Test: Logică matematică și metode de demonstrație (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Elemente de logică matematică

Exerciții

Partea I – Propoziții, operații logice și tabele de adevăr

Exercițiul 1 (6 puncte)

Precizează care dintre enunțuri sunt propoziții logice; pentru cele care sunt, scrie și valoarea de adevăr, iar pentru celelalte, motivul (câte 1 punct): a) „Apa pură fierbe la $100$ de grade Celsius, la presiune atmosferică normală." b) „Cântărește proba de trei ori și notează rezultatele!" c) „$\sqrt{169}-\sqrt{25}=8$" d) „Masa acestei probe este de $m$ grame." e) „Numărul $6^3$ se divide cu $5$." f) „Chimia este mai interesantă decât fizica."

Exercițiul 2 (6 puncte)

Într-un protocol de laborator scrie: „o probă se acceptă dacă masa ei este cel puțin $25$ de grame". Notăm cu $p$ propoziția „masa probei este cel puțin $25$ de grame". a) Scrie negația lui $p$, mai întâi în limbaj obișnuit, apoi ca inegalitate. (2 p) b) O probă are masa de exact $25$ de grame. Precizează, cu justificare, $v(p)$ și $v(\neg p)$ pentru ea. (2 p) c) Scrie negația propoziției „toate cele cinci probe din lot au masa de cel puțin $25$ de grame" și precizează câte probe trebuie cântărite ca să dovedești negația. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Se consideră propozițiile $p$: „$\sqrt{50}-\sqrt{18}=2\sqrt{2}$", $q$: „numărul $91$ este prim" și $r$: „numărul $2^6-1$ se divide cu $7$". a) Determină $v(p)$, $v(q)$ și $v(r)$, cu justificare. (2 p) b) Determină $v\left(p\wedge q\right)$, $v\left(p\vee q\right)$ și $v\left(q\Rightarrow r\right)$. (2 p) c) Determină $v\left(\neg q\Rightarrow p\wedge r\right)$. (2 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Enunțul $p\wedge q$ este fals: A. doar când amândouă propozițiile sunt false; B. când cel puțin una dintre propoziții este falsă; C. niciodată; D. doar când exact una dintre propoziții este falsă.

b) Negația enunțului „$x\ge 3$ și $x\le 8$" este: A. „$x<3$ și $x>8$"; B. „$x<3$ sau $x>8$"; C. „$x\le 3$ sau $x\ge 8$"; D. „$x>3$ și $x<8$".

c) Negația propoziției $\exists n\in \mathbb{N},P(n)$ este: A. $\exists n\in \mathbb{N},\neg P(n)$; B. $\forall n\in \mathbb{N},P(n)$; C. $\forall n\in \mathbb{N},\neg P(n)$; D. $\exists n\notin \mathbb{N},P(n)$.

d) Într-o demonstrație prin inducție matematică, după verificarea propoziției $P(1)$ urmează: A. verificarea propozițiilor $P(2)$, $P(3)$ și așa mai departe; B. presupunerea că $P(n)$ este adevărată pentru orice $n$; C. demonstrația implicației $P(k)\Rightarrow P(k+1)$; D. concluzia.

Partea a II-a – Predicate, cuantificatori și negare

Exercițiul 5 (6 puncte)

Pe mulțimea ${\mathbb{N}}^{\ast }$ se consideră predicatele $p(x)$: „$x$ este divizor al lui $18$" și $q(x)$: „$x$ este număr par". a) Determină mulțimea de adevăr $A_p$. (2 p) b) Determină mulțimea de adevăr a predicatului $p(x)\wedge q(x)$ și numărul elementelor ei. (2 p) c) Determină mulțimea de adevăr a predicatului $p(x)\vee q(x)$, restrânsă la $\{1,2,\dots ,10\}$. (2 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Stabilește valoarea de adevăr a fiecărei propoziții, cu justificare (câte 2 puncte): a) $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast },\frac{1}{n}\le 1$; b) $\exists x\in \mathbb{R},x^2+4x+7=0$; c) $\forall x\in \mathbb{R},\exists y\in \mathbb{R},x\cdot y=1$.

Exercițiul 7 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Scrie negația fiecărei propoziții și precizează care dintre cele două — propoziția sau negația ei — este adevărată (câte 2 puncte): a) „Numărul $105$ se divide cu $3$ și se divide cu $4$." b) „$\sqrt{15}<4$ sau $\sqrt{15}>5$." c) „$\forall n\in \mathbb{N}$, dacă $n$ se divide cu $6$, atunci $n$ se divide cu $9$." d) „$\exists x\in \mathbb{R},x^4+1=0$."

Exercițiul 8 (6 puncte)

Pentru fiecare raționament, precizează dacă este valid sau nevalid și justifică (câte 2 puncte): a) „Dacă o soluție are pH-ul mai mic decât $7$, atunci ea este acidă. Soluția din vas nu este acidă. Deci pH-ul ei nu este mai mic decât $7$." b) „Orice metal conduce curentul electric. Grafitul conduce curentul electric. Deci grafitul este metal." c) „Dacă un număr natural se divide cu $15$, atunci se divide cu $5$. Numărul $n$ nu se divide cu $15$. Deci $n$ nu se divide cu $5$."

Exercițiul 9 (6 puncte)

Trei probe de sol au împreună masa mai mare de $60$ de grame. a) Scrie negația concluziei „cel puțin una dintre cele trei probe are masa mai mare de $20$ de grame". (2 p) b) Demonstrează prin reducere la absurd că cel puțin una dintre probe are masa mai mare de $20$ de grame. (2 p) c) Explică într-un rând de ce concluzia nu ar mai fi adevărată dacă masa totală ar fi exact $60$ de grame. (2 p)

Partea a III-a – Demonstrații și raționament

Exercițiul 10 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră afirmația $P(n)$: „$3+7+11+\cdots +\left(4n-1\right)=n\left(2n+1\right)$", pentru orice număr natural $n\ge 1$. a) Scrie explicit propoziția $P(1)$ și verific-o prin calcul. (2 p) b) Scrie explicit propozițiile $P(k)$ și $P(k+1)$ și precizează termenul care se adaugă la trecerea de la una la alta. (2 p) c) Demonstrează afirmația prin metoda inducției matematice. (4 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

a) Demonstrează prin metoda inducției matematice că $5\mid 6^n-1$, pentru orice număr natural $n\ge 1$. (5 p) b) Folosind rezultatul de la punctul a), arată că numărul $6^{10}-1$ se divide cu $5$ și precizează ultima lui cifră. (3 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Se consideră enunțul $E=\left(p\wedge \neg q\right)\Rightarrow \neg p$. a) Alcătuiește tabelul de adevăr al lui $E$, trecând și coloanele intermediare $\neg q$, $p\wedge \neg q$ și $\neg p$. (5 p) b) Precizează dacă $E$ este tautologie, contradicție sau enunț realizabil. (2 p) c) Precizează pentru ce valori de adevăr ale lui $p$ și ale lui $q$ enunțul $E$ este fals. (1 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Fie $a$ și $b$ numere reale. Se consideră propoziția „$a^2+b^2=2ab$ dacă și numai dacă $a=b$". a) Scrie cele două implicații pe care le cere demonstrarea unei echivalențe și precizează care este sensul direct. (2 p) b) Demonstrează implicația directă: dacă $a^2+b^2=2ab$, atunci $a=b$. (3 p) c) Demonstrează reciproca, apoi folosește echivalența ca să decizi dacă propoziția „$3^2+5^2=2\cdot 3\cdot 5$" este adevărată. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) Propoziție logică, adevărată. Enunțul afirmă un fapt care se poate verifica și despre care se poate spune că este adevărat. b) Nu este propoziție logică: este o poruncă, iar unei porunci nu i se poate atribui o valoare de adevăr. c) Propoziție logică, adevărată: $\sqrt{169}=13$ și $\sqrt{25}=5$, iar $13-5=8$. d) Nu este propoziție logică: conține variabila liberă $m$ și devine propoziție abia după înlocuirea ei cu un număr; un astfel de enunț se numește predicat. e) Propoziție logică, falsă: $6^3=216$, iar $216$ nu se divide cu $5$, fiindcă ultima lui cifră nu este $0$ sau $5$. f) Nu este propoziție logică: este o părere, nu o afirmație care se poate verifica.

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) În limbaj obișnuit: „masa probei este mai mică decât $25$ de grame" (1 p). Ca inegalitate: $m<25$, unde $m$ este masa în grame (1 p). Negația lui „cel puțin $25$" nu este „cel mult $25$", ci „strict mai mic decât $25$". b) (2 p) „Cel puțin $25$" înseamnă $m\ge 25$, iar $25\ge 25$ este adevărat, deci $v(p)=1$ (1 p) și $v(\neg p)=0$ (1 p). Proba se acceptă: egalitatea intră în condiție. c) (2 p) Negația este „cel puțin una dintre cele cinci probe are masa mai mică decât $25$ de grame" — nu „niciuna dintre probe nu are masa de cel puțin $25$ de grame" (1 p). Ca să dovedești negația e de ajuns o singură probă cântărită, dacă ea iese sub $25$ de grame; ca să dovedești propoziția inițială ar trebui cântărite toate cinci (1 p).

Exercițiul 3. (6 p) a) (2 p) Scoatem factorii de sub radical: $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ și $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$, deci diferența este $2\sqrt{2}$ și $v(p)=1$. Apoi $91=7\cdot 13$, deci numărul nu este prim și $v(q)=0$. În fine, $2^6-1=63=7\cdot 9$, deci $v(r)=1$. b) (2 p) Conjuncția cere amândouă adevărate, deci $v\left(p\wedge q\right)=0$. Disjuncția cere măcar una adevărată, deci $v\left(p\vee q\right)=1$. Implicația are ipoteza falsă, deci este adevărată „în gol": $v\left(q\Rightarrow r\right)=1$. c) (2 p) Ipoteza este $\neg q$, cu valoarea $1$; concluzia este $p\wedge r$, cu valoarea $1$, fiindcă amândouă sunt adevărate. O implicație cu ipoteza adevărată și concluzia adevărată este adevărată, deci $v\left(\neg q\Rightarrow p\wedge r\right)=1$.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) B — conjuncția este adevărată doar când amândouă sunt adevărate, deci este falsă în toate celelalte trei cazuri, adică atunci când cel puțin una este falsă. b) B — prima lege a lui De Morgan: negația intră în paranteză, neagă fiecare bucată și schimbă „și" în „sau"; negația lui $x\ge 3$ este $x<3$, iar a lui $x\le 8$ este $x>8$. c) C — negația lui „există" este „oricare", iar predicatul se neagă și el; varianta A neagă doar predicatul, lăsând cuantificatorul neschimbat. d) C — a doua etapă este pasul inductiv: se presupune $P(k)$ pentru un $k$ fixat și se demonstrează $P(k+1)$. Varianta B ar însemna să presupui chiar ce ai de demonstrat.

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) Divizorii naturali nenuli ai lui $18$ sunt $\{1,2,3,6,9,18\}$, deci aceasta este mulțimea de adevăr $A_p$. b) (2 p) Conjuncția a două predicate dă intersecția mulțimilor lor de adevăr, adică divizorii pari ai lui $18$: $\{2,6,18\}$, o mulțime cu trei elemente. c) (2 p) Disjuncția dă reuniunea. Divizorii lui $18$ care nu depășesc $10$ sunt $1$, $2$, $3$, $6$ și $9$, iar numerele pare din mulțimea dată sunt $2$, $4$, $6$, $8$ și $10$. Reuniunea lor este $\{1,2,3,4,6,8,9,10\}$, cu opt elemente; lipsesc doar $5$ și $7$.

Exercițiul 6. (6 p) — câte 2 puncte. a) Adevărată. Pentru orice număr natural nenul avem $n\ge 1$; împărțind $1$ la un număr cel puțin egal cu $1$, rezultatul nu depășește $1$. Egalitatea se atinge pentru $n=1$. b) Falsă. Discriminantul ecuației este $\Delta =16-28=-12<0$, deci trinomul nu se anulează pentru niciun număr real; el este de altfel strict pozitiv, fiindcă $x^2+4x+7={\left(x+2\right)}^2+3$. c) Falsă. Enunțul cere ca pentru orice $x$ să existe un $y$ potrivit, dar pentru $x=0$ produsul $0\cdot y$ este $0$ pentru orice $y$, deci nu poate fi $1$. Un singur contraexemplu doboară un enunț universal.

Exercițiul 7. (8 p) — câte 2 puncte (1 p negația, 1 p valoarea de adevăr). a) Negația, prin prima lege a lui De Morgan: „numărul $105$ nu se divide cu $3$ sau nu se divide cu $4$". Cum $105=3\cdot 35$, prima parte a conjuncției este adevărată, dar $105$ este impar, deci nu se divide cu $4$: propoziția este falsă, iar negația ei este adevărată. b) Negația, prin a doua lege a lui De Morgan: „$\sqrt{15}\ge 4$ și $\sqrt{15}\le 5$". Din $15<16$ rezultă $\sqrt{15}<4$, deci prima parte a disjuncției este adevărată: propoziția este adevărată, iar negația ei este falsă. c) Negația unui enunț universal este unul existențial, cu predicatul negat, iar negația unei implicații este o conjuncție: „$\exists n\in \mathbb{N}$ care se divide cu $6$ și nu se divide cu $9$". Negația este adevărată, cu contraexemplul $n=12$, iar propoziția inițială este falsă. d) Negația lui „există" este „oricare": „$\forall x\in \mathbb{R},x^4+1\ne 0$". Cum $x^4\ge 0$ pentru orice număr real, avem $x^4+1\ge 1>0$, deci negația este adevărată, iar propoziția inițială este falsă.

Exercițiul 8. (6 p) — câte 2 puncte. a) Valid. Este modus tollens: din implicația „pH sub $7$ $\Rightarrow$ acidă" și din negația concluziei se deduce negația ipotezei. Forma este $\neg q$ împreună cu $p\Rightarrow q$, de unde $\neg p$. b) Nevalid. Este greșeala reciprocei: din „orice metal conduce" și din „grafitul conduce" nu urmează „grafitul este metal". Grafitul chiar este un contraexemplu real — conduce curentul, dar este o formă a carbonului, adică un nemetal. c) Nevalid. Este negarea ipotezei: din $p\Rightarrow q$ și $\neg p$ nu se deduce $\neg q$. Contraexemplul $n=10$ arată de ce: el nu se divide cu $15$, dar se divide cu $5$.

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) Negația unui enunț existențial este unul universal, cu predicatul negat: „toate cele trei probe au masa cel mult $20$ de grame". Negația lui „mai mare decât $20$" este „cel mult $20$", nu „mai mică decât $20$". b) (2 p) Presupunem, prin absurd, că negația de la punctul a) este adevărată: fiecare dintre cele trei probe are masa cel mult $20$ de grame (0,5 p). Adunând cele trei inegalități, masa totală este cel mult $3\cdot 20=60$ de grame (1 p). Aceasta contrazice ipoteza, după care masa totală este strict mai mare de $60$ de grame. Presupunerea fiind falsă, concluzia inițială este adevărată (0,5 p). c) (2 p) Dacă masa totală ar fi exact $60$ de grame, cele trei probe ar putea avea fiecare exact $20$ de grame, iar atunci niciuna nu ar depăși $20$ de grame. Contradicția din demonstrație a folosit inegalitatea strictă, deci enunțul cade tocmai pe cazul de margine.

Exercițiul 10. (8 p) a) (2 p) $P(1)$ este propoziția „$3=1\cdot \left(2\cdot 1+1\right)$" (1 p). Membrul stâng are un singur termen, $4\cdot 1-1=3$, iar membrul drept este $1\cdot 3=3$: propoziția este adevărată (1 p). b) (2 p) $P(k)$ este „$3+7+\cdots +\left(4k-1\right)=k\left(2k+1\right)$", iar $P(k+1)$ este „$3+7+\cdots +\left(4k-1\right)+\left(4k+3\right)=\left(k+1\right)\left(2k+3\right)$" (1 p). Termenul care se adaugă se obține înlocuind $n$ cu $k+1$ în termenul general: $4\left(k+1\right)-1=4k+3$ (1 p). c) (4 p) Etapa de verificare: $P(1)$ este adevărată, după punctul a) (1 p). Etapa de demonstrație: presupunem $P(k)$ adevărată pentru un $k\ge 1$ fixat și calculăm suma până la rangul $k+1$, rupând-o în suma până la $k$ plus ultimul termen (1 p): $$3+7+\cdots +\left(4k-1\right)+\left(4k+3\right)=k\left(2k+1\right)+4k+3=2k^2+5k+3.$$ Descompunem rezultatul: $2k^2+5k+3=\left(k+1\right)\left(2k+3\right)=\left(k+1\right)\left(2\left(k+1\right)+1\right)$, adică exact membrul drept al lui $P(k+1)$ (1 p). Cele două etape fiind încheiate, principiul inducției matematice dă concluzia: $P(n)$ este adevărată pentru orice $n\ge 1$ (1 p).

Exercițiul 11. (8 p) a) (5 p) Etapa de verificare: pentru $n=1$ avem $6^1-1=5$, care se divide cu $5$ (1 p). Etapa de demonstrație: presupunem că $6^k-1$ se divide cu $5$ pentru un $k\ge 1$ fixat, adică $6^k-1=5t$ cu $t$ număr natural (1 p). Atunci $$6^{k+1}-1=6\cdot 6^k-1=6\left(6^k-1\right)+5=30t+5=5\left(6t+1\right),$$ deci și $6^{k+1}-1$ se divide cu $5$ (2 p). Trucul stă în scrierea lui $6\cdot 6^k$ ca $6\left(6^k-1\right)+6$, care scoate la iveală expresia din ipoteză. Prin inducție, afirmația este adevărată pentru orice $n\ge 1$ (1 p). b) (3 p) Rezultatul de la a) se aplică pentru $n=10$, deci $6^{10}-1$ se divide cu $5$ (1 p). Orice putere nenulă a lui $6$ se termină în cifra $6$, fiindcă $6\cdot 6=36$ (1 p); scăzând $1$, numărul $6^{10}-1$ se termină în cifra $5$, ceea ce confirmă divizibilitatea cu $5$ (1 p).

Exercițiul 12. (8 p) a) (5 p) Enunțul are două propoziții simple, deci tabelul are $2^2=4$ linii, scrise în ordinea standard:

Coloana finală, în ordinea standard a liniilor, este A, F, A, A. (4 p pentru cele patru linii ale tabelului, 1 p pentru coloanele intermediare corect completate) b) (2 p) Coloana finală conține și A, și F, deci enunțul nu este nici tautologie, nici contradicție: este un enunț realizabil. c) (1 p) Enunțul este fals pe o singură linie, a doua: când $p$ este adevărată și $q$ este falsă. Acolo ipoteza $p\wedge \neg q$ este adevărată, iar concluzia $\neg p$ este falsă — singurul caz în care o implicație este falsă.

Exercițiul 13. (8 p) a) (2 p) O echivalență se demonstrează în două părți: implicația directă, „dacă $a^2+b^2=2ab$, atunci $a=b$", și reciproca, „dacă $a=b$, atunci $a^2+b^2=2ab$" (1,5 p). Sensul direct este primul, cel care pornește de la egalitatea dintre pătrate (0,5 p). b) (3 p) Trecem totul într-un membru: $a^2-2ab+b^2=0$ (1 p). Membrul stâng este pătratul unei diferențe, deci ${\left(a-b\right)}^2=0$ (1 p). Un pătrat se anulează numai când baza lui este zero, deci $a-b=0$, adică $a=b$ (1 p). c) (3 p) Reciproca: dacă $a=b$, atunci $a^2+b^2=2a^2$, iar $2ab=2a\cdot a=2a^2$, deci cei doi membri coincid (1 p). Pentru numerele $3$ și $5$, membrul stâng este $9+25=34$, iar membrul drept este $30$ (1 p). Cele două nu sunt egale, ceea ce se potrivea cu echivalența: numerele $3$ și $5$ fiind diferite, egalitatea nu avea cum să fie adevărată (1 p).

Pentru părinți și profesori

Testul verifică întreaga unitate de logică matematică a traseului de științe ale naturii — cele cincisprezece lecții ale ei, de la Propoziția logică și valoarea de adevăr până la Inducția matematică: aplicații. Sunt acoperite, așadar, recunoașterea unei propoziții, negația, cele patru operații logice și tabelul de adevăr al unui enunț compus, predicatele cu mulțimea lor de adevăr, cuantificatorii și regulile de negare (inclusiv legile lui De Morgan), validarea unui raționament și cele două metode de demonstrație cerute de programă: reducerea la absurd și inducția matematică. Unitatea este acoperită de un singur test, așa că nimic nu rămâne pe seama unui test vecin. Enunțurile sunt alese, acolo unde se poate, din laborator — mase, temperaturi, pH, conductivitate —, pentru că la acest profil logica se învață ca limbaj al justificării unei măsurători, nu ca un capitol de sine stătător.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La fiecare valoare de adevăr se cere justificarea, nu doar litera A sau F; la negații se cere forma finală, rescrisă în română curată, nu doar „nu este adevărat că…"; la cele două demonstrații se cere redactarea completă, cu presupunerea de lucru scrisă explicit la reducerea la absurd și cu ambele etape la inducție.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau lecțiile unității, în special negarea enunțurilor cu cuantificatori și etapa de verificare de la inducție.
• Formule de reținut: $v(\neg p)=1-v(p)$; conjuncția $p\wedge q$ este adevărată doar când amândouă sunt adevărate, iar disjuncția $p\vee q$ este falsă doar când amândouă sunt false; implicația $p\Rightarrow q$ este falsă într-un singur caz, ipoteză adevărată și concluzie falsă, iar o implicație cu ipoteză falsă este adevărată; echivalența este adevărată exact când cele două propoziții au aceeași valoare de adevăr; tabelul unui enunț cu $n$ propoziții simple are $2^n$ linii, iar prioritatea operatorilor este $\neg$, apoi $\wedge$, apoi $\vee$, la urmă $\Rightarrow$ și $\iff$; legile lui De Morgan: $\neg \left(p\wedge q\right)$ este echivalent cu $\neg p\vee \neg q$, iar $\neg \left(p\vee q\right)$ cu $\neg p\wedge \neg q$; negația implicației este $p\wedge \neg q$; negația cuantificatorilor: $\neg \left(\forall x\in M,P(x)\right)$ este $\exists x\in M,\neg P(x)$, iar $\neg \left(\exists x\in M,P(x)\right)$ este $\forall x\in M,\neg P(x)$; un contraexemplu doboară un enunț universal, iar un exemplu demonstrează unul existențial; modus ponens și modus tollens sunt valide, greșeala reciprocei și negarea ipotezei nu sunt; reducerea la absurd presupune negația concluziei și caută o contradicție; inducția matematică are două etape obligatorii, verificarea lui $P(n_0)$ și demonstrația implicației $P(k)\Rightarrow P(k+1)$.
• Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la capitolul „Elemente de logică matematică", cu cele două rânduri ale lui: „Propoziții și predicate; operații: negația, conjuncția, disjuncția, implicația, echivalența; cuantificatori; reguli de negare" și „Metode de raționament: metoda reducerii la absurd; metoda inducției matematice". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029; acolo programa de examen (OMEN 4430/2014) trece aceleași conținuturi la materia clasei a IX-a, în capitolul „Mulțimi și elemente de logică matematică", pe patru rânduri: „Propoziție, predicat, cuantificatori", „Operații logice elementare (negație, conjuncție, disjuncție, implicație, echivalență), corelate cu operațiile și cu relațiile dintre mulțimi", „raționament prin reducere la absurd" și „Inducția matematică". Tema fiind în amândouă programele, itemii de examen ai testului poartă marcajul simplu, fără mențiunea „MAT_P2 2030". O precizare cinstită: programele spun ce se cere, nu unde apare tema în structura probei, iar la ce subiect ajunge logica matematică nu se poate citi din ele, ci doar din modelul oficial de subiect, pe care caseta aceasta nu îl invocă. Deosebirea dintre cele două generații nu e de conținut, ci de accent: programa nouă adaugă nota că operațiile logice se ilustrează cu exemple concrete simple („și" = intersecție, „sau" = reuniune, „există" = cel puțin un element convine).

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".