Test: Numere reale: calcul prescurtat și modul (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Mulțimea numerelor reale

Exerciții

Partea I – Calcul prescurtat și raționalizare

Exercițiul 1 (6 puncte)

Răspunde scurt, fără calcule lungi (câte 1 punct): a) Scrie dezvoltarea formulei ${\left(a-b\right)}^3$. b) Cât este cubul lui $5y$? c) Scrie al doilea factor din descompunerea diferenței de cuburi, știind că $x^3-216$ se descompune în produsul dintre $x-6$ și acel factor. d) Este $x^3-20$ o diferență de cuburi? Justifică într-o propoziție. e) Scrie expresia conjugată a numărului $8-\sqrt{6}$ și calculează produsul dintre număr și conjugata lui. f) Cu ce expresie amplifici fracția $\frac{5}{2\sqrt{7}}$ și ce numitor obții?

Exercițiul 2 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) a) Dezvoltă ${\left(2x-3\right)}^3$. (2 p) b) Descompune în factori $27x^3-125$. (2 p) c) Calculează $102^3$, folosind cubul unei sume. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

a) Raționalizează numitorul fracției $\frac{21}{\sqrt{7}}$. (2 p) b) Raționalizează numitorul fracției $\frac{4}{7-\sqrt{5}}$. (2 p) c) Raționalizează numitorul fracției $\frac{9}{\sqrt{11}-\sqrt{2}}$. (2 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) În dezvoltarea lui ${\left(x-4\right)}^3$, coeficientul lui $x$ este: A. $48$; B. $-48$; C. $16$; D. $12$.

b) Fracția $\frac{3}{5+\sqrt{2}}$, raționalizată, este egală cu: A. $\frac{3\left(5-\sqrt{2}\right)}{23}$; B. $\frac{3\left(5-\sqrt{2}\right)}{27}$; C. $\frac{3\left(5+\sqrt{2}\right)}{23}$; D. $3\left(5-\sqrt{2}\right)$.

c) Numărul $\sqrt{{\left(3-\sqrt{13}\right)}^2}$ este egal cu: A. $3-\sqrt{13}$; B. $\sqrt{13}-3$; C. $\sqrt{13}+3$; D. $4$.

d) Numărul ${\left(\sqrt{5}+1\right)}^3$ este egal cu: A. $16+8\sqrt{5}$; B. $5\sqrt{5}+1$; C. $8+16\sqrt{5}$; D. $6+2\sqrt{5}$.

Partea a II-a – Modul, ordonare și aproximări

Exercițiul 5 (6 puncte)

a) Calculează $\left|3-\sqrt{2}\right|+\left|\sqrt{2}-1\right|$. (2 p) b) Arată că $\sqrt{{\left(4-\sqrt{19}\right)}^2}=\sqrt{19}-4$. (2 p) c) Verifică inegalitatea triunghiului pentru numerele $-6$ și $11$ și precizează dacă apare egalitate. (2 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

a) Compară numerele $\sqrt{13}$ și $\frac{18}{5}$. (2 p) b) Compară numerele $4\sqrt{3}$ și $3\sqrt{6}$. (2 p) c) Așază în ordine crescătoare numerele $-\sqrt{7}$, $-2,6$ și $-\frac{8}{3}$. (2 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 2 puncte): a) „Dacă $\left|x\right|=\left|y\right|$, atunci $x=y$, oricare ar fi numerele reale $x$ și $y$." b) „Aproximarea prin lipsă cu două zecimale a numărului $6,708$ este $6,71$." c) „Dacă $a<b$, atunci $-a>-b$, oricare ar fi numerele reale $a$ și $b$." d) „Eroarea absolută a unei măsurători poate fi un număr negativ, atunci când măsurătoarea iese sub valoarea adevărată."

Exercițiul 8 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) a) Determină aproximările prin lipsă și prin adaos cu două zecimale ale numărului $\sqrt{57}$. (2 p) b) Determină aproximările prin lipsă și prin adaos cu două zecimale ale numărului $\frac{23}{6}$. (2 p) c) La cântărirea unei probe, cântarul arată $12,47$ g, deși masa ei adevărată este $12,50$ g. Calculează eroarea absolută și eroarea relativă, exprimată în procente. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Termostatul unui acvariu de laborator trebuie să țină apa la $26,0$ grade Celsius, cu o abatere de cel mult $0,4$ grade. a) Scrie condiția cu modul și determină intervalul temperaturilor admise. (2 p) b) Trei citiri succesive au dat $25,5$ grade, $26,3$ grade și $26,0$ grade. Calculează eroarea absolută a fiecăreia față de temperatura cerută și precizează care citire iese din interval. (2 p) c) Cât ar trebui să devină abaterea admisă pentru ca și citirea de $26,3$ grade să fie respinsă? (2 p)

Partea a III-a – Partea întreagă și probleme

Exercițiul 10 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) a) Calculează $\left[\sqrt{68}\right]$ și $\left\{-3,2\right\}$. (3 p) b) Scrie numărul $-\frac{13}{5}$ sub forma $[x]+\{x\}$. (3 p) c) Determină numerele reale $x$ pentru care $\left[x\right]=5$. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

a) Rotunjește numărul $14,62$ la cel mai apropiat întreg, folosind formula cu partea întreagă. (2 p) b) Rotunjește numărul $7,0648$ la două zecimale, folosind aceeași formulă, și scrie toți pașii. (3 p) c) Calculează $\left[4,9\right]$ și rotunjirea lui $4,9$ la cel mai apropiat întreg, apoi explică într-un rând de ce cele două operații nu se pot înlocui una pe alta. (3 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Într-un laborator se repartizează $3,15$ litri de mediu de cultură în vase de câte $0,14$ litri. a) Câte vase pline ies? (3 p) b) Câți mililitri de mediu rămân nerepartizați? (3 p) c) Dacă vasele ar fi de $0,45$ litri, câte vase pline ar ieși și cât ar rămâne? (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră numerele $a=\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}$ și $b=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$. a) Arată că $a=\sqrt{6}+\sqrt{5}$ și că $b=\sqrt{6}-\sqrt{5}$. (3 p) b) Arată că $a\cdot b=1$ și că $a^2+b^2=22$. (3 p) c) Arată că $\left|b-1\right|=1-b$. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) ${\left(a-b\right)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$: semnele alternează, începând cu plus. b) Cubul lui $5y$ este $125y^3$, pentru că se ridică la cub și coeficientul, și litera. c) Al doilea factor este $x^2+6x+36$, fiindcă $216=6^3$, iar la diferența de cuburi mijlocul parantezei are semnul plus. d) Nu. Numărul $20$ nu este cub perfect (între $8=2^3$ și $27=3^3$), deci formula nu se aplică. e) Conjugata este $8+\sqrt{6}$, iar produsul lor este $64-6=58$. f) Amplifici cu $\sqrt{7}$; numitorul devine $2\cdot 7=14$.

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) Cu $a=2x$ și $b=3$: $a^3=8x^3$, $3a^{2}b=3\cdot 4x^2\cdot 3=36x^2$, $3a{b}^2=3\cdot 2x\cdot 9=54x$, $b^3=27$. Deci ${\left(2x-3\right)}^3=8{\mathbf{x}}^3-36{\mathbf{x}}^2+54x-27$. Control la $x=1$: $8-36+54-27=-1=(-1{)}^3$. b) (2 p) Cum $27=3^3$ și $125=5^3$, avem $a=3x$ și $b=5$, iar mijlocul parantezei are plus: $27x^3-125=\left(3x-5\right)\left(9{\mathbf{x}}^2+15x+25\right)$. Control la $x=1$: $-98=(-2)\cdot 49$. c) (2 p) Scriem $102=100+2$ și aplicăm cubul sumei: $1000000+3\cdot 10000\cdot 2+3\cdot 100\cdot 4+8$. Adunând, $102^3=1061208$.

Exercițiul 3. (6 p) a) (2 p) Amplificăm cu $\sqrt{7}$; numitorul devine $7$, deci rezultatul este $3\sqrt{7}$. b) (2 p) Conjugata numitorului este $7+\sqrt{5}$, numitorul nou este $49-5=44$, iar după simplificarea prin $4$ rezultatul este $\frac{7+\sqrt{5}}{11}$. c) (2 p) Conjugata este $\sqrt{11}+\sqrt{2}$, numitorul nou este $11-2=9$, se simplifică cu numărătorul și rezultatul este $\sqrt{11}+\sqrt{2}$.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) A — în dezvoltarea lui ${\left(x-4\right)}^3=x^3-12x^2+48x-64$, termenul $3a{b}^2$ dă $3\cdot 1\cdot 16=48$, cu semnul plus. b) A — conjugata este $5-\sqrt{2}$, iar numitorul nou este $25-2=23$; varianta B adună în loc să scadă. c) B — radicalul unui pătrat este modulul; din $9<13$ rezultă $3<\sqrt{13}$, deci paranteza este negativă și modulul îi schimbă semnul. d) A — deoarece ${\left(\sqrt{5}+1\right)}^3=16+8\sqrt{5}$, din $5\sqrt{5}+3\cdot 5+3\sqrt{5}+1$.

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) Din $2<9$ rezultă $\sqrt{2}<3$, deci primul modul dă $3-\sqrt{2}$; din $1<2$ rezultă $1<\sqrt{2}$, deci al doilea dă $\sqrt{2}-1$. Radicalii se reduc, iar suma este $2$. b) (2 p) Radicalul unui pătrat este modulul: $\sqrt{{\left(4-\sqrt{19}\right)}^2}=\left|4-\sqrt{19}\right|$. Din $16<19$ rezultă $4<\sqrt{19}$, deci paranteza este negativă, iar modulul îi schimbă semnul: rezultatul este $\sqrt{19}-4$. c) (2 p) Pentru numerele $-6$ și $11$: suma este $5$, cu modulul $5$, iar suma modulelor este $6+11=17$. Cum $5\le 17$, inegalitatea se verifică, iar egalitate nu apare, pentru că numerele au semne diferite.

Exercițiul 6. (6 p) a) (2 p) Ambele numere sunt pozitive, deci comparăm pătratele: $13$ și ${\left(\frac{18}{5}\right)}^2=\frac{324}{25}=12,96$. Cum $12,96<13$, deci $\sqrt{13}>\frac{18}{5}$. b) (2 p) Introducem factorii sub radical: $4\sqrt{3}=\sqrt{48}$ și $3\sqrt{6}=\sqrt{54}$. Cum $48<54$, rezultă $4\sqrt{3}<3\sqrt{6}$. c) (2 p) Comparăm întâi valorile fără semn: $2,6^2=6,76<7$, deci $2,6<\sqrt{7}$; iar ${\left(\frac{8}{3}\right)}^2=\frac{64}{9}>7$, deci $\sqrt{7}<\frac{8}{3}$. Cu semnul minus ordinea se răstoarnă: $-\frac{8}{3}<-\sqrt{7}<-2,6$.

Exercițiul 7. (8 p) — câte 2 puncte (1 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F. Două numere opuse au același modul. Contraexemplu: $x=3$ și $y=-3$ dau $\left|x\right|=\left|y\right|=3$, dar $x\ne y$. Concluzia corectă este $x=y$ sau $x=-y$. b) F. Aproximarea prin lipsă stă la stânga numărului, deci este $6,70$; $6,71$ este aproximarea prin adaos, care este și rotunjirea. c) A. Înmulțind inegalitatea cu $-1$, adică un număr negativ, sensul se schimbă, deci din $a<b$ rezultă $-a>-b$. d) F. Eroarea absolută este modulul unei diferențe, deci nu poate fi negativă. Semnul diferenței spune doar în ce parte a căzut măsurătoarea și se discută separat, ca abatere.

Exercițiul 8. (6 p) a) (2 p) Căutăm două numere cu două zecimale ale căror pătrate încadrează pe $57$: $7,54^2=56,8516$ și $7,55^2=57,0025$, deci $7,54<\sqrt{57}<7,55$. Aproximarea prin lipsă este $7,54$, cea prin adaos este $7,55$. b) (2 p) Împărțind, $\frac{23}{6}=3,8333\dots$, deci aproximarea prin lipsă este $3,83$, cea prin adaos este $3,84$. Verificare: $3,83\cdot 6=22,98<23$ și $3,84\cdot 6=23,04>23$. c) (2 p) Eroarea absolută este $\left|12,47-12,50\right|=0,03$ g (1 p). Împărțind la valoarea adevărată, $\frac{0,03}{12,50}=0,0024$, deci eroarea relativă este $0,24\%$ (1 p).

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) Condiția se scrie $\left|t-26,0\right|\le 0,4$, adică temperatura nu se depărtează de $26,0$ grade cu mai mult de $0,4$ grade. Intervalul admis este $[25,6;26,4]$. b) (2 p) Erorile absolute sunt $\left|25,5-26,0\right|=0,5$ grade, $\left|26,3-26,0\right|=0,3$ grade și $\left|26,0-26,0\right|=0$ grade. Prima citire iese din interval, fiindcă $0,5>0,4$; celelalte două sunt admise. c) (2 p) Citirea de $26,3$ grade are abaterea $0,3$ grade, deci ar fi respinsă numai dacă abaterea admisă ar coborî sub $0,3$ grade; la exact $0,3$ grade ea ar fi încă acceptată.

Exercițiul 10. (8 p) a) (3 p) Din $64\le 68<81$ rezultă $8\le \sqrt{68}<9$, deci $\left[\sqrt{68}\right]=8$ (2 p). Apoi $-4\le -3,2<-3$, deci $\left[-3,2\right]=-4$ și $\left\{-3,2\right\}=0,8$ (1 p). b) (3 p) Avem $-\frac{13}{5}=-2,6$, iar întregii vecini sunt $-3$ și $-2$; din $-3\le -2,6<-2$ rezultă $\left[-\frac{13}{5}\right]=-3$ (2 p). Atunci partea fracționară este $-2,6+3=0,4$, iar scrierea cerută este $-\frac{13}{5}=-3+0,4$ (1 p). c) (2 p) Prin definiție, $[x]=5$ înseamnă $5\le x<6$, deci soluția este intervalul $[5,6)$, cu capătul din stânga inclus.

Exercițiul 11. (8 p) a) (2 p) Rotunjirea la întreg este $\left[14,62+0,5\right]=\left[15,12\right]=15$. b) (3 p) Înmulțim cu $100$: $100\cdot 7,0648=706,48$ (1 p). Adunăm $0,5$ și luăm partea întreagă: $\left[706,98\right]=706$ (1 p). Împărțim înapoi la $100$. Rotunjirea cerută este $7,06$ (1 p). c) (3 p) Partea întreagă este $\left[4,9\right]=4$ (1 p), iar rotunjirea este $\left[4,9+0,5\right]=\left[5,4\right]=5$ (1 p). Partea întreagă coboară întotdeauna la marcajul întreg din stânga, în timp ce rotunjirea alege marcajul cel mai apropiat, care poate fi în oricare parte (1 p).

Exercițiul 12. (8 p) a) (3 p) Numărul de vase pline este partea întreagă a raportului dintre cantitatea totală și cantitatea unui vas: $\left[\frac{3,15}{0,14}\right]=\left[22,5\right]=22$ vase. b) (3 p) Se repartizează $22\cdot 0,14=3,08$ litri (1 p), deci rămân $3,15-3,08=0,07$ litri (1 p), adică $70$ de mililitri (1 p). Verificare cu partea fracționară: $\left\{22,5\right\}=0,5$, iar $0,5\cdot 0,14=0,07$ litri. c) (2 p) Acum $\frac{3,15}{0,45}=7$, număr întreg: ies $7$ vase pline și nu rămâne nimic, adică $0$ mililitri. Partea fracționară a raportului este $0$, ceea ce înseamnă exact că împărțirea este exactă.

Exercițiul 13. (8 p) a) (3 p) Amplificăm fiecare fracție cu conjugata numitorului. Pentru $a$: conjugata lui $\sqrt{6}-\sqrt{5}$ este $\sqrt{6}+\sqrt{5}$, iar numitorul nou este $6-5=1$, deci $a=\sqrt{6}+\sqrt{5}$ (1,5 p). Pentru $b$: conjugata lui $\sqrt{6}+\sqrt{5}$ este $\sqrt{6}-\sqrt{5}$, numitorul nou este tot $1$, deci $b=\sqrt{6}-\sqrt{5}$ (1,5 p). b) (3 p) Produsul este o diferență de pătrate: $a\cdot b=\left(\sqrt{6}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{6}-\sqrt{5}\right)=6-5=1$ (1 p). Apoi $a^2=11+2\sqrt{30}$ și $b^2=11-2\sqrt{30}$, deci $a^2+b^2=22$, radicalii anulându-se (2 p). c) (2 p) Trebuie arătat că $b<1$, adică $\sqrt{6}<\sqrt{5}+1$. Ambii membri sunt pozitivi, deci ridicăm la pătrat: $6<5+2\sqrt{5}+1$, adică $0<2\sqrt{5}$ — adevărat (1 p). Prin urmare $b-1$ este negativ, iar modulul îi schimbă semnul: $\left|b-1\right|=1-b$ (1 p).

Pentru părinți și profesori

Testul verifică întreaga unitate de numere reale a clasei a IX-a de la științe ale naturii, adică cele cinci lecții noi ale ei: Formule de calcul prescurtat cu cuburi, Raționalizarea numitorilor cu expresia conjugată, Modulul unui număr real, Ordonarea și aproximarea numerelor reale și Partea întreagă și partea fracționară. Este singurul test al unității, așa că nimic nu rămâne pe seama unui test vecin; în schimb, ecuațiile și inecuațiile cu module, graficul funcției modul și graficul funcției parte întreagă nu se cer — ele aparțin traseului de matematică-informatică, nu programei acestui profil.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator — toate numerele sunt alese astfel încât calculele să se facă în minte sau în scris. La comparațiile cu radicali se cere comparația scrisă (ridicarea la pătrat), nu răspunsul singur; la aproximări se cer cele două înmulțiri care încadrează numărul; la problemele aplicate se cere unitatea de măsură lângă fiecare rezultat.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau lecțiile unității, în special semnul expresiei de sub modul și partea întreagă a numerelor negative.
• Formule de reținut: cubul unei sume și al unei diferențe — $(a\pm b{)}^3=a^3\pm 3a^{2}b+3a{b}^2\pm b^3$; descompunerile $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ și $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, în care semnul din paranteza mică este invers față de cel dintre cuburi; expresia conjugată a lui $a+\sqrt{b}$ este $a-\sqrt{b}$, iar produsul lor este $a^2-b$; modulul este distanța până la zero, deci $\sqrt{x^2}=\left|x\right|$, $\left|a\cdot b\right|=\left|a\right|\cdot \left|b\right|$ și $\left|a+b\right|\le \left|a\right|+\left|b\right|$, cu egalitate exact când cele două numere au același semn sau unul este zero; pentru numere nenegative, $a<b$ este totuna cu $a^2<b^2$; aproximarea prin lipsă cu $n$ zecimale stă la stânga numărului, cea prin adaos la dreapta, iar fiecare greșește cu mai puțin de $10^{-n}$; eroarea absolută este $\left|x-a\right|$, iar eroarea relativă este $\frac{\left|x-a\right|}{\left|x\right|}$; partea întreagă $[x]$ este singurul întreg $k$ cu $k\le x<k+1$, partea fracționară este $\{x\}=x-[x]\in [0,1)$, iar rotunjirea la întreg se scrie $[x+0,5]$.
• Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) toate temele verificate aici apar în domeniul Algebră, la capitolul „Mulțimea numerelor reale", care le listează pe rând: formulele de calcul prescurtat de ordinul al treilea, raționalizarea numitorilor de forma $a\pm \sqrt{b}$, modulul unui număr real, compararea și ordonarea, aproximările prin lipsă sau prin adaos, partea întreagă și partea fracționară. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029; acolo programa de examen (OMEN 4430/2014) trece modulul, ordonarea numerelor reale, aproximările prin lipsă sau prin adaos, partea întreagă și partea fracționară la materia clasei a IX-a, în capitolul „Mulțimi și elemente de logică matematică", deci la Subiectul I, cel cu șase cerințe scurte. Raționalizarea nu e numită acolo ca temă de sine stătătoare, dar intră prin capitolul „Radical de ordin $n$ dintr-un număr, proprietăți ale radicalilor", de la clasa a X-a. Singura temă a testului care nu apare deloc în programa de examen din 2014 sunt formulele de calcul prescurtat de ordinul al treilea — de aceea itemul 2 poartă marcajul „MAT_P2 2030", iar ceilalți itemi de examen poartă marcajul simplu.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".