Test: Includere–excludere și binomul lui Newton (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Metode de numărare

Exerciții

Partea I – Formula pe trei mulțimi și structura dezvoltării

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Dacă $n(A)=14$, $n(B)=9$ și $n(A\cap B)=4$, atunci $n(A\cup B)$ este: A. $23$; B. $19$; C. $27$; D. $5$.

b) Numărul termenilor dezvoltării $(a+b{)}^{11}$ este: A. $10$; B. $11$; C. $12$; D. $22$.

c) Termenul al treilea al dezvoltării $(x+1{)}^7$ este: A. $7x^6$; B. $21x^5$; C. $35x^4$; D. $21x^2$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră mulțimile finite $A$, $B$ și $C$, pentru care $n(A)=21$, $n(B)=17$, $n(C)=14$, $n(A\cap B)=8$, $n(A\cap C)=7$, $n(B\cap C)=5$ și $n(A\cap B\cap C)=3$.

a) Calculează $n(A\cup B\cup C)$. (2 p) b) Determină câte elemente are regiunea „numai $A$", adică $A$ fără $B$ și fără $C$. (2 p) c) Determină câte elemente se află în exact două dintre cele trei mulțimi. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte):

a) „Pentru orice mulțimi finite $A$ și $B$ are loc $n(A\cup B)\le n(A)+n(B)$."

b) „În dezvoltarea lui $(a-b{)}^6$, termenul care îl conține pe $b^3$ are coeficientul negativ."

c) „Dacă $n(A\cap B\cap C)=0$, atunci $n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)$."

d) „$C_8^0-C_8^1+C_8^2-C_8^3+C_8^4-C_8^5+C_8^6-C_8^7+C_8^8=0$."

Exercițiul 4 (8 puncte)

Rezolvă (câte 2 puncte):

a) scrie dezvoltarea completă a lui $(x+5{)}^4$, ordonată după puterile descrescătoare ale lui $x$;

b) scrie dezvoltarea completă a lui $(a-2b{)}^4$;

c) determină suma coeficienților dezvoltării $(5x-2{)}^3$, fără a scrie dezvoltarea;

d) determină coeficientul lui $x^2$ din dezvoltarea de la punctul a).

Partea a II-a – Diagrame, sita divizibilității și termenul general

Exercițiul 5 (6 puncte)

Într-o grădină botanică se studiază $80$ de exemplare. Dintre ele, $38$ au nevoie de umbră, $30$ de udare zilnică și $26$ de sol acid; $14$ au nevoie și de umbră, și de udare zilnică, $11$ și de umbră, și de sol acid, iar $9$ și de udare zilnică, și de sol acid; $5$ exemplare au nevoie de toate trei.

a) Completează, pornind din regiunea centrală, cele șapte regiuni ale diagramei Venn și scrie numerele obținute. (2 p) b) Determină câte exemplare au nevoie de cel puțin una dintre cele trei condiții. (2 p) c) Determină câte exemplare nu au nevoie de niciuna dintre ele. (2 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Se consideră mulțimea $M=\{1,2,\dots ,180\}$ și divizorii $4$, $6$ și $9$.

a) Determină câte numere din $M$ sunt divizibile cu fiecare dintre cei trei divizori, luați pe rând. (2 p) b) Determină câte numere din $M$ sunt divizibile cu cel puțin unul dintre ei. (3 p) c) Determină câte numere din $M$ nu sunt divizibile cu niciunul dintre ei. (1 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Se consideră dezvoltarea $(x+3{)}^6$, cu $x$ număr real. Determină (câte 2 puncte):

a) termenul general $T_{k+1}$ al dezvoltării, precizând ce valori poate lua $k$;

b) termenul al patrulea al dezvoltării;

c) coeficientul lui $x^4$;

d) termenul liber al dezvoltării.

Exercițiul 8 (6 puncte)

a) Calculează suma $C_9^0+C_9^1+C_9^2+\cdots +C_9^9$, justificând rezultatul printr-o particularizare a formulei binomului. (3 p) b) Folosind rezultatul de la punctul a) și faptul că suma alternantă a acelorași numere este $0$, arată că $C_9^0+C_9^2+C_9^4+C_9^6+C_9^8=256$. (3 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Un elev rezolvă astfel o problemă: „Dintr-un set de $11$ probe se aleg $4$ pentru analiză. Numărul de alegeri este $A_{11}^4=7920$."

a) Identifică greșeala și scrie rezultatul corect. (3 p) b) Explică de ce numărul greșit este de $4!$ ori mai mare decât cel corect și formulează o cerință pentru care $7920$ ar fi răspunsul potrivit. (3 p)

Partea a III-a – Probleme și itemi de tip examen

Exercițiul 10 (8 puncte)

Pentru o lucrare de laborator se pregătește un experiment astfel: se alege una dintre cele $4$ soluții-tampon, apoi $2$ dintre cele $6$ probe disponibile (ordinea probelor nu contează) și, la final, una dintre cele $3$ metode de măsurare.

a) În câte moduri se poate pregăti experimentul? (3 p) b) În câte dintre ele se folosește metoda spectrofotometrică, una dintre cele trei? (2 p) c) În câte dintre ele nu se folosește proba numărul $1$? (3 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră dezvoltarea ${\left(x^3+\frac{1}{x}\right)}^8$, unde $x$ este număr real nenul.

a) Arătați că termenul general al dezvoltării este $T_{k+1}=C_8^k{x}^{24-4k}$, cu $k\in \{0,1,\dots ,8\}$. (3 p) b) Determinați termenul liber al dezvoltării. (3 p) c) Arătați că dezvoltarea nu conține niciun termen în $x^{10}$. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Într-o grupă de $36$ de elevi, $21$ studiază biologia, $17$ studiază chimia, iar $3$ nu studiază niciuna dintre cele două discipline. Se notează cu $A$ mulțimea elevilor care studiază biologia și cu $B$ mulțimea celor care studiază chimia.

a) Arătați că $n(A\cup B)=33$. (2 p) b) Determinați câți elevi studiază ambele discipline. (3 p) c) Determinați câți elevi studiază exact una dintre cele două discipline. (3 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră dezvoltarea $(1+x{)}^{10}$, cu $x$ număr real.

a) Arătați că dezvoltarea are $11$ termeni. (2 p) b) Determinați coeficientul lui $x^3$ din dezvoltare. (3 p) c) Determinați termenul din mijloc al dezvoltării. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) B — $n(A\cup B)=14+9-4=19$; cele $4$ elemente comune erau numărate de două ori în suma $23$. b) C — dezvoltarea lui $(a+b{)}^n$ are $n+1$ termeni, deci $11+1=12$. c) B — termenul al treilea corespunde lui $k=2$: $T_3=C_7^2{x}^5\cdot 1^2=21x^5$.

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) $n(A\cup B\cup C)=(21+17+14)-(8+7+5)+3=52-20+3=35$. b) (2 p) Regiunea „numai $A$" se obține scăzând din $A$ cele două intersecții și punând la loc, o dată, intersecția triplă: $21-8-7+3=9$ elemente. c) (2 p) Fiecare intersecție de câte două conține și intersecția triplă, deci regiunile „exact două" au $8-3=5$, $7-3=4$ și $5-3=2$ elemente, în total $11$. (Control: regiunile simple sunt $9$, $17-8-5+3=7$ și $14-7-5+3=5$, iar $9+7+5+11+3=35$.)

Exercițiul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) A. Din $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$ și $n(A\cap B)\ge 0$ rezultă inegalitatea; egalitatea are loc exact când mulțimile sunt disjuncte. b) A. Termenul cu $b^3$ este $T_4=C_6^3{a}^3(-b{)}^3=-20a^3{b}^3$, deci coeficientul este $-20<0$. c) F. Chiar dacă intersecția celor trei este vidă, intersecțiile luate câte două se pot să nu fie, iar ele tot trebuie scăzute: formula devine $n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)$. d) A. Suma este dezvoltarea lui $(1-1{)}^8=0$, scrisă cu $a=1$ și $b=-1$.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) Coeficienții binomiali de pe linia $4$ sunt $1,4,6,4,1$, iar puterile lui $5$ cresc de la $5^0$ la $5^4$: $$(x+5{)}^4=x^4+20x^3+150x^2+500x+625.$$ b) Cu $a$ și $-2b$ în locul celor doi termeni: $$(a-2b{)}^4=a^4-8a^{3}b+24a^2{b}^2-32a{b}^3+16b^4.$$ c) Suma coeficienților se obține punând $x=1$: $(5\cdot 1-2{)}^3=3^3=27$. d) Coeficientul lui $x^2$ corespunde lui $k=2$: $C_4^2\cdot 5^2=6\cdot 25=150$, cum se vede și în dezvoltarea de la a).

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) Se pornește din centru, cu $5$. Regiunile de câte două, fără centru: umbră și udare $14-5=9$; umbră și sol acid $11-5=6$; udare și sol acid $9-5=4$. Regiunile simple: numai umbră $38-9-6-5=18$; numai udare $30-9-4-5=12$; numai sol acid $26-6-4-5=11$. Deci: $18,12,11,9,6,4,5$. b) (2 p) Prin adunarea regiunilor: $18+12+11+9+6+4+5=65$ exemplare. (Același rezultat prin formulă: $(38+30+26)-(14+11+9)+5=94-34+5=65$.) c) (2 p) $80-65=15$ exemplare nu au nevoie de niciuna dintre cele trei condiții.

Exercițiul 6. (6 p) a) (2 p) Numărul multiplilor lui $d$ din $\{1,2,\dots ,180\}$ este câtul împărțirii lui $180$ la $d$: $180:4=45$, $180:6=30$, $180:9=20$. b) (3 p) Intersecțiile sunt mulțimile multiplilor celor mai mici multipli comuni: $[4,6]=12$, $[4,9]=36$, $[6,9]=18$ și $[4,6,9]=36$ (1 p). Deci $180:12=15$, $180:36=5$, $180:18=10$ și $180:36=5$ (1 p). Prin principiul includerii și al excluderii, $$45+30+20-15-5-10+5=70$$ numere (1 p). Capcana este $[4,6]=12$, nu $24$, și $[6,9]=18$, nu $54$. c) (1 p) $180-70=110$ numere nu sunt divizibile cu niciunul dintre cei trei divizori.

Exercițiul 7. (8 p) — câte 2 puncte. a) $T_{k+1}=C_6^k{x}^{6-k}\cdot 3^k$, cu $k\in \{0,1,2,3,4,5,6\}$ — sunt $7$ termeni, iar rangul termenului este $k+1$. b) Termenul al patrulea corespunde lui $k=3$: $T_4=C_6^3{x}^3\cdot 3^3=20\cdot 27\cdot x^3=540{\mathbf{x}}^3$. c) Puterea $x^4$ apare pentru $6-k=4$, adică $k=2$: coeficientul este $C_6^2\cdot 3^2=15\cdot 9=135$. d) Termenul liber corespunde lui $k=6$: $T_7=C_6^6\cdot 3^6=729$.

Exercițiul 8. (6 p) a) (3 p) În formula binomului se ia $a=b=1$ și $n=9$ (1 p): $(1+1{)}^9=C_9^0+C_9^1+\cdots +C_9^9$ (1 p), deci suma este $2^9=512$ (1 p). (Interpretare: atâtea submulțimi are o mulțime cu $9$ elemente.) b) (3 p) Notăm cu $S_p$ suma coeficienților de rang par al indicelui superior, $C_9^0+C_9^2+C_9^4+C_9^6+C_9^8$, și cu $S_i$ suma celorlalți (1 p). Din punctul a) avem $S_p+S_i=512$, iar din $(1-1{)}^9=0$ avem $S_p-S_i=0$ (1 p). Adunând cele două relații, $2S_p=512$, deci $S_p=256$ (1 p). (Verificare directă: $1+36+126+84+9=256$.)

Exercițiul 9. (6 p) a) (3 p) Greșeala este de metodă: probele alese pentru analiză formează o mulțime, nu un șir — schimbând între ele două probe alese, se obține aceeași alegere (2 p). Se folosesc, deci, combinările: $C_{11}^4=\frac{11\cdot 10\cdot 9\cdot 8}{24}=330$ alegeri (1 p). b) (3 p) Fiecare mulțime de $4$ probe se poate ordona în $4!=24$ de feluri, iar aranjamentele numără toate aceste ordini: $A_{11}^4=4!\cdot C_{11}^4$, adică $7920=24\cdot 330$ (2 p). Numărul $7920$ ar fi răspunsul corect la o cerință în care ordinea contează, de exemplu: „în câte moduri se pot alege $4$ probe din $11$ și se pot analiza una după alta, într-o ordine stabilită" (1 p).

Exercițiul 10. (8 p) a) (3 p) Alegerea soluției-tampon are $4$ variante, alegerea celor $2$ probe din $6$ are $C_6^2=15$ variante (ordinea nu contează), iar alegerea metodei are $3$ variante (2 p). Prin regula produsului, $4\cdot 15\cdot 3=180$ moduri (1 p). b) (2 p) Metoda este fixată, restul rămâne neschimbat: $4\cdot 15\cdot 1=60$ moduri. c) (3 p) Cele $2$ probe se aleg dintre celelalte $5$: $C_5^2=10$ variante (1 p), deci $4\cdot 10\cdot 3=120$ moduri (1 p). Control prin complement: alegerile care conțin proba $1$ sunt $4\cdot C_5^1\cdot 3=60$, iar $120+60=180$ (1 p).

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) Termenul general este $T_{k+1}=C_8^k{\left(x^3\right)}^{8-k}{\left(\frac{1}{x}\right)}^k$ (1 p). Puterile se adună: ${\left(x^3\right)}^{8-k}=x^{24-3k}$, iar ${\left(\frac{1}{x}\right)}^k=x^{-k}$ (1 p), deci $T_{k+1}=C_8^k{x}^{24-3k-k}=C_8^k{x}^{24-4k}$, cu $k\in \{0,1,\dots ,8\}$ (1 p). b) (3 p) Termenul liber are exponentul lui $x$ egal cu zero: $24-4k=0$ (1 p), deci $k=6$, valoare acceptată, fiind între $0$ și $8$ (1 p). Termenul este $T_7=C_8^6=C_8^2=28$ (1 p). c) (2 p) Un termen în $x^{10}$ ar cere $24-4k=10$, adică $4k=14$ (1 p). Cum $14$ nu se împarte exact la $4$, nu există niciun $k$ natural cu această proprietate, deci dezvoltarea nu are termen în $x^{10}$ (1 p).

Exercițiul 12. (8 p) a) (2 p) Elevii care studiază cel puțin una dintre discipline sunt toți, în afară de cei $3$ care nu studiază niciuna: $n(A\cup B)=36-3=33$. b) (3 p) Din $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$ (1 p) rezultă $33=21+17-n(A\cap B)$ (1 p), deci $n(A\cap B)=38-33=5$ elevi studiază ambele discipline (1 p). c) (3 p) Numai biologia: $21-5=16$ elevi; numai chimia: $17-5=12$ elevi (2 p). La exact una dintre discipline sunt $16+12=28$ de elevi (1 p). (Control: $28+5+3=36$.)

Exercițiul 13. (8 p) a) (2 p) Dezvoltarea lui $(a+b{)}^n$ are $n+1$ termeni, iar aici $n=10$, deci sunt $10+1=11$ termeni, corespunzători lui $k=0,1,\dots ,10$. b) (3 p) Termenul general este $T_{k+1}=C_{10}^k\cdot 1^{10-k}\cdot x^k=C_{10}^k{x}^k$ (1 p), deci puterea $x^3$ apare pentru $k=3$ (1 p), cu coeficientul $C_{10}^3=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{6}=120$ (1 p). c) (3 p) Dezvoltarea are $11$ termeni, număr impar, deci are un singur termen la mijloc, al șaselea (1 p), corespunzător lui $k=5$ (1 p). Acesta este $T_6=C_{10}^5{x}^5=252{\mathbf{x}}^5$ (1 p).

Pentru părinți și profesori

Testul verifică al doilea strat al unității de numărare, cel pe care programa de științe îl are, iar programa de matematică-informatică nu îl numește: principiul includerii și al excluderii pentru trei mulțimi (formula, diagrama Venn cu trei cercuri, numărarea multiplilor și numărarea elementelor care nu au nicio proprietate) și binomul lui Newton (dezvoltarea completă, termenul general $T_{k+1}$, identitățile cu coeficienți binomiali), împreună cu alegerea metodei de numărare în probleme practice. Factorialul, permutările, aranjamentele, combinările, combinările complementare și triunghiul lui Pascal au fost verificate în testul anterior al unității, la fel ca principiul includerii și al excluderii pentru două mulțimi — aici ele sunt unelte de lucru, nu obiect de evaluare.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La problemele cu mulțimi se cere numit explicit ce înseamnă fiecare mulțime înainte de orice calcul, iar la cele cu trei mulțimi se cere completată diagrama dinspre centru spre exterior, ca proba rezultatului. La dezvoltările binomiale se cere scris termenul general înainte de a căuta un termen anume.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau lecțiile unității, în special semnul cu care intră intersecția celor trei mulțimi și scrierea termenului general al dezvoltării.
• Formule de reținut: principiul includerii și al excluderii pentru două, respectiv trei mulțimi finite: $$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B),$$ $$n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C);$$ numărul elementelor care nu aparțin niciuneia dintre mulțimi este $N-n(A\cup B\cup C)$, unde $N$ este numărul total; numărul multiplilor lui $d$ din $\{1,2,\dots ,N\}$ este câtul împărțirii lui $N$ la $d$, iar intersecția multiplilor lui $d_1$ și $d_2$ este mulțimea multiplilor celui mai mic multiplu comun al lor, nu ai produsului. Binomul lui Newton: $$(a+b{)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+\cdots +C_n^n{b}^n,T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k,$$ dezvoltarea are $n+1$ termeni, suma exponenților este $n$ în fiecare termen, iar rangul termenului este $k+1$, nu $k$; suma coeficienților unei dezvoltări se obține înlocuind literele cu $1$; identitățile $C_n^0+C_n^1+\cdots +C_n^n=2^n$ și $C_n^0-C_n^1+\cdots +(-1{)}^n{C}_n^n=0$ vin din $(1+1{)}^n$, respectiv $(1-1{)}^n$.
• Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) ambele teme apar în domeniul Algebră, la capitolul de clasa a X-a „Metode de numărare", unde programa scrie deopotrivă „principiul includerii și al excluderii" și „dezvoltarea binomului lui Newton". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, unde binomul lui Newton apare în capitolul „Metode de numărare" și se cere la Subiectul I, iar principiul includerii și al excluderii nu apare deloc în lista de conținuturi. De aceea itemii de includere–excludere poartă marcajul „MAT_P2 2030", iar cei de binom, marcajul obișnuit.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".