Test: Probabilități: evenimente și probleme aplicate (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Statistică matematică și probabilități

Exerciții

Partea I – Evenimente și probabilități elementare

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Probabilitatea evenimentului imposibil este: A. $0$; B. $1$; C. $\frac{1}{2}$; D. depinde de experiment.

b) Dacă $P(A)=\frac{2}{7}$, atunci $P(\overline{A})$ este: A. $\frac{7}{2}$; B. $\frac{5}{7}$; C. $\frac{2}{5}$; D. $-\frac{2}{7}$.

c) Într-un experiment cu $\mathrm{card}(\Omega )=4$, numărul evenimentelor care se pot forma este: A. $4$; B. $8$; C. $16$; D. $24$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Scrie mulțimea $\Omega$ a rezultatelor posibile și precizează $\mathrm{card}(\Omega )$ pentru fiecare dintre experimentele următoare (câte 2 puncte):

a) se alege o eprubetă dintr-un suport cu $3$ eprubete etichetate $E_1$, $E_2$, $E_3$; b) se pun la germinat două semințe și se notează, pentru fiecare, dacă a germinat (g) sau nu (n); c) se scot, una după alta și fără a le pune înapoi, două eprubete din suportul de la punctul a), reținând ordinea scoaterii.

Exercițiul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte):

a) „Un eveniment cu probabilitatea $\frac{1}{100}$ este un eveniment imposibil." b) „Pentru orice două evenimente are loc $P(A\cup B)\le P(A)+P(B)$." c) „Contrariul evenimentului «cel puțin două dintre cele cinci semințe au germinat» este «nicio sămânță nu a germinat»." d) „La extragerea a două semințe dintr-un plic, cu revenire, rezultatul primei extrageri schimbă probabilitățile celei de-a doua."

Exercițiul 4 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se alege la întâmplare un element al mulțimii $M=\{10,11,12,\dots ,29\}$.

a) Determină $\mathrm{card}(M)$ și calculează probabilitatea ca numărul ales să fie divizibil cu $4$. (3 p) b) Calculează probabilitatea ca numărul ales să fie număr prim. (3 p) c) Calculează probabilitatea ca numărul ales să nu fie divizibil cu $4$. (2 p)

Partea a II-a – Operații cu evenimente și numărare

Exercițiul 5 (6 puncte)

Într-un studiu clinic pe $80$ de pacienți, $45$ au prezentat simptomul $A$, $30$ simptomul $B$, iar $12$ au prezentat amândouă simptomele. Se alege la întâmplare unul dintre cei $80$ de pacienți.

a) Câți pacienți au prezentat cel puțin unul dintre cele două simptome? (2 p) b) Calculează $P(A\cup B)$ și $P(A\cap B)$. (2 p) c) Calculează probabilitatea ca pacientul ales să nu prezinte niciunul dintre cele două simptome. (2 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Dintr-un grup de $9$ șoareci de laborator, $5$ sunt din linia $X$ și $4$ din linia $Y$. Se aleg simultan, la întâmplare, trei șoareci.

a) Calculează numărul cazurilor posibile. (2 p) b) Calculează probabilitatea ca toți trei șoarecii aleși să fie din linia $X$. (2 p) c) Calculează probabilitatea ca exact doi dintre cei aleși să fie din linia $X$. (2 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Într-un incubator sunt $7$ ouă, dintre care $3$ sunt marcate. Se scot, unul după altul și fără a le pune înapoi, două ouă.

a) Calculează probabilitatea ca amândouă ouăle scoase să fie marcate. (3 p) b) Calculează probabilitatea ca primul ou scos să fie marcat, iar al doilea nemarcat. (2 p) c) Calculează probabilitatea ca exact unul dintre cele două ouă scoase să fie marcat. (3 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

Se consideră două evenimente $A$ și $B$ asociate aceluiași experiment, pentru care $P(A)=\frac{1}{2}$, $P(B)=\frac{2}{5}$ și $P(A\cup B)=\frac{7}{10}$.

a) Calculează $P(A\cap B)$. (2 p) b) Calculează probabilitatea ca niciunul dintre cele două evenimente să nu se producă. (2 p) c) Stabilește, prin calcul, dacă evenimentele $A$ și $B$ sunt independente. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Cele $150$ de plante ale unui lot experimental au fost clasificate după două caracteristici: dacă au fost sau nu tratate și dacă au înflorit sau nu.

Se alege la întâmplare o plantă a lotului. Se consideră evenimentele $T$ = „planta aleasă a fost tratată" și $I$ = „planta aleasă a înflorit".

a) Calculează $P(T)$ și $P(I)$. (2 p) b) Calculează $P(I\mid T)$ și $P(T\mid I)$. (2 p) c) Stabilește, prin calcul, dacă evenimentele $T$ și $I$ sunt independente. (2 p)

Partea a III-a – Probleme aplicate și decizii

Exercițiul 10 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Un laborator măsoară aceeași mărime cu două aparate diferite, care funcționează independent unul de altul: primul dă un rezultat eronat cu probabilitatea $0,06$, al doilea cu probabilitatea $0,25$. Se face câte o măsurătoare cu fiecare aparat.

a) Calculează probabilitatea ca ambele rezultate să fie corecte. (3 p) b) Calculează probabilitatea ca rezultatul primului aparat să fie eronat, iar al celui de-al doilea corect. (2 p) c) Calculează probabilitatea ca exact unul dintre cele două rezultate să fie eronat. (3 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Într-o pepinieră, $4\%$ dintre puieți sunt infectați cu o ciupercă parazită. Un test rapid dă rezultat pozitiv la $75\%$ dintre puieții infectați și, din greșeală, la $5\%$ dintre cei sănătoși. Se lucrează cu frecvențe naturale, pentru $20000$ de puieți.

a) Calculează câți puieți infectați și câți sănătoși sunt printre cei $20000$, apoi câte rezultate pozitive apar în fiecare dintre cele două grupuri. (3 p) b) Calculează probabilitatea ca un puiet cu rezultat pozitiv să fie într-adevăr infectat și exprim-o în procente, rotunjită la două zecimale. (3 p) c) Explică, în două propoziții, de ce un rezultat pozitiv la acest test nu este de ajuns pentru a scoate un puiet din pepinieră. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

a) Compară probabilitățile $\frac{5}{14}$ și $\frac{8}{21}$ și precizează care dintre ele este mai mare. (3 p) b) Semințele dintr-un lot germinează, fiecare independent de celelalte, cu probabilitatea $\frac{3}{4}$. Se pun la germinat două semințe din lot. Calculează probabilitatea ca cel puțin una dintre ele să germineze. (3 p) c) Un laborator analizează $400$ de probe pe lună, iar o probă trebuie reanalizată cu probabilitatea $\frac{1}{16}$. Estimează câte reanalizări apar într-o lună și explică de ce rezultatul este doar o estimare. (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Un plic conține $n$ semințe de muștar și $12$ semințe de ridiche, unde $n$ este număr natural nenul. Se extrage la întâmplare o sămânță din plic.

a) Determină numărul natural $n$, știind că probabilitatea ca sămânța extrasă să fie de muștar este $\frac{3}{5}$. (4 p) b) Pentru valoarea găsită a lui $n$, calculează probabilitatea ca sămânța extrasă să fie de ridiche. (2 p) c) Câte semințe de ridiche trebuie adăugate în plic pentru ca probabilitatea de a extrage o sămânță de muștar să devină $\frac{1}{2}$? (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) A — evenimentul imposibil este $\varnothing$ și are zero cazuri favorabile, deci $P(\varnothing )=0$. „Imposibil" nu înseamnă „foarte rar". b) B — $P(\overline{A})=1-\frac{2}{7}=\frac{5}{7}$. Variantele A și D nu pot fi probabilități, fiind în afara intervalului $[0,1]$. c) C — evenimentele sunt submulțimile lui $\Omega$, iar o mulțime cu $4$ elemente are $2^4=16$ submulțimi, inclusiv $\varnothing$ și $\Omega$.

Exercițiul 2. (6 p) — câte 2 puncte. a) $\Omega =\{E_1,E_2,E_3\}$, deci $\mathrm{card}(\Omega )=3$. b) Rezultatul fiecărei semințe se notează separat, deci $\Omega =\{gg,gn,ng,nn\}$ și $\mathrm{card}(\Omega )=4$. Cele două semințe se deosebesc (prima și a doua), altfel rezultatele $gn$ și $ng$ ar fi confundate. c) Rezultatele sunt perechile ordonate de eprubete distincte: $\Omega =\{(E_1,E_2),(E_1,E_3),(E_2,E_1),(E_2,E_3),(E_3,E_1),(E_3,E_2)\}$, deci $\mathrm{card}(\Omega )=3\cdot 2=6$.

Exercițiul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F. Probabilitatea $\frac{1}{100}$ este mică, dar nenulă: evenimentul se produce, în medie, o dată la o sută de repetări. Imposibil este doar evenimentul cu zero cazuri favorabile. b) A. Din $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ și $P(A\cap B)\ge 0$ rezultă inegalitatea; egalitatea are loc exact când evenimentele sunt disjuncte. c) F. Contrariul lui „cel puțin două" este „cel mult una", adică „niciuna sau exact una". „Nicio sămânță nu a germinat" este doar o parte a contrariului. d) F. Cu revenire, compoziția plicului este aceeași la a doua extragere, deci cele două extrageri sunt independente. Probabilitățile s-ar schimba dacă extragerea ar fi fără revenire.

Exercițiul 4. (8 p) a) (3 p) Mulțimea conține toate numerele naturale de la $10$ la $29$, deci $\mathrm{card}(M)=29-10+1=20$ (1 p). Multiplii lui $4$ din $M$ sunt $12$, $16$, $20$, $24$, $28$, adică $5$ numere (1 p), deci probabilitatea este $\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$ (1 p). b) (3 p) Numerele prime din $M$ sunt $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$, adică $6$ numere (2 p) — $21=3\cdot 7$, $27=3^3$ și toate numerele pare sunt compuse. Probabilitatea este $\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$ (1 p). c) (2 p) Prin evenimentul contrar, $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) $\mathrm{card}(A\cup B)=\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)-\mathrm{card}(A\cap B)=45+30-12=63$ de pacienți. Scăderea repară numărarea dublă a celor $12$ pacienți cu amândouă simptomele. b) (2 p) $P(A\cup B)=\frac{63}{80}$ și $P(A\cap B)=\frac{12}{80}=\frac{3}{20}$. c) (2 p) „Niciunul dintre cele două" este contrariul reuniunii, deci probabilitatea este $1-\frac{63}{80}=\frac{17}{80}$.

Exercițiul 6. (6 p) a) (2 p) Alegerea este simultană, deci ordinea nu contează: $\mathrm{card}(\Omega )=C_9^3=\frac{9\cdot 8\cdot 7}{1\cdot 2\cdot 3}=84$. b) (2 p) Cazurile favorabile sunt $C_5^3=10$, deci probabilitatea este $\frac{10}{84}=\frac{5}{42}$. c) (2 p) Cei doi șoareci din linia $X$ se aleg în $C_5^2=10$ moduri, iar al treilea, din linia $Y$, în $C_4^1=4$ moduri; cazurile favorabile sunt $10\cdot 4=40$, deci probabilitatea este $\frac{40}{84}=\frac{10}{21}$.

Exercițiul 7. (8 p) a) (3 p) La prima extragere, $P(\text{marcat})=\frac{3}{7}$ (1 p). După ce a fost scos un ou marcat, în incubator rămân $6$ ouă, dintre care $2$ marcate, deci al doilea factor este $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ (1 p). Înmulțind de-a lungul traseului, $P=\frac{3}{7}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{7}$ (1 p). b) (2 p) $P=\frac{3}{7}\cdot \frac{4}{6}=\frac{12}{42}=\frac{2}{7}$. c) (3 p) „Exact unul marcat" se realizează pe două trasee disjuncte: marcat–nemarcat, cu probabilitatea $\frac{2}{7}$ de la punctul b) (1 p), și nemarcat–marcat, cu probabilitatea $\frac{4}{7}\cdot \frac{3}{6}=\frac{2}{7}$ (1 p). Adunând, $P=\frac{4}{7}$ (1 p). Control: $\frac{1}{7}+\frac{4}{7}+\frac{2}{7}=1$, unde ultimul termen este probabilitatea ca niciun ou marcat să nu fie scos.

Exercițiul 8. (6 p) a) (2 p) Formula reuniunii, citită invers, dă $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=\frac{1}{2}+\frac{2}{5}-\frac{7}{10}=\frac{5+4-7}{10}=\frac{1}{5}$. b) (2 p) „Nici $A$, nici $B$" este contrariul reuniunii, deci $1-\frac{7}{10}=\frac{3}{10}$. c) (2 p) Se compară $P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{5}=\frac{1}{5}$ cu $P(A\cap B)=\frac{1}{5}$. Cele două sunt egale, deci evenimentele sunt independente. Observă că ele nu sunt disjuncte: intersecția lor are probabilitate nenulă.

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) Lotul are $150$ de plante, dintre care $63+27=90$ tratate și $63+21=84$ înflorite. Deci $P(T)=\frac{90}{150}=\frac{3}{5}$ și $P(I)=\frac{84}{150}=\frac{14}{25}$. b) (2 p) Condiția restrânge mulțimea cazurilor posibile la linia respectivă: $P(I\mid T)=\frac{63}{90}=\frac{7}{10}$, iar $P(T\mid I)=\frac{63}{84}=\frac{3}{4}$. Cele două nu sunt egale, deși au același număr de cazuri favorabile. c) (2 p) $P(T)\cdot P(I)=\frac{3}{5}\cdot \frac{14}{25}=\frac{42}{125}=0,336$, iar $P(T\cap I)=\frac{63}{150}=0,42$. Cele două numere diferă, deci evenimentele sunt dependente: tratamentul schimbă șansa de înflorire.

Exercițiul 10. (8 p) a) (3 p) Primul aparat dă un rezultat corect cu probabilitatea $1-0,06=0,94$, al doilea cu $1-0,25=0,75$ (1 p). Aparatele fiind independente, probabilitățile se înmulțesc (1 p): $P=0,94\cdot 0,75=0,705$ (1 p). b) (2 p) Prin independență, $P=0,06\cdot 0,75=0,045$. c) (3 p) „Exact unul eronat" se realizează în două situații disjuncte: primul eronat și al doilea corect, cu probabilitatea $0,045$ de la punctul b) (1 p), și primul corect și al doilea eronat, cu probabilitatea $0,94\cdot 0,25=0,235$ (1 p). Adunând, $P=0,045+0,235=0,28$ (1 p). Control: ambele eronate au probabilitatea $0,06\cdot 0,25=0,015$, iar $0,705+0,28+0,015=1$.

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) Infectați: $4\%$ din $20000$, adică $800$ de puieți; sănătoși: $20000-800=19200$ (1 p). Rezultate pozitive la infectați: $75\%$ din $800$, adică $600$ (1 p). Rezultate pozitive la sănătoși: $5\%$ din $19200$, adică $960$; în total $600+960=1560$ de rezultate pozitive (1 p). b) (3 p) Dintre cele $1560$ de rezultate pozitive, doar $600$ vin de la puieți infectați (1 p), deci probabilitatea cerută este $\frac{600}{1560}=\frac{5}{13}$ (1 p), adică aproximativ $38,46\%$ (1 p). c) (2 p) Puieții infectați sunt puțini, iar cei sănătoși foarte mulți: chiar și o rată mică de eroare, aplicată celor $19200$ de puieți sănătoși, produce mai multe rezultate pozitive false ($960$) decât rezultate pozitive corecte ($600$). Prin urmare, majoritatea puieților cu rezultat pozitiv sunt sănătoși, iar decizia de a-i îndepărta trebuie luată abia după o a doua verificare.

Exercițiul 12. (8 p) a) (3 p) Numitor comun $42$: $\frac{5}{14}=\frac{15}{42}$ și $\frac{8}{21}=\frac{16}{42}$ (2 p). Cum $15<16$, este mai mare $\frac{8}{21}$ (1 p). Numărătorii nu se pot compara direct, fiindcă numitorii diferă. b) (3 p) „Cel puțin una germinează" este contrariul lui „niciuna nu germinează" (1 p). O sămânță nu germinează cu probabilitatea $1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$, iar semințele fiind independente, $P(\text{niciuna})={\left(\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{1}{16}$ (1 p). Deci $P=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$ (1 p). c) (2 p) Numărul estimat de reanalizări este $400\cdot \frac{1}{16}=25$ (1 p). Este doar o estimare pentru că probabilitatea spune ce se întâmplă în medie, pe termen lung: într-o lună anume numărul real poate fi mai mic sau mai mare (1 p).

Exercițiul 13. (8 p) a) (4 p) Plicul are în total $n+12$ semințe, iar cazurile favorabile sunt cele $n$ semințe de muștar (1 p). Condiția se scrie $\frac{n}{n+12}=\frac{3}{5}$ (1 p), de unde $5n=3n+36$ (1 p), deci $2n=36$ și $n=18$ (1 p). b) (2 p) Plicul are $18+12=30$ de semințe, dintre care $12$ de ridiche, deci probabilitatea este $\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$. Control: $\frac{3}{5}+\frac{2}{5}=1$, cum trebuie pentru două evenimente contrare. c) (2 p) Dacă se adaugă $k$ semințe de ridiche, plicul are $30+k$ semințe, iar condiția devine $\frac{18}{30+k}=\frac{1}{2}$ (1 p), adică $30+k=36$, deci $k=6$ semințe de ridiche (1 p).

Pentru părinți și profesori

Testul verifică a doua jumătate a unității: experimentul aleator și probabilitățile. Sunt acoperite cele treisprezece lecții de la mulțimea rezultatelor posibile, evenimentul sigur, imposibil și elementar, evenimentele disjuncte și diagramele Venn, până la definiția clasică a probabilității, evenimentul contrar, probabilitatea reuniunii și a intersecției, probabilitățile condiționate, evenimentele independente, diagramele arborescente și problemele practice de decizie. Organizarea datelor, mărimile caracteristice și sondajele au fost verificate în testul anterior al aceleiași unități — aici nu se cere niciun indicator statistic.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, și are voie să folosească un calculator de buzunar. Convenția de scriere, aceeași peste tot în test: probabilitățile se dau ca fracții ireductibile, iar acolo unde enunțul cere procente sau zecimale se rotunjește la două zecimale, cu semnul $\approx$. La orice problemă de numărare, cazurile favorabile și cele posibile se numără în același model: ambele cu ordine sau ambele fără.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau lecțiile unității, în special evenimentul contrar și deosebirea dintre evenimente disjuncte și evenimente independente.
• Formule de reținut: definiția clasică $P(A)=\frac{\mathrm{card}(A)}{\mathrm{card}(\Omega )}$, valabilă doar la rezultate elementare egal posibile; $0\le P(A)\le 1$, $P(\varnothing )=0$, $P(\Omega )=1$; evenimentul contrar $P(\overline{A})=1-P(A)$, cu tiparul $P(\text{cel puțin unul})=1-P(\text{niciunul})$; reuniunea $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$, cu $P(A\cap B)=0$ la evenimente disjuncte; regula înmulțirii $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)$ și probabilitatea condiționată $P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{\mathrm{card}(A\cap B)}{\mathrm{card}(A)}$; independența $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$, care nu înseamnă niciodată „disjuncte"; la extrageri simultane, $\mathrm{card}(\Omega )=C_n^k$.
• Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Date, statistică matematică și probabilități, la capitolul de clasa a X-a, care cere evenimentele, probabilitatea unui eveniment, operațiile cu probabilități, probabilitățile condiționate și evenimentele independente. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029; în modelul oficial publicat pentru 2026, cerința de probabilitate stă la Subiectul I, iar programa de examen cere „evenimente aleatoare egal probabile, operații cu evenimente, probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile". Deosebirea dintre cele două programe se vede în doi itemi ai testului: probabilitățile condiționate și evenimentele independente nu apar în programa de examen din 2014 și sunt marcate ca atare, fiindcă intră abia la proba MAT_P2 din 2030. Practic: itemii 9 și 10 sunt pentru generația care învață după anexa 28 (elevii intrați în clasa a IX-a din 2026 încoace); la o clasă aflată încă pe programa veche, care dă Bacalaureatul M2 în 2027–2029, cei doi itemi se pot sări, iar nota se calculează din cele $76$ de puncte rămase, plus oficiul.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".