele sunt alese astfel încât calculele să se facă în minte sau în scris. Acolo unde se cere un grafic, se acceptă o schiță cu tăieturile și vârful marcate. La final se compară rezolvările cu Baremul și răspunsurile.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau lecțiile unității, în special vârful parabolei, condițiile de existență ale radicalului și definiția logaritmului.
• Formule de reținut: funcția afină $f(x)=ax+b$ este strict crescătoare când $a>0$ și strict descrescătoare când $a<0$, iar zeroul ei este $x=-\frac{b}{a}$; graficul taie axa $Oy$ în $(0,b)$. Pentru $f(x)=a{x}^2+bx+c$, cu $a\ne 0$, vârful are abscisa $x_V=-\frac{b}{2a}$ și ordonata $y_V=f(x_V)$, adică valoarea funcției în această abscisă, axa de simetrie este $x=-\frac{b}{2a}$, forma canonică este $f(x)=a(x-x_V{)}^2+y_V$, iar mulțimea valorilor este $[y_V,+\infty )$ când $a>0$ și $(-\infty ,y_V]$ când $a<0$. Radicalul de ordinul al doilea cere expresia de sub el mai mare sau egală cu zero, cel de ordinul al treilea este definit pe tot $\mathbb{R}$. Exponențiala $f(x)=a^x$ ia numai valori strict pozitive și este crescătoare pentru $a>1$, descrescătoare pentru $0<a<1$. Logaritmul se definește prin ${\log }_{a}x=y⟺a^y=x$, cu $a>0$, $a\ne 1$ și $x>0$; $\lg$ este logaritmul în baza $10$, iar $\ln$ cel în baza $e$. Asimptota orizontală a unui cât se citește pe grafic sau dintr-un tabel de valori pentru $|x|$ mare: este nivelul spre care se strâng valorile.
• Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la capitolul de clasa a IX-a numit chiar „Funcții — observarea unor proprietăți ale funcțiilor utilizând lecturi grafice". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, unde funcțiile apar la Subiectul I, ca cerințe scurte cu răspuns numeric: programa de examen din 2014 are capitolul „Funcții; lecturi grafice", funcția de gradul I și funcția de gradul al II-lea la clasa a IX-a, iar funcțiile putere, radical, exponențială și logaritmică la clasa a X-a. Deosebirea stă în adâncime, nu în listă: la M2 se cere citirea proprietăților, nu demonstrarea lor.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".