Test: Împărțirea polinoamelor și schema lui Horner (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — testele de mate-info, clasa a IX-a → ·

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Polinoame cu coeficienți reali

Exerciții

Partea I – Teorema împărțirii cu rest

Exercițiul 1 (6 puncte)

Se consideră polinoamele $f$ și $g$ , cu $g \neq = 0$ , și scrierea $f = g \cdot q + r$ dată de teorema împărțirii cu rest. Răspunde scurt, cu justificare de o propoziție (câte 1 punct): a) Dacă $grad f = 5$ și $grad g = 3$ , ce grad are câtul $q$ ? b) În aceleași condiții, ce valori poate lua $grad r$ ? c) Dacă $g = X - 4$ , ce grad are restul? d) Dacă restul împărțirii lui $f$ la $X - 4$ este $0$ , ce valoare are $f (4)$ ? e) Dacă $grad f = 3$ și $grad g = 5$ , cât sunt $q$ și $r$ ? f) Adevărat sau fals: „restul poate avea același grad ca împărțitorul".

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră $f = X^{3} + 7 X^{2} + 14 X + 6$ și $g = X^{2} + 5 X + 1$ . a) Efectuează împărțirea lui $f$ la $g$ și scrie câtul $q$ . (2 p) b) Scrie restul $r$ și arată că gradul lui respectă teorema. (2 p) c) Verifică rezultatul, calculând $g \cdot q + r$ . (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Se consideră $f = 2 X^{4} - 3 X^{3} + X - 6$ , care se împarte la $X - 2$ . a) Completează rândul de sus și rândul de jos al schemei lui Horner. (3 p) b) Scrie câtul și restul împărțirii. (2 p) c) Cât este $f (2)$ ? (1 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Restul împărțirii polinomului $f = X^{3} - 4 X + 7$ la $X + 1$ este: A. $4$ ; B. $10$ ; C. $2$ ; D. $- 10$ .

b) Polinomul $f = X^{3} + k X + 6$ se divide cu $X - 3$ pentru: A. $k = - 11$ ; B. $k = 11$ ; C. $k = - 3$ ; D. $k = 3$ .

c) În rândul de sus al schemei lui Horner pentru $f = X^{5} - 2 X^{2} + 1$ se scriu: A. $4$ numere; B. $5$ numere; C. $6$ numere; D. $3$ numere.

d) La împărțirea unui polinom la $X + 5$ , numărul care intră în schema lui Horner este: A. $5$ ; B. $- 5$ ; C. $\frac{1}{5}$ ; D. $- \frac{1}{5}$ .

Partea a II-a – Schema lui Horner și restul $f (a)$

Exercițiul 5 (6 puncte)

Se consideră $f = 3 X^{3} - 8 X^{2} + 5 X - 1$ , care se împarte la $X - 3$ . a) Scrie câtul, folosind schema lui Horner. (3 p) b) Scrie restul. (2 p) c) Verifică rezultatul de la b) calculând $f (3)$ . (1 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Se consideră $f = X^{4} + 3 X^{2} - 10$ , care se împarte la $X + 2$ . a) Scrie toți coeficienții care intră în rândul de sus al schemei și explică de ce apar zerouri. (2 p) b) Scrie câtul. (2 p) c) Scrie restul și verifică-l prin calculul lui $f (- 2)$ . (2 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 2 puncte): a) „Dacă restul împărțirii lui $f$ la $X - a$ este $0$ , atunci $f (a) = 0$ ." b) „Restul împărțirii unui polinom de gradul al patrulea la un polinom de gradul al doilea este întotdeauna de gradul întâi." c) „Schema lui Horner se poate folosi la împărțirea lui $f$ la $X^{2} - 1$ ." d) „La împărțirea lui $f = 2 X^{3} - 7$ la $X - 1$ , în rândul de sus al schemei se scriu numerele $2$ și $- 7$ ."

Exercițiul 8 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f = X^{3} + m X^{2} - 4 X + 9$ , cu $m$ număr real. a) Determină $m$ , știind că restul împărțirii lui $f$ la $X - 2$ este $5$ . (3 p) b) Pentru valoarea găsită a lui $m$ , scrie câtul împărțirii lui $f$ la $X - 2$ . (3 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Concentrația unui medicament în sânge, măsurată în miligrame pe litru, este descrisă de $C (t) = - t^{3} + 2 t^{2} + 8 t$ , unde $t$ este timpul în ore de la administrare, iar modelul este valabil pentru $0 \leq t \leq 4$ . a) Calculează $C (3)$ folosind schema lui Horner și scrie unitatea de măsură. (2 p) b) Scrie egalitatea $C (t) = (t - 3) \cdot q (t) + C (3)$ , cu $q$ obținut la punctul a), și verific-o pentru $t = 2$ . (2 p) c) Arată, cu schema lui Horner, că la $t = 4$ concentrația este zero. (2 p)

Partea a III-a – Raționament și probleme

Exercițiul 10 (8 puncte)

Se consideră $f = X^{3} + a X^{2} + b X - 6$ , cu $a$ și $b$ numere reale. Restul împărțirii lui $f$ la $X - 1$ este $4$ , iar restul împărțirii lui $f$ la $X - 2$ este $30$ . a) Determină $a$ și $b$ . (4 p) b) Scrie polinomul $f$ și calculează restul împărțirii lui la $X + 1$ . (2 p) c) Arată, folosind schema lui Horner, că împărțirea lui $f$ la $X + 3$ este exactă și scrie câtul. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Se consideră $f = 2 X^{4} - 5 X^{3} + X^{2} + 4 X - 12$ . a) Împarte $f$ la $X - 2$ cu schema lui Horner și scrie câtul $q$ și restul. (3 p) b) Împarte câtul $q$ obținut la $X + 1$ și scrie rezultatul. (3 p) c) Scrie $f$ sub forma $(X - 2) (X + 1) \cdot h + r$ , cu $h$ polinom de gradul al doilea, și verifică egalitatea pentru $X = 0$ . (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Se consideră $f = X^{4} - 2 X^{3} - X^{2} - 4 X + 8$ și $g = X^{2} - 4 X + 4$ . a) Efectuează împărțirea lui $f$ la $g$ și scrie câtul și restul. (4 p) b) Verifică rezultatul, calculând $g \cdot q + r$ . (2 p) c) Folosind faptul că $g = (X - 2)^{2}$ , calculează $f (2)$ fără să înlocuiești în $f$ . (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f = X^{3} + 4 X^{2} + m X - 12$ , cu $m$ număr real. a) Determină $m$ , știind că restul împărțirii lui $f$ la $X - 1$ este $- 4$ . (2 p) b) Pentru valoarea găsită a lui $m$ , scrie câtul împărțirii lui $f$ la $X - 1$ și egalitatea dată de teorema împărțirii cu rest. (3 p) c) Arată că ecuația $f (x) = - 4$ are soluția reală $x = 1$ și că nu mai are alte soluții reale. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) $grad q = 5 - 3 = 2$ , pentru că gradul produsului $g \cdot q$ trebuie să fie egal cu gradul lui $f$ . b) $r = 0$ sau $grad r \leq 2$ — teorema cere $grad r < grad g = 3$ . c) Restul este o constantă (grad $0$ ) sau polinomul nul, fiindcă trebuie să aibă gradul mai mic decât $1$ . d) $f (4) = 0$ — restul împărțirii la $X - 4$ este chiar $f (4)$ . e) $q = 0$ și $r = f$ : nu se poate face niciun pas de împărțire, iar $grad f = 3 < 5$ respectă teorema. f) Fals. Condiția teoremei este $grad r < grad g$ , deci gradele nu pot fi egale.

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) $X^{3} : X^{2} = X$ ; se scade $X (X^{2} + 5 X + 1) = X^{3} + 5 X^{2} + X$ și rămâne $2 X^{2} + 13 X + 6$ . Apoi $2 X^{2} : X^{2} = 2$ ; se scade $2 (X^{2} + 5 X + 1) = 2 X^{2} + 10 X + 2$ . Câtul este $q = X + 2$ . b) (2 p) Restul este $r = 3X + 4$ , de gradul $1 < 2 = grad g$ , deci teorema este respectată. c) (2 p) $(X^{2} + 5 X + 1) (X + 2) = X^{3} + 2 X^{2} + 5 X^{2} + 10 X + X + 2 = X^{3} + 7 X^{2} + 11 X + 2$ ; adunând $3 X + 4$ se obține $X^{3} + 7 X^{2} + 14 X + 6 = f$ .

Exercițiul 3. (6 p) a) (3 p) Coeficienții lui $f$ , în ordine descrescătoare, sunt $2, - 3, 0, 1, - 6$ (termenul în $X^{2}$ lipsește, deci se scrie $0$ ). Cu $a = 2$ : $2$ ; $- 3 + 2 \cdot 2 = 1$ ; $0 + 2 \cdot 1 = 2$ ; $1 + 2 \cdot 2 = 5$ ; $- 6 + 2 \cdot 5 = 4$ . Rândul de jos este $2, 1, 2, 5, 4$ . b) (2 p) Câtul este $q = 2 X^{3} + X^{2} + 2X + 5$ , iar restul $r = 4$ . c) (1 p) $f (2) = 4$ , egal cu restul. (Verificare directă: $2 \cdot 16 - 3 \cdot 8 + 2 - 6 = 32 - 24 + 2 - 6 = 4$ .)

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) B — restul împărțirii la $X + 1$ este $f (- 1) = - 1 + 4 + 7 = 10$ . b) A — condiția este $f (3) = 0$ , adică $27 + 3 k + 6 = 0$ , deci $3 k = - 33$ și $k = - 11$ . c) C — $grad f = 5$ , deci se scriu $5 + 1 = 6$ numere: $1, 0, 0, - 2, 0, 1$ . d) B — $X + 5 = X - (- 5)$ , deci $a = - 5$ .

Exercițiul 5. (6 p) a) (3 p) Coeficienții sunt $3, - 8, 5, - 1$ , iar $a = 3$ : $3$ ; $- 8 + 3 \cdot 3 = 1$ ; $5 + 3 \cdot 1 = 8$ ; $- 1 + 3 \cdot 8 = 23$ . Câtul este $q = 3 X^{2} + X + 8$ . b) (2 p) Restul este $r = 23$ . c) (1 p) $f (3) = 3 \cdot 27 - 8 \cdot 9 + 15 - 1 = 81 - 72 + 15 - 1 = 23$ , egal cu restul.

Exercițiul 6. (6 p) a) (2 p) Coeficienții sunt $1, 0, 3, 0, - 10$ : polinomul are gradul $4$ , deci în rândul de sus intră $5$ numere, iar termenii în $X^{3}$ și în $X$ lipsesc și se scriu cu $0$ . b) (2 p) $X + 2 = X - (- 2)$ , deci $a = - 2$ : $1$ ; $0 + (- 2) \cdot 1 = - 2$ ; $3 + (- 2) (- 2) = 7$ ; $0 + (- 2) \cdot 7 = - 14$ ; $- 10 + (- 2) (- 14) = 18$ . Câtul este $q = X^{3} - 2 X^{2} + 7X - 14$ . c) (2 p) Restul este $r = 18$ . Verificare: $f (- 2) = 16 + 3 \cdot 4 - 10 = 16 + 12 - 10 = 18$ .

Exercițiul 7. (8 p) — câte 2 puncte (1 p răspunsul, 1 p justificarea). a) A. Restul împărțirii la $X - a$ este chiar $f (a)$ ; dacă restul este $0$ , atunci $f (a) = 0$ . b) F. Teorema cere doar $grad r < 2$ , deci restul poate fi și o constantă, sau chiar $0$ . Contraexemplu: $X^{4} : X^{2} = X^{2}$ , cu restul $0$ . c) F. Schema lui Horner este scrisă pentru împărțitori de forma $X - a$ , adică de gradul întâi cu coeficientul dominant $1$ ; pentru $X^{2} - 1$ se face împărțirea obișnuită. d) F. Polinomul are gradul $3$ , deci se scriu $4$ numere: $2, 0, 0, - 7$ — coeficienții lipsă se trec cu $0$ .

Exercițiul 8. (6 p) a) (3 p) Restul împărțirii la $X - 2$ este $f (2) = 8 + 4 m - 8 + 9 = 4 m + 9$ (2 p). Din $4 m + 9 = 5$ rezultă $4 m = - 4$ , deci $m = - 1$ (1 p). b) (3 p) Pentru $m = - 1$ , $f = X^{3} - X^{2} - 4 X + 9$ . Cu schema lui Horner, $a = 2$ : $1$ ; $- 1 + 2 = 1$ ; $- 4 + 2 = - 2$ ; $9 + 2 \cdot (- 2) = 5$ . Câtul este $q = X^{2} + X - 2$ , iar restul $5$ , cum cerea enunțul.

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) Coeficienții lui $C$ sunt $- 1, 2, 8, 0$ , iar $a = 3$ : $- 1$ ; $2 + 3 (- 1) = - 1$ ; $8 + 3 (- 1) = 5$ ; $0 + 3 \cdot 5 = 15$ . Deci $C (3) = 15$ miligrame pe litru. b) (2 p) Din rândul de jos, $q (t) = - t^{2} - t + 5$ , deci $C (t) = (t - 3) (- t^{2} - t + 5) + 15$ . Pentru $t = 2$ : $(2 - 3) (- 4 - 2 + 5) + 15 = (- 1) (- 1) + 15 = 16$ , iar $C (2) = - 8 + 8 + 16 = 16$ . Egalitatea se verifică. c) (2 p) Cu $a = 4$ : $- 1$ ; $2 + 4 (- 1) = - 2$ ; $8 + 4 (- 2) = 0$ ; $0 + 4 \cdot 0 = 0$ . Restul este $0$ , deci $C (4) = 0$ miligrame pe litru — la $4$ ore medicamentul este eliminat, iar modelul se oprește acolo.

Exercițiul 10. (8 p) a) (4 p) $f (1) = 1 + a + b - 6 = 4$ , deci $a + b = 9$ (2 p). $f (2) = 8 + 4 a + 2 b - 6 = 30$ , deci $4 a + 2 b = 28$ , adică $2 a + b = 14$ (1 p). Scăzând prima relație din a doua: $a = 5$ , apoi $b = 4$ (1 p). b) (2 p) $f = X^{3} + 5 X^{2} + 4 X - 6$ , iar restul împărțirii la $X + 1$ este $f (- 1) = - 1 + 5 - 4 - 6 = - 6$ . c) (2 p) Cu $a = - 3$ : $1$ ; $5 + (- 3) = 2$ ; $4 + (- 3) \cdot 2 = - 2$ ; $- 6 + (- 3) (- 2) = 0$ . Restul este $0$ , deci împărțirea este exactă, iar câtul este $X^{2} + 2X - 2$ .

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) Coeficienții sunt $2, - 5, 1, 4, - 12$ , iar $a = 2$ : $2$ ; $- 5 + 4 = - 1$ ; $1 + 2 (- 1) = - 1$ ; $4 + 2 (- 1) = 2$ ; $- 12 + 2 \cdot 2 = - 8$ . Deci $q = 2 X^{3} - X^{2} - X + 2$ și restul $- 8$ . b) (3 p) Pentru $q$ și $a = - 1$ : $2$ ; $- 1 + (- 1) \cdot 2 = - 3$ ; $- 1 + (- 1) (- 3) = 2$ ; $2 + (- 1) \cdot 2 = 0$ . Restul este $0$ , deci $q = (X + 1) (2 X^{2} - 3 X + 2)$ . c) (2 p) $f = (X - 2) (X + 1) (2 X^{2} - 3 X + 2) - 8$ . Pentru $X = 0$ : $(- 2) (1) (2) - 8 = - 4 - 8 = - 12$ , iar $f (0) = - 12$ .

Exercițiul 12. (8 p) a) (4 p) $X^{4} : X^{2} = X^{2}$ ; se scade $X^{2} (X^{2} - 4 X + 4) = X^{4} - 4 X^{3} + 4 X^{2}$ și rămâne $2 X^{3} - 5 X^{2} - 4 X + 8$ (1 p). $2 X^{3} : X^{2} = 2 X$ ; se scade $2 X (X^{2} - 4 X + 4) = 2 X^{3} - 8 X^{2} + 8 X$ și rămâne $3 X^{2} - 12 X + 8$ (1 p). $3 X^{2} : X^{2} = 3$ ; se scade $3 (X^{2} - 4 X + 4) = 3 X^{2} - 12 X + 12$ și rămâne $- 4$ (1 p). Câtul este $q = X^{2} + 2X + 3$ , iar restul $r = - 4$ (1 p). b) (2 p) $(X^{2} - 4 X + 4) (X^{2} + 2 X + 3) = X^{4} - 2 X^{3} - X^{2} - 4 X + 12$ ; adunând $- 4$ se obține $X^{4} - 2 X^{3} - X^{2} - 4 X + 8 = f$ . c) (2 p) Din $f = g \cdot q + r$ și $g (2) = (2 - 2)^{2} = 0$ rezultă $f (2) = 0 \cdot q (2) + (- 4) = - 4$ .

Exercițiul 13. (8 p) a) (2 p) $f (1) = 1 + 4 + m - 12 = m - 7$ ; din $m - 7 = - 4$ rezultă $m = 3$ . b) (3 p) Pentru $m = 3$ , $f = X^{3} + 4 X^{2} + 3 X - 12$ . Cu schema lui Horner, $a = 1$ : $1$ ; $4 + 1 = 5$ ; $3 + 5 = 8$ ; $- 12 + 8 = - 4$ . Câtul este $q = X^{2} + 5X + 8$ , iar egalitatea este $f = (X - 1) (X^{2} + 5 X + 8) - 4$ . c) (3 p) $f (x) = - 4$ se scrie $(x - 1) (x^{2} + 5 x + 8) - 4 = - 4$ , adică $(x - 1) (x^{2} + 5 x + 8) = 0$ (1 p). Prima paranteză dă $x = 1$ (1 p). A doua are discriminantul $Δ = 25 - 32 = - 7 < 0$ , deci nu are rădăcini reale — ecuația nu mai are alte soluții reale (1 p).

Pentru părinți și profesori

Testul verifică al doilea strat al unității de polinoame: împărțirea. Sunt acoperite două lecții — Teorema împărțirii cu rest la polinoame (ce cere teorema de la rest, cum se așază calculul pe coloane, cum se verifică rezultatul) și Schema lui Horner (tabelul, coeficienții lipsă, valorile negative sau fracționare ale lui $a$ , egalitatea dintre rest și $f (a)$ ). Forma algebrică, gradul și operațiile cu polinoame au fost verificate în testul anterior al unității; divizibilitatea, teorema lui Bézout și ecuațiile polinomiale se verifică în testul următor — aici nu se cere niciun rezultat despre rădăcini multiple sau descompuneri în factori.

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator — toate numerele sunt alese astfel încât calculele să se facă în minte sau în scris. La împărțiri se cere calculul așezat, nu doar rezultatul; la schema lui Horner se cere tabelul complet.
Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau cele două lecții, în special scrierea coeficienților lipsă cu zero și verificarea $f = g \cdot q + r$ .
Formule de reținut: teorema împărțirii cu rest — pentru orice polinoame $f$ și $g$ , cu $g \neq = 0$ , există unic perechea $(q, r)$ astfel încât $f = g \cdot q + r$ , cu $r = 0$ sau $grad r < grad g$ ; gradul câtului este $grad f - grad g$ (când $grad f \geq grad g$ ); schema lui Horner pentru împărțirea la $X - a$ : primul coeficient se copiază, iar fiecare număr următor se obține din $b_{k} = a \cdot b_{k + 1} + a_{k}$ , adică „înmulțești cu $a$ numărul din stânga și aduni coeficientul de deasupra"; restul împărțirii lui $f$ la $X - a$ este $f (a)$ ; la împărțitorul $X + c$ numărul care intră în schemă este $a = - c$ ; în rândul de sus se scriu toți coeficienții, inclusiv zerourile termenilor lipsă, adică exact $grad f + 1$ numere.
Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, chiar la capitolul de clasa a IX-a, unde programa scrie „împărțirea cu $X - a$ , schema lui Horner". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, unde teorema împărțirii cu rest și schema lui Horner apar la Subiectul al II-lea, ca materie de clasa a XII-a (capitolul „Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp comutativ"). Aceleași două cerințe, deci, la două examene diferite — la clasa a IX-a se lucrează doar cu coeficienți reali.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".