Test: Supliment Bac M2: produsul scalar (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Supliment Bac M2 2027–2029: produsul scalar și relații metrice în triunghi

Exerciții

Partea I – Produsul scalar: definiție, semn, pătrat scalar

Exercițiul 1 (6 puncte)

Se consideră vectorii nenuli $\vec{u}$ și $\vec{v}$, cu $\Vert \vec{u}\Vert =4$ și $\Vert \vec{v}\Vert =5$. Răspunde scurt (câte 1 punct): a) Calculează $\vec{u}\cdot \vec{v}$, știind că unghiul dintre ei este de $60^{\circ }$. b) Calculează $\vec{u}\cdot \vec{v}$, știind că unghiul dintre ei este de $90^{\circ }$. c) Calculează $\vec{u}\cdot \vec{v}$, știind că unghiul dintre ei este de $120^{\circ }$. d) Calculează $\vec{u}\cdot \vec{u}$. e) Ce semn are $\vec{u}\cdot \vec{v}$ atunci când unghiul dintre vectori este obtuz? f) Rezultatul unui produs scalar este un număr sau un vector?

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră vectorii $\vec{u}$ și $\vec{v}$ cu $\Vert \vec{u}\Vert =3$, $\Vert \vec{v}\Vert =5$ și $\vec{u}\cdot \vec{v}=-6$. a) Calculează $\Vert \vec{u}+\vec{v}\Vert$. (2 p) b) Calculează $\Vert \vec{u}-\vec{v}\Vert$. (2 p) c) Calculează $\cos \theta$, unde $\theta$ este unghiul dintre cei doi vectori, și precizează felul unghiului. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

O forță constantă $\vec{F}$, de modul $20$ N, deplasează un corp pe o deplasare $\vec{d}$ de modul $6$ m. Lucrul mecanic efectuat de forță este $L=\vec{F}\cdot \vec{d}$. a) Calculează $L$ atunci când unghiul dintre $\vec{F}$ și $\vec{d}$ este de $60^{\circ }$, cu unitate de măsură. (2 p) b) Calculează $L$ atunci când unghiul este de $90^{\circ }$ și explică rezultatul. (2 p) c) Calculează $L$ atunci când unghiul este de $120^{\circ }$ și explică ce înseamnă semnul obținut. (2 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Dacă $\vec{u}$ și $\vec{v}$ sunt nenuli și $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$, atunci cei doi vectori sunt: A. coliniari; B. perpendiculari; C. egali; D. de sensuri contrare.

b) Dacă $\Vert \vec{u}\Vert =2$, $\Vert \vec{v}\Vert =7$, iar unghiul dintre ei este de $45^{\circ }$, atunci $\vec{u}\cdot \vec{v}$ este: A. $7\sqrt{2}$; B. $14$; C. $14\sqrt{2}$; D. $7$.

c) Perioada principală a funcției $f(x)=\mathrm{ctg}3x$ este: A. $\frac{\pi }{3}$; B. $\pi$; C. $3\pi$; D. $\frac{2\pi }{3}$.

d) Pentru orice numere reale $p$ și $q$, $\cos p-\cos q$ este egal cu: A. $2\sin \frac{p+q}{2}\sin \frac{p-q}{2}$; B. $-2\sin \frac{p+q}{2}\sin \frac{p-q}{2}$; C. $2\cos \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2}$; D. $-2\cos \frac{p+q}{2}\sin \frac{p-q}{2}$.

Partea a II-a – Perpendicularitate și formule trigonometrice

Exercițiul 5 (6 puncte)

Se consideră vectorii nenuli $\vec{u}$ și $\vec{v}$, cu $\Vert \vec{u}\Vert =\Vert \vec{v}\Vert$. a) Arată că $(\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{v})=0$. (3 p) b) Ce proprietate a rombului se obține din rezultatul de la a)? (2 p) c) Ce se întâmplă dacă cele două module nu sunt egale? (1 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră numerele reale $a$ și $b$ din primul cadran, cu $\sin a=\frac{4}{5}$ și $\cos b=\frac{5}{13}$. a) Determinați $\cos a$ și $\sin b$. (2 p) b) Calculați $\sin (a+b)$. (2 p) c) Calculați $\cos (a+b)$ și precizați cadranul în care se află $a+b$. (2 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 2 puncte): a) „Produsul scalar a doi vectori este un vector." b) „Pentru orice numere reale $a$ și $b$, $\sin (a+b)=\sin a+\sin b$." c) „Dacă $\vec{u}\cdot \vec{v}<0$, atunci unghiul dintre $\vec{u}$ și $\vec{v}$ este obtuz." d) „Funcția cotangentă are perioada principală $2\pi$."

Exercițiul 8 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră expresia $E(x)=\sin 5x+\sin 3x$, unde $x$ este număr real. a) Arătați că $E(x)=2\sin 4x\cos x$ pentru orice număr real $x$. (3 p) b) Calculați $E\left(\frac{\pi }{4}\right)$, folosind atât forma inițială, cât și forma de produs. (3 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=3$, $AC=8$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$. a) Calculează produsul scalar $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$. (2 p) b) Folosind $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$, arată că $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ și calculează $BC$. (2 p) c) Verifică faptul că cele trei lungimi obținute pot fi laturile unui triunghi. (2 p)

Partea a III-a – Relații metrice în triunghi

Exercițiul 10 (8 puncte)

Se consideră triunghiul cu laturile $a=7$, $b=15$ și $c=20$. a) Calculează semiperimetrul $p$ și aria $\mathcal{S}$, folosind formula lui Heron. (3 p) b) Calculează raza $r$ a cercului înscris. (3 p) c) Calculează raza $R$ a cercului circumscris și verifică faptul că niciuna dintre laturi nu depășește diametrul acestui cerc. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=12$, $AC=18$ și $BC=20$. Bisectoarea din $A$ intersectează latura $[BC]$ în punctul $D$. a) Calculează lungimile $BD$ și $DC$. (3 p) b) Calculează lungimea bisectoarei $AD$, folosind ${\ell }_a^2=bc-BD\cdot DC$. (3 p) c) Calculează lungimea medianei din $A$ și compar-o cu lungimea bisectoarei. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră paralelogramul $ABCD$ cu $AB=6$, $AD=4$ și $m(\angle BAD)=60^{\circ }$. Se notează $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ și $\vec{v}=\overrightarrow{AD}$. a) Calculați $\vec{u}\cdot \vec{v}$. (2 p) b) Calculați lungimea diagonalei $AC$. (3 p) c) Calculați lungimea diagonalei $BD$ și verificați legea paralelogramului. (3 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

Se consideră numărul real $x$ din primul cadran, cu $\cos x=\frac{7}{25}$. a) Calculează $\sin x$. (2 p) b) Calculează $\sin 2x$ și $\cos 2x$. (3 p) c) Precizează cadranul în care se află $2x$ și verifică formula fundamentală pentru $2x$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) $\vec{u}\cdot \vec{v}=4\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=20\cdot \frac{1}{2}=10$. b) $\cos 90^{\circ }=0$, deci $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$ — vectorii sunt perpendiculari. c) $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$, deci $\vec{u}\cdot \vec{v}=-10$. d) Pătratul scalar: $\vec{u}\cdot \vec{u}=\Vert \vec{u}{\Vert }^2=16$. e) La unghi obtuz cosinusul este negativ, deci produsul scalar este negativ. f) Un număr real — de aceea operația se numește produs scalar.

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) $\Vert \vec{u}+\vec{v}{\Vert }^2=\Vert \vec{u}{\Vert }^2+2\vec{u}\cdot \vec{v}+\Vert \vec{v}{\Vert }^2=9+2\cdot (-6)+25=22$ (1 p), deci $\Vert \vec{u}+\vec{v}\Vert =\sqrt{22}$ (1 p). b) (2 p) $\Vert \vec{u}-\vec{v}{\Vert }^2=9-2\cdot (-6)+25=46$ (1 p), deci $\Vert \vec{u}-\vec{v}\Vert =\sqrt{46}$ (1 p). c) (2 p) $\cos \theta =\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\Vert \vec{u}\Vert \cdot \Vert \vec{v}\Vert }=\frac{-6}{15}=-\frac{2}{5}$ (1 p). Cosinusul este negativ, deci unghiul este obtuz (1 p).

Exercițiul 3. (6 p) a) (2 p) $L=20\cdot 6\cdot \cos 60^{\circ }=120\cdot \frac{1}{2}=60$ J. b) (2 p) $L=120\cdot \cos 90^{\circ }=0$ J: forța este perpendiculară pe deplasare, deci nu contribuie la mișcare — exact cazul unei greutăți purtate orizontal. c) (2 p) $L=120\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-60$ J. Semnul minus arată că forța se opune deplasării — este cazul frecării sau al unei frâne, care ia energie din mișcare.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) B — modulele fiind nenule, singurul factor care se poate anula este $\cos \theta$, iar el se anulează doar la $90^{\circ }$. b) A — $2\cdot 7\cdot \cos 45^{\circ }=14\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=7\sqrt{2}$. c) A — cotangenta are perioada principală $\pi$, iar $f(ax+b)$ are perioada $\frac{T_0}{|a|}=\frac{\pi }{3}$. d) B — la diferența de cosinusuri apare semnul minus în față: $\cos p-\cos q=-2\sin \frac{p+q}{2}\sin \frac{p-q}{2}$.

Exercițiul 5. (6 p) a) (3 p) Se desfac parantezele, folosind distributivitatea și comutativitatea: $$(\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}\cdot \vec{u}-\vec{u}\cdot \vec{v}+\vec{v}\cdot \vec{u}-\vec{v}\cdot \vec{v}$$ (2 p). Termenii din mijloc se reduc, iar rămâne $\Vert \vec{u}{\Vert }^2-\Vert \vec{v}{\Vert }^2=0$, fiindcă modulele sunt egale (1 p). b) (2 p) Dacă $\vec{u}$ și $\vec{v}$ sunt laturile unui romb duse din același vârf, atunci $\vec{u}+\vec{v}$ și $\vec{u}-\vec{v}$ sunt cele două diagonale. Produsul lor scalar fiind nul, diagonalele rombului sunt perpendiculare. c) (1 p) Atunci $\Vert \vec{u}{\Vert }^2-\Vert \vec{v}{\Vert }^2\ne 0$, deci produsul scalar nu se anulează: într-un paralelogram care nu este romb, diagonalele nu sunt perpendiculare.

Exercițiul 6. (6 p) a) (2 p) Din formula fundamentală, ${\cos }^{2}a=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$, iar $a$ fiind în primul cadran, $\cos a=\frac{3}{5}$ (1 p). Analog, ${\sin }^{2}b=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$, deci $\sin b=\frac{12}{13}$ (1 p). b) (2 p) $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b=\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{13}+\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}=\frac{20}{65}+\frac{36}{65}=\frac{56}{65}$. c) (2 p) $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b=\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{13}-\frac{4}{5}\cdot \frac{12}{13}=\frac{15}{65}-\frac{48}{65}=-\frac{33}{65}$ (1 p). Sinusul este pozitiv și cosinusul negativ, deci $a+b$ se află în cadranul al II-lea (1 p). Verificare: ${\left(\frac{56}{65}\right)}^2+{\left(\frac{33}{65}\right)}^2=\frac{3136+1089}{4225}=1$.

Exercițiul 7. (8 p) — câte 2 puncte (1 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F. Produsul scalar se obține înmulțind două lungimi cu un cosinus, deci rezultatul este un număr. Un vector ar avea direcție și sens, pe care rezultatul nu le are. b) F. Contraexemplu cu $a=b=30^{\circ }$: $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,8660$, în timp ce $\sin 30^{\circ }+\sin 30^{\circ }=1$. Formula corectă este $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$. c) A. Modulele fiind pozitive, semnul produsului este semnul lui $\cos \theta$; cosinusul este negativ exact pentru $\theta \in (90^{\circ },180^{\circ })$, adică pentru unghi obtuz. d) F. Perioada principală a cotangentei este $\pi$: din $\mathrm{ctg}(x+\pi )=\mathrm{ctg}x$ se vede că $\pi$ este perioadă, iar mai mică nu există. $2\pi$ este perioadă, dar nu cea principală.

Exercițiul 8. (6 p) a) (3 p) Se aplică formula de transformare a sumei în produs, cu $p=5x$ și $q=3x$ (1 p): $$\sin p+\sin q=2\sin \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2}$$ (1 p). Semisuma este $\frac{5x+3x}{2}=4x$, iar semidiferența $\frac{5x-3x}{2}=x$, deci $E(x)=2\sin 4x\cos x$ (1 p). b) (3 p) Din forma de produs: $E\left(\frac{\pi }{4}\right)=2\sin \pi \cdot \cos \frac{\pi }{4}=2\cdot 0\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=0$ (2 p). Din forma inițială: $\sin \frac{5\pi }{4}+\sin \frac{3\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=0$ — aceeași valoare (1 p).

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot \cos A=3\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=12$. b) (2 p) Se ridică la pătratul scalar: $B{C}^2=\Vert \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}{\Vert }^2=A{C}^2-2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+A{B}^2$ (1 p). Numeric: $B{C}^2=9+64-24=49$, deci $BC=7$ (1 p). Aceasta este chiar teorema cosinusului, obținută dintr-un singur pătrat scalar, fără a distinge cazuri după felul unghiului. c) (2 p) Laturile sunt $3$, $7$ și $8$: $3+7=10>8$, $3+8=11>7$, $7+8=15>3$ — inegalitatea triunghiului este respectată în toate cele trei forme, deci triunghiul există.

Exercițiul 10. (8 p) a) (3 p) $p=\frac{7+15+20}{2}=21$ (1 p). Cu formula lui Heron, $$\mathcal{S}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{21\cdot 14\cdot 6\cdot 1}=\sqrt{1764}=42$$ (2 p). b) (3 p) Din $\mathcal{S}=p\cdot r$ rezultă $r=\frac{\mathcal{S}}{p}=\frac{42}{21}=2$. c) (2 p) Din $\mathcal{S}=\frac{abc}{4R}$ rezultă $R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}=\frac{7\cdot 15\cdot 20}{4\cdot 42}=\frac{2100}{168}=12,5$ (1 p). Diametrul este $2R=25$, iar cea mai lungă latură are $20<25$: laturile sunt coarde ale cercului circumscris, deci niciuna nu îl depășește (1 p).

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) Teorema bisectoarei dă $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$ (1 p). Cum $BD+DC=20$, se obține $BD=\frac{2}{5}\cdot 20=8$ și $DC=\frac{3}{5}\cdot 20=12$ (2 p). Segmentul mai mare stă lângă latura mai mare, ceea ce se confirmă. b) (3 p) ${\ell }_a^2=AB\cdot AC-BD\cdot DC=12\cdot 18-8\cdot 12=216-96=120$ (2 p), deci $AD=\sqrt{120}=2\sqrt{30}$ (1 p). c) (2 p) $m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}=\frac{2\cdot 324+2\cdot 144-400}{4}=\frac{536}{4}=134$, deci mediana este $\sqrt{134}$ (1 p). Cum $120<134$, bisectoarea este mai scurtă decât mediana dusă din același vârf — lucru valabil în orice triunghi neisoscel (1 p).

Exercițiul 12. (8 p) a) (2 p) $\vec{u}\cdot \vec{v}=AB\cdot AD\cdot \cos 60^{\circ }=6\cdot 4\cdot \frac{1}{2}=12$. b) (3 p) Prin regula paralelogramului, $\overrightarrow{AC}=\vec{u}+\vec{v}$ (1 p), deci $$A{C}^2=\Vert \vec{u}{\Vert }^2+2\vec{u}\cdot \vec{v}+\Vert \vec{v}{\Vert }^2=36+24+16=76$$ (1 p), de unde $AC=\sqrt{76}=2\sqrt{19}$ (1 p). c) (3 p) $\overrightarrow{BD}=\vec{v}-\vec{u}$, deci $B{D}^2=16-24+36=28$, adică $BD=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$ (2 p). Legea paralelogramului cere ca suma pătratelor diagonalelor să fie egală cu suma pătratelor celor patru laturi: $76+28=104$, iar $2(36+16)=104$ — se verifică (1 p).

Exercițiul 13. (8 p) a) (2 p) ${\sin }^{2}x=1-\frac{49}{625}=\frac{576}{625}$, iar $x$ fiind în primul cadran, $\sin x=\frac{24}{25}$. b) (3 p) $\sin 2x=2\sin x\cos x=2\cdot \frac{24}{25}\cdot \frac{7}{25}=\frac{336}{625}$ (2 p). Cum se cunoaște cosinusul, se alege forma potrivită: $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1=\frac{98}{625}-1=-\frac{527}{625}$ (1 p). c) (3 p) Sinusul este pozitiv, iar cosinusul negativ, deci $2x$ se află în cadranul al II-lea (1 p). Verificarea formulei fundamentale: $336^2+527^2=112896+277729=390625=625^2$ (2 p), deci ${\sin }^{2}2x+{\cos }^{2}2x=1$.

Pentru părinți și profesori

Testul verifică două unități de supliment legate între ele: produsul scalar a doi vectori (definiția, semnul, proprietățile, pătratul scalar, condiția de perpendicularitate) și formulele trigonometrice cerute de examen, dar scoase din programa nouă — formulele de adunare și de scădere, formulele unghiului dublu, transformarea sumei în produs, plus funcția cotangentă și periodicitatea. La acestea se adaugă relațiile metrice din triunghi pe care le cere programa de examen: raza cercului înscris, raza cercului circumscris, teorema bisectoarei și lungimea medianei. Vectorii înșiși — adunarea, coliniaritatea, descompunerea, centrul de greutate — au fost verificați în testul anterior al traseului și nu se reiau aici. Teorema cosinusului apare o singură dată și numai ca rezultat al unui pătrat scalar: rezolvarea triunghiurilor oarecare este materie de bază (anexa 28) și se verifică în testul de trigonometrie al unității a șaptea.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator — unghiurile alese au valori exacte cunoscute, iar toate fracțiile provin din triplete pitagoreice, deci calculele se pot face în scris. Se cere scrierea formulei folosite înainte de înlocuirea numerelor, iar rezultatele cu unitate de măsură se scriu cu unitate.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau lecțiile unităților, în special semnul produsului scalar și trecerea de la $\Vert \vec{u}+\vec{v}{\Vert }^2$ la produsul scalar.
• Formule de reținut: produsul scalar $\vec{u}\cdot \vec{v}=\Vert \vec{u}\Vert \cdot \Vert \vec{v}\Vert \cdot \cos \theta$ — rezultatul este un număr, nu un vector, iar semnul lui este semnul cosinusului; pătratul scalar $\vec{u}\cdot \vec{u}=\Vert \vec{u}{\Vert }^2$, de unde $\Vert \vec{u}\pm \vec{v}{\Vert }^2=\Vert \vec{u}{\Vert }^2\pm 2\vec{u}\cdot \vec{v}+\Vert \vec{v}{\Vert }^2$; perpendicularitatea a doi vectori nenuli înseamnă $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$; formulele de adunare $\sin (a\pm b)=\sin a\cos b\pm \cos a\sin b$ și $\cos (a\pm b)=\cos a\cos b\mp \sin a\sin b$; unghiul dublu $\sin 2x=2\sin x\cos x$ și $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1=1-2{\sin }^{2}x$; suma în produs $\sin p+\sin q=2\sin \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2}$; cotangenta are perioada principală $\pi$, iar $f(ax+b)$ are perioada $\frac{T_0}{|a|}$; relațiile metrice $\mathcal{S}=p\cdot r$, $\mathcal{S}=\frac{abc}{4R}$, teorema bisectoarei $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$, ${\ell }_a^2=bc-BD\cdot DC$ și $m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$.
• Programa și examenul. Testul face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M2 2027–2029: produsul scalar a doi vectori și formulele trigonometrice de adunare, de dublu unghi și de transformare a sumei în produs sunt cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014), la capitolele „Elemente de trigonometrie" și „Aplicații ale trigonometriei și ale produsului scalar a doi vectori în geometria plană", dar au fost scoase din programa nouă (OMEC 6930/2025, anexa 28), care la trigonometrie cere doar formulele de reducere la primul cadran. Caseta se întoarce, deci, față de testele de bază. Un singur rând face excepție și trebuie spus cinstit: raza cercului circumscris apare totuși în anexa 28, tot la clasa a IX-a, printre activitățile competenței IX.CS.5.7 — în schimb raza cercului înscris, teorema bisectoarei și relația lui Stewart nu apar nicăieri în ea. Elevii aflați azi în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă cuprinde temele acestea fără să spună la ce subiect apar. Modelul oficial publicat pentru 2026 are o singură cerință de trigonometrie, a șasea de la Subiectul I (un triunghi dreptunghic și raza cercului circumscris), și nicio cerință cu vectori sau cu produs scalar, așa că itemii marcați aici sunt construiți în stilul acelui subiect, nu preluați dintr-un subiect oficial. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 rămâne din tot capitolul doar trigonometria de bază, în domeniul „Geometrie. Trigonometrie".

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".