Test: Supliment Bac M2: vectori în plan (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — testele de mate-info, clasa a IX-a → ·

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Supliment Bac M2 2027–2029: vectori și calcul vectorial în plan

Exerciții

Partea I – Vectori, egalitate și adunare

Exercițiul 1 (6 puncte)

Se consideră paralelogramul $A B C D$ . Răspunde scurt, cu justificare de o propoziție (câte 1 punct): a) Scrie, cu regula triunghiului, vectorul $A B + B C$ . b) Scrie, cu regula paralelogramului, vectorul $A B + A D$ . c) Scrie opusul vectorului $A B$ . d) Scrie, ca un singur vector, diferența $A B - A D$ . e) Cât este modulul sumei $A B + B C + C D + D A$ ? f) Adevărat sau fals: „doi vectori care au același modul sunt egali".

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră triunghiul $A B C$ și $M$ mijlocul laturii $[B C]$ . a) Scrie $B M$ în funcție de $B C$ . (2 p) b) Arată că $A B + A C = 2 A M$ . (2 p) c) Știind că $A M = 5$ cm, calculează $∥ A B + A C ∥$ . (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Asupra unui corp acționează, în același punct, două forțe perpendiculare $F_{1}$ și $F_{2}$ , cu $∥ F_{1} ∥ = 9$ N și $∥ F_{2} ∥ = 12$ N. a) Calculează modulul rezultantei $F_{1} + F_{2}$ și scrie unitatea de măsură. (2 p) b) Cât ar fi fost modulul rezultantei dacă cele două forțe ar fi fost coliniare, întâi de același sens, apoi de sensuri contrare? (2 p) c) Explică, folosind cele trei rezultate, de ce $∥ u + v ∥ \leq ∥ u ∥ + ∥ v ∥$ pentru orice doi vectori. (2 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Suma $M N + N P + P Q$ este: A. $M Q$ ; B. $QM$ ; C. $0$ ; D. $M P$ .

b) Dacă $∥ v ∥ = 4$ și $u = - 3 v$ , atunci $∥ u ∥$ este: A. $12$ ; B. $- 12$ ; C. $- 3$ ; D. $\frac{4}{3}$ .

c) În triunghiul $A B C$ , cu $G$ centrul de greutate și $A_{1}$ mijlocul laturii $[B C]$ , avem: A. $A G = \frac{1}{3} A A_{1}$ ; B. $A G = \frac{2}{3} A A_{1}$ ; C. $A G = \frac{3}{2} A A_{1}$ ; D. $A G = 2 A A_{1}$ .

d) Dacă $M$ este mijlocul segmentului $[A B]$ , iar $O$ este o origine aleasă liber, atunci vectorul de poziție al lui $M$ este: A. $r_{B} - r_{A}$ ; B. $\frac{r _{A} + r _{B}}{2}$ ; C. $r_{A} + r_{B}$ ; D. $\frac{r _{B} - r _{A}}{2}$ .

Partea a II-a – Înmulțirea cu un scalar și descompunerea

Exercițiul 5 (6 puncte)

Se consideră punctele $A$ , $B$ , $C$ și doi vectori necoliniari $u$ , $v$ , astfel încât $A B = 2 u - v$ și $A C = 6 u - 3 v$ . a) Arată că punctele $A$ , $B$ , $C$ sunt coliniare. (3 p) b) Determină numărul $k$ pentru care $A C = k A B$ . (2 p) c) Precizează poziția lui $B$ față de $A$ și $C$ și raportul $A B : B C$ . (1 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

În triunghiul $A B C$ se consideră punctele $M \in (A B)$ și $N \in (A C)$ astfel încât $A M = \frac{4}{9} A B$ și $A N = \frac{4}{9} A C$ . a) Arată că $M N = \frac{4}{9} B C$ . (3 p) b) Deduce că dreptele $M N$ și $B C$ sunt paralele și scrie raportul $M N : B C$ . (2 p) c) Știind că $B C = 18$ cm, calculează $M N$ . (1 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 2 puncte): a) „Vectorul nul este coliniar cu orice vector." b) „Dacă $∥ u ∥ = ∥ v ∥$ , atunci $u = v$ ." c) „Pentru orice punct $P$ din plan și orice triunghi $A B C$ cu centrul de greutate $G$ , are loc $P A + P B + P C = 3 P G$ ." d) „Orice vector se descompune în mod unic după doi vectori coliniari nenuli."

Exercițiul 8 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $A B C$ și punctul $M$ pe latura $[B C]$ astfel încât $B M : M C = 1 : 3$ , cu $M$ între $B$ și $C$ . a) Determinați numerele reale $α$ și $β$ pentru care $A M = α A B + β A C$ . (3 p) b) Arătați că suma coeficienților obținuți este $1$ și verificați că același lucru se întâmplă pentru mijlocul $N$ al laturii $[B C]$ . (3 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Două corpuri, de mase $2$ kg și $3$ kg, sunt fixate în punctele $A$ și $B$ ale unei tije subțiri, de masă neglijabilă. Centrul de masă $C$ al ansamblului are vectorul de poziție $r_{C} = \frac{2 r _{A} + 3 r _{B}}{5}$ . a) Arată că $A C = \frac{3}{5} A B$ . (2 p) b) Deduce raportul $A C : C B$ și precizează de care dintre cele două corpuri este mai apropiat centrul de masă. (2 p) c) Știind că $A B = 40$ cm, calculează distanța de la $A$ la centrul de masă. (2 p)

Partea a III-a – Centrul de greutate, Menelaus și Ceva

Exercițiul 10 (8 puncte)

Se consideră triunghiul $A B C$ , cu $G$ centrul său de greutate, și punctele $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ — mijloacele laturilor $[B C]$ , $[C A]$ , respectiv $[A B]$ . a) Arată că $G A + GB + GC = 0$ . (3 p) b) Fie $P$ un punct oarecare din plan. Arată că $P A + P B + P C = 3 P G$ . (3 p) c) Arată că triunghiurile $A B C$ și $A_{1} B_{1} C_{1}$ au același centru de greutate. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

În triunghiul $A B C$ , punctul $M$ se află pe latura $[B C]$ astfel încât $B M : M C = 2 : 3$ , cu $M$ între $B$ și $C$ , iar $N$ este mijlocul laturii $[A C]$ . Dreapta $M N$ intersectează dreapta $A B$ în punctul $P$ . a) Scrie relația lui Menelaus pentru triunghiul $A B C$ și transversala $M$ , $N$ , $P$ . (3 p) b) Calculează raportul $A P : P B$ . (3 p) c) Arată că $P$ nu se află între $A$ și $B$ , ci pe prelungirea laturii. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) În triunghiul $A B C$ se consideră punctele $M \in (B C)$ , $N \in (C A)$ și $P \in (A B)$ astfel încât $B M : M C = 3 : 1$ , cu $M$ între $B$ și $C$ , și $C N : N A = 2 : 3$ , cu $N$ între $C$ și $A$ . a) Scrieți relația lui Ceva pentru cevienele $A M$ , $B N$ și $C P$ . (3 p) b) Determinați raportul $A P : P B$ pentru care cele trei ceviene sunt concurente. (3 p) c) Verificați că relația scrisă la punctul a) este îndeplinită de cele trei mediane ale triunghiului. (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $A B C$ , cu $G$ centrul său de greutate, și punctul $D$ definit prin $A D = 3 A G$ . a) Arătați că $A G = \frac{1}{3} (A B + A C)$ . (2 p) b) Deduceți că $A D = A B + A C$ și arătați că $A B D C$ este paralelogram. (3 p) c) Arătați că $B D = A C$ și deduceți că segmentele $[A D]$ și $[B C]$ au același mijloc. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) $A B + B C = A C$ : al doilea vector pleacă din extremitatea primului, iar suma închide drumul. b) $A B + A D = A C$ — cei doi vectori au originea comună $A$ , deci suma este diagonala dusă din $A$ . c) Opusul este $- A B = B A$ : aceeași direcție și același modul, sens contrar. d) $A B - A D = D B$ — diferența a doi vectori cu origine comună merge de la vârful celui scăzut la vârful celuilalt. e) Conturul $A \to B \to C \to D \to A$ este închis, deci suma este $0$ , iar modulul ei este $0$ . f) Fals. Modulele egale înseamnă doar lungimi egale; egalitatea a doi vectori cere și aceeași direcție, și același sens. De exemplu, $A B$ și $B A$ au același modul, dar sunt opuși.

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) $M$ este mijlocul lui $[B C]$ , deci $B M = \frac{1}{2} B C$ . b) (2 p) Din regula triunghiului, $A B = A M + M B$ și $A C = A M + M C$ (1 p). Adunând și folosind $M B + M C = 0$ (căci $M$ este mijlocul lui $[B C]$ ), rezultă $A B + A C = 2 A M$ (1 p). c) (2 p) $∥ A B + A C ∥ = ∥ 2 A M ∥ = 2 \cdot A M = 10$ cm.

Exercițiul 3. (6 p) a) (2 p) Forțele fiind perpendiculare, modulul rezultantei se află cu teorema lui Pitagora: $9^{2} + 1 2^{2} = 81 + 144 = 225 = 15$ N. b) (2 p) La vectori coliniari de același sens modulele se adună: $9 + 12 = 21$ N (1 p). La vectori coliniari de sensuri contrare rămâne diferența modulelor: $12 - 9 = 3$ N (1 p). c) (2 p) Cele trei valori — $21$ , $15$ și $3$ — arată că modulul sumei nu depășește niciodată suma modulelor: maximul, $21$ N, se atinge exact la vectori coliniari de același sens. În orice altă poziție, cei trei vectori închid un triunghi, iar o latură este mai scurtă decât suma celorlalte două.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) A — relația lui Chasles păstrează doar prima și ultima literă: $M N + N P + P Q = M Q$ . b) A — $∥ - 3 v ∥ = ∣ - 3 ∣ \cdot ∥ v ∥ = 3 \cdot 4 = 12$ ; modulul nu poate fi negativ. c) B — centrul de greutate lasă spre vârf două treimi din mediană: $A G = \frac{2}{3} A A_{1}$ . d) B — vectorul de poziție al mijlocului este media aritmetică a celor două capete.

Exercițiul 5. (6 p) a) (3 p) Se observă că $6 u - 3 v = 3 (2 u - v)$ , deci $A C = 3 A B$ (2 p). Cei doi vectori au originea comună $A$ și sunt coliniari, deci punctele $A$ , $B$ , $C$ sunt coliniare (1 p). b) (2 p) $k = 3$ . c) (1 p) Cum $k = 3 > 0$ , vectorii au același sens, iar $A C = 3 \cdot A B$ , deci $B$ se află între $A$ și $C$ , cu $A B : B C = 1 : 2$ .

Exercițiul 6. (6 p) a) (3 p) $M N = A N - A M$ (1 p) $= \frac{4}{9} A C - \frac{4}{9} A B = \frac{4}{9} (A C - A B)$ (1 p) $= \frac{4}{9} B C$ (1 p). b) (2 p) Vectorii $M N$ și $B C$ sunt coliniari, iar punctele $M$ și $N$ nu se află pe dreapta $B C$ , deci $M N ∥ B C$ (1 p). Din modulul relației, $M N : B C = 4 : 9$ (1 p). c) (1 p) $M N = \frac{4}{9} \cdot 18 = 8$ cm.

Exercițiul 7. (8 p) — câte 2 puncte (1 p răspunsul, 1 p justificarea). a) A. Vectorul nul nu are o direcție proprie, iar prin convenție se consideră coliniar cu orice vector; altfel criteriul de coliniaritate nu s-ar putea aplica, de exemplu, la $AA$ . b) F. Modulul dă numai lungimea. Contraexemplu: $A B$ și $B A$ au același modul, dar sensuri contrare, deci nu sunt egali. c) A. Din $P A = P G + G A$ și analoagele, suma este $3 P G + (G A + GB + GC) = 3 P G$ , fiindcă paranteza este $0$ . d) F. Descompunerea unică cere doi vectori necoliniari. Cu doi vectori coliniari se obțin numai vectori de aceeași direcție, iar scrierea nu mai este unică: dacă $v = 2 u$ , atunci $4 u = 4 u + 0 v = 2 u + 1 v$ .

Exercițiul 8. (6 p) a) (3 p) Din $B M : M C = 1 : 3$ rezultă $B M = \frac{1}{4} B C$ (1 p). Atunci $A M = A B + B M = A B + \frac{1}{4} (A C - A B)$ (1 p), de unde $A M = \frac{3}{4} A B + \frac{1}{4} A C$ , adică $α = \frac{3}{4}$ și $β = \frac{1}{4}$ (1 p). b) (3 p) Suma coeficienților este $\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$ (1 p). Pentru mijlocul $N$ , din $B N = \frac{1}{2} B C$ se obține la fel $A N = \frac{1}{2} A B + \frac{1}{2} A C$ , iar suma coeficienților este tot $1$ (2 p). Proprietatea se păstrează pentru orice punct de pe dreapta $B C$ .

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) $A C = r_{C} - r_{A} = \frac{2 r _{A} + 3 r _{B}}{5} - r_{A} = \frac{2 r _{A} + 3 r _{B} - 5 r _{A}}{5} = \frac{3 ( r _{B} - r _{A} )}{5} = \frac{3}{5} A B$ . b) (2 p) Din $A C = \frac{3}{5} A B$ rezultă $A C : C B = 3 : 2$ , deci centrul de masă este mai apropiat de $B$ — adică de corpul mai greu, cel de $3$ kg, ceea ce este corect fizic. c) (2 p) $A C = \frac{3}{5} \cdot 40 = 24$ cm (iar $C B = 16$ cm).

Exercițiul 10. (8 p) a) (3 p) Se alege o origine $O$ ; atunci $r_{G} = \frac{r _{A} + r _{B} + r _{C}}{3}$ (1 p). Rezultă $G A + GB + GC = (r_{A} + r_{B} + r_{C}) - 3 r_{G} = 0$ (2 p). b) (3 p) Pentru orice $P$ : $P A = P G + G A$ , $P B = P G + GB$ , $P C = P G + GC$ (2 p). Adunând cele trei relații și folosind punctul a), suma este $3 P G$ (1 p). c) (2 p) $r_{A_{1}} + r_{B_{1}} + r_{C_{1}} = \frac{r _{B} + r _{C}}{2} + \frac{r _{C} + r _{A}}{2} + \frac{r _{A} + r _{B}}{2} = r_{A} + r_{B} + r_{C}$ . Împărțind la $3$ , cele două triunghiuri au același centru de greutate.

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) Relația lui Menelaus pentru triunghiul $A B C$ tăiat de dreapta care conține $M \in B C$ , $N \in C A$ și $P \in A B$ este $\frac{A P}{P B} \cdot \frac{B M}{M C} \cdot \frac{C N}{N A} = 1.$ b) (3 p) Din ipoteză $\frac{B M}{M C} = \frac{2}{3}$ , iar $N$ fiind mijlocul lui $[A C]$ , $\frac{C N}{N A} = 1$ (1 p). Înlocuind: $\frac{A P}{P B} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1 = 1$ (1 p), deci $A P : P B = 3 : 2$ (1 p). c) (2 p) O transversală, adică o dreaptă care evită toate cele trei vârfuri, taie laturile unui triunghi într-un număr par de puncte interioare — zero sau două. Cum $M \in (B C)$ și $N \in (A C)$ sunt amândouă interioare, cele două puncte sunt deja folosite, deci $P$ este exterior segmentului $[A B]$ (1 p). Rămâne de stabilit de care parte: din $A P : P B = 3 : 2$ rezultă $A P > P B$ , iar dacă $P$ s-ar afla dincolo de $A$ , am avea $P B = P A + A B > P A$ , adică tocmai pe dos — contradicție. Deci $P$ se află pe prelungirea lui $[A B]$ , dincolo de $B$ (1 p). Atenție: raportul singur nu decide nimic, fiindcă $A P : P B = 3 : 2$ se potrivește și unui punct interior (bucăți de $3$ și $2$ părți dintr-un segment de $5$ ); poziția o dă configurația transversalei.

Exercițiul 12. (8 p) a) (3 p) Relația lui Ceva pentru cevienele concurente $A M$ , $B N$ , $C P$ este $\frac{A P}{P B} \cdot \frac{B M}{M C} \cdot \frac{C N}{N A} = 1.$ b) (3 p) Din ipoteză $\frac{B M}{M C} = \frac{3}{1}$ și $\frac{C N}{N A} = \frac{2}{3}$ (1 p). Rezultă $\frac{A P}{P B} \cdot 3 \cdot \frac{2}{3} = 1$ , adică $\frac{A P}{P B} \cdot 2 = 1$ (1 p), deci $A P : P B = 1 : 2$ (1 p). c) (2 p) Pentru mediane, fiecare ceviană cade în mijlocul laturii opuse, deci toate cele trei rapoarte sunt egale cu $1$ , iar produsul lor este $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ — relația este îndeplinită, ceea ce confirmă concurența medianelor în centrul de greutate.

Exercițiul 13. (8 p) a) (2 p) Cu o origine $O$ , $r_{G} = \frac{r _{A} + r _{B} + r _{C}}{3}$ , deci $A G = r_{G} - r_{A} = \frac{( r _{B} - r _{A} ) + ( r _{C} - r _{A} )}{3} = \frac{1}{3} (A B + A C) .$ b) (3 p) Înmulțind cu $3$ : $A D = 3 A G = A B + A C$ (1 p). Suma a doi vectori cu origine comună este, prin regula paralelogramului, diagonala dusă din $A$ a paralelogramului construit pe $A B$ și $A C$ (1 p). Deci $D$ este al patrulea vârf, iar $A B D C$ este paralelogram (1 p). c) (3 p) $B D = A D - A B = (A B + A C) - A B = A C$ (2 p). Într-un paralelogram diagonalele se înjumătățesc; diagonalele lui $A B D C$ sunt $[A D]$ și $[B C]$ , deci ele au același mijloc (1 p). Același lucru se vede și din calcul: mijlocul lui $[A D]$ are vectorul de poziție $\frac{r _{A} + r _{D}}{2} = \frac{r _{B} + r _{C}}{2}$ , adică mijlocul lui $[B C]$ .

Pentru părinți și profesori

Testul verifică întregul capitol de calcul vectorial în plan, adică unitatea de supliment a traseului: segmentul orientat și vectorul, adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului, relația lui Chasles), înmulțirea cu un scalar și criteriul de coliniaritate, descompunerea după doi vectori necoliniari, vectorul de poziție și punctul care împarte un segment într-un raport dat, centrul de greutate demonstrat vectorial, iar la final cele două teoreme clasice de concurență și de coliniaritate — teorema lui Menelaus și teorema lui Ceva. Produsul scalar nu se cere aici: el are testul lui, în unitatea următoare, împreună cu relațiile metrice din triunghi. Nu se cer nici coordonatele unui vector în reper cartezian — ele intră în traseul M2 abia la clasa a X-a.

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator — toate numerele sunt alese astfel încât calculele să se facă în minte sau în scris. La cerințele de demonstrație se cere drumul complet: de la ce vector pleci, ce relație folosești, ce obții. Desenul ajută, dar nu ține loc de justificare.
Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau lecțiile unității, în special descompunerea după doi vectori necoliniari și scrierea oricărui vector ca diferență de vectori de poziție.
Formule de reținut: regula triunghiului $A B + B C = A C$ , iar pe un contur închis suma vectorilor este $0$ ; opusul este $- A B = B A$ , iar pentru vectori cu origine comună $A B - A C = C B$ ; modulul produsului cu un scalar este $∥ k u ∥ = ∣ k ∣ \cdot ∥ u ∥$ , deci nu poate ieși negativ; criteriul de coliniaritate — doi vectori $u$ și $v \neq = 0$ sunt coliniari dacă și numai dacă există $k$ real cu $u = k v$ ; descompunerea după doi vectori necoliniari este unică, deci dintr-o egalitate vectorială se obțin, prin identificare, două egalități între numere; vectorul dintre două puncte este $A B = r_{B} - r_{A}$ ; pentru punctul $M$ cu $A M : M B = m : n$ , cu $M$ între $A$ și $B$ , avem $r_{M} = \frac{n r _{A} + m r _{B}}{m + n}$ ; centrul de greutate verifică $G A + GB + GC = 0$ și $P A + P B + P C = 3 P G$ pentru orice punct $P$ ; Menelaus și Ceva se scriu amândouă ca produs de trei rapoarte egal cu $1$ .
Programa și examenul. Testul face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M2 2027–2029: vectorii și calculul vectorial în plan sunt cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014), la capitolele „Vectori în plan" și „Coliniaritate, concurență, paralelism — calcul vectorial în geometria plană", deși nu mai apar deloc în programa nouă (OMEC 6930/2025, anexa 28) — nici la clasa a IX-a, nici la vreo altă clasă. Aici caseta se întoarce față de testele de bază: tema se dă la examenul de acum, nu la cel de mai târziu. Elevii aflați azi în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă cuprinde vectorii fără să spună la ce subiect apar; modelul oficial publicat pentru 2026 nu are nicio cerință cu vectori, așa că itemii marcați aici sunt construiți în stilul Subiectului I, nu preluați dintr-un subiect oficial. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, programa probei MAT_P2 din 2030, construită pe anexa 28, nu conține tema în niciunul dintre cele patru domenii („Algebră", „Geometrie. Trigonometrie", „Date, statistică matematică și probabilități", „Analiză matematică"). Testul rămâne deci util exact până în 2029.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".