Test: Supliment Bac M2: gradul I, gradul II și șiruri (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — testele de mate-info, clasa a IX-a → ·

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Supliment Bac M2 2027–2029: funcția de gradul I și de gradul al doilea, tratare analitică

Exerciții

Partea I – Mulțimi, intervale și funcția de gradul I

Exercițiul 1 (6 puncte)

Se consideră mulțimile $A = (- 3, 4]$ și $B = [1, 7)$ , submulțimi ale lui $R$ . Scrie rezultatul fiecărei operații ca interval sau ca reuniune de intervale (câte 1 punct): a) $A \cap B$ ; b) $A \cup B$ ; c) $A ∖ B$ ; d) $B ∖ A$ ; e) $∁_{R} A$ ; f) $A \cap Z$ .

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră mulțimile $A = {- 1, 0, 2}$ și $B = {1, 3}$ . a) Scrie toate elementele produsului cartezian $A \times B$ . (2 p) b) Precizează câte elemente are $A \times B$ și arată, printr-un exemplu, că $A \times B \neq = B \times A$ . (2 p) c) Câte dintre perechile din $A \times B$ au ambele componente strict pozitive? (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Rezolvă în $R$ și scrie de fiecare dată mulțimea soluțiilor ca interval: a) $3 x - 7 \leq 5$ ; (2 p) b) $- 2 x + 6 > 0$ , explicând de ce se răstoarnă sensul inegalității; (2 p) c) $∣ 2 x - 1 ∣ \leq 5$ . (2 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Soluția ecuației $5 x + 3 = 2 x - 9$ este: A. $- 4$ ; B. $4$ ; C. $- 2$ ; D. $2$ .

b) Funcția $f : R \to R$ , $f (x) = - 2 x + 6$ , este strict pozitivă pe: A. $(3, + \infty)$ ; B. $(- \infty, 3)$ ; C. $(- \infty, - 3)$ ; D. $(6, + \infty)$ .

c) Suma soluțiilor ecuației $3 x^{2} - 12 x + 5 = 0$ este: A. $4$ ; B. $- 4$ ; C. $\frac{5}{3}$ ; D. $12$ .

d) Șirul $(a_{n})_{n \geq 1}$ cu $a_{n} = 4 - 3 n$ este: A. strict crescător; B. strict descrescător; C. constant; D. nemonoton.

Partea a II-a – Sisteme, gradul al doilea și relațiile lui Viète

Exercițiul 5 (6 puncte)

Se consideră sistemul ${2 x + 3 y = 12 5 x - y = 13$ a) Rezolvă sistemul prin metoda substituției. (3 p) b) Verifică soluția obținută în ambele ecuații. (2 p) c) Ce poziție au, una față de cealaltă, dreptele reprezentate de cele două ecuații? (1 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Se consideră sistemul de inecuații format din $3 x - 5 < 7$ și $2 x + 1 \geq - 3$ . a) Rezolvă separat fiecare inecuație. (3 p) b) Scrie mulțimea soluțiilor sistemului sub formă de interval. (2 p) c) Câte numere întregi conține această mulțime? (1 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 2 puncte): a) „Dacă $Δ < 0$ , ecuația $a x^{2} + b x + c = 0$ , cu $a \neq = 0$ și coeficienți reali, nu are soluții reale." b) „Numerele reale $a$ , $b$ , $c$ sunt, în această ordine, în progresie aritmetică dacă și numai dacă $2 b = a + c$ ." c) „Un șir mărginit este obligatoriu monoton." d) „Inecuația $∣ x ∣ \leq - 2$ are cel puțin o soluție reală."

Exercițiul 8 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră ecuația $2 x^{2} - 10 x + 3 = 0$ , cu soluțiile reale $x_{1}$ și $x_{2}$ . a) Arătați că ecuația are două soluții reale distincte și scrieți suma $S$ și produsul $P$ al acestora. (2 p) b) Calculați $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ . (2 p) c) Calculați $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}$ . (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

O parcelă dreptunghiulară are perimetrul $34$ m și aria $60$ m². a) Notând cu $x$ și $y$ dimensiunile parcelei, scrie sistemul pe care îl verifică ele. (2 p) b) Determină cele două dimensiuni. (3 p) c) Verifică rezultatul în datele problemei, cu unități de măsură. (1 p)

Partea a III-a – Șiruri: monotonie, mărginire și progresii

Exercițiul 10 (8 puncte)

Se consideră șirul $(a_{n})_{n \geq 1}$ definit prin $a_{n} = \frac{2 n - 1}{n + 1}$ . a) Arată, prin metoda diferenței, că șirul este strict crescător. (3 p) b) Arată că $a_{n} < 2$ pentru orice rang $n$ și că $a_{1}$ este cel mai mic termen al șirului. (3 p) c) Deduce că șirul este mărginit și scrie un interval care conține toți termenii lui. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Se consideră șirul $(b_{n})_{n \geq 1}$ definit prin $b_{1} = 2$ și $b_{n + 1} = b_{n} + 5$ , pentru orice $n \geq 1$ . a) Calculează $b_{2}$ , $b_{3}$ și $b_{4}$ . (2 p) b) Arată că șirul este progresie aritmetică și scrie formula termenului general. (3 p) c) Verifică relația $2 b_{3} = b_{2} + b_{4}$ și arată că șirul este crescător și nemărginit superior. (3 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră trei numere reale care, în această ordine, sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. Suma lor este $21$ , iar produsul lor este $231$ . a) Notând cele trei numere cu $a - r$ , $a$ și $a + r$ , determinați numărul $a$ . (3 p) b) Determinați rația $r$ și cele trei numere. (3 p) c) Verificați rezultatul în datele problemei. (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = (m - 2) x + 15$ , unde $m$ este număr real. a) Determinați $m$ , știind că $f (2) = 9$ . (2 p) b) Pentru valoarea găsită a lui $m$ , rezolvați inecuația $f (x) \geq 0$ . (3 p) c) Determinați imaginea restricției funcției $f$ la intervalul $[- 1, 4]$ . (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) $A \cap B = [1, 4]$ — capătul $1$ aparține și lui $A$ , și lui $B$ ; capătul $4$ aparține lui $A$ și este mai mic decât $7$ . b) $A \cup B = (- 3, 7)$ — cele două intervale se suprapun, deci reuniunea este un singur interval; capetele rămân deschise, așa cum erau. c) $A ∖ B = (- 3, 1)$ — se scot din $A$ toate numerele mai mari sau egale cu $1$ , deci și capătul $1$ . d) $B ∖ A = (4, 7)$ — capătul $4$ aparține lui $A$ , deci iese din rezultat. e) $∁_{R} A = (- \infty, - 3] \cup (4, + \infty)$ — complementarea inversează tipul fiecărui capăt, iar $- \infty$ și $+ \infty$ rămân capete deschise. f) $A \cap Z = {- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4}$ — șapte numere; $- 3$ nu intră, fiindcă acel capăt este deschis.

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) $A \times B = {(- 1, 1), (- 1, 3), (0, 1), (0, 3), (2, 1), (2, 3)}$ . b) (2 p) Produsul are $card (A) \cdot card (B) = 3 \cdot 2 = 6$ perechi (1 p). Cele două produse sunt diferite: perechea $(- 1, 1)$ aparține lui $A \times B$ , dar nu și lui $B \times A$ , fiindcă $- 1 \in / B$ (1 p). c) (2 p) Prima componentă trebuie luată din ${2}$ — singurul element strict pozitiv al lui $A$ —, iar a doua poate fi oricare din $B$ . Sunt deci $2$ perechi: $(2, 1)$ și $(2, 3)$ .

Exercițiul 3. (6 p) a) (2 p) $3 x \leq 12$ , deci $x \leq 4$ și $S = (- \infty, 4]$ . Împărțirea s-a făcut cu numărul pozitiv $3$ , deci sensul s-a păstrat. b) (2 p) $- 2 x > - 6$ ; împărțind cu $- 2$ , adică cu un număr negativ, sensul se răstoarnă și rămâne $x < 3$ , deci $S = (- \infty, 3)$ . Se poate evita răsturnarea trecând întâi termenul: $6 > 2 x$ . c) (2 p) Modulul fiind cel mult $5$ , cantitatea din interior stă între $- 5$ și $5$ : $- 5 \leq 2 x - 1 \leq 5$ (1 p). Adunând $1$ peste tot, $- 4 \leq 2 x \leq 6$ , apoi împărțind cu $2$ , $- 2 \leq x \leq 3$ , deci $S = [- 2, 3]$ (1 p).

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) A — $5 x - 2 x = - 9 - 3$ , deci $3 x = - 12$ și $x = - 4$ . b) B — rădăcina este $x = 3$ , iar $a = - 2 < 0$ : înainte de rădăcină funcția are semn contrar lui $a$ , adică plus. c) A — din relațiile lui Viète, $S = - \frac{b}{a} = \frac{12}{3} = 4$ , fără a rezolva ecuația. d) B — $a_{n + 1} - a_{n} = [4 - 3 (n + 1)] - (4 - 3 n) = - 3 < 0$ pentru orice rang.

Exercițiul 5. (6 p) a) (3 p) Din a doua ecuație se exprimă $y = 5 x - 13$ (1 p). Înlocuind în prima: $2 x + 3 (5 x - 13) = 12$ , adică $17 x = 51$ (1 p), deci $x = 3$ și apoi $y = 2$ ; soluția este perechea $(3, 2)$ (1 p). b) (2 p) În prima ecuație: $2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 12$ (1 p). În a doua: $5 \cdot 3 - 2 = 13$ (1 p). Perechea verifică ambele ecuații. c) (1 p) $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 2 \cdot (- 1) - 5 \cdot 3 = - 17 \neq = 0$ , deci sistemul are soluție unică, iar dreptele sunt secante.

Exercițiul 6. (6 p) a) (3 p) Din $3 x - 5 < 7$ rezultă $3 x < 12$ , deci $x < 4$ (1,5 p). Din $2 x + 1 \geq - 3$ rezultă $2 x \geq - 4$ , deci $x \geq - 2$ (1,5 p). b) (2 p) Se intersectează cele două mulțimi: din marginile de jos rămâne cea mai mare, iar din cele de sus, cea mai mică. Deci $S = [- 2, 4)$ — capătul $- 2$ este inclus, capătul $4$ nu. c) (1 p) Numerele întregi din interval sunt $- 2$ , $- 1$ , $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , deci $6$ numere ( $4$ nu se numără, fiind capăt deschis).

Exercițiul 7. (8 p) — câte 2 puncte (1 p răspunsul, 1 p justificarea). a) A. După formarea pătratului perfect, ecuația se scrie $(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{Δ}{4 a ^{2}}$ . Numitorul este strict pozitiv, iar un pătrat nu poate fi negativ, deci pentru $Δ < 0$ nu există soluție reală. b) A. Condiția de progresie aritmetică cere ca diferențele consecutive să fie egale: $b - a = c - b$ , ceea ce, adunând $a + b$ , se scrie exact $2 b = a + c$ — fiecare termen este media aritmetică a vecinilor. c) F. Contraexemplu: șirul $a_{n} = (- 1)^{n}$ ia doar valorile $- 1$ și $1$ , deci este mărginit, dar termenii lui cresc și scad alternativ, deci nu este monoton. d) F. Un modul este întotdeauna mai mare sau egal cu zero, deci nu poate fi mai mic decât $- 2$ . Mulțimea soluțiilor este $\emptyset$ .

Exercițiul 8. (6 p) a) (2 p) $Δ = (- 10)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 100 - 24 = 76 > 0$ , deci ecuația are două soluții reale distincte (1 p). Din relațiile lui Viète, $S = - \frac{- 10}{2} = 5$ și $P = \frac{3}{2}$ (1 p). b) (2 p) $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = S^{2} - 2 P = 25 - 3 = 22$ . c) (2 p) $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} x _{2}} = \frac{S}{P} = 5 : \frac{3}{2} = \frac{10}{3}$ . Împărțirea este permisă fiindcă $P = \frac{3}{2} \neq = 0$ , deci niciuna dintre soluții nu este nulă.

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) Perimetrul dă $2 (x + y) = 34$ , adică $x + y = 17$ , iar aria dă $x y = 60$ . Sistemul este de tip sumă–produs. b) (3 p) Dimensiunile sunt soluțiile ecuației $z^{2} - 17 z + 60 = 0$ (1 p). Discriminantul este $Δ = 289 - 240 = 49$ (1 p), deci $z_{1, 2} = \frac{17 \pm 7}{2}$ , adică $12$ și $5$ (1 p). Ambele sunt pozitive, deci potrivite pentru niște lungimi. c) (1 p) $2 (12 + 5) = 34$ m și $12 \cdot 5 = 60$ m² — datele se confirmă.

Exercițiul 10. (8 p) a) (3 p) $a_{n + 1} - a_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 2} - \frac{2 n - 1}{n + 1}$ (1 p). Aducând la același numitor, numărătorul este $(2 n + 1) (n + 1) - (2 n - 1) (n + 2) = (2 n^{2} + 3 n + 1) - (2 n^{2} + 3 n - 2) = 3$ (1 p). Deci $a_{n + 1} - a_{n} = \frac{3}{( n + 1 ) ( n + 2 )} > 0$ pentru orice $n \geq 1$ , adică șirul este strict crescător (1 p). b) (3 p) Se scrie $a_{n} = \frac{2 ( n + 1 ) - 3}{n + 1} = 2 - \frac{3}{n + 1}$ (2 p). Fracția scăzută este strict pozitivă, deci $a_{n} < 2$ pentru orice rang. Șirul fiind crescător, primul termen este cel mai mic: $a_{1} = \frac{1}{2}$ (1 p). c) (2 p) Toți termenii verifică $\frac{1}{2} \leq a_{n} < 2$ , deci șirul este mărginit, iar intervalul $[\frac{1}{2}, 2)$ îi conține pe toți. Marginea $2$ nu este atinsă de niciun termen.

Exercițiul 11. (8 p) a) (2 p) $b_{2} = 2 + 5 = 7$ , $b_{3} = 7 + 5 = 12$ , $b_{4} = 12 + 5 = 17$ . b) (3 p) Din recurență, $b_{n + 1} - b_{n} = 5$ pentru orice rang, deci șirul este progresie aritmetică cu rația $r = 5$ (1 p). Termenul general este $b_{n} = b_{1} + (n - 1) r = 2 + 5 (n - 1)$ (1 p), adică $b_{n} = 5n - 3$ (1 p). c) (3 p) $2 b_{3} = 24$ , iar $b_{2} + b_{4} = 7 + 17 = 24$ — relația se verifică, ceea ce confirmă caracterizarea progresiei prin trei termeni consecutivi (1 p). Rația fiind $5 > 0$ , șirul este crescător (1 p). Nu este mărginit superior: oricare ar fi numărul $M$ , se poate alege un rang $n$ cu $5 n - 3 > M$ , deci niciun număr fixat nu poate fi majorant (1 p).

Exercițiul 12. (8 p) a) (3 p) Cu notația din enunț, suma celor trei numere este $(a - r) + a + (a + r) = 3 a$ (2 p). Din $3 a = 21$ rezultă $a = 7$ (1 p). b) (3 p) Produsul este $(a - r) \cdot a \cdot (a + r) = a (a^{2} - r^{2}) = 7 (49 - r^{2})$ (1 p). Din $7 (49 - r^{2}) = 231$ rezultă $49 - r^{2} = 33$ , deci $r^{2} = 16$ și $r = \pm 4$ (1 p). Ambele valori dau aceleași trei numere, în ordine crescătoare sau descrescătoare: $3$ , $7$ și $11$ (1 p). c) (2 p) Suma: $3 + 7 + 11 = 21$ (1 p). Produsul: $3 \cdot 7 \cdot 11 = 231$ (1 p). Numerele sunt, într-adevăr, în progresie aritmetică, fiindcă $2 \cdot 7 = 3 + 11$ .

Exercițiul 13. (8 p) a) (2 p) $f (2) = 2 (m - 2) + 15 = 2 m + 11$ ; din $2 m + 11 = 9$ rezultă $2 m = - 2$ , deci $m = - 1$ . b) (3 p) Pentru $m = - 1$ , funcția este $f (x) = - 3 x + 15$ (1 p). Din $- 3 x + 15 \geq 0$ rezultă $- 3 x \geq - 15$ , iar împărțirea cu numărul negativ $- 3$ răstoarnă sensul: $x \leq 5$ (1 p). Deci $S = (- \infty, 5]$ (1 p). c) (3 p) Coeficientul lui $x$ este $- 3 < 0$ , deci funcția este strict descrescătoare; pe un interval închis, imaginea unei funcții afine este intervalul determinat de valorile din capete (1 p). Se calculează $f (- 1) = 3 + 15 = 18$ și $f (4) = - 12 + 15 = 3$ (1 p). Ordonând crescător, $Im f ∣_{[- 1, 4]} = [3, 18]$ (1 p).

Pentru părinți și profesori

Testul strânge ultimele două unități de supliment ale clasei, pe care programa de examen le cere algebric, în timp ce programa nouă le tratează numai grafic sau deloc: operațiile cu intervale de numere reale și produsul cartezian; ecuațiile, inecuațiile și sistemele de gradul I, cu tabel de semn și redactare completă; deducerea formulelor gradului al doilea, relațiile lui Viète și sistemele de forma sumă–produs; în sfârșit, șirurile privite în general — moduri de definire, recurență, monotonie, mărginire — și caracterizarea progresiilor prin trei termeni consecutivi. Progresiile aritmetice și geometrice propriu-zise, cu termenul general și suma primilor $n$ termeni, sunt materie de bază și se verifică în testul unității a patra; lectura grafică a semnului funcției afine se verifică în testul de funcții al unității a șasea. Legile lui De Morgan, condițiile algebrice pentru puncte aflate în cadrane și preimaginea unei mulțimi nu intră la Bacalaureatul M2 și nu apar, de aceea, în niciuna dintre cerințele marcate de examen.

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La inecuații se cere mulțimea de soluții scrisă ca interval, cu capetele corect închise sau deschise; la sisteme se cere verificarea soluției în ambele ecuații; la șiruri, o concluzie de monotonie obținută din câțiva termeni nu e o justificare — se cere semnul diferenței $a_{n + 1} - a_{n}$ .
Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau lecțiile unităților, în special capetele intervalelor la reuniune și la diferență și răsturnarea sensului inegalității la înmulțirea cu un număr negativ.
Formule de reținut: la operațiile cu intervale, un capăt trece în rezultat numai dacă aparține fiecăreia dintre mulțimile cerute de operație; produsul cartezian $A \times B$ are $card (A) \cdot card (B)$ elemente și nu coincide cu $B \times A$ ; ecuația de gradul I $a x + b = 0$ cu $a \neq = 0$ are soluția $x = - \frac{b}{a}$ , iar funcția afină are, înainte de rădăcină, semn contrar lui $a$ și, după ea, semnul lui $a$ ; înmulțirea unei inegalități cu un număr negativ îi răstoarnă sensul; pentru $c > 0$ , $∣ u ∣ \leq c$ înseamnă $- c \leq u \leq c$ ; un sistem de gradul I are soluție unică exact când $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \neq = 0$ (drepte secante); discriminantul este $Δ = b^{2} - 4 a c$ , iar relațiile lui Viète dau $S = - \frac{b}{a}$ , $P = \frac{c}{a}$ , cu $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = S^{2} - 2 P$ și $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{S}{P}$ ; ecuația cu suma $S$ și produsul $P$ este $z^{2} - S z + P = 0$ ; un șir este crescător dacă $a_{n + 1} - a_{n} \geq 0$ pentru orice rang, și mărginit dacă toți termenii lui încap într-un interval $[m, M]$ cu $m$ și $M$ numere fixate; trei numere sunt în progresie aritmetică dacă și numai dacă $2 b = a + c$ , iar pentru sumă sau produs date se folosește notația $a - r, a, a + r$ .
Programa și examenul. Testul face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M2 2027–2029: temele lui sunt cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014), la capitolele „Mulțimi și elemente de logică matematică", „Șiruri", „Funcția de gradul I" și „Funcția de gradul al II-lea", dar programa nouă (OMEC 6930/2025, anexa 28) nu le mai are în forma aceasta: la clasa a IX-a funcția afină și funcția de gradul al doilea apar doar în capitolul „Funcții — observarea unor proprietăți ale funcțiilor utilizând lecturi grafice", relațiile lui Viète și șirurile oarecare nu apar deloc, iar din șiruri rămân numai progresiile. Caseta se întoarce, deci, față de testele de bază. Două rânduri se cuvin spuse cinstit: inecuațiile de gradul al doilea apar totuși în anexa 28, dar la clasa a X-a, în capitolul funcției de gradul al doilea; iar operațiile cu intervale rămân, în programa nouă, doar instrument de lucru, nu conținut de sine stătător. Elevii aflați azi în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, unde temele acestea apar la Subiectul I, în rândurile de numere și progresii, de funcții și de ecuații. Pentru proba MAT_P2 din 2030, ce rămâne din capitol se regăsește în domeniul „Algebră".

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".