Test: Progresii aritmetice și geometrice (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Progresii aritmetice și progresii geometrice

Exerciții

Partea I – Șiruri și progresii aritmetice

Exercițiul 1 (6 puncte)

Se consideră șirul $(a_n{)}_{n\ge 1}$ dat prin formula termenului general $a_n=7-2n$. Rezolvă cerințele (câte 1 punct): a) Calculează $a_1$. b) Calculează $a_4$. c) Calculează $a_{12}$. d) Determină rangul termenului egal cu $-33$. e) Este $-20$ termen al șirului? Justifică. f) Este șirul progresie aritmetică? Dacă da, precizează rația.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Într-o progresie aritmetică se cunosc $a_3=11$ și $a_{10}=46$. a) Determină rația și primul termen. (2 p) b) Scrie formula termenului general și calculează $a_{25}$. (2 p) c) Determină rangul termenului egal cu $246$. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Se consideră progresia aritmetică în care $a_1=6$, iar rația $r=4$. a) Calculează $a_{20}$. (2 p) b) Calculează suma primilor $20$ de termeni. (2 p) c) Determină numărul natural $n$ pentru care $S_n=286$. (2 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Rația progresiei aritmetice $2,9,16,23,\dots$ este: A. $7$; B. $-7$; C. $2$; D. $\frac{9}{2}$.

b) Al cincilea termen al progresiei geometrice cu $b_1=3$ și rația $q=-2$ este: A. $-48$; B. $48$; C. $-24$; D. $96$.

c) Prețul unui reactiv scade cu $20\%$, iar apoi noul preț mai scade cu $25\%$. Față de prețul inițial, reducerea totală este de: A. $45\%$; B. $40\%$; C. $5\%$; D. $50\%$.

d) Suma $3+6+12+24+48+96$ este egală cu: A. $189$; B. $192$; C. $96$; D. $93$.

Partea a II-a – Progresii geometrice și creștere procentuală

Exercițiul 5 (6 puncte)

Într-o progresie geometrică cu termeni pozitivi se cunosc $b_2=12$ și $b_5=324$. a) Determină rația și primul termen. (3 p) b) Scrie formula termenului general. (1 p) c) Calculează $b_7$. (2 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Se consideră progresia geometrică în care $b_1=8$, iar rația este $q=3$. a) Scrie primii patru termeni ai progresiei. (1 p) b) Calculează $b_6$. (2 p) c) Calculează suma primilor $5$ termeni. (3 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 2 puncte): a) „Într-o progresie aritmetică de rație $0$, toți termenii sunt egali." b) „Dacă un șir cu termeni pozitivi verifică $b_{n+1}=2b_n$ pentru orice $n$, atunci el este progresie aritmetică." c) „O creștere cu $25\%$ urmată de o scădere cu $20\%$ readuce valoarea la cea inițială." d) „Într-o progresie geometrică de rație $q=-2$, toți termenii au același semn."

Exercițiul 8 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră progresia aritmetică $(a_n{)}_{n\ge 1}$ în care $a_1=3$ și $a_7=27$. a) Determină rația progresiei. (2 p) b) Calculează suma primilor $12$ termeni ai progresiei. (2 p) c) Determină numărul natural $n$ pentru care $a_n=107$. (2 p)

Partea a III-a – Modele și probleme aplicate

Exercițiul 9 (6 puncte)

Un laborator plătește pentru analizele de apă un abonament lunar fix de $150$ de lei, la care se adaugă $12$ lei pentru fiecare probă analizată. a) Scrie costul lunar în funcție de numărul $n$ de probe și arată că valorile obținute formează o progresie aritmetică; precizează rația și unitatea ei de măsură. (2 p) b) Cât plătește laboratorul într-o lună în care analizează $40$ de probe? (2 p) c) Câte probe poate analiza laboratorul într-o lună cu un buget de $1000$ de lei? (2 p)

Exercițiul 10 (8 puncte)

Într-o cultură de laborator, numărul de bacterii se dublează la fiecare $3$ ore. La începutul observației erau $400$ de bacterii, iar modelul se consideră valabil în primele două zile. a) Scrie numărul de bacterii după $3$, $6$ și $9$ ore și arată că valorile formează o progresie geometrică; precizează rația. (3 p) b) Câte bacterii sunt după $24$ de ore? (2 p) c) După câte ore depășește numărul de bacterii, pentru prima dată, $50000$? (3 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Un filtru reține $30\%$ dintre particulele de praf din aerul care trece prin el. Aerul trece succesiv prin mai multe filtre identice, iar concentrația de la intrare este de $800$ de particule pe litru. a) Scrie factorul cu care se înmulțește concentrația la trecerea printr-un filtru și calculează concentrația după primul și după al doilea filtru. (3 p) b) Scrie formula concentrației după $n$ filtre și calculează concentrația după $4$ filtre. (3 p) c) Arată că, oricât de multe filtre s-ar folosi, concentrația nu ajunge niciodată la zero. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Doi cercetători măsoară, în cinci zile consecutive, două mărimi. Înălțimea unei plante, în centimetri, este $4$; $7$; $10$; $13$; $16$. Masa unei culturi de alge, în grame, este $2$; $6$; $18$; $54$; $162$. a) Stabilește, pentru fiecare șir, dacă este progresie aritmetică sau progresie geometrică și precizează rația. (3 p) b) Scrie formula termenului general pentru fiecare șir și calculează valoarea din ziua a șaptea. (3 p) c) Explică, folosind cele două formule, de ce masa algelor ajunge să crească mult mai repede decât înălțimea plantei, deși în prima zi valoarea ei era mai mică. (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră progresia geometrică $(b_n{)}_{n\ge 1}$, cu termeni pozitivi, în care $b_1=5$ și $b_3=80$. a) Determină rația progresiei. (3 p) b) Calculează $b_6$. (2 p) c) Calculează suma primilor $5$ termeni ai progresiei. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) $a_1=5$, din $7-2\cdot 1$. b) $a_4=-1$, din $7-8$. c) $a_{12}=-17$, din $7-24$. d) Din $7-2n=-33$ rezultă $2n=40$, deci termenul are rangul $20$. e) Nu. Din $7-2n=-20$ rezultă $2n=27$, deci $n=13,5$, care nu este număr natural. f) Da. Diferența $a_{n+1}-a_n=[7-2(n+1)]-(7-2n)=-2$ nu depinde de $n$, deci rația este $-2$ (formula este de gradul întâi în $n$).

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) Din $a_{10}=a_3+7r$ rezultă $46=11+7r$, deci $r=5$. Apoi $a_1=a_3-2r=11-10=1$. b) (2 p) $a_n=1+(n-1)\cdot 5=5n-4$, deci $a_{25}=125-4=121$. c) (2 p) Din $5n-4=246$ rezultă $5n=250$, deci $n=50$, număr natural nenul — valoarea este termen al progresiei.

Exercițiul 3. (6 p) a) (2 p) $a_{20}=6+19\cdot 4=82$. b) (2 p) $S_{20}=\frac{(6+82)\cdot 20}{2}=880$. c) (2 p) $S_n=\frac{[12+(n-1)\cdot 4]\cdot n}{2}=2n^2+4n$. Din $2n^2+4n=286$ rezultă $n^2+2n-143=0$, cu $\Delta =576$ și soluțiile $11$ și $-13$. Se păstrează $n=11$, singura naturală nenulă.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) A — diferența a doi termeni consecutivi este constantă: $9-2=16-9=23-16=7$. b) B — $b_5=b_1\cdot q^4=3\cdot (-2{)}^4=3\cdot 16=48$; exponentul par face rezultatul pozitiv. c) B — factorii se înmulțesc: $0,8\cdot 0,75=0,6$, deci prețul final este $60\%$ din cel inițial, adică o reducere de $40\%$. Procentele nu se adună. d) A — este suma primilor $6$ termeni ai unei progresii geometrice cu $b_1=3$ și $q=2$: $S_6=3\cdot \frac{2^6-1}{2-1}=3\cdot 63=189$.

Exercițiul 5. (6 p) a) (3 p) Din $b_5=b_2\cdot q^3$ rezultă $q^3=\frac{324}{12}=27$, deci $q=3$ (exponentul impar dă o singură soluție reală) (2 p). Apoi $b_1=\frac{b_2}{q}=\frac{12}{3}=4$ (1 p). b) (1 p) $b_n=4\cdot 3^{n-1}$. c) (2 p) $b_7=4\cdot 3^6=4\cdot 729=2916$.

Exercițiul 6. (6 p) a) (1 p) Primii patru termeni sunt $8$; $24$; $72$; $216$. b) (2 p) $b_6=8\cdot 3^5=8\cdot 243=1944$. c) (3 p) $S_5=8\cdot \frac{3^5-1}{3-1}=8\cdot \frac{242}{2}=8\cdot 121=968$. (Verificare prin adunare: $8+24+72+216+648=968$.)

Exercițiul 7. (8 p) — câte 2 puncte (1 p răspunsul, 1 p justificarea). a) A. Din $a_{n+1}=a_n+0$ rezultă că fiecare termen este egal cu precedentul, deci toți sunt egali cu $a_1$. b) F. Raportul a doi termeni consecutivi este constant, nu diferența: șirul este progresie geometrică de rație $2$. Diferența $b_{n+1}-b_n=b_n$ se schimbă de la un pas la altul. c) A. Factorii sunt $1,25$ și $0,8$, iar $1,25\cdot 0,8=1$, deci valoarea finală coincide cu cea inițială. Se întâmplă pentru că $\frac{5}{4}\cdot \frac{4}{5}=1$; la procente egale (de exemplu $+10\%$ și $-10\%$) rezultatul ar fi fost mai mic decât valoarea inițială. d) F. Rația negativă face semnele să alterneze: pentru $b_1>0$ avem $b_2<0$, $b_3>0$ și așa mai departe.

Exercițiul 8. (6 p) a) (2 p) Din $a_7=a_1+6r$ rezultă $27=3+6r$, deci $r=4$. b) (2 p) $a_{12}=3+11\cdot 4=47$, deci $S_{12}=\frac{(3+47)\cdot 12}{2}=300$. c) (2 p) Din $3+(n-1)\cdot 4=107$ rezultă $(n-1)\cdot 4=104$, deci $n=27$.

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) Pentru $n$ probe, costul este $c_n=150+12n$ lei, unde rangul $n$ numără probele analizate. Diferența a doi termeni consecutivi este $c_{n+1}-c_n=12$, constantă, deci șirul costurilor este progresie aritmetică de rație $12$ lei pe probă. b) (2 p) $c_{40}=150+12\cdot 40=630$ de lei. c) (2 p) Din $150+12n\le 1000$ rezultă $12n\le 850$, deci $n\le 70,83\dots$ Laboratorul poate analiza cel mult $70$ de probe (costul lor este $990$ de lei, iar pentru $71$ de probe ar fi $1002$ lei).

Exercițiul 10. (8 p) a) (3 p) După $3$ ore sunt $800$ de bacterii, după $6$ ore $1600$, iar după $9$ ore $3200$ (2 p). Raportul a doi termeni consecutivi este constant, $\frac{1600}{800}=\frac{3200}{1600}=2$, deci valorile formează o progresie geometrică de rație $q=2$, în care rangul numără intervalele de câte $3$ ore (1 p). b) (2 p) În $24$ de ore încap $8$ dublări, deci numărul de bacterii este $400\cdot 2^8=400\cdot 256=102400$ de bacterii. c) (3 p) Se caută cel mai mic $k$ natural cu $400\cdot 2^k>50000$, adică $2^k>125$ (1 p). Cum $2^6=64<125<128=2^7$, primul $k$ potrivit este $7$ (1 p). Șapte dublări înseamnă $21$ de ore de la începutul observației, moment aflat în intervalul de valabilitate declarat: la $18$ ore erau $25600$ de bacterii, iar la $21$ de ore sunt $51200$ (1 p).

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) Filtrul reține $30\%$, deci lasă să treacă $70\%$: factorul este $0,7$ (1 p). După primul filtru concentrația este $800\cdot 0,7=560$ de particule pe litru, iar după al doilea $560\cdot 0,7=392$ de particule pe litru (2 p). b) (3 p) Valorile formează o progresie geometrică de rație $0,7$, deci $c_n=800\cdot 0,7^n$ particule pe litru, unde $n$ numără filtrele (1 p). Pentru $n=4$: $0,7^4=0,2401$, deci $c_4=800\cdot 0,2401=192,08$ de particule pe litru — concentrația fiind o valoare medie pe litru, ea poate fi și zecimală (2 p). c) (2 p) Pentru orice $n$ natural, $0,7^n>0$, deci $c_n=800\cdot 0,7^n>0$. Valorile scad spre zero, dar niciun termen nu este nul: un filtru reține o parte din particule, nu pe toate.

Exercițiul 12. (8 p) a) (3 p) Pentru înălțimea plantei, diferențele sunt $7-4=10-7=13-10=16-13=3$, constante: este progresie aritmetică de rație $r=3$ centimetri pe zi (1,5 p). Pentru masa algelor, rapoartele sunt $\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=\frac{162}{54}=3$, constante: este progresie geometrică de rație $q=3$ (1,5 p). b) (3 p) Planta: $a_n=4+(n-1)\cdot 3=3n+1$, deci în ziua a șaptea are $22$ de centimetri (1,5 p). Algele: $b_n=2\cdot 3^{n-1}$, deci în ziua a șaptea au $2\cdot 3^6=1458$ de grame (1,5 p). c) (2 p) La planta care crește aritmetic se adaugă în fiecare zi aceeași cantitate, $3$ centimetri, deci formula este de gradul întâi în $n$. La alge se înmulțește în fiecare zi cu același factor, deci formula conține o putere a lui $3$, iar puterile cresc din ce în ce mai repede. O creștere procentuală depășește, mai devreme sau mai târziu, orice creștere cu pas constant, oricât de mică ar fi fost valoarea de pornire.

Exercițiul 13. (8 p) a) (3 p) Din $b_3=b_1\cdot q^2$ rezultă $q^2=\frac{80}{5}=16$ (2 p). Exponentul par dă două soluții, $q=4$ și $q=-4$, dar progresia are termeni pozitivi, deci $q=4$ (1 p). b) (2 p) $b_6=5\cdot 4^5=5\cdot 1024=5120$. c) (3 p) $S_5=5\cdot \frac{4^5-1}{4-1}=5\cdot \frac{1023}{3}=5\cdot 341=1705$. (Verificare prin adunare: $5+20+80+320+1280=1705$.)

Pentru părinți și profesori

Testul verifică întreaga unitate de progresii, așa cum o parcurge traseul de științe ale naturii: șirul ca funcție (termen, rang, formula termenului general), progresia aritmetică — rație, termen general, suma primilor $n$ termeni, recunoașterea într-un enunț, dobânda simplă și costurile cu parte fixă — și progresia geometrică — rație, termen general, suma primilor $n$ termeni, creșterea și descreșterea procentuală repetată, dobânda compusă și dinamica populațiilor — încheiate cu alegerea modelului potrivit. Este singurul test al unității, de aceea itemii acoperă toate cele douăsprezece lecții ale ei; modalitățile de a defini un șir prin recurență, mărginirea și monotonia șirurilor nu apar în programa nouă la această unitate — ea cere numai progresiile — dar sunt cerute de programa de examen 2014, așa că se învață și se verifică în unitatea de supliment despre mulțimi, intervale și șiruri. Parametrizările simetrice ale unor numere aflate în progresie sunt o tehnică de rezolvare, nu un conținut de programă, și nu sunt cerute aici.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator — toate numerele sunt alese astfel încât calculele să se facă în minte sau în scris. Se cere scrisă formula folosită, nu doar rezultatul; la problemele aplicate se cere unitatea de măsură la fiecare răspuns și se precizează explicit ce numără rangul.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau lecțiile unității, în special deosebirea dintre „se adaugă mereu aceeași cantitate" și „se înmulțește mereu cu același factor".
• Formule de reținut: un șir este progresie aritmetică dacă $a_{n+1}-a_n=r$ este constantă, iar atunci $a_n=a_1+(n-1)r$, $a_n=a_k+(n-k)r$ și $S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}=\frac{[2a_1+(n-1)r]\cdot n}{2}$; un șir cu termeni nenuli este progresie geometrică dacă $\frac{b_{n+1}}{b_n}=q$ este constantă, iar atunci $b_n=b_1\cdot q^{n-1}$, $b_n=b_k\cdot q^{n-k}$ și, pentru $q\ne 1$, $S_n=b_1\cdot \frac{q^n-1}{q-1}$ (pentru $q=1$, $S_n=n\cdot b_1$); o modificare cu $p\%$ înseamnă înmulțire cu factorul $1\pm \frac{p}{100}$, iar aplicată de $n$ ori dă $V_n=V_0\cdot q^n$, adică o progresie geometrică; dobânda simplă se calculează la capitalul inițial și dă o progresie aritmetică, dobânda compusă se calculează la capitalul curent și dă o progresie geometrică; rangul obținut dintr-o ecuație se acceptă numai dacă este număr natural nenul.
• Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la capitolul de clasa a IX-a intitulat „Progresii aritmetice și progresii geometrice", cu nota că progresiile se abordează și în contexte practice — prețuri, dobânzi, dinamica populației, fenomene din biologie și chimie. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, unde „șiruri particulare: progresii aritmetice, progresii geometrice, formula termenului general, suma primilor $n$ termeni" apar la Subiectul I, ca materie de clasa a IX-a. Este una dintre puținele teme cerute identic de ambele programe, deci se învață o singură dată, pentru amândouă examenele.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".