Test: Polinoame: formă algebrică și operații (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — testele de mate-info, clasa a IX-a → ·

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Polinoame cu coeficienți reali

Exerciții

Partea I – Formă algebrică, grad, operații

Exercițiul 1 (6 puncte)

Se consideră polinomul $f = 6 X^{5} - X^{3} + 9 X - 2$ . Răspunde scurt (câte 1 punct): a) Precizează gradul lui $f$ . b) Precizează coeficientul dominant al lui $f$ . c) Precizează termenul liber al lui $f$ . d) Câți coeficienți are $f$ , numărând de la cel dominant până la termenul liber? e) Cât este coeficientul lui $X^{4}$ ? f) Scrie forma algebrică ordonată descrescător a polinomului $h = 4 - X^{2} + 3 X^{5}$ .

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră polinoamele $f = 3 X^{3} + 2 X^{2} - 7$ și $g = - X^{3} + 5 X - 4$ . a) Calculează $f + g$ . (2 p) b) Calculează $f - g$ . (2 p) c) Calculează $2 f - 3 g$ . (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

a) Calculează $(X^{2} - 4 X + 7) (3 X + 2)$ . (2 p) b) Fără a efectua înmulțirea, precizează gradul, coeficientul dominant și termenul liber ale produsului $(2 X^{4} - X + 6) (5 X^{3} + 3)$ . (2 p) c) Calculează $\frac{1}{3} f$ , unde $f = 9 X^{3} - 6 X^{2} + 12$ , și precizează gradul rezultatului. (2 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Gradul polinomului $f = 5 X^{2} - 8 X^{6} + X - 3$ este: A. $2$ ; B. $6$ ; C. $3$ ; D. $8$ .

b) Dintre expresiile de mai jos, nu este polinom cu coeficienți reali: A. $\frac{X ^{3} - 2 X}{6}$ ; B. $11 X^{2} - X$ ; C. $X^{- 2} + 4$ ; D. $- 7$ .

c) Dacă $grad f = 4$ și $grad g = 3$ , atunci $grad (f \cdot g)$ este: A. $12$ ; B. $7$ ; C. $4$ ; D. $1$ .

d) Valoarea în $0$ a polinomului $f = 2 X^{4} - 9 X^{2} + X - 5$ este: A. $2$ ; B. $- 5$ ; C. $0$ ; D. $- 11$ .

Partea a II-a – Valori, rădăcini și parametri

Exercițiul 5 (6 puncte)

Se consideră polinomul $f = X^{3} - 6 X^{2} + 2 X + 15$ . a) Calculează $f (0)$ și $f (1)$ . (2 p) b) Calculează $f (- 2)$ , scriind pe rând puterile lui $- 2$ . (2 p) c) Calculează $f (\frac{1}{2})$ . (2 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Se consideră polinomul $f = X^{3} - 3 X^{2} - 10 X + 24$ . a) Arată, prin înlocuire, că $2$ este rădăcină a polinomului $f$ . (2 p) b) Stabilește, tot prin înlocuire, dacă $3$ este rădăcină a polinomului $f$ . (2 p) c) Verifică prin înlocuire dacă $- 3$ este rădăcină a polinomului $f$ . (2 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 2 puncte): a) „Un polinom de gradul al șaselea are șapte coeficienți, chiar dacă în scriere apar doar trei termeni." b) „Înmulțirea unui polinom nenul cu un scalar nenul îi poate schimba gradul." c) „Termenul liber al produsului a două polinoame este produsul termenilor lor liberi." d) „Dacă într-un tabel de valori toate numerele calculate sunt pozitive, atunci polinomul nu are nicio rădăcină reală."

Exercițiul 8 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră polinoamele $f = (m - 2) X^{3} + 5 X^{2} + (p + 3) X - 1$ și $g = 4 X^{3} + 5 X^{2} - 6 X - 1$ , unde $m$ și $p$ sunt numere reale. a) Determină $m$ și $p$ pentru care cele două polinoame sunt egale. (3 p) b) Calculează $g (1)$ și explică într-un rând ce legătură are acest număr cu coeficienții lui $g$ . (3 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Într-un experiment de biologie, numărul de indivizi dintr-o cultură, măsurat în mii de indivizi, este aproximat de $N (t) = - 2 t^{2} + 24 t + 32$ , unde $t$ este timpul în ore, iar modelul este valabil pentru $0 \leq t \leq 12$ . a) Precizează gradul, coeficientul dominant și termenul liber ale modelului. (2 p) b) Calculează $N (0)$ și $N (6)$ , scriind unitatea de măsură. (2 p) c) O a doua cultură are, la fiecare moment, de trei ori mai mulți indivizi. Scrie modelul ei și precizează dacă gradul se schimbă. (2 p)

Partea a III-a – Raționament și probleme

Exercițiul 10 (8 puncte)

Se consideră polinomul $f = X^{3} - 2 X^{2} - 5 X + 6$ . a) Completează tabelul de valori al lui $f$ pentru numerele întregi de la $- 3$ la $3$ . (4 p) b) Citește din tabel rădăcinile reale ale lui $f$ și confirmă una dintre ele prin înlocuire. (2 p) c) Precizează punctul în care graficul funcției polinomiale asociate lui $f$ taie axa $O y$ și justifică într-un rând. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră polinoamele $f = X^{2} - 5 X + 6$ și $g = X^{2} + k X + 2$ , unde $k$ este număr real. a) Pentru $k = 0$ , calculează $f \cdot g$ și precizează gradul rezultatului. (3 p) b) Determină $k$ știind că, în polinomul $f \cdot g$ , coeficientul lui $X^{3}$ este egal cu $- 2$ . (3 p) c) Pentru valoarea găsită a lui $k$ , scrie forma algebrică a polinomului $f + g$ și precizează gradul ei. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră polinomul $f = X^{3} + m X^{2} - 9 X + 5$ , unde $m$ este număr real. a) Arată că $f (0) = 5$ , pentru orice număr real $m$ . (2 p) b) Determină $m$ știind că $1$ este rădăcină a polinomului $f$ . (3 p) c) Pentru valoarea găsită a lui $m$ , calculează $f (2)$ și $f (- 5)$ și precizează care dintre cele două numere este rădăcină a polinomului $f$ . (3 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

a) Dă un exemplu de două polinoame de gradul al treilea a căror sumă are gradul întâi și verifică-ți exemplul. (3 p) b) Explică de ce nu există două polinoame nenule al căror produs să aibă gradul mai mic decât gradul fiecăruia dintre ele. (3 p) c) Fie $u$ un polinom de gradul al patrulea și $v$ un polinom de gradul al doilea. Ce grade poate avea $u + v$ ? Justifică. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) Cea mai mare putere cu coeficient nenul este $X^{5}$ , deci $grad f = 5$ . b) Numărul din fața celei mai mari puteri, cu semn cu tot: coeficientul dominant este $6$ . c) Numărul care nu e însoțit de nicio putere: termenul liber este $- 2$ . d) Un polinom de gradul $5$ are $5 + 1$ coeficienți, deci $f$ are $6$ coeficienți. e) Rangul al patrulea lipsește din scriere, deci coeficientul lui $X^{4}$ este $0$ . f) Ordonând descrescător după puteri, $h = 3 X^{5} - X^{2} + 4$ ; rangurile $4$ , $3$ și $1$ lipsesc, deci au coeficientul $0$ .

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) Adunăm rang cu rang, cu $0$ pe rangul lui $X$ din $f$ și pe rangul lui $X^{2}$ din $g$ : $3 + (- 1) = 2$ ; $2 + 0 = 2$ ; $0 + 5 = 5$ ; $- 7 + (- 4) = - 11$ . Deci $f + g = 2 X^{3} + 2 X^{2} + 5X - 11$ . b) (2 p) Scădem rang cu rang: $3 - (- 1) = 4$ ; $2 - 0 = 2$ ; $0 - 5 = - 5$ ; $- 7 - (- 4) = - 3$ . Deci $f - g = 4 X^{3} + 2 X^{2} - 5X - 3$ . c) (2 p) Rescalăm pe rânduri separate: $2 f = 6 X^{3} + 4 X^{2} - 14$ și $3 g = - 3 X^{3} + 15 X - 12$ (1 p). Scădem pe coloane: $6 - (- 3) = 9$ ; $4 - 0 = 4$ ; $0 - 15 = - 15$ ; $- 14 - (- 12) = - 2$ . Deci $2 f - 3 g = 9 X^{3} + 4 X^{2} - 15X - 2$ (1 p).

Exercițiul 3. (6 p) a) (2 p) Șase produse parțiale: $3 X^{3} + 2 X^{2} - 12 X^{2} - 8 X + 21 X + 14$ . După reducerea termenilor asemenea, produsul este $3 X^{3} - 10 X^{2} + 13X + 14$ . Control: coeficientul dominant $1 \cdot 3 = 3$ , iar termenul liber $7 \cdot 2 = 14$ . b) (2 p) Gradul produsului este suma gradelor, $4 + 3$ , deci gradul $7$ ; coeficientul dominant $10$ , din $2 \cdot 5$ ; termenul liber $18$ , din $6 \cdot 3$ . Toate trei se citesc fără a desface produsul. c) (2 p) Fiecare coeficient se împarte la $3$ : $\frac{1}{3} f = 3 X^{3} - 2 X^{2} + 4$ . Gradul rămâne $3$ , pentru că scalarul este nenul.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) B — polinomul se ordonează întâi descrescător, $- 8 X^{6} + 5 X^{2} + X - 3$ ; cea mai mare putere este $X^{6}$ , deci gradul este $6$ , nu $2$ și nici $8$ , care e doar un coeficient. b) C — la $X^{- 2} + 4$ litera stă la o putere cu exponent negativ; la A coeficienții sunt $\frac{1}{6}$ și $- \frac{1}{3}$ , iar la B radicalul este coeficient, nu afectează litera. c) B — gradul produsului a două polinoame nenule este suma gradelor, $4 + 3 = 7$ ; gradele se adună, nu se înmulțesc. d) B — valoarea în $0$ este chiar termenul liber, fiindcă toate puterile lui $0$ se anulează.

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) Înlocuind cu $0$ rămâne termenul liber, deci $f (0) = 15$ (1 p). Apoi $f (1) = 1 - 6 + 2 + 15 = 12$ (1 p). b) (2 p) Puterile: $(- 2)^{3} = - 8$ și $(- 2)^{2} = 4$ . Atunci $f (- 2) = - 8 - 24 - 4 + 15 = - 21$ . c) (2 p) Puterile: $(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}$ și $(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ . Atunci $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{2} + 1 + 15 = \frac{117}{8}$ .

Exercițiul 6. (6 p) a) (2 p) $f (2) = 8 - 12 - 20 + 24 = 0$ , deci $2$ este rădăcină a lui $f$ . b) (2 p) $f (3) = 27 - 27 - 30 + 24 = - 6$ . Valoarea nu este zero, deci $3$ nu este rădăcină; „aproape zero" nu înseamnă rădăcină. c) (2 p) Puterile: $(- 3)^{3} = - 27$ și $(- 3)^{2} = 9$ . Atunci $f (- 3) = - 27 - 27 + 30 + 24 = 0$ , deci $- 3$ este rădăcină a lui $f$ .

Exercițiul 7. (8 p) — câte 2 puncte (1 p răspunsul, 1 p justificarea). a) A. Numărul coeficienților este cu unu mai mare decât gradul, indiferent câți termeni apar scriși; rangurile care lipsesc au coeficientul $0$ . Exemplu: $X^{6} + X - 1$ are șapte coeficienți, dintre care patru nuli. b) F. Înmulțind fiecare coeficient cu un număr nenul, coeficientul dominant rămâne nenul, deci gradul nu se schimbă. Numai scalarul $0$ schimbă situația, dar atunci rezultatul este polinomul nul, căruia nu i se atribuie grad. c) A. Numărul fără nedeterminată al produsului se obține într-un singur fel — înmulțind cei doi termeni liberi —, fiindcă orice alt produs parțial conține cel puțin o putere a lui $X$ . d) F. Un tabel acoperă doar câteva numere, iar o rădăcină poate fi în afara lor sau între două valori vecine. Ca să afirmi că nu există nicio rădăcină reală îți trebuie un argument valabil pentru orice număr, cum este $a^{2} + 9 \geq 9$ la polinomul $X^{2} + 9$ .

Exercițiul 8. (6 p) a) (3 p) Identificăm coeficienții rang cu rang. Pe rangul al treilea, $m - 2 = 4$ , deci $m = 6$ (1,5 p). Pe rangul întâi, $p + 3 = - 6$ , deci $p = - 9$ (1 p). Pe rangul al doilea și la termenul liber coeficienții coincid deja, $5 = 5$ și $- 1 = - 1$ (0,5 p). b) (3 p) $g (1) = 4 + 5 - 6 - 1 = 2$ (2 p). Înlocuind nedeterminata cu $1$ , fiecare putere devine $1$ , deci valoarea obținută este chiar suma coeficienților lui $g$ (1 p).

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) Modelul este deja ordonat descrescător: gradul este $2$ , coeficientul dominant este $- 2$ , iar termenul liber este $32$ . b) (2 p) $N (0) = 32$ , adică $32$ de mii de indivizi la începutul măsurătorii — chiar termenul liber (1 p). Apoi $N (6) = - 72 + 144 + 32 = 104$ , adică $104$ mii de indivizi după șase ore (1 p). c) (2 p) Modelul se înmulțește cu scalarul $3$ , deci fiecare coeficient se triplează: $3 N (t) = - 6 t^{2} + 72t + 96$ , tot în mii de indivizi. Gradul rămâne $2$ : o schimbare de scară nu schimbă forma modelului.

Exercițiul 10. (8 p) a) (4 p) Fiecare celulă se obține printr-o înlocuire, cu puterile scrise separat: $f (- 3) = - 24$ , $f (- 2) = 0$ , $f (- 1) = 8$ , $f (0) = 6$ , $f (1) = 0$ , $f (2) = - 4$ , $f (3) = 0$ (3,5 p pentru cele șapte valori, 0,5 p pentru așezarea lor în tabel).

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f (x)$	$- 24$	$0$	$8$	$6$	$0$	$- 4$	$0$

b) (2 p) Valoarea se anulează în $- 2$ , în $1$ și în $3$ , deci acestea sunt rădăcinile reale citite din tabel (1 p). Confirmare pentru $1$ : $f (1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$ (1 p). c) (2 p) Graficul taie axa $O y$ în punctul $(0, 6)$ , fiindcă abscisa unui punct de pe această axă este $0$ , iar $f (0)$ este chiar termenul liber.

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) Pentru $k = 0$ avem $g = X^{2} + 2$ . Desfacem: $X^{4} + 2 X^{2} - 5 X^{3} - 10 X + 6 X^{2} + 12$ (2 p). După reducerea termenilor asemenea, $f \cdot g = X^{4} - 5 X^{3} + 8 X^{2} - 10X + 12$ , de gradul $2 + 2 = 4$ (1 p). b) (3 p) Termenii de rangul al treilea din produs sunt $1 \cdot k X^{3}$ și $- 5 X \cdot X^{2}$ , deci coeficientul lui $X^{3}$ este $k - 5$ (2 p). Din $k - 5 = - 2$ rezultă $k = 3$ (1 p). c) (2 p) Pentru $k = 3$ avem $g = X^{2} + 3 X + 2$ , iar suma se face rang cu rang: $f + g = 2 X^{2} - 2X + 8$ , de gradul $2$ . Gradul nu a coborât, fiindcă cei doi coeficienți dominanți nu sunt opuși.

Exercițiul 12. (8 p) a) (2 p) Înlocuind nedeterminata cu $0$ , toate puterile ei se anulează și rămâne termenul liber, deci $f (0) = 5$ . Parametrul stă în fața lui $X^{2}$ , iar $0^{2} = 0$ , deci valoarea nu depinde de el. b) (3 p) Condiția „ $1$ este rădăcină" înseamnă $f (1) = 0$ (1 p). Calculăm păstrând parametrul: $f (1) = 1 + m - 9 + 5 = m - 3$ (1 p). Din $m - 3 = 0$ rezultă $m = 3$ (1 p). c) (3 p) Pentru $m = 3$ polinomul este $f = X^{3} + 3 X^{2} - 9 X + 5$ . Atunci $f (2) = 8 + 12 - 18 + 5 = 7$ (1 p), iar $f (- 5) = - 125 + 75 + 45 + 5 = 0$ (1 p). Prin urmare $- 5$ este rădăcină a lui $f$ , iar $2$ nu este (1 p).

Exercițiul 13. (8 p) a) (3 p) Trebuie ca cei doi coeficienți dominanți să fie opuși și, în plus, să se anuleze și rangul al doilea. Un exemplu: $u = X^{3} + 2 X^{2} - X + 4$ și $v = - X^{3} - 2 X^{2} + 5 X - 1$ (1 p). Adunând rang cu rang: $1 + (- 1) = 0$ ; $2 + (- 2) = 0$ ; $- 1 + 5 = 4$ ; $4 + (- 1) = 3$ , deci $u + v = 4X + 3$ , într-adevăr de gradul întâi (2 p). Orice altă pereche construită la fel este bună. b) (3 p) Gradul produsului a două polinoame nenule este suma gradelor, iar gradele sunt numere naturale, deci nenegative. Prin urmare $grad f + grad g \geq grad f$ și $grad f + grad g \geq grad g$ : gradul produsului nu poate coborî sub niciunul dintre ele. Spre deosebire de sumă, aici termenul de rang maxim se obține într-un singur fel, din înmulțirea termenilor dominanți, iar coeficientul lui — produsul a două numere reale nenule — nu se poate anula. c) (2 p) Numai gradul $4$ . Rangul al patrulea apare doar în $u$ , iar $v$ nu are niciun termen pe acel rang cu care să-l anuleze, deci coeficientul lui rămâne nenul în sumă. Scăderea gradului este posibilă doar când cele două polinoame au același grad.

Pentru părinți și profesori

Testul verifică primul strat al unității de polinoame, adică trei lecții: Polinoame: formă algebrică și gradul, Operații cu polinoame și Funcția polinomială și valorile ei. Se cer, așadar, citirea coeficienților dintr-o scriere ordonată, gradul și cazurile lui de margine, egalitatea a două polinoame prin identificarea coeficienților, cele patru operații ale programei (adunarea, scăderea, înmulțirea cu un scalar și înmulțirea), regulile de grad la sumă și la produs, valorile $f (a)$ , tabelul de valori și verificarea unei rădăcini prin înlocuire. Nu se cer aici împărțirea cu rest și schema lui Horner — ele se verifică în testul următor al unității — și nici divizibilitatea, teorema lui Bézout, căutarea tuturor rădăcinilor sau rezolvarea ecuațiilor polinomiale, care rămân testului al treilea. Toate rădăcinile care apar în test sunt date și se confirmă prin înlocuire; niciun item nu cere găsirea lor.

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Înainte de orice citire dintr-un polinom se cere scrierea lui ordonată descrescător, cu $0$ pe rangurile lipsă; la înmulțiri se cere desfacerea completă, nu doar rezultatul; la valorile în numere negative se cer puterile scrise separat; la problema aplicată se cere unitatea de măsură lângă fiecare rezultat.
Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau cele trei lecții, în special rangurile lipsă și semnele la înlocuirea unui număr negativ.
Formule de reținut: un polinom cu coeficienți reali este o sumă finită de termeni $a_{k} X^{k}$ , cu $a_{k}$ număr real și $k$ număr natural; forma algebrică este scrierea ordonată descrescător după puteri, iar un polinom de gradul $n$ are exact $n + 1$ coeficienți, cu $0$ pe rangurile care lipsesc din scriere; gradul este cel mai mare exponent cu coeficient nenul — constantele nenule au gradul $0$ , iar polinomului nul nu i se atribuie grad; două polinoame sunt egale exact când au aceiași coeficienți rang cu rang; adunarea și scăderea se fac rang cu rang, iar înmulțirea cu un scalar $λ$ înmulțește fiecare coeficient; la înmulțirea a două polinoame fiecare termen se înmulțește cu fiecare, iar $X^{i} \cdot X^{j} = X^{i + j}$ ; gradul sumei este cel mult maximul gradelor, iar gradul produsului a două polinoame nenule este exact suma gradelor; coeficientul dominant al produsului este produsul coeficienților dominanți, iar termenul liber al produsului este produsul termenilor liberi; valoarea $f (a)$ se obține înlocuind nedeterminata cu $a$ , iar $f (0)$ este chiar termenul liber; un număr $a$ este rădăcină reală a lui $f$ dacă $f (a) = 0$ , adică exact atunci când graficul funcției polinomiale trece prin punctul de abscisă $a$ de pe axa $O x$ .
Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la capitolul „Polinoame cu coeficienți reali", al cărui prim rând de conținut este „Forma algebrică a unui polinom, operații cu polinoame: adunarea, înmulțirea, înmulțirea cu un scalar", iar rădăcinile reale apar în rândul al treilea al aceluiași capitol. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029; acolo aceleași conținuturi — „Forma algebrică a unui polinom, operații (adunarea, înmulțirea, înmulțirea cu un scalar)" — sunt trecute la materia clasei a XII-a, în capitolul „Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp comutativ", și formează una dintre cele două probleme ale Subiectului al II-lea. Tema fiind în amândouă programele, itemii de examen ai testului poartă marcajul simplu, fără mențiunea „MAT_P2 2030". Deosebirea de fond dintre cele două generații: la clasa a IX-a se lucrează numai cu coeficienți reali și cu rădăcini reale, fără relațiile lui Viète și fără ecuații binome, bipătrate sau reciproce.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".