Test: Reperul cartezian, distanțe și dreapta (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — testele de mate-info, clasa a IX-a → ·

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Geometrie analitică în plan

Exerciții

Partea I – Reperul cartezian, distanțe și mijloc

Exercițiul 1 (6 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (- 4, 7)$ , $B (0, - 5)$ și $C (9, 0)$ . Răspunde scurt, cu justificare de o propoziție (câte 1 punct): a) În ce cadran se află punctul $A$ ? b) Pe ce axă se află punctul $B$ ? c) Care este distanța de la $A$ la axa $O y$ ? d) Care sunt coordonatele punctului $D$ care are aceeași abscisă ca $A$ și aceeași ordonată ca $B$ ? e) O unitate a reperului reprezintă $2$ cm. La câți centimetri de origine se află punctul $C$ ? f) Adevărat sau fals: „punctul $C$ aparține unui cadran".

Exercițiul 2 (6 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $P (- 3, 2)$ și $Q (5, 8)$ . a) Calculează distanța $P Q$ . (2 p) b) Determină coordonatele mijlocului segmentului $[P Q]$ . (2 p) c) Determină coordonatele simetricului lui $P$ față de $Q$ . (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (- 2, - 1)$ și $B (4, 8)$ . a) Calculează panta dreptei $A B$ . (2 p) b) Precizează dacă dreapta urcă sau coboară și cu cât se schimbă $y$ atunci când $x$ crește cu $2$ . (2 p) c) Determină panta dreptei de ecuație $3 x - 4 y + 12 = 0$ . (2 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Distanța de la punctul $T (6, - 8)$ la originea reperului este: A. $10$ ; B. $14$ ; C. $28$ ; D. $2$ .

b) Mijlocul segmentului cu capetele $E (- 9, 5)$ și $F (3, - 1)$ este punctul: A. $(- 6, 4)$ ; B. $(- 3, 2)$ ; C. $(6, - 4)$ ; D. $(- 3, 3)$ .

c) Dreapta de ecuație $y = 4 x - 12$ taie axa $O x$ în punctul: A. $(0, - 12)$ ; B. $(- 3, 0)$ ; C. $(3, 0)$ ; D. $(12, 0)$ .

d) Dreptele de ecuații $y = 3 x - 5$ și $y = 3 x + 1$ sunt: A. confundate; B. secante; C. paralele distincte; D. una orizontală și una verticală.

Partea a II-a – Panta și ecuațiile dreptei

Exercițiul 5 (6 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctul $A (2, - 5)$ și dreapta $d$ care trece prin $A$ și are panta $m = 3$ . a) Scrie ecuația dreptei $d$ și adu-o la forma generală. (3 p) b) Verifică dacă punctul $B (5, 4)$ aparține dreptei $d$ . (2 p) c) Determină numărul real $t$ pentru care punctul de coordonate $(t, 1)$ aparține dreptei $d$ . (1 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $M (- 1, 6)$ și $N (3, - 2)$ . a) Scrie ecuația dreptei $M N$ sub forma $y = m x + n$ . (3 p) b) Determină punctele în care dreapta $M N$ taie axele de coordonate. (2 p) c) Calculează aria triunghiului determinat de dreapta $M N$ și de axele de coordonate. (1 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 2 puncte): a) „Dreapta de ecuație $x = - 4$ are panta $0$ ." b) „Punctele $A (2, 5)$ și $B (2, - 3)$ determină o dreaptă verticală." c) „Dacă două drepte au aceeași pantă, atunci ele sunt paralele distincte." d) „Distanța dintre două puncte nu se schimbă dacă le inversăm ordinea."

Exercițiul 8 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (- 4, 3)$ și $B (2, 7)$ . a) Calculează lungimea segmentului $[A B]$ . (2 p) b) Determină coordonatele mijlocului segmentului $[A B]$ . (2 p) c) Scrie ecuația dreptei $A B$ sub forma generală. (2 p)

Partea a III-a – Coliniaritate, intersecții și aplicații

Exercițiul 9 (6 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (- 3, - 4)$ , $B (1, 2)$ și $C (5, 8)$ . a) Arată că punctele $A$ , $B$ și $C$ sunt coliniare. (2 p) b) Scrie ecuația dreptei care le conține, sub forma generală. (2 p) c) Determină numărul real $k$ pentru care punctul $D$ , de coordonate $(k, - 10)$ , aparține aceleiași drepte. (2 p)

Exercițiul 10 (8 puncte)

În două eprubete încălzite pe aceeași plită, temperatura crește liniar cu timpul $t$ , măsurat în minute. În prima eprubetă temperatura pornește de la $18$ °C și crește cu $4$ °C pe minut; în a doua pornește de la $30$ °C și crește cu $2, 5$ °C pe minut. Modelul este valabil în primele $15$ minute. a) Scrie, pentru fiecare eprubetă, ecuația dreptei $T = m t + n$ și precizează ce reprezintă panta, cu unitatea ei de măsură. (3 p) b) Determină momentul în care cele două temperaturi sunt egale și valoarea comună. (3 p) c) Care eprubetă are temperatura mai mare după $10$ minute? (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (- 4, 2)$ , $B (2, 10)$ și $C (8, 2)$ . a) Calculează lungimile laturilor triunghiului $A B C$ . (3 p) b) Arată că triunghiul este isoscel și calculează perimetrul lui. (2 p) c) Determină coordonatele mijlocului $M$ al laturii $[A C]$ și calculează lungimea medianei $[B M]$ . (3 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Pe harta unui teren de cercetare se alege un reper cartezian cu originea în cabana $O$ , cu axa $O x$ orientată spre est și axa $O y$ spre nord; o unitate reprezintă $100$ de metri. Trei stații de măsurare a calității aerului se află în punctele $S_{1} (3, 4)$ , $S_{2} (- 5, 4)$ și $S_{3} (7, - 1)$ . a) La ce distanță, în metri, se află stația $S_{1}$ față de cabană? (2 p) b) Calculează distanța dintre stațiile $S_{2}$ și $S_{3}$ , în metri. (3 p) c) Un echipaj merge în linie dreaptă de la $S_{1}$ la $S_{3}$ . Determină coordonatele punctului aflat la jumătatea traseului și precizează în ce direcție față de cabană se află el. (3 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (1, - 2)$ , $B (5, 6)$ și $C$ , de coordonate $(- 3, k)$ , unde $k$ este număr real. a) Scrie ecuația dreptei $A B$ sub forma $y = m x + n$ . (3 p) b) Determină $k$ astfel încât punctele $A$ , $B$ și $C$ să fie coliniare. (3 p) c) Pentru $k = 0$ , calculează lungimea segmentului $[A C]$ . (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) Cadranul al II-lea: abscisa este negativă, iar ordonata pozitivă. b) Pe axa $O y$ : abscisa lui $B$ este $0$ . c) $d (A, O y) = ∣ x_{A} ∣ = 4$ — distanțele până la axe se citesc încrucișat. d) Abscisa vine de la $A$ , iar ordonata de la $B$ : $D (- 4, - 5)$ , pe verticala lui $A$ și pe orizontala lui $B$ . e) $O C = ∣ x_{C} ∣ = 9$ unități, adică $9 \cdot 2 = 18$ cm; punctul $C$ este pe axa $O x$ . f) Fals. Punctul $C$ are ordonata $0$ , deci se află pe axa $O x$ , iar punctele de pe axe nu aparțin niciunui cadran.

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) $P Q = (5 + 3)^{2} + (8 - 2)^{2} = 64 + 36 = 100$ , deci $P Q = 10$ . b) (2 p) Mijlocul este $M (\frac{- 3 + 5}{2}, \frac{2 + 8}{2})$ , adică punctul $M (1, 5)$ . c) (2 p) Simetricul lui $P$ față de $Q$ este $R (2 \cdot 5 + 3, 2 \cdot 8 - 2)$ , adică punctul $R (13, 14)$ . Verificare: mijlocul lui $[P R]$ este chiar $Q$ .

Exercițiul 3. (6 p) a) (2 p) $m = \frac{8 - ( - 1 )}{4 - ( - 2 )} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ . b) (2 p) Panta este pozitivă, deci dreapta urcă. Când $x$ crește cu $2$ , $y$ crește cu $2 \cdot \frac{3}{2} = 3$ . c) (2 p) Se izolează $y$ : $4 y = 3 x + 12$ , deci $y = \frac{3}{4} x + 3$ și panta este $\frac{3}{4}$ .

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) A — $O T = 6^{2} + (- 8)^{2} = 36 + 64 = 100 = 10$ . b) B — mijlocul are coordonatele $(\frac{- 9 + 3}{2}, \frac{5 - 1}{2}) = (- 3, 2)$ . c) C — se pune $y = 0$ : din $4 x - 12 = 0$ rezultă $x = 3$ , deci punctul este $(3, 0)$ . d) C — cele două drepte au aceeași pantă, $3$ , dar ordonate la origine diferite, $- 5$ și $1$ , deci sunt paralele distincte.

Exercițiul 5. (6 p) a) (3 p) Formula punct–pantă dă $y - (- 5) = 3 (x - 2)$ , adică $y + 5 = 3 x - 6$ (2 p), deci $y = 3 x - 11$ , iar forma generală este $3 x - y - 11 = 0$ (1 p). b) (2 p) Se înlocuiesc coordonatele: $3 \cdot 5 - 4 - 11 = 15 - 15 = 0$ , deci $B$ aparține dreptei $d$ . c) (1 p) Din $3 t - 1 - 11 = 0$ rezultă $3 t = 12$ , deci $t = 4$ .

Exercițiul 6. (6 p) a) (3 p) Panta este $m = - 2$ , din $\frac{- 2 - 6}{3 + 1} = \frac{- 8}{4}$ (2 p). Cu punctul $M (- 1, 6)$ : $y - 6 = - 2 (x + 1)$ , deci $y = - 2 x + 4$ și $n = 4$ (1 p). b) (2 p) Cu $x = 0$ se obține punctul $(0, 4)$ de pe axa $O y$ ; cu $y = 0$ , din $- 2 x + 4 = 0$ , se obține punctul $(2, 0)$ de pe axa $O x$ . c) (1 p) Triunghiul este dreptunghic în origine, cu catetele $2$ și $4$ , deci $S = 4$ unități de arie.

Exercițiul 7. (8 p) — câte 2 puncte (1 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F. Dreapta $x = - 4$ este verticală și nu are pantă, fiindcă variația pe orizontală este nulă, iar împărțirea la zero nu este definită. Panta $0$ o au dreptele orizontale, de forma $y = b$ . b) A. Cele două puncte au aceeași abscisă, $2$ , deci dreapta lor este verticală, de ecuație $x = 2$ . c) F. Pot fi și confundate: dreptele $y = 2 x + 1$ și $2 y = 4 x + 2$ au aceeași pantă și aceeași ordonată la origine, deci coincid. d) A. În formulă apar pătratele diferențelor, iar numerele opuse au același pătrat: $(x_{B} - x_{A})^{2} = (x_{A} - x_{B})^{2}$ , deci $A B = B A$ .

Exercițiul 8. (6 p) a) (2 p) $A B = (2 + 4)^{2} + (7 - 3)^{2} = 36 + 16 = 52 = 213$ . b) (2 p) Mijlocul este $M (- 1, 5)$ , din $(\frac{- 4 + 2}{2}, \frac{3 + 7}{2})$ . c) (2 p) Panta este $\frac{7 - 3}{2 + 4} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ , deci $y - 3 = \frac{2}{3} (x + 4)$ . Înmulțind cu $3$ : $3 y - 9 = 2 x + 8$ , adică $2 x - 3 y + 17 = 0$ .

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) $m_{A B} = \frac{2 + 4}{1 + 3} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ și $m_{A C} = \frac{8 + 4}{5 + 3} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ . Pantele sunt egale, iar dreptele au punctul comun $A$ , deci punctele sunt coliniare. b) (2 p) Cu punctul $B (1, 2)$ : $y - 2 = \frac{3}{2} (x - 1)$ , adică $2 y - 4 = 3 x - 3$ , deci ecuația este $3 x - 2 y + 1 = 0$ . c) (2 p) Se înlocuiește $y = - 10$ : $3 k + 20 + 1 = 0$ , deci $3 k = - 21$ și $k = - 7$ .

Exercițiul 10. (8 p) a) (3 p) Prima eprubetă: $T_{1} = 4 t + 18$ ; a doua: $T_{2} = 2, 5 t + 30$ (2 p). Panta este viteza de încălzire, măsurată în grade Celsius pe minut: $4$ °C/min, respectiv $2, 5$ °C/min (1 p). b) (3 p) Punctul comun al celor două drepte se află rezolvând sistemul, adică egalând: $4 t + 18 = 2, 5 t + 30$ (1 p), deci $1, 5 t = 12$ și $t = 8$ minute (1 p). Temperatura comună este $4 \cdot 8 + 18 = 50$ °C, aceeași și pe a doua dreaptă: $2, 5 \cdot 8 + 30 = 50$ °C (1 p). Momentul se află în intervalul de valabilitate declarat. c) (2 p) După $10$ minute, $T_{1} = 58$ °C și $T_{2} = 55$ °C, deci prima eprubetă este mai caldă. Dreapta mai abruptă o depășește pe cealaltă după momentul intersecției.

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) $A B = (2 + 4)^{2} + (10 - 2)^{2} = 36 + 64 = 10$ (1 p); $B C = (8 - 2)^{2} + (2 - 10)^{2} = 36 + 64 = 10$ (1 p); $A C = (8 + 4)^{2} + 0^{2} = 12$ , latura fiind orizontală (1 p). b) (2 p) Două laturi sunt egale, $A B = B C = 10$ , deci triunghiul este isoscel cu baza $[A C]$ ; inegalitatea triunghiului este respectată, fiindcă $10 + 10 > 12$ . Perimetrul este $P = 32$ . c) (3 p) Mijlocul laturii $[A C]$ este $M (2, 2)$ (1 p). Cum $B$ și $M$ au aceeași abscisă, segmentul $[B M]$ este vertical, deci $B M = ∣10 - 2∣ = 8$ (2 p).

Exercițiul 12. (8 p) a) (2 p) $O S_{1} = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5$ unități, adică $5 \cdot 100 = 500$ de metri. b) (3 p) $S_{2} S_{3} = (7 + 5)^{2} + (- 1 - 4)^{2} = 144 + 25 = 169 = 13$ unități (2 p), adică $13 \cdot 100 = 1300$ de metri (1 p). c) (3 p) Punctul de la jumătatea traseului este mijlocul segmentului $[S_{1} S_{3}]$ , adică $(\frac{3 + 7}{2}, \frac{4 - 1}{2})$ , deci punctul de coordonate $(5; 1, 5)$ (2 p). Ambele coordonate sunt pozitive, deci punctul se află în cadranul I, la est și la nord de cabană — mai precis la $500$ de metri est și $150$ de metri nord (1 p).

Exercițiul 13. (8 p) a) (3 p) Panta este $m = \frac{6 + 2}{5 - 1} = \frac{8}{4} = 2$ (2 p). Cu punctul $A (1, - 2)$ : $y + 2 = 2 (x - 1)$ , deci $y = 2 x - 4$ (1 p). b) (3 p) Punctul $C$ este coliniar cu $A$ și $B$ exact când coordonatele lui verifică ecuația dreptei $A B$ (1 p): $k = 2 \cdot (- 3) - 4$ , deci $k = - 10$ (2 p). c) (2 p) Pentru $k = 0$ , punctul $C$ are coordonatele $(- 3, 0)$ , iar $A C = (- 3 - 1)^{2} + (0 + 2)^{2} = 16 + 4 = 20 = 25$ .

Pentru părinți și profesori

Testul verifică prima jumătate a unității de geometrie analitică: reperul cartezian (axe, origine, cadrane, unitatea de lungime), coordonatele unui punct, distanța dintre două puncte, mijlocul unui segment, figurile cu vârfuri date prin coordonate, coordonatele în situații practice, panta ca raport, ecuația dreptei determinate de un punct și de pantă sau de două puncte distincte, intersecțiile dreptei cu axele, poziția dreptei față de axe, coliniaritatea a trei puncte și intersecția a două drepte. Ecuația cercului și pozițiile relative dreaptă–cerc și cerc–cerc se verifică în testul următor al aceleiași unități — aici nu apare nicio ecuație de cerc. Condiția de perpendicularitate a două drepte, $m_{1} m_{2} = - 1$ pentru drepte neverticale, nu este evaluată aici, deși se predă în lecția despre intersecția a două drepte: programa nouă a clasei a IX-a o cere prin competența IX.CS.5.5 („utilizarea condițiilor de perpendicularitate și paralelism a două drepte"), iar programa de examen 2014 o cere ca materie de clasa a X-a. Demonstrația ei vectorială se află în unitatea de supliment despre produsul scalar.

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator și fără instrumente de desen — figura se poate schița în caiet, dar toate răspunsurile se obțin prin calcul. Rezultatele cu radical se lasă în formă exactă, simplificată; la problemele practice se cere unitatea de măsură la fiecare răspuns.
Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau lecțiile unității, în special ordinea coordonatelor și trecerea de la două puncte la ecuația dreptei.
Formule de reținut: distanța dintre $A (x_{A}, y_{A})$ și $B (x_{B}, y_{B})$ este $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ ; mijlocul segmentului $[A B]$ este $M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$ , iar simetricul lui $A$ față de un punct $P$ este $A^{'} (2 x_{P} - x_{A}, 2 y_{P} - y_{A})$ ; panta dreptei $A B$ , pentru $x_{A} \neq = x_{B}$ , este $m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ ; dreapta prin $A (x_{0}, y_{0})$ cu panta $m$ are ecuația $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ , care se aduce la forma explicită $y = m x + n$ sau la forma generală $a x + b y + c = 0$ ; dreapta orizontală este $y = b$ și are panta $0$ , dreapta verticală este $x = a$ și nu are pantă; intersecțiile cu axele se află punând $y = 0$ , respectiv $x = 0$ ; trei puncte sunt coliniare dacă $m_{A B} = m_{A C}$ sau, fără fracții, dacă $(x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) = (x_{C} - x_{A}) (y_{B} - y_{A})$ ; punctele comune a două drepte sunt soluțiile sistemului format din ecuațiile lor — o soluție unică înseamnă drepte secante, nicio soluție înseamnă paralele distincte, o infinitate înseamnă drepte confundate.
Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Geometrie. Trigonometrie, la capitolul de clasa a IX-a intitulat „Geometrie analitică", unde programa cere reperul cartezian, distanța dintre două puncte, coordonatele mijlocului, panta ca raport, ecuațiile dreptei și pozițiile relative a două drepte. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, unde „reper cartezian în plan, coordonate carteziene ale unui punct, distanța dintre două puncte" și „ecuații ale dreptei determinate de un punct și de o direcție dată și ale dreptei determinate de două puncte distincte" apar la Subiectul I, ca materie de clasa a X-a. Aceleași formule, deci, la două examene diferite; la programa nouă ele se învață cu un an mai devreme.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".