Test: Supliment Bac M2: puteri reale și bijectivitate (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Supliment Bac M2 2027–2029: puteri cu exponent real și funcții bijective

Exerciții

Partea I – Puteri cu exponent rațional, irațional și real

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Valoarea numărului $27^{\frac{2}{3}}$ este: A. $9$; B. $18$; C. $6$; D. $81$.

b) Valoarea numărului ${\left(\frac{25}{49}\right)}^{-\frac{1}{2}}$ este: A. $\frac{5}{7}$; B. $\frac{7}{5}$; C. $-\frac{5}{7}$; D. $\frac{49}{25}$.

c) Care dintre numerele următoare este mai mare decât $1$? A. $0,8^{\sqrt{3}}$; B. $5^{-0,3}$; C. $0,4^{-\sqrt{5}}$; D. $1^{\pi }$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Calculează, dând rezultatul în formă exactă (câte 1,5 puncte): a) $81^{\frac{3}{4}}$; b) ${\left(\frac{1}{32}\right)}^{-\frac{2}{5}}$; c) $3^{\sqrt{5}}\cdot 3^{2-\sqrt{5}}$; d) $\frac{2^{\pi }\cdot 5^{\pi }}{10^{\pi -1}}$.

Exercițiul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Puterea cu exponent rațional se definește și pentru baze negative." b) „Pentru orice $a>0$ și orice număr real $x$ are loc $a^x\ne 0$." c) „Dacă $0<a<1$ și $x<y$, atunci $a^x<a^y$." d) „Funcția $f:(0,+\infty )\to (0,+\infty )$, $f(x)=x^{-3}$, este strict descrescătoare."

Exercițiul 4 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) a) Comparați numerele $5^{0,3}$ și $5^{0,4}$. (2 p) b) Comparați numerele $(0,4{)}^{\sqrt{2}}$ și $(0,4{)}^{1,5}$. (3 p) c) Arătați că $4^{\sqrt{3}}>8$. (3 p)

Partea a II-a – Funcția putere, injectivitate, surjectivitate, bijectivitate

Exercițiul 5 (6 puncte)

a) Stabilește, fără calculator, dacă numerele $0,7^{-\sqrt{3}}$ și $2,5^{-0,4}$ sunt mai mari sau mai mici decât $1$. (2 p) b) Precizează monotonia funcțiilor $u,v:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $u(x)=x^{\sqrt{7}}$ și $v(x)=x^{-\sqrt{7}}$, justificând prin semnul exponentului. (2 p) c) Arată că $32^{\frac{6}{5}}=64$ și precizează monotonia funcției $x\mapsto x^{\frac{6}{5}}$ pe $(0,+\infty )$. (2 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

a) Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5x-8$, este injectivă. (2 p) b) Arată că funcția $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x^2$, nu este injectivă și nu este surjectivă. (2 p) c) Arată că funcția $h:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $h(x)=3^x$, este bijectivă. (2 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2^x+3$. a) Arătați că $f$ este strict crescătoare. (2 p) b) Determinați mulțimea valorilor funcției $f$. (3 p) c) Arătați că funcția $g:\mathbb{R}\to (3,+\infty )$, $g(x)=2^x+3$, este bijectivă și determinați inversa ei. (3 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

Se consideră numerele complexe $z_1=6-2i$ și $z_2=-1+5i$. a) Calculează $z_1+z_2$ și $z_1-z_2$, scriind rezultatele sub formă algebrică. (2 p) b) Precizează coordonatele imaginilor geometrice $M_1$, $M_2$ și $M$ ale numerelor $z_1$, $z_2$ și $z_1+z_2$. (2 p) c) Arată că patrulaterul $O{M}_{1}M{M}_2$ este paralelogram, unde $O$ este originea reperului. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

În planul complex se consideră numărul $z=3+4i$ și punctul $A$, imaginea lui geometrică. a) Determină afixul punctului $B$, imaginea numărului $2z$, și arată că punctele $O$, $A$ și $B$ sunt coliniare. (2 p) b) Determină afixul punctului $C$, imaginea numărului $-z$, și precizează ce transformare geometrică duce punctul $A$ în punctul $C$. (2 p) c) Calculează distanțele $OA$ și $OB$ și compară-le. (2 p)

Partea a III-a – Probleme, demonstrații și itemi de tip examen

Exercițiul 10 (8 puncte)

Numărul de celule dintr-o cultură de alge, măsurat în mii de celule, este dat de $N(t)=500\cdot 3^{\frac{t}{4}}$, unde $t$ este timpul, în ore, scurs de la începutul observației.

a) Calculează $N(0)$ și $N(4)$, cu unitate de măsură. (2 p) b) Calculează $N(2)$, în formă exactă. (2 p) c) Determină după câte ore numărul de celule ajunge la $13500$ de mii. (2 p) d) Arată că $N(t+4)=3\cdot N(t)$, pentru orice $t\ge 0$, și explică ce înseamnă asta pentru cultură. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează că, pentru $a>0$ și $a\ne 1$, funcția $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=a^x$, este injectivă. Poți folosi faptul că $f$ este strict monotonă. (4 p) b) Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $9^{x-1}=27^{x-3}$. (4 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră numerele complexe $z_1=5+2i$ și $z_2=1+6i$. a) Arătați că $z_1+z_2=6+8i$. (2 p) b) Arătați că $z_2-z_1=-4+4i$ și calculați distanța dintre imaginile geometrice ale numerelor $z_1$ și $z_2$. (3 p) c) Arătați că mijlocul segmentului determinat de imaginile geometrice ale numerelor $z_1$ și $z_2$ are afixul $3+4i$. (3 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3^x-3^{-x}$. a) Arătați că $f(-x)=-f(x)$, pentru orice număr real $x$. (2 p) b) Arătați că $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$. (3 p) c) Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $f(x)=\frac{8}{3}$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) A — prin definiție, $27^{\frac{2}{3}}={\left(\sqrt[3]{27}\right)}^2=3^2=9$. Se extrage întâi radicalul, apoi se ridică la putere — drumul cu numere mici. Varianta B vine din înmulțirea bazei cu exponentul. b) B — exponentul negativ răstoarnă fracția, iar $\frac{1}{2}$ înseamnă radical de ordinul al doilea: $${\left(\frac{25}{49}\right)}^{-\frac{1}{2}}={\left(\frac{49}{25}\right)}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{49}{25}}=\frac{7}{5}.$$ Varianta C este imposibilă: o putere cu bază strict pozitivă nu poate fi negativă. c) C — baza $0,4$ este sub $1$, iar exponentul $-\sqrt{5}$ este negativ: baza și exponentul sunt „de aceeași parte", deci $0,4^{-\sqrt{5}}=2,5^{\sqrt{5}}>1$. La A baza e sub $1$ cu exponent pozitiv, la B baza e peste $1$ cu exponent negativ, deci ambele sunt sub $1$, iar D este egal cu $1$.

Exercițiul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p aducerea la formă convenabilă, 1 p rezultatul). a) $81^{\frac{3}{4}}={\left(\sqrt[4]{81}\right)}^3=3^3=27$. b) Exponentul negativ răstoarnă baza: ${\left(\frac{1}{32}\right)}^{-\frac{2}{5}}=32^{\frac{2}{5}}={\left(\sqrt[5]{32}\right)}^2=2^2=4$. c) Produsul puterilor cu aceeași bază: exponenții se adună și radicalii se anulează reciproc, $3^{\sqrt{5}}\cdot 3^{2-\sqrt{5}}=3^{\sqrt{5}+2-\sqrt{5}}=3^2=9$. d) Puterea unui produs, citită invers: $2^{\pi }\cdot 5^{\pi }=(2\cdot 5{)}^{\pi }=10^{\pi }$, deci $$\frac{2^{\pi }\cdot 5^{\pi }}{10^{\pi -1}}=\frac{10^{\pi }}{10^{\pi -1}}=10^{\pi -(\pi -1)}=10^1=10.$$

Exercițiul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F. Definiția cere bază strict pozitivă. Dacă am accepta baze negative, din $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$ ar rezulta că $(-9{)}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-9}$ nu există, pe când $(-9{)}^{\frac{2}{4}}=\sqrt[4]{81}=3$ — același simbol ar avea două sensuri contradictorii. De aceea bazele negative se resping din start. b) A. Orice putere cu bază strict pozitivă este strict pozitivă: la exponent rațional este un radical dintr-un număr pozitiv, iar la exponent irațional este încadrată între puteri raționale, toate pozitive. În particular, ecuația $a^x=0$ nu are soluții. c) F. La bază subunitară ordinea se răstoarnă: din $x<y$ rezultă $a^x>a^y$. Contraexemplu cu $a=\frac{1}{2}$: din $1<2$ rezultă $\frac{1}{2}>\frac{1}{4}$. d) A. Exponentul $-3$ este negativ, deci funcția putere este strict descrescătoare pe $(0,+\infty )$: din $0<x_1<x_2$ rezultă $x_1^3<x_2^3$, iar trecerea la inverse răstoarnă inegalitatea, adică $x_1^{-3}>x_2^{-3}$.

Exercițiul 4. (8 p) a) (2 p) Baza $5$ este supraunitară, deci puterile păstrează ordinea exponenților (1 p). Din $0,3<0,4$ rezultă $5^{0,3}<5^{0,4}$ (1 p). b) (3 p) Baza $0,4$ este subunitară, deci ordinea exponenților se răstoarnă (1 p). Comparăm exponenții: ${\left(\sqrt{2}\right)}^2=2$, iar $1,5^2=2,25$, deci $\sqrt{2}<1,5$ (1 p). Prin urmare $(0,4{)}^{\sqrt{2}}>(0,4{)}^{1,5}$ (1 p). c) (3 p) Aducem ambele numere la baza $2$: $4^{\sqrt{3}}={\left(2^2\right)}^{\sqrt{3}}=2^{2\sqrt{3}}$ și $8=2^3$ (1 p). Comparăm exponenții prin ridicare la pătrat, ca să dispară radicalul: ${\left(2\sqrt{3}\right)}^2=12$ și $3^2=9$, iar $12>9$, deci $2\sqrt{3}>3$ (1,5 p). Baza $2$ fiind supraunitară, rezultă $2^{2\sqrt{3}}>2^3$, adică $4^{\sqrt{3}}>8$ (0,5 p).

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) Baza $0,7$ este sub $1$, iar exponentul $-\sqrt{3}$ este negativ: sunt de aceeași parte, deci $0,7^{-\sqrt{3}}>1$ (1 p). Baza $2,5$ este peste $1$, iar exponentul $-0,4$ este negativ: sunt de părți opuse, deci $2,5^{-0,4}<1$ (1 p). b) (2 p) Exponentul lui $u$ este $\sqrt{7}>0$, deci $u$ este strict crescătoare pe $(0,+\infty )$; exponentul lui $v$ este $-\sqrt{7}<0$, deci $v$ este strict descrescătoare pe $(0,+\infty )$. (Se poate vedea și din $v(x)=\frac{1}{u(x)}$: la numere pozitive, trecerea la invers răstoarnă ordinea.) c) (2 p) $32^{\frac{6}{5}}={\left(\sqrt[5]{32}\right)}^6=2^6=64$ (1 p). Exponentul $\frac{6}{5}$ este pozitiv, deci funcția $x\mapsto x^{\frac{6}{5}}$ este strict crescătoare pe $(0,+\infty )$ (1 p).

Exercițiul 6. (6 p) a) (2 p) Fie $x_1,x_2$ reale cu $f(x_1)=f(x_2)$, adică $5x_1-8=5x_2-8$. Adunând $8$ și împărțind la $5\ne 0$ obținem $x_1=x_2$, deci $f$ este injectivă. b) (2 p) Nu este injectivă: $g(-3)=9=g(3)$, deși $-3\ne 3$. Nu este surjectivă: pentru $y=-1$ ecuația $x^2=-1$ nu are soluții reale, deci $-1$ nu este valoare a funcției; de fapt $\mathrm{Im}g=[0,+\infty )\ne \mathbb{R}$. c) (2 p) Injectivă: baza $3$ este supraunitară, deci $h$ este strict crescătoare, iar o funcție strict monotonă este injectivă. Surjectivă: pentru orice $y>0$, numărul $x={\log }_{3}y$ este real și $h(x)=3^{{\log }_{3}y}=y$. Fiind injectivă și surjectivă, $h$ este bijectivă.

Exercițiul 7. (8 p) a) (2 p) Fie $x_1<x_2$. Baza $2$ fiind supraunitară, avem $2^{x_1}<2^{x_2}$ (1 p); adunând $3$ în ambii membri, $f(x_1)<f(x_2)$ (1 p). Deci $f$ este strict crescătoare. b) (3 p) Pentru orice $x$ real avem $2^x>0$, deci $f(x)>3$ (1 p): nicio valoare nu coboară la $3$ sau sub. Reciproc, pentru orice $y>3$ ecuația $2^x+3=y$ dă $2^x=y-3>0$, deci $x={\log }_2(y-3)$, număr real (1,5 p). Prin urmare mulțimea valorilor este $(3,+\infty )$ (0,5 p). c) (3 p) Pe codomeniul $(3,+\infty )$ funcția $g$ este injectivă (fiind strict crescătoare, ca la punctul a) (1 p) și surjectivă (calculul de la b) (1 p), deci bijectivă. Inversa este $g^{-1}:(3,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g^{-1}(y)={\log }_2(y-3)$ (1 p). Control: $g^{-1}(11)={\log }_{2}8=3$, iar $g(3)=8+3=11$ ✓.

Exercițiul 8. (6 p) a) (2 p) Se adună, respectiv se scad, separat părțile reale și părțile imaginare: $$z_1+z_2=(6-1)+(-2+5)i=5+3i,z_1-z_2=(6+1)+(-2-5)i=7-7i.$$ b) (2 p) Imaginea geometrică a numărului $a+bi$ este punctul de coordonate $(a,b)$, deci $M_1(6,-2)$, $M_2(-1,5)$ și $M(5,3)$. c) (2 p) Calculăm cele două deplasări: de la $O(0,0)$ la $M_1$ mergem cu $(6,-2)$, iar de la $M_2(-1,5)$ la $M(5,3)$ mergem cu $(5-(-1),3-5)=(6,-2)$. Laturile $O{M}_1$ și $M_{2}M$ sunt deci paralele și de aceeași lungime, ceea ce înseamnă că $O{M}_{1}M{M}_2$ este paralelogram. (Este chiar regula paralelogramului pentru adunarea numerelor complexe.)

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) $2z=6+8i$, deci $B(6,8)$, iar $A(3,4)$. Cum $\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OA}$ (fiecare coordonată a lui $B$ este dublul celei a lui $A$), vectorii sunt coliniari și, având originea comună $O$, punctele $O$, $A$, $B$ sunt coliniare. b) (2 p) $-z=-3-4i$, deci $C(-3,-4)$. Punctul $C$ este simetricul lui $A$ față de originea $O$: înmulțirea cu $-1$ este chiar simetria față de $O$ (sau rotația de $180^{\circ }$ în jurul originii). c) (2 p) $OA=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$ și $OB=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$, deci $OB=2\cdot OA$. Înmulțirea cu numărul real $2$ păstrează direcția și dublează distanța față de origine.

Exercițiul 10. (8 p) a) (2 p) $N(0)=500\cdot 3^0=500$ mii de celule, iar $N(4)=500\cdot 3^1=1500$ de mii de celule. b) (2 p) $N(2)=500\cdot 3^{\frac{1}{2}}=500\sqrt{3}$ mii de celule (aproximativ $866$ de mii, dar forma exactă este cea cerută). c) (2 p) Din $500\cdot 3^{\frac{t}{4}}=13500$ rezultă $3^{\frac{t}{4}}=27=3^3$; exponențiala fiind injectivă, $\frac{t}{4}=3$, deci $t=12$ ore. d) (2 p) $N(t+4)=500\cdot 3^{\frac{t+4}{4}}=500\cdot 3^{\frac{t}{4}+1}=3\cdot 500\cdot 3^{\frac{t}{4}}=3\cdot N(t)$. Cu alte cuvinte, numărul de celule se triplează la fiecare $4$ ore; valorile rămân strict pozitive, cum se cuvine unui număr de celule.

Exercițiul 11. (8 p) — redactare completă. a) (4 p) Fie $x_1,x_2$ numere reale cu $f(x_1)=f(x_2)$, adică $a^{x_1}=a^{x_2}$ (1 p). Presupunem, prin absurd, că $x_1\ne x_2$; putem lua, fără a restrânge generalitatea, $x_1<x_2$ (1 p). Dacă $a>1$, funcția este strict crescătoare, deci $a^{x_1}<a^{x_2}$; dacă $0<a<1$, ea este strict descrescătoare, deci $a^{x_1}>a^{x_2}$ (1,5 p). În ambele cazuri cele două puteri sunt diferite, ceea ce contrazice ipoteza. Rămâne $x_1=x_2$, deci $f$ este injectivă (0,5 p). b) (4 p) Aducem ambii membri la baza $3$: $9^{x-1}={\left(3^2\right)}^{x-1}=3^{2x-2}$ și $27^{x-3}={\left(3^3\right)}^{x-3}=3^{3x-9}$ (2 p). Funcția exponențială de bază $3$ fiind injectivă (punctul a), exponenții sunt egali (1 p): $2x-2=3x-9$, deci $x=7$ (0,5 p). Verificare: $9^6=3^{12}$ și $27^4=3^{12}$ ✓ (0,5 p).

Exercițiul 12. (8 p) a) (2 p) $z_1+z_2=(5+1)+(2+6)i=6+8i$. b) (3 p) $z_2-z_1=(1-5)+(6-2)i=-4+4i$ (1 p). Distanța dintre imaginile geometrice este modulul diferenței (1 p): $$\left|z_2-z_1\right|=\sqrt{(-4{)}^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$$ (1 p). c) (3 p) Imaginile sunt $M_1(5,2)$ și $M_2(1,6)$ (1 p). Mijlocul segmentului are coordonatele $\left(\frac{5+1}{2},\frac{2+6}{2}\right)=(3,4)$ (1,5 p), deci afixul lui este $3+4i$ — adică jumătate din suma calculată la punctul a) (0,5 p).

Exercițiul 13. (8 p) a) (2 p) Înlocuim $x$ cu $-x$: $$f(-x)=3^{-x}-3^{-(-x)}=3^{-x}-3^x=-\left(3^x-3^{-x}\right)=-f(x),$$ pentru orice număr real $x$, deci funcția este impară. b) (3 p) Baza $3$ este supraunitară, deci $x\mapsto 3^x$ este strict crescătoare (1 p). De asemenea, $x\mapsto 3^{-x}$ este strict descrescătoare, deci $x\mapsto -3^{-x}$ este strict crescătoare (1 p). Suma a două funcții strict crescătoare este strict crescătoare, deci $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ (1 p). c) (3 p) Notăm $t=3^x$, cu $t>0$; atunci $3^{-x}=\frac{1}{t}$ și ecuația devine $t-\frac{1}{t}=\frac{8}{3}$ (1 p). Înmulțind cu $3t>0$ obținem $3t^2-8t-3=0$, cu $\Delta =64+36=100$ și $\sqrt{\Delta }=10$, deci $t_{1,2}=\frac{8\pm 10}{6}$, adică $t=3$ și $t=-\frac{1}{3}$ (1,5 p). A doua valoare se respinge, fiindcă $t$ trebuie să fie strict pozitiv; din $3^x=3$ rezultă $x=1$ (0,5 p). (Funcția fiind strict crescătoare, deci injectivă, aceasta este singura soluție.)

Pentru părinți și profesori

Acest test face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M2 2027–2029: verifică teme cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014) care nu se mai regăsesc, la clasa a X-a, în programa nouă de științe ale naturii. Sunt acoperite trei grupuri de conținuturi: puterile cu exponent rațional, irațional și real împreună cu funcția putere și graficul ei; injectivitatea, surjectivitatea și bijectivitatea, cu condiția necesară și suficientă de inversabilitate; și interpretarea geometrică a operațiilor cu numere complexe — adunarea, scăderea și înmulțirea cu un număr real. Numerele complexe apar aici numai sub formă algebrică: forma trigonometrică și formula lui Moivre nu fac parte din materia M2, nici în programa de examen, nici în cea nouă.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Rezultatele se dau în formă exactă (fracție, radical sau putere), niciodată aproximativ. La orice putere scrisă se verifică întâi dacă baza este strict pozitivă; la orice demonstrație de injectivitate sau surjectivitate se cer toate etapele, nu doar concluzia.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau lecțiile unității, cu accent pe condiția „bază strict pozitivă" și pe deosebirea dintre injectivitate și surjectivitate.
• Formule de reținut: pentru $a>0$, $m\in \mathbb{Z}$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, definiția este $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$; cele cinci reguli, $a^x{a}^y=a^{x+y}$, $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$, ${\left(a^x\right)}^y=a^{xy}$, $(ab{)}^x=a^x{b}^x$, ${\left(\frac{a}{b}\right)}^x=\frac{a^x}{b^x}$, rămân valabile pentru orice exponenți reali, iar rezultatul este întotdeauna strict pozitiv; pentru sume nu există regulă. Monotonia în exponent: pentru $a>1$, $x<y\Rightarrow a^x<a^y$; pentru $0<a<1$, $x<y\Rightarrow a^x>a^y$. Poziția față de 1: pentru $x>0$, $x^{\alpha }>1$ exact când $x$ și $\alpha$ sunt de aceeași parte ($x>1$ cu $\alpha >0$ sau $x<1$ cu $\alpha <0$); pe $(0,+\infty )$, funcția $x\mapsto x^{\alpha }$ crește pentru $\alpha >0$ și scade pentru $\alpha <0$. Inversabilitate: $f$ este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă, adică orice dreaptă orizontală $y=m$, cu $m$ în codomeniu, taie graficul exact o dată. Complexe: dacă $M_1$, $M_2$ sunt imaginile lui $z_1$, $z_2$, atunci imaginea sumei este al patrulea vârf al paralelogramului construit pe $O{M}_1$ și $O{M}_2$, iar $\left|z_1-z_2\right|$ este distanța dintre $M_1$ și $M_2$.
• Programa și examenul. Testul verifică teme ale suplimentului, iar situația lor este diferită de la un grup la altul. Puterile cu exponent rațional, irațional și real sunt cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014), la capitolul „Mulțimi de numere" al clasei a X-a; dintre funcțiile putere, programa numește doar pe cea cu exponent natural; în programa nouă (OMEC 6930/2025, anexa 28) rămâne doar funcția putere cu exponent întreg, la clasa a IX-a, plus radicalii de ordinul al doilea și al treilea la clasa a X-a. Injectivitatea, surjectivitatea și bijectivitatea sunt tot în programa de examen, la clasa a X-a; în anexa 28 injectivitatea și surjectivitatea nu mai apar deloc, iar funcțiile bijective revin abia la clasa a XI-a, în domeniul Analiză matematică (aplicațiile derivatelor), sub forma „studiul bijectivității unor funcții $f:I\to J$, unde $I$ și $J$ sunt intervale". Interpretarea geometrică a operațiilor cu numere complexe este cerută de programa de examen la clasa a X-a, dar lipsește din anexa 28, unde capitolul „X.4. Numere complexe" se oprește la forma algebrică, conjugat, modul, operații, ecuația de gradul al doilea cu coeficienți reali și ecuațiile bipătrate. Suplimentul este scris pentru elevii aflați acum în clasele X–XII, care dau bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în 2027, 2028 sau 2029, după programa de examen din 2014. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026 contează programa nouă (anexa 28), la proba MAT_P2 din 2030, cu situația descrisă mai sus pentru fiecare temă. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".