Test: Funcții: monotonie, simetrie și periodicitate (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Funcții

Exerciții

Partea I – Lecturi grafice: monotonie, mărginire, semn

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-7x+4$, este: A. strict crescătoare; B. strict descrescătoare; C. constantă; D. pară.

b) Imaginea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^2-4x+3$ este: A. $\mathbb{R}$; B. $[1,+\infty )$; C. $[3,+\infty )$; D. $(1,+\infty )$.

c) Graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2+18x-1$ are axa de simetrie: A. $x=-3$; B. $x=3$; C. $x=-18$; D. $x=-9$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Graficul funcției $f:[-2,8]\to \mathbb{R}$ este linia frântă care unește, în această ordine, punctele $$(-2,5),(0,-1),(3,-1),(6,8),(8,4).$$

a) Precizează intervalele de monotonie ale funcției $f$. (2 p) b) Determină imaginea funcției și arată că $f$ este mărginită, indicând două numere între care se află toate valorile ei. (2 p) c) Determină toate valorile lui $x$ pentru care $f(x)=2$. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Dacă $f(x_1)-f(x_2)$ și $x_1-x_2$ au același semn pentru orice pereche de numere distincte din intervalul $I$, atunci $f$ este strict crescătoare pe $I$." b) „Orice funcție al cărei grafic este simetric față de dreapta $x=3$ este o funcție pară." c) „Dacă funcția $f$ este periodică de perioadă $4$, atunci ea este periodică și de perioadă $12$." d) „O funcție definită pe intervalul $[0,20]$ poate fi periodică."

Exercițiul 4 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Se consideră funcția $f:[2,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x+9$. a) Arată că $f(x_1)-f(x_2)=(x_1-x_2)(x_1+x_2-4)$, pentru orice numere reale $x_1$ și $x_2$. (3 p) b) Deduce că $f$ este strict crescătoare pe $[2,+\infty )$. (3 p) c) Compară numerele $f(2+\sqrt{3})$ și $f(2+\sqrt{5})$, fără a le calcula. (2 p)

Partea a II-a – Simetria graficului și periodicitatea

Exercițiul 5 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-16x+25$. a) Determină axa de simetrie a graficului și coordonatele vârfului parabolei. (2 p) b) Arată că $f(6)=f(10)$. (2 p) c) Calculează $f(4)+f(12)$. (2 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Într-un iaz, conținutul de oxigen dizolvat a fost măsurat din două în două ore și exprimat în procente din saturație. Rezultatele sunt trecute în tabel.

a) Determină axa de simetrie a datelor, arătând ce perechi de măsurători o indică. (2 p) b) La ora $5$ s-a măsurat un conținut de $48\%$. Ce valoare este de așteptat la ora $21$? (2 p) c) Un elev spune că este de ajuns o singură pereche de valori egale ca să stabilim axa. Arată, cu un exemplu din tabel, de ce afirmația lui este greșită. (2 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2+bx+1$, unde $b$ este un număr real. a) Determinați $b$, știind că graficul funcției $f$ este simetric față de dreapta $x=4$. (3 p) b) Pentru valoarea găsită a lui $b$, calculați $f(2)+f(6)$. (2 p) c) Pentru aceeași valoare a lui $b$, arătați că punctul $C(4,-47)$ nu este centru de simetrie al graficului funcției $f$. (3 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ este periodică de perioadă $8$, iar $f(x)=x^2-7x$ pentru $x\in [0,8)$. a) Calculează $f(11)$. (2 p) b) Calculează $f(-2)$. (2 p) c) Arată că $f(x+16)=f(x)$, pentru orice număr real $x$. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

a) Determină perioada principală a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left\{\frac{x}{3}\right\}$, unde acoladele notează partea fracționară. (2 p) b) Funcția $g$ este periodică de perioadă $6$ și $g(1)=-5$. Calculează $g(19)$ și $g(-11)$. (2 p) c) Explică de ce o funcție constantă este periodică, dar nu are perioadă principală. (2 p)

Partea a III-a – Probleme aplicate și itemi de tip examen

Exercițiul 10 (8 puncte)

Concentrația de dioxid de carbon dintr-o sală de clasă, măsurată în părți per milion (ppm), se repetă de la o oră de curs la alta: este o funcție periodică de perioadă $50$ de minute, unde $t$ este timpul, în minute, scurs de la începutul orei. Pe o perioadă, modelul este $$c(t)=400+12t\text{pentru }t\in [0,45),c(t)=940-108(t-45)\text{pentru }t\in [45,50).$$ Primele $45$ de minute sunt ora de curs, iar ultimele $5$ sunt pauza cu ferestrele deschise.

a) Calculează $c(30)$ și scrie unitatea de măsură. (2 p) b) Calculează $c(95)$. (2 p) c) Calculează $c(148)$. (2 p) d) După câte minute de la începutul unei ore de curs se ajunge la $700$ ppm? (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Viteza unei reacții catalizate de o enzimă, măsurată în micromoli pe minut, depinde de temperatura $T$, în grade Celsius, după modelul $$v(T)=-T^2+74T-1305,T\in [29,45].$$

a) Determină temperatura la care viteza este maximă și valoarea acestei viteze. (2 p) b) Arată că $v(30)=v(44)$ și explică rezultatul prin simetria graficului. (2 p) c) Determină temperaturile din intervalul dat la care viteza reacției este nulă. (2 p) d) Precizează intervalul de temperaturi pe care viteza reacției crește. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-4x$. a) Arătați că $f(-x)=-f(x)$, pentru orice număr real $x$. (2 p) b) Arătați că originea $O(0,0)$ este centru de simetrie al graficului funcției $f$. (3 p) c) Arătați că punctul $C(0,6)$ este centru de simetrie al graficului funcției $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x^3-4x+6$. (3 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-12x+32$. a) Determinați coordonatele punctelor în care graficul funcției $f$ intersectează axele de coordonate. (2 p) b) Alcătuiți tabelul de semn al funcției $f$ și rezolvați inecuația $f(x)\le 0$. (3 p) c) Arătați că mijlocul segmentului determinat de punctele în care graficul taie axa $Ox$ are abscisa egală cu abscisa vârfului parabolei. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) B — coeficientul lui $x$ este $-7<0$, iar o funcție afină cu coeficientul dominant negativ este strict descrescătoare. b) B — parabola are $a=2>0$, deci un minim; abscisa vârfului este $-\frac{-4}{2\cdot 2}=1$, iar $f(1)=2-4+3=1$. Prin urmare imaginea este $[1,+\infty )$. c) A — axa de simetrie este $x=-\frac{18}{2\cdot 3}=-3$. Varianta C ia coeficientul $b$ direct, iar D uită împărțirea la $a$.

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) Funcția este strict descrescătoare pe $[-2,0]$, constantă pe $[0,3]$, strict crescătoare pe $[3,6]$ și strict descrescătoare pe $[6,8]$. b) (2 p) Cea mai mică valoare atinsă este $-1$ (pe segmentul orizontal), iar cea mai mare este $8$ (în punctul $(6,8)$). Graficul fiind o linie frântă continuă, funcția ia toate valorile dintre ele, deci $\mathrm{Im}f=[-1,8]$; în particular $-1\le f(x)\le 8$ pentru orice $x$, adică $f$ este mărginită. c) (2 p) Pe $[-2,0]$ segmentul are ecuația $f(x)=-3x-1$, iar $-3x-1=2$ dă $x=-1$. Pe $[3,6]$ segmentul are ecuația $f(x)=3x-10$, iar $3x-10=2$ dă $x=4$. Pe $[6,8]$ valorile scad de la $8$ la $4$, deci nu ajung la $2$. Soluțiile sunt $x=-1$ și $x=4$.

Exercițiul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) A. Raportul $\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$ este atunci pozitiv pentru orice pereche, iar asta este exact definiția monotoniei stricte crescătoare pe $I$. b) F. O funcție pară cere oglinda fixată pe axa $Oy$, adică $f(-x)=f(x)$. Contraexemplu: $f(x)=(x-3{)}^2$ are graficul simetric față de $x=3$, dar $f(-1)=16\ne 4=f(1)$. c) A. Dacă $f(x+4)=f(x)$ pentru orice $x$, atunci aplicând egalitatea de trei ori obținem $f(x+12)=f(x+8)=f(x+4)=f(x)$; orice multiplu întreg pozitiv al unei perioade este tot perioadă. d) F. Periodicitatea cere ca domeniul să rămână neschimbat când îl mutăm cu $T$: din $x=20$ și $T>0$ ar rezulta că și $20+T$ este în domeniu, ceea ce este fals pe un interval mărginit.

Exercițiul 4. (8 p) — redactare completă. a) (3 p) Calculăm diferența, grupând termenii de același fel (1 p): $$f(x_1)-f(x_2)=\left(x_1^2-4x_1+9\right)-\left(x_2^2-4x_2+9\right)=\left(x_1^2-x_2^2\right)-4(x_1-x_2).$$ Folosim diferența de pătrate, $x_1^2-x_2^2=(x_1-x_2)(x_1+x_2)$ (1 p), și dăm factor comun $x_1-x_2$ (1 p): $$f(x_1)-f(x_2)=(x_1-x_2)(x_1+x_2)-4(x_1-x_2)=(x_1-x_2)(x_1+x_2-4).$$ b) (3 p) Fie $x_1,x_2\in [2,+\infty )$, cu $x_1\ne x_2$. Atunci $x_1\ge 2$ și $x_2\ge 2$, deci $x_1+x_2\ge 4$, iar cum cele două numere sunt distincte, cel puțin una dintre inegalități este strictă și $x_1+x_2-4>0$ (1,5 p). Prin urmare diferența $f(x_1)-f(x_2)=(x_1-x_2)(x_1+x_2-4)$ are același semn cu $x_1-x_2$ (1 p), adică $f$ este strict crescătoare pe $[2,+\infty )$ (0,5 p). c) (2 p) Din $3<5$ rezultă $\sqrt{3}<\sqrt{5}$, deci $2+\sqrt{3}<2+\sqrt{5}$, iar ambele numere sunt în $[2,+\infty )$ (1 p). Funcția fiind strict crescătoare acolo, obținem $f(2+\sqrt{3})<f(2+\sqrt{5})$ (1 p).

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) Axa de simetrie este $x=-\frac{-16}{2\cdot 1}=8$, iar $f(8)=64-128+25=-39$, deci vârful este $V(8,-39)$. b) (2 p) $f(6)=36-96+25=-35$ și $f(10)=100-160+25=-35$, deci valorile sunt egale. Era de așteptat: $8-6=2=10-8$, deci $6$ și $10$ sunt simetrice față de axă. c) (2 p) $f(4)=16-64+25=-23$ și $f(12)=144-192+25=-23$ (numerele $4$ și $12$ sunt tot simetrice față de $8$), deci $f(4)+f(12)=-46$.

Exercițiul 6. (6 p) a) (2 p) Căutăm perechi de măsurători egale și luăm mijlocul orelor: valoarea $62$ apare la orele $7$ și $19$, cu mijlocul $\frac{7+19}{2}=13$; valoarea $75$ apare la $9$ și $17$, cu mijlocul $13$; valoarea $84$ apare la $11$ și $15$, cu mijlocul $13$. Cele trei perechi indică aceeași abscisă, deci axa de simetrie a datelor este dreapta $x=13$. b) (2 p) Simetricul orei $5$ față de dreapta $x=13$ are abscisa $2\cdot 13-5=21$, deci la ora $21$ este de așteptat aceeași valoare ca la ora $5$: $48\%$ din saturație. c) (2 p) Perechea $(11,15)$, singură, ar indica axa $x=13$, dar perechea $(7,15)$ nu are valori egale ($62\ne 84$), iar dacă am fi măsurat doar la orele $11$ și $15$ n-am fi putut deosebi acest tipar de unul care coboară și urcă de mai multe ori între ele. O singură pereche de valori egale nu spune nimic despre restul graficului; trebuie cel puțin două perechi cu același mijloc, sau formula funcției.

Exercițiul 7. (8 p) a) (3 p) Axa de simetrie a parabolei este $x=-\frac{b}{2\cdot 3}=-\frac{b}{6}$ (1,5 p). Din condiția $-\frac{b}{6}=4$ rezultă $b=-24$ (1,5 p). b) (2 p) Pentru $b=-24$ avem $f(x)=3x^2-24x+1$, deci $f(2)=12-48+1=-35$ și $f(6)=108-144+1=-35$. Suma este $f(2)+f(6)=-70$. c) (3 p) Mai întâi, $f(4)=48-96+1=-47$, deci punctul $C$ chiar aparține graficului (1 p). Condiția de centru cere $f(4+t)+f(4-t)=2\cdot (-47)=-94$ pentru orice $t$ real. Luăm $t=1$ (1 p): $$f(5)=75-120+1=-44,f(3)=27-72+1=-44,f(5)+f(3)=-88.$$ Cum $-88\ne -94$, condiția nu este îndeplinită, deci $C$ nu este centru de simetrie (1 p). (Graficul are, în schimb, axa de simetrie $x=4$ — o parabolă are axă, nu centru.)

Exercițiul 8. (6 p) a) (2 p) Scădem perioade până intrăm în $[0,8)$: $11-8=3$, deci $f(11)=f(3)=9-21=-12$. b) (2 p) Adunăm o perioadă: $-2+8=6$, deci $f(-2)=f(6)=36-42=-6$. c) (2 p) Din $f(x+8)=f(x)$ pentru orice $x$ real rezultă, aplicând egalitatea de două ori, $f(x+16)=f((x+8)+8)=f(x+8)=f(x)$. Numărul $16$ este, așadar, tot o perioadă a funcției, fiind un multiplu întreg al perioadei $8$.

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) Condiția $\left\{\frac{x+T}{3}\right\}=\left\{\frac{x}{3}\right\}$ cere ca $\frac{T}{3}$ să fie număr întreg, deci $T\in \{3,6,9,\dots \}$. Cea mai mică perioadă pozitivă este $T=3$. b) (2 p) Reducem argumentele cu multipli ai perioadei: $19-3\cdot 6=1$, deci $g(19)=g(1)=-5$; $-11+2\cdot 6=1$, deci $g(-11)=g(1)=-5$. c) (2 p) Dacă $f(x)=k$ pentru orice $x$ real, atunci $f(x+T)=k=f(x)$ oricare ar fi $T>0$, deci orice număr pozitiv este perioadă. Mulțimea perioadelor fiind $(0,+\infty )$, ea nu are un cel mai mic element, deci funcția constantă nu are perioadă principală.

Exercițiul 10. (8 p) a) (2 p) Cum $30<45$, folosim prima ramură: $c(30)=400+12\cdot 30=760$ ppm. b) (2 p) Scădem o perioadă: $95-50=45$, iar $45$ este în a doua ramură, la începutul ei: $c(45)=940-108\cdot 0=940$ ppm. Deci $c(95)=940$ ppm — valoarea maximă, atinsă chiar la sunetul de ieșire. c) (2 p) Scădem două perioade: $148-100=48$, deci $c(148)=c(48)=940-108\cdot 3=940-324=616$ ppm. d) (2 p) Valoarea $700$ este între $400$ și $940$, deci se atinge pe prima ramură: $400+12t=700$ dă $12t=300$ și $t=25$ de minute de la începutul orei.

Exercițiul 11. (8 p) a) (2 p) Coeficientul dominant este $-1<0$, deci parabola are un maxim, atins în vârf, la $T=-\frac{74}{2\cdot (-1)}=37$ grade Celsius. Valoarea maximă este $v(37)=-1369+2738-1305=64$ micromoli pe minut. b) (2 p) $v(30)=-900+2220-1305=15$ și $v(44)=-1936+3256-1305=15$, deci $v(30)=v(44)=15$ micromoli pe minut. Temperaturile $30$ și $44$ sunt simetrice față de $37$ (fiindcă $37-30=7=44-37$), iar graficul este simetric față de dreapta $T=37$. c) (2 p) Rezolvăm $-T^2+74T-1305=0$, adică $T^2-74T+1305=0$, cu $\Delta =5476-5220=256$ și $\sqrt{\Delta }=16$. Obținem $T_{1,2}=\frac{74\pm 16}{2}$, adică $T=29$ și $T=45$ grade Celsius — chiar capetele intervalului pe care modelul are sens. d) (2 p) Ramurile parabolei fiind în jos, funcția crește până la vârf și scade după el, deci viteza reacției crește pe intervalul $[29,37]$ și scade pe $[37,45]$.

Exercițiul 12. (8 p) a) (2 p) Calculăm, folosind $(-x{)}^3=-x^3$: $$f(-x)=(-x{)}^3-4(-x)=-x^3+4x=-\left(x^3-4x\right)=-f(x),$$ pentru orice număr real $x$, deci funcția este impară. b) (3 p) Condiția ca $C(m,n)$ să fie centru de simetrie este $f(m+t)+f(m-t)=2n$ pentru orice $t$ real (1 p). Pentru $m=0$ și $n=0$ ea devine $f(t)+f(-t)=0$ (1 p), ceea ce este adevărat după punctul a): $f(-t)=-f(t)$ (1 p). În plus $f(0)=0$, deci originea aparține graficului. c) (3 p) Observăm că $g(x)=f(x)+6$ (1 p). Atunci, pentru orice $t$ real (1 p), $$g(t)+g(-t)=(f(t)+6)+(f(-t)+6)=(f(t)+f(-t))+12=0+12=12=2\cdot 6,$$ adică exact condiția de centru pentru $C(0,6)$ (1 p). (Graficul lui $g$ este graficul lui $f$ ridicat cu $6$ unități, deci centrul urcă și el cu $6$.)

Exercițiul 13. (8 p) a) (2 p) Cu axa $Ox$: $x^2-12x+32=0$, cu $\Delta =144-128=16$ și $\sqrt{\Delta }=4$, deci $x_{1,2}=\frac{12\pm 4}{2}$, adică $x=4$ și $x=8$; punctele sunt $A(4,0)$ și $B(8,0)$. Cu axa $Oy$: $f(0)=32$, deci punctul $(0,32)$. b) (3 p) Coeficientul dominant este $1>0$, iar rădăcinile sunt $4$ și $8$ (1 p), deci tabelul de semn este (1 p):

Funcția este negativă între rădăcini, deci mulțimea soluțiilor inecuației $f(x)\le 0$ este $[4,8]$ (1 p). c) (3 p) Mijlocul segmentului $AB$ are abscisa $\frac{4+8}{2}=6$ (1,5 p). Abscisa vârfului este $-\frac{-12}{2\cdot 1}=6$ (1 p). Cele două numere coincid, ceea ce era de așteptat: axa de simetrie trece prin vârf și, fiind axă, duce fiecare rădăcină în cealaltă, deci taie segmentul $AB$ exact la mijloc (0,5 p).

Pentru părinți și profesori

Testul verifică primul strat al unității de funcții de la clasa a X-a: proprietățile care se citesc de pe un grafic sau dintr-un tabel de măsurători. Sunt acoperite lecturile grafice reluate din clasa a IX-a (mărginire, monotonie, semnul funcției, intersecțiile cu axele, paritate și imparitate) și cele două lecții noi ale traseului de științe — Simetria graficului față de o dreaptă sau un punct și Funcții periodice. Monotonia se studiază aici prin semnul diferenței $f(x_1)-f(x_2)$; cealaltă metodă cerută de programă, rata creșterii și a descreșterii, împreună cu compunerea funcțiilor și funcția inversă, se verifică în testul următor al aceleiași unități. Aici nu se cere nicio funcție inversă și niciun calcul de rată.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator — toate numerele sunt alese astfel încât calculele să se facă în minte sau în scris. La itemii cu context din fizică, chimie sau biologie se cere unitatea de măsură la fiecare rezultat; la afirmațiile adevărat/fals se cere justificarea; verdictul singur nu e un răspuns complet.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau lecțiile unității, în special condiția de simetrie și condiția de periodicitate.
• Formule de reținut: graficul lui $f$ este simetric față de dreapta $x=m$ dacă $f(m+t)=f(m-t)$ pentru orice $t$ admisibil, adică $f(x)=f(2m-x)$; punctul $C(m,n)$ este centru de simetrie dacă $f(m+t)+f(m-t)=2n$, iar atunci $f(m)=n$; parabola $f(x)=a{x}^2+bx+c$ are axa de simetrie $x=-\frac{b}{2a}$, pe care se află vârful; funcția $f$ este periodică de perioadă $T>0$ dacă $f(x+T)=f(x)$ pentru orice $x$ din domeniu, iar atunci orice multiplu întreg pozitiv al lui $T$ este tot perioadă; monotonia prin semnul diferenței: dacă $f(x_1)-f(x_2)$ are același semn cu $x_1-x_2$ pentru orice pereche din interval, funcția este strict crescătoare acolo, iar dacă semnele sunt opuse, este strict descrescătoare.
• Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la capitolul „X.3. Funcții", unde programa cere explicit „mărginire, monotonie; simetria graficului față de drepte de forma $x=m$; simetria graficului față de un punct; periodicitate". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, unde aceleași proprietăți sunt trecute la materia clasei a IX-a, în capitolul „Funcții; lecturi grafice"; programa nu precizează subiectul probei la care se evaluează fiecare temă. Aceleași cerințe, deci, la două examene diferite — se schimbă doar clasa la care sunt trecute în programă.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".