Test: Metode de numărare: aranjamente și combinări (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Metode de numărare

Exerciții

Partea I – Reguli de numărare, factorial, aranjamente și combinări

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Valoarea raportului $\frac{12!}{10!}$ este: A. $\frac{6}{5}$; B. $132$; C. $2$; D. $120$.

b) Valoarea lui $A_{13}^2$ este: A. $26$; B. $78$; C. $156$; D. $169$.

c) Valoarea lui $C_{11}^9$ este: A. $20$; B. $55$; C. $90$; D. $110$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Calculează, alegând de fiecare dată drumul cel mai scurt (câte 1,5 puncte):

a) $3!\cdot 4!$;

b) $\frac{16!}{3!\cdot 13!}$;

c) $A_{12}^3$;

d) $C_{22}^{20}$.

Exercițiul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte):

a) „$C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}$, pentru orice $0\le k\le n$."

b) „Numărul submulțimilor cu $2$ elemente ale unei mulțimi cu $6$ elemente este $A_6^2$."

c) „$C_{17}^{15}=136$."

d) „Dacă $A_n^2=12$, atunci $n=4$."

Exercițiul 4 (8 puncte)

Pentru un experiment de chimie se stabilește o procedură, alegând, în această ordine: unul dintre cele $3$ reactive ($R_1$, $R_2$, $R_3$), una dintre cele $2$ temperaturi de lucru și una dintre cele $2$ durate de reacție. Determină (câte 2 puncte):

a) câte perechi (reactiv, temperatură) se pot forma; scrie-le pe toate, așezate pe ramurile unei diagrame arborescente cu două niveluri;

b) câte proceduri complete se pot forma, justificând prin regula produsului;

c) câte proceduri complete nu folosesc reactivul $R_1$;

d) câte variante are elevul, dacă poate alege fie o procedură ca mai sus, fie una dintre cele $5$ proceduri standard din manual.

Partea a II-a – Permutări, aranjamente și combinări în contexte de laborator

Exercițiul 5 (6 puncte)

Un protocol de laborator are $7$ etape distincte, printre care cântărirea și titrarea. Etapele se pot efectua în orice ordine.

a) În câte ordini se pot efectua cele $7$ etape? (2 p) b) În câte dintre aceste ordini cântărirea este prima etapă? (2 p) c) În câte dintre ele titrarea nu este ultima etapă? (2 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Pentru portofoliul de chimie, un elev alege $3$ experimente dintr-o listă de $8$ și le așază în ordinea în care le va prezenta.

a) În câte moduri poate face alegerea împreună cu ordinea de prezentare? (2 p) b) În câte dintre ele experimentul despre electroliză este prezentat primul? (2 p) c) Câte mulțimi de $3$ experimente se pot alege, dacă ordinea prezentării nu mai contează? Arată ce legătură este între cele două rezultate. (2 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Într-un cabinet de biologie sunt $9$ preparate microscopice de origine vegetală și $6$ de origine animală, toate diferite. Pentru o lucrare practică se aleg câteva preparate, ordinea alegerii neavând importanță. Determină (câte 2 puncte):

a) în câte moduri se pot alege $3$ preparate vegetale și $2$ animale;

b) în câte moduri se pot alege $5$ preparate, oricare dintre cele $15$;

c) câte dintre alegerile de la punctul b) conțin numai preparate vegetale;

d) câte dintre alegerile de la punctul b) conțin exact $4$ preparate vegetale.

Exercițiul 8 (6 puncte)

Rezolvă, scriind mai întâi condițiile asupra indicilor:

a) $A_n^2=56$, cu $n\in \mathbb{N}$; (3 p)

b) $C_{14}^x=C_{14}^{3x-6}$, cu $x\in \mathbb{N}$. (3 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

a) Scrie liniile $6$ și $7$ ale triunghiului lui Pascal și arată, pe două numere alăturate, cum funcționează formula de recurență. (2 p) b) Arată că $C_{13}^5=C_{13}^8$ și explică, prin numărarea submulțimilor, de ce egalitatea are loc. (2 p) c) Calculează $C_{19}^{17}$, alegând drumul cel mai scurt. (2 p)

Partea a III-a – Raționament și probleme

Exercițiul 10 (8 puncte)

Dintre cei $24$ de elevi ai unei grupe, $15$ s-au înscris la cercul de astronomie și $11$ la cel de robotică, iar $5$ elevi s-au înscris la amândouă.

a) Explică, într-o propoziție, de ce răspunsul „$15+11=26$ de elevi înscriși" este greșit. (2 p) b) Determină câți elevi s-au înscris la cel puțin un cerc. (3 p) c) Determină câți elevi s-au înscris la exact un cerc și câți nu s-au înscris la niciunul. (3 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Etichetele probelor dintr-un laborator au forma: două litere distincte, alese din mulțimea $\{A,B,C,D,E\}$ și scrise în ordine, urmate de două cifre distincte, alese din mulțimea $\{1,2,3,4,5,6\}$ și scrise tot în ordine.

a) Câte etichete se pot forma? (3 p) b) Câte etichete încep cu litera $A$? (2 p) c) Câte etichete au prima cifră pară? (3 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Într-un studiu de biologie se analizează $12$ specii de plante, dintre care $7$ sunt medicinale.

a) Determinați în câte moduri se poate alege un grup de $4$ specii din cele $12$. (2 p) b) Determinați în câte moduri se poate alege un grup de $4$ specii care conține exact $2$ specii medicinale. (3 p) c) Determinați în câte moduri se poate alege un grup de $4$ specii care conține cel puțin o specie medicinală. (3 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră numărul natural $n$, cu $n\ge 2$.

a) Arătați că $C_5^2+C_6^2=25$. (2 p) b) Determinați numărul natural $n$ pentru care $C_n^{n-2}=36$. (3 p) c) Arătați că numărul $C_n^2+C_{n+1}^2$ este pătrat perfect, pentru orice $n\ge 2$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) B — $\frac{12!}{10!}=\frac{12\cdot 11\cdot 10!}{10!}=12\cdot 11=132$; factorialul de la numitor se simplifică, nu se calculează. b) C — $A_{13}^2=13\cdot 12=156$ (două numere consecutive descrescătoare, începând de la $13$). c) B — $C_{11}^9=C_{11}^2=\frac{11\cdot 10}{2}=55$, prin combinări complementare.

Exercițiul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte. a) $3!\cdot 4!=6\cdot 24=144$. b) $\frac{16!}{3!\cdot 13!}=C_{16}^3=\frac{16\cdot 15\cdot 14}{6}=560$. c) $A_{12}^3=12\cdot 11\cdot 10=1320$. d) $C_{22}^{20}=C_{22}^2=\frac{22\cdot 21}{2}=231$.

Exercițiul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) A. Submulțimile ordonate cu $k$ elemente se obțin luând fiecare submulțime cu $k$ elemente și ordonând-o în $k!$ feluri, deci $A_n^k=k!\cdot C_n^k$. b) F. Submulțimile nu sunt ordonate, deci numărul lor este $C_6^2=15$; $A_6^2=30$ numără perechile ordonate, adică de două ori mai multe. c) A. $C_{17}^{15}=C_{17}^2=\frac{17\cdot 16}{2}=136$. d) A. $A_n^2=n(n-1)=12$, iar produsul a două numere naturale consecutive este $12$ doar pentru $n=4$ ($3\cdot 4=12$); pentru $n\le 3$ produsul este cel mult $6$, iar pentru $n\ge 5$ este cel puțin $20$.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) Perechile sunt $(R_1,T_1)$, $(R_1,T_2)$, $(R_2,T_1)$, $(R_2,T_2)$, $(R_3,T_1)$, $(R_3,T_2)$: din rădăcină pleacă trei ramuri (reactivele), iar din fiecare câte două (temperaturile). Sunt $3\cdot 2=6$ perechi. b) Alegerea are trei etape succesive, cu $3$, $2$ și $2$ variante, deci $3\cdot 2\cdot 2=12$ proceduri. c) Rămân $2$ reactive, restul alegerilor fiind neschimbate: $2\cdot 2\cdot 2=8$ proceduri. d) Cele două posibilități se exclud una pe alta (o procedură din manual nu este una construită mai sus), deci se aplică regula sumei: $12+5=17$ variante.

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) Ordinea contează și se folosesc toate etapele, deci este vorba de permutări: $P_7=7!=5040$ ordini. b) (2 p) Prima etapă este fixată, iar celelalte $6$ se permută liber: $6!=720$ ordini. c) (2 p) Se numără prin complement: ordinile în care titrarea este ultima sunt $6!=720$, deci cele în care nu este ultima sunt $5040-720=4320$.

Exercițiul 6. (6 p) a) (2 p) Se aleg $3$ experimente din $8$ și se ordonează, deci sunt aranjamente: $A_8^3=8\cdot 7\cdot 6=336$ moduri. b) (2 p) Primul loc este ocupat, iar pentru celelalte două locuri rămân $7$ experimente: $A_7^2=7\cdot 6=42$ moduri. c) (2 p) Fără ordine, alegerea este o submulțime: $C_8^3=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{6}=56$ mulțimi. Legătura este $A_8^3=3!\cdot C_8^3$, adică $336=6\cdot 56$: fiecare mulțime de $3$ experimente se poate prezenta în $3!=6$ ordini.

Exercițiul 7. (8 p) — câte 2 puncte. a) Cele două alegeri sunt independente, deci se aplică regula produsului: $C_9^3\cdot C_6^2=84\cdot 15=1260$ moduri. b) $C_{15}^5=\frac{15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11}{120}=3003$ moduri. c) Toate cele $5$ preparate se aleg dintre cele $9$ vegetale: $C_9^5=C_9^4=126$ alegeri. d) Se aleg $4$ vegetale din $9$ și $1$ animal din $6$: $C_9^4\cdot C_6^1=126\cdot 6=756$ alegeri.

Exercițiul 8. (6 p) a) (3 p) Condiția este $n\ge 2$ (1 p). $A_n^2=n(n-1)=56$, adică $n^2-n-56=0$, cu $\Delta =1+224=225$ și $n=\frac{1\pm 15}{2}$ (1 p). Soluția naturală este $n=8$ (se verifică: $8\cdot 7=56$); $n=-7$ se respinge (1 p). b) (3 p) Condițiile sunt $0\le x\le 14$ și $0\le 3x-6\le 14$, adică $2\le x\le 6$ (1 p). Egalitatea $C_{14}^x=C_{14}^{3x-6}$ are loc dacă $x=3x-6$ sau dacă $x+(3x-6)=14$ (1 p). Prima dă $x=3$, a doua $4x=20$, adică $x=5$; ambele respectă condițiile, deci sunt soluții (1 p).

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) Linia $6$: $1,6,15,20,15,6,1$. Linia $7$: $1,7,21,35,35,21,7,1$. De exemplu, $15+20=35$: numerele $C_6^2$ și $C_6^3$, alăturate pe linia $6$, dau $C_7^3$, scris sub ele, conform formulei $C_7^3=C_6^2+C_6^3$. b) (2 p) $C_{13}^5=C_{13}^{13-5}=C_{13}^8$, iar valoarea comună este $1287$. Explicația prin submulțimi: a alege cele $5$ elemente care intră în submulțime înseamnă, în același timp, a alege cele $8$ elemente care rămân afară; cele două alegeri se determină una pe alta, deci sunt tot atâtea. c) (2 p) $C_{19}^{17}=C_{19}^2=\frac{19\cdot 18}{2}=171$ — drumul scurt este trecerea la combinarea complementară, care lasă doar doi factori de înmulțit.

Exercițiul 10. (8 p) a) (2 p) Cele două grupuri se ating: cei $5$ elevi înscriși la amândouă sunt numărați o dată printre cei $15$ și încă o dată printre cei $11$, deci suma $26$ îi numără de două ori. Regula sumei se aplică numai cazurilor care nu au elemente comune. b) (3 p) Notăm cu $A$ mulțimea celor înscriși la astronomie și cu $B$ a celor înscriși la robotică (1 p). Atunci $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=15+11-5$ (1 p), deci $21$ de elevi s-au înscris la cel puțin un cerc (1 p). c) (3 p) Numai la astronomie: $15-5=10$ elevi; numai la robotică: $11-5=6$ elevi (1 p). La exact un cerc sunt, așadar, $10+6=16$ elevi (1 p). Nu s-au înscris la niciunul $24-21=3$ elevi; controlul se face adunând regiunile: $10+6+5+3=24$ (1 p).

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) Literele sunt distincte și scrise în ordine, deci pentru ele avem $A_5^2=5\cdot 4=20$ variante (1 p); cifrele sunt și ele distincte și ordonate, deci $A_6^2=6\cdot 5=30$ variante (1 p). Prin regula produsului, $20\cdot 30=600$ etichete (1 p). b) (2 p) Prima literă este fixată, a doua se alege dintre celelalte $4$, iar cifrele rămân libere: $4\cdot 30=120$ etichete. c) (3 p) Cifrele pare din mulțime sunt $2$, $4$ și $6$, adică $3$ cifre (1 p); prima cifră se alege în $3$ feluri, iar a doua dintre cele $5$ rămase, deci $3\cdot 5=15$ perechi de cifre (1 p). Literele rămân libere, deci $20\cdot 15=300$ etichete (1 p).

Exercițiul 12. (8 p) a) (2 p) Ordinea nu contează, deci $C_{12}^4=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{24}=495$ moduri. b) (3 p) Se aleg $2$ specii medicinale din cele $7$ și $2$ nemedicinale din cele $12-7=5$ rămase (1 p): $C_7^2\cdot C_5^2=21\cdot 10$ (1 p), adică $210$ moduri (1 p). c) (3 p) Se numără prin complement: grupurile fără nicio specie medicinală sunt cele formate numai din cele $5$ specii nemedicinale, adică $C_5^4=5$ (2 p). Rămân $495-5=490$ moduri (1 p).

Exercițiul 13. (8 p) a) (2 p) $C_5^2=\frac{5\cdot 4}{2}=10$ și $C_6^2=\frac{6\cdot 5}{2}=15$, deci $C_5^2+C_6^2=10+15=25$. b) (3 p) Prin combinări complementare, $C_n^{n-2}=C_n^2$ (1 p), deci $\frac{n(n-1)}{2}=36$, adică $n(n-1)=72$ (1 p). Două numere naturale consecutive cu produsul $72$ sunt $8$ și $9$, deci $n=9$ (1 p). c) (3 p) $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$ și $C_{n+1}^2=\frac{(n+1)n}{2}$ (1 p). Adunând și dând factor comun pe $\frac{n}{2}$, obținem $$C_n^2+C_{n+1}^2=\frac{n[(n-1)+(n+1)]}{2}=\frac{n\cdot 2n}{2}=n^2$$ (1 p), care este pătrat perfect pentru orice $n$ natural. Verificare pentru $n=8$: $C_8^2+C_9^2=28+36=64=8^2$ (1 p).

Pentru părinți și profesori

Testul verifică primul strat al unității de numărare: instrumentele. Sunt acoperite lecțiile despre diagramele arborescente, regula produsului și regula sumei, factorialul, permutările (inclusiv cele cu restricții), aranjamentele, combinările, combinările complementare, formula de recurență și triunghiul lui Pascal, plus cazul cel mai simplu al principiului includerii și al excluderii — acela al două mulțimi, cel care repară regula sumei când cazurile se ating. Binomul lui Newton, termenul general al dezvoltării, identitățile cu coeficienți binomiali și principiul includerii și al excluderii pentru trei mulțimi se verifică în testul următor al aceleiași unități — aici nu se cere nicio dezvoltare de binom și nicio diagramă Venn cu trei cercuri.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator — toate numerele sunt alese astfel încât calculele să se poată face prin simplificare, nu prin înmulțiri lungi. La fiecare problemă de numărare se cere precizat, într-o propoziție, dacă ordinea contează sau nu; un rezultat corect fără această justificare nu e o rezolvare completă.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau lecțiile unității, în special deosebirea dintre $A_n^k$ și $C_n^k$ și numărarea prin complement.
• Formule de reținut: factorialul $n!=1\cdot 2\cdots n$, cu $0!=1$; permutările unei mulțimi cu $n$ elemente: $P_n=n!$; aranjamentele — numărul submulțimilor ordonate cu $k$ elemente: $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)\cdots (n-k+1)$; combinările — numărul submulțimilor cu $k$ elemente: $C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, de unde $A_n^k=k!\cdot C_n^k$ („întâi alegi, apoi ordonezi"); combinările complementare $C_n^k=C_n^{n-k}$; formula de recurență $C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$, adică regula de construcție a triunghiului lui Pascal; regula produsului (etape succesive: se înmulțesc numerele de variante) și regula sumei (cazuri care nu se ating: se adună), iar când cazurile se ating, $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$.
• Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la capitolul de clasa a X-a „Metode de numărare", unde programa scrie „Permutări, aranjamente, combinări, triunghiul lui Pascal — formula de recurență a combinărilor, combinări complementare". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, unde aceleași conținuturi apar tot la capitolul „Metode de numărare" și se cer la Subiectul I, ca cerință scurtă de numărare. Singura noutate a programei de științe față de programa de examen este principiul includerii și al excluderii, care nu apare în lista din 2014.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".