Test: Rata creșterii, compunere și inversare (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Funcții

Exerciții

Partea I – Rata creșterii și a descreșterii

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Rata creșterii funcției $f(x)=5x-3$ între oricare două numere reale distincte este: A. $5$; B. $-3$; C. $2$; D. depinde de perechea aleasă.

b) Rata funcției $f(x)=x^2-8x+3$ între $1$ și $5$ este: A. $0$; B. $-2$; C. $2$; D. $4$.

c) Dacă rata creșterii unei funcții este negativă pentru orice pereche de numere din intervalul $I$, atunci pe $I$ funcția este: A. strict crescătoare; B. strict descrescătoare; C. constantă; D. pară.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Calculează rata de variație a fiecărei funcții pe intervalul indicat (câte 2 puncte): a) $f(x)=-4x+11$, între $-1$ și $3$; b) $f(x)=x^2+5x-2$, între $0$ și $4$, o dată direct și o dată cu formula scurtă; c) $f(x)=-2x^2+7x$, între $-1$ și $4$.

Exercițiul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Rata creșterii unei funcții între două numere nu se schimbă dacă schimbăm între ele cele două numere." b) „La o funcție afină, rata creșterii este egală cu ordonata punctului în care graficul taie axa $Oy$." c) „Compunerea funcțiilor este asociativă." d) „Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2^x$, este inversabilă."

Exercițiul 4 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+bx+3$, unde $b$ este un număr real. a) Arătați că rata creșterii funcției $f$ între numerele reale distincte $x_1$ și $x_2$ este egală cu $x_1+x_2+b$. (3 p) b) Determinați $b$, știind că rata creșterii funcției $f$ între $1$ și $6$ este egală cu $2$. (3 p) c) Pentru valoarea găsită a lui $b$, determinați intervalul pe care funcția $f$ este strict descrescătoare. (2 p)

Partea a II-a – Compunerea funcțiilor și funcția inversă

Exercițiul 5 (6 puncte)

Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-4$ și $g(x)=2^x$. a) Determină expresiile funcțiilor $g\circ f$ și $f\circ g$. (2 p) b) Calculează $(g\circ f)(2)$ și $(f\circ g)(2)$. (2 p) c) Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $(g\circ f)(x)=8$. (2 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Se consideră funcțiile $u:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $u(x)=\sqrt{x}$, și $v:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $v(x)=x+9$. a) Determină expresia funcției $u\circ v$ și mulțimea valorilor lui $x$ pentru care are sens. (2 p) b) Determină expresia funcției $v\circ u$ și domeniul ei. (2 p) c) Calculează $(u\circ v)(7)$ și $(v\circ u)(16)$. (2 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Se consideră funcțiile $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)={\log }_{3}x+2$, și $g:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $g(y)=3^{y-2}$. a) Arată că $(g\circ f)(x)=x$, pentru orice $x>0$. (3 p) b) Arată că $(f\circ g)(y)=y$, pentru orice număr real $y$. (3 p) c) Deduce că $f$ este inversabilă, scrie $f^{-1}$, cu domeniul și codomeniul ei, și calculează $f^{-1}(4)$. (2 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuațiile: a) $5^{3x+1}=625$; (2 p) b) ${\log }_2(3x-5)=4$; (2 p) c) $9^x-4\cdot 3^x+3=0$. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

a) Calculează $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\arccos (-1)$ și $\mathrm{arctg}\sqrt{3}$. (2 p) b) Calculează $\mathrm{tg}\left(\arccos \frac{5}{7}\right)$. (2 p) c) Determină numărul real $x$ pentru care $\mathrm{arctg}x=\frac{\pi }{3}$. (2 p)

Partea a III-a – Probleme aplicate și itemi de tip examen

Exercițiul 10 (8 puncte)

Într-un experiment de chimie, volumul de dioxid de carbon degajat, măsurat în mililitri, este dat de $V(t)=-2t^2+40t$, unde $t$ este timpul, în minute, iar modelul este valabil pentru $t\in [0,10]$.

a) Calculează rata de variație a volumului pe intervalul $[0;2]$ și pe intervalul $[8;10]$, cu unitate de măsură. (2 p) b) Compară cele două rate și explică, în termeni de reacție chimică, ce arată comparația. (2 p) c) Determină numărul real $t$ pentru care rata de variație pe intervalul $[t;t+2]$ este egală cu $20$ mililitri pe minut. (2 p) d) Calculează volumul total degajat în primele $10$ minute și rata medie de degajare pe tot intervalul. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Nivelul sonor dintr-un laborator, măsurat în decibeli, se calculează cu $L(I)=10\lg \frac{I}{I_0}$, unde $I$ este intensitatea sunetului, în wați pe metru pătrat, iar $I_0=10^{-12}$ wați pe metru pătrat este pragul de audibilitate.

a) Calculează nivelul sonor pentru o intensitate $I=10^{-6}$ wați pe metru pătrat. (2 p) b) O a doua sursă dublează intensitatea. Arată că nivelul sonor crește cu $10\lg 2$ decibeli și calculează această creștere, rotunjită la două zecimale, știind că $\lg 2\approx 0,3010$. (2 p) c) Determină funcția care dă intensitatea în funcție de nivelul sonor, adică inversa lui $L$. (2 p) d) Ce intensitate corespunde unui nivel sonor de $80$ de decibeli? (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Ecuații trigonometrice elementare. a) Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $7\sin x=2$. (2 p) b) Determinați soluțiile din intervalul $[0,\pi ]$ ale ecuației $\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=0$. (3 p) c) Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\cos \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{6}\right)=-1$ și precizați cea mai mică soluție strict pozitivă. (3 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:[5,+\infty )\to [2,+\infty )$, $f(x)=x^2-10x+27$. a) Arătați că $f(x)=(x-5{)}^2+2$, pentru orice număr real $x$. (2 p) b) Arătați că rata creșterii funcției $f$ între $5$ și $9$ este egală cu $4$. (3 p) c) Se consideră $g:[2,+\infty )\to [5,+\infty )$, $g(y)=5+\sqrt{y-2}$. Arătați că $(g\circ f)(x)=x$, pentru orice $x\ge 5$, și $(f\circ g)(y)=y$, pentru orice $y\ge 2$, apoi precizați ce reprezintă $g$ pentru $f$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) A — la o funcție afină $f(x)=ax+b$, diferența valorilor este $a(x_1-x_2)$, deci raportul este $a=5$, același pe orice interval. b) B — cu formula scurtă, $R=a(x_1+x_2)+b=1\cdot (1+5)-8=-2$. (Control direct: $f(1)=-4$, $f(5)=-12$, iar $\frac{-4+12}{1-5}=-2$.) c) B — semnul negativ al raportului înseamnă că diferența valorilor are semn contrar diferenței argumentelor, adică funcția coboară pe tot intervalul.

Exercițiul 2. (6 p) — câte 2 puncte. a) Funcția este afină, cu $a=-4$, deci rata este $-4$ pe orice interval. Control direct: $f(-1)=15$, $f(3)=-1$, iar $\frac{15-(-1)}{-1-3}=\frac{16}{-4}=-4$. b) Direct: $f(0)=-2$ și $f(4)=16+20-2=34$, deci $R=\frac{-2-34}{0-4}=\frac{-36}{-4}=9$. Cu formula scurtă: $R=1\cdot (0+4)+5=9$ — aceeași valoare. c) Cu formula scurtă, $R=-2\cdot (-1+4)+7=-6+7=1$. Rata fiind pozitivă, pe intervalul $[-1;4]$ funcția, în ansamblu, crește.

Exercițiul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) A. Schimbând rolurile, atât numărătorul, cât și numitorul își schimbă semnul, iar raportul rămâne același: $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{-(f(x_1)-f(x_2))}{-(x_1-x_2)}$. b) F. Ordonata punctului de intersecție cu axa $Oy$ este termenul liber $b$, pe când rata este coeficientul $a$. Contraexemplu: pentru $f(x)=2x+7$, rata este $2$, iar graficul taie axa $Oy$ în $7$. c) A. Pentru orice $x$ din domeniu, $((h\circ g)\circ f)(x)=h\left(g\right(f(x)\left)\right)=(h\circ (g\circ f))(x)$: ambele calculează aceleași trei operații, în aceeași ordine. d) F. Dacă ar exista $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ cu $f\circ g=1_{\mathbb{R}}$, am avea $2^{g(-1)}=-1$, imposibil, fiindcă orice putere a lui $2$ este pozitivă: valoarea $-1$ din codomeniu nu este atinsă. Cu codomeniul $(0,+\infty )$, funcția devine inversabilă, cu inversa ${\log }_2$.

Exercițiul 4. (8 p) a) (3 p) Calculăm diferența valorilor (1 p): $$f(x_1)-f(x_2)=\left(x_1^2-x_2^2\right)+b(x_1-x_2)=(x_1-x_2)(x_1+x_2)+b(x_1-x_2)=(x_1-x_2)(x_1+x_2+b)$$ (1 p). Împărțind la $x_1-x_2\ne 0$, obținem $R=x_1+x_2+b$ (1 p). b) (3 p) Din formula de la a), rata între $1$ și $6$ este $1+6+b=7+b$ (1,5 p). Condiția $7+b=2$ dă $b=-5$ (1,5 p). c) (2 p) Pentru $b=-5$ avem $f(x)=x^2-5x+3$, cu $a=1>0$ (0,5 p); abscisa vârfului este $-\frac{-5}{2}=\frac{5}{2}$ (1 p), deci funcția este strict descrescătoare pe $\left(-\infty ,\frac{5}{2}\right]$ și strict crescătoare după (0,5 p).

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) $(g\circ f)(x)=g(f(x))=2^{3x-4}$, iar $(f\circ g)(x)=f(g(x))=3\cdot 2^x-4$. Cele două expresii sunt diferite: compunerea nu este comutativă. b) (2 p) $f(2)=2$, deci $(g\circ f)(2)=2^2=4$; $g(2)=4$, deci $(f\circ g)(2)=3\cdot 4-4=8$. c) (2 p) Ecuația devine $2^{3x-4}=2^3$; funcția exponențială de bază $2$ fiind injectivă, exponenții sunt egali: $3x-4=3$, deci $x=\frac{7}{3}$.

Exercițiul 6. (6 p) a) (2 p) $(u\circ v)(x)=u(v(x))=\sqrt{x+9}$. Condiția este ca $v(x)$ să fie în domeniul lui $u$, adică $x+9\ge 0$, deci $x\in [-9,+\infty )$. b) (2 p) $(v\circ u)(x)=v(u(x))=\sqrt{x}+9$, definită pentru $x\in [0,+\infty )$ — domeniul lui $u$ rămâne neschimbat, fiindcă $v$ este definită pe tot $\mathbb{R}$. c) (2 p) $(u\circ v)(7)=\sqrt{16}=4$ și $(v\circ u)(16)=\sqrt{16}+9=4+9=13$.

Exercițiul 7. (8 p) — redactare completă. a) (3 p) $(g\circ f)(x)=g({\log }_{3}x+2)=3^{({\log }_{3}x+2)-2}$ (1 p) $=3^{{\log }_{3}x}$ (1 p) $=x$, din definiția logaritmului, pentru orice $x>0$ (1 p). b) (3 p) $(f\circ g)(y)={\log }_3{3}^{y-2}+2$ (1 p) $=(y-2)+2$, fiindcă ${\log }_3{3}^t=t$ pentru orice $t$ real (1 p) $=y$, pentru orice $y$ real (1 p). c) (2 p) Din a) și b), $g\circ f=1_{(0,+\infty )}$ și $f\circ g=1_{\mathbb{R}}$, deci, prin definiție, $f$ este inversabilă și $f^{-1}=g$ (0,5 p): $f^{-1}:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f^{-1}(y)=3^{y-2}$ (1 p). Atunci $f^{-1}(4)=3^2=9$ (0,5 p); control: $f(9)=2+2=4$.

Exercițiul 8. (6 p) a) (2 p) $625=5^4$, deci ecuația devine $5^{3x+1}=5^4$; baza $5$ fiind strict pozitivă și diferită de $1$, exponentul se egalează: $3x+1=4$, deci $x=1$. b) (2 p) Condiția de existență este $3x-5>0$. Ecuația se scrie ${\log }_2(3x-5)={\log }_{2}16$, deci $3x-5=16$ și $x=7$; cum $3\cdot 7-5=16>0$, soluția se acceptă. c) (2 p) Notăm $t=3^x$, cu $t>0$; atunci $9^x={\left(3^x\right)}^2=t^2$ și ecuația devine $t^2-4t+3=0$, cu soluțiile $t=1$ și $t=3$, ambele pozitive. Din $3^x=1$ rezultă $x=0$, iar din $3^x=3$ rezultă $x=1$.

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4}$ (singurul unghi din $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ cu sinusul $\frac{\sqrt{2}}{2}$); $\arccos (-1)=\pi$; $\mathrm{arctg}\sqrt{3}=\frac{\pi }{3}$. b) (2 p) Notăm $u=\arccos \frac{5}{7}$; atunci $\cos u=\frac{5}{7}$, iar $u\in [0,\pi ]$, deci $\sin u\ge 0$ (0,5 p). Din ${\sin }^{2}u+{\cos }^{2}u=1$ obținem ${\sin }^{2}u=1-\frac{25}{49}=\frac{24}{49}$, deci $\sin u=\frac{2\sqrt{6}}{7}$ (1 p). Atunci $\mathrm{tg}u=\frac{\sin u}{\cos u}=\frac{2\sqrt{6}}{7}\cdot \frac{7}{5}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$ (0,5 p); cosinusul fiind pozitiv, $u$ este în primul cadran, unde tangenta există. c) (2 p) Funcția arctangentă ia valori în $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, iar $\frac{\pi }{3}$ este în acest interval, deci ecuația are soluție unică: $x=\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$.

Exercițiul 10. (8 p) a) (2 p) Cu formula scurtă, $R=a(t_1+t_2)+b$. Pe $[0;2]$: $R=-2\cdot 2+40=36$ mililitri pe minut. Pe $[8;10]$: $R=-2\cdot 18+40=4$ mililitri pe minut. b) (2 p) Rata scade de nouă ori: la început reactanții sunt în concentrație mare și gazul se degajă repede, iar spre finalul intervalului aceștia se epuizează și degajarea aproape se oprește. Ambele rate sunt pozitive, deci volumul total degajat nu scade niciodată — cum era de așteptat pentru un volum cumulat. c) (2 p) Din $-2(t+(t+2))+40=20$ rezultă $-2(2t+2)=-20$, adică $2t+2=10$ și $t=4$; intervalul cerut este $[4;6]$. d) (2 p) $V(10)=-200+400=200$ mililitri. Rata medie pe $[0;10]$ este $\frac{V(10)-V(0)}{10-0}=\frac{200}{10}=20$ mililitri pe minut (aceeași valoare o dă și formula scurtă: $-2\cdot 10+40=20$).

Exercițiul 11. (8 p) a) (2 p) $\frac{I}{I_0}=\frac{10^{-6}}{10^{-12}}=10^6$, deci $L=10\lg 10^6=10\cdot 6=60$ de decibeli. b) (2 p) Pentru intensitatea $2I$ avem $L(2I)=10\lg \frac{2I}{I_0}=10\lg 2+10\lg \frac{I}{I_0}=10\lg 2+L(I)$, deci creșterea este $10\lg 2$ decibeli, indiferent de intensitatea de pornire. Numeric, $10\cdot 0,3010=3,010\approx 3,01$ decibeli. c) (2 p) Din $L=10\lg \frac{I}{I_0}$ rezultă $\lg \frac{I}{I_0}=\frac{L}{10}$, deci $\frac{I}{I_0}=10^{\frac{L}{10}}$ și $I=I_0\cdot 10^{\frac{L}{10}}=10^{-12}\cdot 10^{\frac{L}{10}}$. d) (2 p) Pentru $L=80$ obținem $I=10^{-12}\cdot 10^8=10^{-4}$ wați pe metru pătrat.

Exercițiul 12. (8 p) a) (2 p) $\sin x=\frac{2}{7}$, iar $\frac{2}{7}\in [-1,1]$, deci ecuația are soluții (0,5 p); $\arcsin \frac{2}{7}$ este în $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ (0,5 p). Soluțiile sunt $S=\left\{\arcsin \frac{2}{7}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}\cup \left\{\pi -\arcsin \frac{2}{7}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$ (1 p); forma exactă se păstrează cu $\arcsin$, fără zecimale. b) (3 p) Sinusul se anulează exact în multiplii lui $\pi$: $2x-\frac{\pi }{3}=k\pi$ (1 p), deci $x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$ (1 p). În $[0,\pi ]$: $k=0$ dă $\frac{\pi }{6}$, $k=1$ dă $\frac{2\pi }{3}$, iar $k=-1$ și $k=2$ dau $-\frac{\pi }{3}$ și $\frac{7\pi }{6}$, în afara intervalului. Deci $S=\left\{\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3}\right\}$ (1 p). c) (3 p) Cosinusul este $-1$ exact când argumentul este $\pi +2k\pi$: $\frac{x}{2}+\frac{\pi }{6}=\pi +2k\pi$ (1 p), deci $\frac{x}{2}=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$ și $x=\frac{5\pi }{3}+4k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ — o singură familie, cu pasul $4\pi$ (1 p). Pentru $k=0$ se obține $\frac{5\pi }{3}>0$, iar pentru $k=-1$ se obține $-\frac{7\pi }{3}<0$, deci cea mai mică soluție strict pozitivă este $\frac{5\pi }{3}$ (1 p).

Exercițiul 13. (8 p) a) (2 p) Dezvoltăm membrul drept: $(x-5{)}^2+2=x^2-10x+25+2=x^2-10x+27=f(x)$, pentru orice număr real $x$. b) (3 p) Direct: $f(5)=25-50+27=2$ și $f(9)=81-90+27=18$ (1,5 p), deci $R=\frac{2-18}{5-9}=\frac{-16}{-4}=4$ (1 p). Control cu formula scurtă: $R=1\cdot (5+9)-10=4$ (0,5 p). c) (3 p) Din a), $(g\circ f)(x)=5+\sqrt{(x-5{)}^2+2-2}=5+\sqrt{(x-5{)}^2}=5+|x-5|=x$, fiindcă $x-5\ge 0$ pe $[5,+\infty )$ (1 p). Apoi $(f\circ g)(y)=(\sqrt{y-2}{)}^2+2=(y-2)+2=y$, pentru $y\ge 2$ (1 p). Ambele compuneri dau funcția identică, deci $f$ este inversabilă și $g=f^{-1}$, cu $f^{-1}:[2,+\infty )\to [5,+\infty )$ (1 p).

Pentru părinți și profesori

Testul verifică al doilea strat al unității de funcții: instrumentele de lucru. Primul este rata creșterii și a descreșterii, $R=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$ — a doua metodă de studiu al monotoniei cerută de programă, cu formula ei scurtă pentru funcția de gradul al doilea și cu unitatea de măsură pe care o poartă într-un context real. Al doilea și al treilea sunt compunerea funcțiilor și funcția inversă, aplicate familiilor de funcții elementare ale clasei: radical, exponențială, logaritmică și funcțiile trigonometrice inverse; un item verifică ecuațiile trigonometrice elementare, rezolvate pe $\mathbb{R}$ și pe un interval. Monotonia prin semnul diferenței $f(x_1)-f(x_2)$, simetria graficului și periodicitatea au fost verificate în testul anterior al aceleiași unități — aici nu se cere nicio axă de simetrie, iar periodicitatea apare doar în familiile de soluții ale ecuațiilor trigonometrice.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Rezultatele se dau în formă exactă (fracție, radical sau putere), cu excepția subpunctului care cere explicit o valoare rotunjită. La compuneri se cere scris domeniul funcției obținute, iar la contextele din fizică, chimie sau biologie se cere unitatea de măsură a fiecărei rate.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau lecțiile unității, cu accent pe ordinea de compunere și pe condițiile de existență.
• Formule de reținut: rata creșterii sau a descreșterii între $x_1\ne x_2$ este $R=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$, iar semnul ei dă monotonia pe intervalul ales; la o funcție afină $f(x)=ax+b$, rata este egală cu $a$ pe orice interval; la o funcție de gradul al doilea $f(x)=a{x}^2+bx+c$, rata este $R=a(x_1+x_2)+b$; într-un context real, rata poartă unitatea funcției împărțită la unitatea argumentului. Compunerea: $(g\circ f)(x)=g(f(x))$, cu condiția ca $f(x)$ să fie în domeniul lui $g$; compunerea nu este comutativă, dar este asociativă. O funcție $f:A\to B$ este inversabilă dacă există $g:B\to A$ cu $g\circ f=1_A$ și $f\circ g=1_B$; atunci $g=f^{-1}$, iar graficele lui $f$ și $f^{-1}$ sunt simetrice față de prima bisectoare. Injectivitatea exponențialei și a logaritmului: pentru $a>0$, $a\ne 1$, avem $a^u=a^v\iff u=v$ și ${\log }_{a}u={\log }_{a}v\iff u=v$, cu $u,v>0$. Ecuațiile trigonometrice elementare: pentru $a\in [-1,1]$, $\sin x=a$ are soluțiile $\arcsin a+2k\pi$ și $\pi -\arcsin a+2k\pi$, iar $\cos x=a$ are soluțiile $\pm \arccos a+2k\pi$, cu $k\in \mathbb{Z}$.
• Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la capitolul „X.3. Funcții", unde programa scrie explicit „rata creșterii/descreșterii" și „compunerea funcțiilor; funcție inversabilă: definiție". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, unde rata creșterii și compunerea sunt trecute la materia clasei a IX-a, iar injectivitatea, surjectivitatea și inversabilitatea la materia clasei a X-a; programa nu precizează subiectul probei la care se evaluează fiecare temă. Aici inversabilitatea se verifică prin definiție, compunând în ambele sensuri; demonstrațiile de injectivitate și surjectivitate sunt lucrate în testul suplimentului clasei a X-a.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".