Test: Numere complexe: formă algebrică și ecuații (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Numere complexe

Exerciții

Partea I – Forma algebrică, egalitate și operații

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Partea reală a numărului complex $z=-9+5i$ este: A. $-9$; B. $9$; C. $5$; D. $5i$.

b) Numărul $i^{31}$ este egal cu: A. $1$; B. $-1$; C. $i$; D. $-i$.

c) Modulul numărului complex $z=9+40i$ este: A. $41$; B. $49$; C. $31$; D. $1681$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră numerele complexe $z_1=9+4i$ și $z_2=3-8i$. Calculează, scriind rezultatul sub forma algebrică (câte 1,5 puncte):

a) $z_1+z_2$;

b) $z_1\cdot z_2$;

c) $\overline{z_1}+z_2$;

d) $z_1^2$.

Exercițiul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte):

a) „Dacă $z=a+bi$, cu $a$ și $b$ numere reale, atunci $z\cdot \bar{z}=a^2+b^2$."

b) „Există numere complexe $z$ pentru care $|z|=-3$."

c) „Dacă $z^2=-25$, atunci $z=-5$."

d) „Dacă numerele complexe $z_1$ și $z_2$ au $|z_1|=|z_2|$, atunci $z_1=z_2$."

Exercițiul 4 (8 puncte)

Rezolvă (câte 2 puncte):

a) determină numerele reale $x$ și $y$ pentru care $(3x+1)+(2y-5)i=7+3i$;

b) determină numerele reale $x$ și $y$ pentru care $(x+yi)(2-i)=7+4i$;

c) calculează $(1-2i{)}^2$;

d) calculează $i^{54}+i^{2024}$.

Partea a II-a – Conjugat, modul și planul complex

Exercițiul 5 (6 puncte)

Se consideră numărul complex $z=6-5i$.

a) Scrie $\bar{z}$ și calculează $z+\bar{z}$ și $z-\bar{z}$. (2 p) b) Calculează $z\cdot \bar{z}$ și $|z|$. (2 p) c) Arată că $z^2=11-60i$. (2 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Scrie sub forma algebrică:

a) $\frac{5+5i}{1+2i}$; (2 p)

b) $\frac{13}{2-3i}$; (2 p)

c) soluția ecuației $(2-i)z=5+10i$, cu $z\in \mathbb{C}$. (2 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

În planul complex se consideră punctele $A$ și $B$, de afixe $z_A=-5+11i$ și $z_B=\overline{z_A}$, și punctul $C$, imaginea numărului $z_C=(2+i)(-3+4i)$. Determină (câte 2 puncte):

a) coordonatele punctelor $A$ și $B$ și cadranele în care se află;

b) distanța de la originea $O$ la punctul $A$ și explică de ce $OB=OA$;

c) afixul lui $C$, scris în formă algebrică, și cadranul în care se află $C$;

d) numărul real $m$ pentru care imaginea numărului $(2m-10)+(m+3)i$ se află pe axa imaginară, și afixul obținut.

Exercițiul 8 (6 puncte)

a) Calculează $|20-21i|$ și $|-6i|$. (2 p) b) Calculează $|(2+i)(3-4i)|$, folosind proprietatea modulului produsului, fără a efectua înmulțirea. (2 p) c) Calculează $\left|\frac{20-21i}{4+3i}\right|$. (2 p)

Partea a III-a – Ecuații în $\mathbb{C}$ și probleme

Exercițiul 9 (6 puncte)

Rezolvă în mulțimea $\mathbb{C}$ (câte 2 puncte):

a) $z^2+49=0$;

b) $z^2-2z+26=0$;

c) $4z^2+4z+5=0$.

Exercițiul 10 (8 puncte)

a) Rezolvă în mulțimea $\mathbb{C}$ ecuația bipătrată $z^4-5z^2-36=0$. (3 p) b) Formează ecuația de gradul al doilea, cu coeficientul dominant $1$, care are soluțiile $z_1=10+3i$ și $z_2=10-3i$. (2 p) c) Pentru ecuația $z^2-2z+26=0$, cu soluțiile $z_1$ și $z_2$, calculează $z_1+z_2$, $z_1{z}_2$ și $z_1^2+z_2^2$, fără a rezolva ecuația. (3 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Problemă aplicată.) Temperatura unei probe aflate într-un termostat, măsurată în grade Celsius, este dată de $T(x)=x^2-12x+45$, unde $x$ este timpul scurs de la pornirea programului, în minute. Modelul este valabil pentru $0\le x\le 12$: proba este întâi răcită, apoi readusă la temperatura inițială.

a) Calculează $T(0)$ și $T(6)$, scriind unitatea de măsură. (2 p) b) Arată că ecuația $T(x)=5$ nu are soluții reale și rezolv-o în mulțimea $\mathbb{C}$. (3 p) c) Verifică relațiile lui Viète pentru soluțiile găsite și explică, într-o propoziție, ce înseamnă pentru probă faptul că ecuația nu are soluții reale. (3 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră numărul complex $z=4+i$.

a) Arătați că $z+\bar{z}=8$ și $z\cdot \bar{z}=17$. (2 p) b) Arătați că $z$ este soluție a ecuației $x^2-8x+17=0$. (3 p) c) Determinați numărul real $a$ pentru care numărul $z+a\bar{z}$ este pur imaginar. (3 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră ecuația $z^2+6z+13=0$, cu soluțiile $z_1$ și $z_2$.

a) Arătați că $z_1=-3+2i$ și $z_2=-3-2i$. (3 p) b) Arătați că $|z_1|=|z_2|=\sqrt{13}$. (2 p) c) Calculați $\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) A — în scrierea $z=a+bi$, partea reală este $a=-9$; $5$ este partea imaginară, iar ea este tot un număr real, nu $5i$. b) D — $31=4\cdot 7+3$, deci $i^{31}=i^3=-i$. c) A — $|9+40i|=\sqrt{9^2+40^2}=\sqrt{81+1600}=\sqrt{1681}=41$.

Exercițiul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte. a) Se adună separat părțile reale și cele imaginare: $z_1+z_2=(9+3)+(4-8)i=12-4i$. b) $z_1\cdot z_2=(9+4i)(3-8i)=27-72i+12i-32i^2=27-60i+32=59-60i$. c) $\overline{z_1}=9-4i$, deci $\overline{z_1}+z_2=(9+3)+(-4-8)i=12-12i$. d) $z_1^2=(9+4i{)}^2=81+72i+16i^2=81+72i-16=65+72i$.

Exercițiul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) A. $(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi{)}^2=a^2-b^2{i}^2=a^2+b^2$. b) F. Modulul este $\sqrt{a^2+b^2}$, adică o rădăcină pătrată dintr-un număr nenegativ, deci $|z|\ge 0$ pentru orice $z$. c) F. Din $z^2=-25$ rezultă $z^2+25=0$, adică $(z-5i)(z+5i)=0$, deci $z=5i$ sau $z=-5i$; numărul $-5$ nu convine, fiindcă $(-5{)}^2=25$. d) F. Modulul măsoară numai distanța până la origine. Contraexemplu: $|3+4i|=5=|5|$, dar $3+4i\ne 5$.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) Două numere complexe sunt egale când au aceeași parte reală și aceeași parte imaginară: $3x+1=7$ și $2y-5=3$, deci $x=2$ și $y=4$. b) $(x+yi)(2-i)=2x-xi+2yi-y{i}^2=(2x+y)+(2y-x)i$. Din $2x+y=7$ și $2y-x=4$ rezultă $y=7-2x$, apoi $14-5x=4$, deci $x=2$ și $y=3$. Verificare: $(2+3i)(2-i)=7+4i$. c) $(1-2i{)}^2=1-4i+4i^2=1-4i-4=-3-4i$. d) $54=4\cdot 13+2$, deci $i^{54}=i^2=-1$; $2024=4\cdot 506$, deci $i^{2024}=i^0=1$. Suma este $-1+1=0$.

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) $\bar{z}=6+5i$; $z+\bar{z}=12$ (număr real, egal cu dublul părții reale), iar $z-\bar{z}=-10i$ (număr pur imaginar). b) (2 p) $z\cdot \bar{z}=6^2+(-5{)}^2=36+25=61$, iar $|z|=\sqrt{61}$, fiindcă $|z{|}^2=z\cdot \bar{z}$. c) (2 p) $z^2=(6-5i{)}^2=36-60i+25i^2=36-60i-25=11-60i$.

Exercițiul 6. (6 p) a) (2 p) Se amplifică cu conjugatul numitorului: $\frac{(5+5i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\frac{5-10i+5i+10}{1+4}=\frac{15-5i}{5}=3-\mathbf{i}$. b) (2 p) $\frac{13(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}=\frac{13(2+3i)}{4+9}=2+3i$. c) (2 p) $z=\frac{5+10i}{2-i}=\frac{(5+10i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{10+5i+20i-10}{4+1}=\frac{25i}{5}=5i$. Verificare: $(2-i)\cdot 5i=10i-5i^2=5+10i$.

Exercițiul 7. (8 p) — câte 2 puncte. a) Imaginea geometrică a numărului $a+bi$ este punctul de coordonate $(a,b)$, deci $A(-5,11)$, în cadranul II. Conjugatul este $\overline{z_A}=-5-11i$, deci $B(-5,-11)$, în cadranul III. b) $OA=|z_A|=\sqrt{25+121}=\sqrt{146}$ (1 p). Punctul $B$ este simetricul lui $A$ față de axa reală, care trece prin $O$, deci $OB=|\overline{z_A}|=|z_A|=\sqrt{146}$ (1 p). c) $(2+i)(-3+4i)=-6+8i-3i+4i^2=-10+5i$, deci $C(-10,5)$, în cadranul II. d) Pe axa imaginară partea reală este nulă: $2m-10=0$, deci $m=5$; atunci partea imaginară este $5+3=8\ne 0$, iar afixul obținut este $8i$.

Exercițiul 8. (6 p) a) (2 p) $|20-21i|=\sqrt{400+441}=\sqrt{841}=29$; $|-6i|=\sqrt{0+36}=6$. b) (2 p) $|(2+i)(3-4i)|=|2+i|\cdot |3-4i|=\sqrt{5}\cdot 5=5\sqrt{5}$. c) (2 p) $\left|\frac{20-21i}{4+3i}\right|=\frac{|20-21i|}{|4+3i|}=\frac{29}{5}=5,8$.

Exercițiul 9. (6 p) — câte 2 puncte. a) $z^2=-49$, deci $z=\pm i\sqrt{49}=\pm 7i$: radicalul se aplică numărului pozitiv $49$, iar $i$ stă în fața lui. (Verificare: $(7i{)}^2=49i^2=-49$.) b) $\Delta =4-104=-100<0$, iar $\sqrt{-\Delta }=10$, deci $z_{1,2}=\frac{2\pm 10i}{2}=1\pm 5i$. c) $\Delta =16-80=-64<0$, iar $\sqrt{-\Delta }=8$, deci $z_{1,2}=\frac{-4\pm 8i}{8}=-\frac{1}{2}\pm \mathbf{i}$.

Exercițiul 10. (8 p) a) (3 p) Se notează $t=z^2$ și se obține $t^2-5t-36=0$, cu $\Delta =25+144=169$ (1 p), deci $t=\frac{5\pm 13}{2}$, adică $t=9$ sau $t=-4$ (1 p). Din $z^2=9$ rezultă $z=\pm 3$, iar din $z^2=-4$ rezultă $z=\pm 2i$; soluțiile sunt $3,-3,2i,-2i$ (1 p). b) (2 p) Suma soluțiilor este $(10+3i)+(10-3i)=20$, iar produsul $(10+3i)(10-3i)=100+9=109$. Ecuația este $z^2-20z+109=0$. c) (3 p) Din relațiile lui Viète, $z_1+z_2=2$ și $z_1{z}_2=26$ (1 p). Apoi $z_1^2+z_2^2=(z_1+z_2{)}^2-2z_1{z}_2$ (1 p), adică $4-52=-48$ (1 p). Rezultatul este negativ, ceea ce la numere reale ar fi fost imposibil — semn că soluțiile nu sunt reale.

Exercițiul 11. (8 p) a) (2 p) $T(0)=45$ grade Celsius, la pornirea programului, iar $T(6)=36-72+45=9$ grade Celsius, cea mai mică temperatură atinsă (vârful parabolei este la $x=6$). b) (3 p) Ecuația se scrie $x^2-12x+45=5$, adică $x^2-12x+40=0$ (1 p), cu $\Delta =144-160=-16<0$, deci nu are soluții reale (1 p). În mulțimea $\mathbb{C}$, $\sqrt{-\Delta }=4$ și $x_{1,2}=\frac{12\pm 4i}{2}=6\pm 2i$ (1 p). c) (3 p) Suma soluțiilor este $(6+2i)+(6-2i)=12$, iar produsul $(6+2i)(6-2i)=36+4=40$ (2 p), exact $-\frac{b}{a}$ și $\frac{c}{a}$ din ecuația $x^2-12x+40=0$. Faptul că ecuația nu are soluții reale înseamnă că, pe tot intervalul declarat, temperatura probei nu coboară niciodată la $5$ grade Celsius — minimul ei este $9$ grade Celsius (1 p).

Exercițiul 12. (8 p) a) (2 p) $\bar{z}=4-i$, deci $z+\bar{z}=(4+4)+(1-1)i=8$, iar $z\cdot \bar{z}=4^2+1^2=17$. b) (3 p) $z^2=(4+i{)}^2=16+8i+i^2=15+8i$ (1 p). Atunci $z^2-8z+17=(15+8i)-(32+8i)+17$ (1 p) $=(15-32+17)+(8-8)i=0$, deci $z$ este soluție a ecuației (1 p). (Se putea și direct: din punctul a), $z+\bar{z}=8$ și $z\bar{z}=17$, deci $z$ și $\bar{z}$ sunt soluțiile ecuației $x^2-8x+17=0$.) c) (3 p) $z+a\bar{z}=(4+i)+a(4-i)=(4+4a)+(1-a)i$ (1 p). Un număr este pur imaginar când partea reală este nulă, iar partea imaginară nu: $4+4a=0$ și $1-a\ne 0$ (1 p). Din prima condiție, $a=-1$, iar atunci $1-a=2\ne 0$, deci valoarea convine (1 p).

Exercițiul 13. (8 p) a) (3 p) $\Delta =36-52=-16<0$, deci ecuația nu are soluții reale (1 p). Atunci $-\Delta =16$ și $\sqrt{-\Delta }=4$ (1 p), iar $z_{1,2}=\frac{-6\pm 4i}{2}$, adică $z_1=-3+2i$ și $z_2=-3-2i$ (1 p). b) (2 p) $|z_1|=\sqrt{(-3{)}^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$, iar $|z_2|=\sqrt{(-3{)}^2+(-2{)}^2}=\sqrt{13}$ — soluțiile fiind conjugate, au același modul. c) (3 p) Se aduce la același numitor: $\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}=\frac{z_1+z_2}{z_1{z}_2}$ (1 p). Din relațiile lui Viète, $z_1+z_2=-6$ și $z_1{z}_2=13$ (1 p), deci suma cerută este $-\frac{6}{13}$ (1 p).

Pentru părinți și profesori

Testul acoperă toată unitatea de numere complexe din programa de științe ale naturii: nevoia de a ieși din mulțimea numerelor reale, forma algebrică $z=a+bi$, egalitatea a două numere complexe, adunarea, scăderea, înmulțirea și puterile lui $i$, conjugatul, împărțirea prin amplificare cu conjugatul, modulul, imaginea geometrică și afixul în planul complex, rezolvarea în $\mathbb{C}$ a ecuației de gradul al doilea cu coeficienți reali și ecuațiile bipătrate. Programa nouă oprește capitolul exact aici: forma trigonometrică, formula lui Moivre și rădăcinile de ordinul $n$ în general nu fac parte din materia de științe ale naturii și nu apar în test; ele rămân la matematică-informatică. Rădăcinile de ordinul 3 ale unității apar la științe ale naturii doar ca aplicație a ecuației cu $\Delta <0$, în lecția despre această ecuație. Interpretarea geometrică a operațiilor este verificată separat, în testul de supliment al clasei.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Orice rezultat se scrie adus la forma algebrică $a+bi$, cu $a$ și $b$ numere reale; la împărțiri se cere scrisă amplificarea cu conjugatul, nu doar rezultatul; la ecuații se cere calculat discriminantul și precizat, într-o propoziție, de ce soluțiile nu sunt reale.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau lecțiile unității, în special puterile lui $i$ după restul împărțirii exponentului la $4$ și amplificarea cu conjugatul.
• Formule de reținut: $i^2=-1$, iar $i^n$ depinde numai de restul împărțirii lui $n$ la $4$: $i^0=1$, $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$. Egalitate: $a+bi=c+di$ dacă și numai dacă $a=c$ și $b=d$. Conjugatul: $\overline{a+bi}=a-bi$, cu $z+\bar{z}=2a$ (real), $z-\bar{z}=2bi$ și $z\cdot \bar{z}=a^2+b^2$. Modulul: $|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$, cu $|z{|}^2=z\cdot \bar{z}$, $|z_1{z}_2|=|z_1|\cdot |z_2|$ și $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$ pentru $z_2\ne 0$. Împărțirea: se amplifică fracția cu conjugatul numitorului, $\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\overline{z_2}}{z_2\overline{z_2}}=\frac{z_1\overline{z_2}}{|z_2{|}^2}$. Planul complex: numărul $a+bi$ are imaginea geometrică $M(a,b)$; distanța de la origine la $M$ este $|z|$, iar imaginea lui $\bar{z}$ este simetrica lui $M$ față de axa reală. Ecuația $a{z}^2+bz+c=0$, cu $a,b,c$ reale și $\Delta =b^2-4ac<0$: are soluțiile conjugate $z_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta }}{2a}$, iar relațiile lui Viète rămân $z_1+z_2=-\frac{b}{a}$ și $z_1{z}_2=\frac{c}{a}$.
• Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la capitolul de clasa a X-a „Numere complexe", unde programa scrie „numere complexe sub forma algebrică, conjugatul unui număr complex, modulul unui număr complex, operații cu numere complexe scrise sub formă algebrică" și „rezolvarea în $\mathbb{C}$ a ecuației de gradul al doilea cu coeficienți reali; ecuații bipătrate". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, unde aceleași conținuturi apar în capitolul „Mulțimi de numere". În varianta-model pentru 2026, prima cerință a Subiectului I este un calcul cu două numere complexe date (o sumă și un produs). Cele două liste diferă prin două lucruri: modulul este numit explicit doar în lista pentru 2030, iar interpretarea geometrică a adunării, a scăderii și a înmulțirii cu un număr real apare doar în programa din 2014 (se verifică în testul suplimentului).

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".