Test: Trigonometrie și aplicații în geometrie (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Elemente de trigonometrie și aplicații în geometrie

Exerciții

Partea I – Cercul trigonometric, valori și semne

Exercițiul 1 (6 puncte)

Răspunde scurt, cu justificare de o propoziție (câte 1 punct): a) Transformă $135^{\circ }$ în radiani. b) Transformă $\frac{7\pi }{6}$ radiani în grade. c) Cât este $\sin 150^{\circ }$? d) Cât este $\cos \frac{5\pi }{4}$? e) În ce cadran se află punctul asociat măsurii $\frac{11\pi }{6}$? f) Ce semn are $\mathrm{tg}200^{\circ }$?

Exercițiul 2 (6 puncte)

Rezolvă cerințele, folosind reducerea la primul cadran: a) Calculează $\sin \frac{7\pi }{4}$ și $\cos \frac{7\pi }{4}$. (2 p) b) Calculează $\mathrm{tg}\frac{4\pi }{3}$ și explică de ce $\frac{\pi }{2}$ nu aparține domeniului funcției tangentă. (2 p) c) Arată că $\cos (\pi -x)+\cos (\pi +x)=-2\cos x$, pentru orice $x\in [0,\pi ]$. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Se știe că $\sin x=\frac{5}{13}$, iar $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$. a) Calculează $\cos x$. (3 p) b) Calculează $\mathrm{tg}x$. (2 p) c) Justifică semnul obținut la punctul b) prin cadranul în care se află $x$. (1 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Valoarea maximă a funcției $f:[0,2\pi ]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sin x$, și numărul punctelor în care graficul ei taie axa $Ox$ pe acest interval sunt: A. $1$ și două puncte; B. $1$ și trei puncte; C. $2$ și trei puncte; D. $1$ și un punct.

b) Măsura în radiani a unui arc de $54^{\circ }$ este: A. $\frac{3\pi }{10}$; B. $\frac{10\pi }{3}$; C. $\frac{\pi }{3}$; D. $\frac{3\pi }{5}$.

c) În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=7$, $AC=5$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$. Atunci $BC$ este egal cu: A. $\sqrt{39}$; B. $\sqrt{74}$; C. $\sqrt{109}$; D. $12$.

d) Aria unui triunghi cu două laturi de $8$ și $6$, care formează un unghi de $30^{\circ }$, este: A. $24$; B. $12$; C. $48$; D. $6$.

Partea a II-a – Teorema cosinusului și teorema sinusurilor

Exercițiul 5 (6 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=3$, $BC=8$ și $AC=7$. a) Calculează $\cos B$ și determină măsura unghiului $B$. (3 p) b) Precizează natura triunghiului, justificând cu lungimile laturilor. (2 p) c) Calculează aria triunghiului. (1 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

În triunghiul $ABC$ se cunosc $m(\angle A)=30^{\circ }$, $m(\angle B)=45^{\circ }$ și $BC=10$. a) Calculează raza cercului circumscris triunghiului. (2 p) b) Calculează $AC$. (2 p) c) Determină măsura unghiului $C$ și precizează natura triunghiului. (2 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 2 puncte): a) „Într-un triunghi, laturii celei mai lungi i se opune unghiul cel mai mare." b) „Dacă într-un triunghi are loc $a^2=b^2+c^2-bc$, atunci $m(\angle A)=60^{\circ }$." c) „Pentru orice $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ are loc $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=-\sin x$." d) „Există un triunghi cu laturile de lungimi $4$, $5$ și $10$."

Exercițiul 8 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=5$, $AC=8$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$. a) Arată că $BC=7$. (2 p) b) Calculează aria triunghiului $ABC$. (2 p) c) Calculează raza cercului circumscris triunghiului $ABC$. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Pentru a afla distanța până la un arbore aflat pe malul opus al unui râu, un biolog fixează pe malul său două repere, $A$ și $B$, la distanța $AB=40$ m, și vizează arborele $C$ de la fiecare dintre ele. Măsoară $m(\angle CAB)=75^{\circ }$ și $m(\angle CBA)=45^{\circ }$. a) Determină măsura unghiului $C$. (2 p) b) Calculează distanța $AC$, în formă exactă și aproximată cu două zecimale. (2 p) c) Calculează raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ și verifică rezultatul pornind de la latura $AB$. (2 p)

Partea a III-a – Arii, natura triunghiului, sinteză

Exercițiul 10 (8 puncte)

Se consideră triunghiul cu laturile $a=10$, $b=17$ și $c=21$. a) Calculează aria triunghiului cu formula lui Heron. (3 p) b) Precizează natura triunghiului, justificând cu pătratele laturilor. (3 p) c) Calculează lungimea înălțimii duse pe latura cea mai lungă. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=5$, $AC=16$ și $m(\angle A)=120^{\circ }$. a) Calculează $BC$. (3 p) b) Calculează aria triunghiului. (3 p) c) Calculează $\cos B$. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Un teren are forma patrulaterului $ABCD$, cu $AB=12$ m, $BC=9$ m, $m(\angle B)=90^{\circ }$, $CD=20$ m și $DA=25$ m. a) Calculează diagonala $AC$ și $\sin (\angle BAC)$. (3 p) b) Arată că triunghiul $ACD$ este dreptunghic și calculează aria lui. (3 p) c) Calculează aria terenului. (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $m(\angle A)=30^{\circ }$, $m(\angle B)=30^{\circ }$ și $BC=12$. a) Arată că $m(\angle C)=120^{\circ }$ și că raza cercului circumscris triunghiului este egală cu $12$. (2 p) b) Calculează $AB$. (3 p) c) Calculează aria triunghiului $ABC$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) $135^{\circ }=\frac{135\pi }{180}=\frac{3\pi }{4}$ radiani (se simplifică prin $45$). b) $\frac{7\pi }{6}=\frac{7\cdot 180^{\circ }}{6}=210^{\circ }$. c) $\sin 150^{\circ }=\sin (180^{\circ }-30^{\circ })=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$. d) $\cos \frac{5\pi }{4}=\cos \left(\pi +\frac{\pi }{4}\right)=-\cos \frac{\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. e) Cadranul IV: $\frac{11\pi }{6}$ este cuprins între $\frac{3\pi }{2}$ și $2\pi$. f) Pozitiv: $200^{\circ }$ este în cadranul III, unde sinusul și cosinusul sunt amândouă negative, deci raportul lor este pozitiv.

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) $\frac{7\pi }{4}=2\pi -\frac{\pi }{4}$, arc din cadranul IV, deci $\sin \frac{7\pi }{4}=-\sin \frac{\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\cos \frac{7\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. b) (2 p) $\frac{4\pi }{3}=\pi +\frac{\pi }{3}$, iar $\mathrm{tg}(\pi +x)=\mathrm{tg}x$, deci $\mathrm{tg}\frac{4\pi }{3}=\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$. Valoarea $\frac{\pi }{2}$ este scoasă din domeniu fiindcă $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$, iar $\cos \frac{\pi }{2}=0$: împărțirea la zero nu are sens. Pe $[0,2\pi ]$, domeniul tangentei este $[0,2\pi ]\setminus \left\{\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right\}$. c) (2 p) $\cos (\pi -x)=-\cos x$ și $\cos (\pi +x)=-\cos x$, deci suma lor este $-\cos x-\cos x=-2\cos x$. Control pentru $x=0$: $\cos \pi +\cos \pi =-2=-2\cos 0$.

Exercițiul 3. (6 p) a) (3 p) Din formula fundamentală, ${\cos }^{2}x=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$, deci $\cos x=\pm \frac{12}{13}$ (2 p). Cum $x$ este în cadranul II, cosinusul este negativ: $\cos x=-\frac{12}{13}$ (1 p). b) (2 p) $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{5}{13}:\left(-\frac{12}{13}\right)=-\frac{5}{12}$. c) (1 p) În cadranul II sinusul este pozitiv, iar cosinusul negativ, deci raportul lor este negativ — exact semnul găsit.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) B — sinusul ia valori în $[-1,1]$, cu maximul $1$ atins în $\frac{\pi }{2}$, iar $\sin x=0$ în $0$, $\pi$ și $2\pi$, deci graficul taie axa $Ox$ în trei puncte. (Cosinusul, pe același interval, o taie doar în două.) b) A — $54^{\circ }=\frac{54\pi }{180}=\frac{3\pi }{10}$ radiani. c) A — teorema cosinusului: $B{C}^2=49+25-2\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{1}{2}=74-35=39$, deci $BC=\sqrt{39}$. d) B — $\mathcal{S}=\frac{8\cdot 6\cdot \sin 30^{\circ }}{2}=\frac{48}{2}\cdot \frac{1}{2}=12$.

Exercițiul 5. (6 p) a) (3 p) Unghiul $B$ este cuprins între laturile $AB$ și $BC$, iar latura opusă lui este $AC$. Teorema cosinusului dă $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{9+64-49}{48}=\frac{24}{48}=\frac{1}{2}$ (2 p), deci $m(\angle B)=60^{\circ }$ (1 p). b) (2 p) Latura cea mai lungă este $BC=8$, iar $64>9+49=58$, deci unghiul opus ei, adică $\angle A$, este obtuz: triunghiul este obtuzunghic. (Inegalitatea triunghiului se verifică: $3+7=10>8$.) c) (1 p) $\mathcal{S}=\frac{AB\cdot BC\cdot \sin B}{2}=\frac{3\cdot 8}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$.

Exercițiul 6. (6 p) a) (2 p) Latura $BC$ se opune unghiului $A$, deci $\frac{BC}{\sin A}=2R$, adică $2R=\frac{10}{\sin 30^{\circ }}=\frac{10}{\frac{1}{2}}=20$ și $R=10$. b) (2 p) Latura $AC$ se opune unghiului $B$, deci $AC=2R\sin B=20\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=10\sqrt{2}$. c) (2 p) $m(\angle C)=180^{\circ }-30^{\circ }-45^{\circ }=105^{\circ }$, unghi obtuz, deci triunghiul este obtuzunghic.

Exercițiul 7. (8 p) — câte 2 puncte (1 p răspunsul, 1 p justificarea). a) A. Este teorema de la geometria de gimnaziu: într-un triunghi, laturii mai mari i se opune unghiul mai mare (și reciproc). Se vede și cu teorema cosinusului: dacă $b$ și $c$ rămân fixe, iar unghiul $A$ crește de la $0^{\circ }$ spre $180^{\circ }$, atunci $\cos A$ scade, deci $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ crește — latura opusă se lungește odată cu unghiul. b) A. Comparând cu $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, rezultă $2\cos A=1$, deci $\cos A=\frac{1}{2}$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$. c) F. Formula corectă este $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$, fără minus: punctele arcelor $x$ și $\frac{\pi }{2}-x$ sunt simetrice față de prima bisectoare, care schimbă abscisa cu ordonata, dar nu schimbă semnele. Control în $x=\frac{\pi }{2}$: membrul stâng este $\cos 0=1$, iar $-\sin \frac{\pi }{2}=-1$. d) F. $4+5=9<10$, deci inegalitatea triunghiului nu este respectată: un astfel de triunghi nu există.

Exercițiul 8. (6 p) a) (2 p) Teorema cosinusului: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=89-40=49$, deci $BC=7$. b) (2 p) $\mathcal{S}=\frac{AB\cdot AC\cdot \sin A}{2}=\frac{5\cdot 8}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$. c) (2 p) Din teorema sinusurilor, $2R=\frac{BC}{\sin A}=\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{14}{\sqrt{3}}$, deci $R=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$.

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) $m(\angle C)=180^{\circ }-75^{\circ }-45^{\circ }=60^{\circ }$. b) (2 p) Latura $AC$ se opune unghiului $B$, iar $AB$ se opune unghiului $C$, deci $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$ și $AC=\frac{40\cdot \sin 45^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}=\frac{40\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{40\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{40\sqrt{6}}{3}\approx 32,66$ m. c) (2 p) Din $\frac{AB}{\sin C}=2R$ rezultă $2R=\frac{40}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{80}{\sqrt{3}}$, deci $R=\frac{40}{\sqrt{3}}=\frac{40\sqrt{3}}{3}\approx 23,09$ m. Verificare pe cealaltă latură: $\frac{AC}{2\sin B}=\frac{40\sqrt{6}}{3}:\sqrt{2}=\frac{40\sqrt{3}}{3}$ — aceeași valoare.

Exercițiul 10. (8 p) a) (3 p) Semiperimetrul este $p=\frac{10+17+21}{2}=24$ (1 p). Atunci $\mathcal{S}=\sqrt{24\cdot 14\cdot 7\cdot 3}=\sqrt{7056}=84$ (2 p). (Inegalitatea triunghiului: $10+17=27>21$.) b) (3 p) Latura cea mai lungă este $21$, iar $21^2=441$ și $10^2+17^2=100+289=389$ (2 p). Cum $441>389$, unghiul opus laturii de $21$ este obtuz: triunghiul este obtuzunghic (1 p). c) (2 p) Din $\mathcal{S}=\frac{21\cdot h}{2}$ rezultă $h=\frac{2\cdot 84}{21}=8$.

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$, deci teorema cosinusului dă $B{C}^2=25+256-2\cdot 5\cdot 16\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=281+80=361$ (2 p), de unde $BC=19$ (1 p). (Inegalitatea triunghiului: $5+16=21>19$.) b) (3 p) $\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $\mathcal{S}=\frac{AB\cdot AC\cdot \sin A}{2}=\frac{5\cdot 16}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=20\sqrt{3}$. c) (2 p) $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{25+361-256}{2\cdot 5\cdot 19}=\frac{130}{190}=\frac{13}{19}$.

Exercițiul 12. (8 p) a) (3 p) Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $B$, deci $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=144+81=225$ și $AC=15$ m (2 p). În triunghiul dreptunghic, sinusul este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză: $\sin (\angle BAC)=\frac{BC}{AC}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$ (1 p). b) (3 p) În triunghiul $ACD$: $A{C}^2+C{D}^2=225+400=625=25^2=D{A}^2$, deci, prin reciproca teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic în $C$ (2 p). Aria lui este $\frac{15\cdot 20}{2}=150$ m${}^2$ (1 p). c) (2 p) Aria triunghiului $ABC$ este $\frac{12\cdot 9}{2}=54$ m${}^2$, deci aria terenului este $54+150=204$ m${}^2$.

Exercițiul 13. (8 p) a) (2 p) $m(\angle C)=180^{\circ }-30^{\circ }-30^{\circ }=120^{\circ }$. Latura $BC$ se opune unghiului $A$, deci $2R=\frac{BC}{\sin A}=\frac{12}{\frac{1}{2}}=24$ și $R=12$. b) (3 p) Latura $AB$ se opune unghiului $C$, deci $AB=2R\sin C=24\cdot \sin 120^{\circ }$ (2 p). Cum $\sin 120^{\circ }=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, rezultă $AB=12\sqrt{3}$ (1 p). c) (3 p) Unghiurile $A$ și $B$ fiind egale, triunghiul este isoscel, cu $CA=CB$; din teorema sinusurilor, $CA=2R\sin B=24\cdot \frac{1}{2}=12$, deci $CA=CB=12$ (2 p). Atunci $\mathcal{S}=\frac{CA\cdot CB\cdot \sin C}{2}=\frac{144}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=36\sqrt{3}$ (1 p).

Pentru părinți și profesori

Testul acoperă toată unitatea de trigonometrie, în ordinea programei de științe: măsura arcelor în grade și în radiani, cercul trigonometric, sinusul, cosinusul și tangenta cu valorile unghiurilor de bază, semnele pe cadrane, formula fundamentală, reducerea la primul cadran și formulele pentru $\pi -x$, $\pi +x$, $2\pi -x$ și $\frac{\pi }{2}-x$, plus cele două formule ale tangentei, pentru $\pi -x$ și $\pi +x$, calculul unei funcții trigonometrice când se cunoaște alta, iar apoi aplicațiile în geometrie: teorema cosinusului, teorema sinusurilor și raza cercului circumscris, natura unui triunghi din lungimile laturilor, rezolvarea triunghiurilor oarecare, aria cu formula sinusului, formula lui Heron, ariile suprafețelor poligonale prin descompunere și măsurătorile indirecte. Formulele de adunare — $\sin (a\pm b)$, $\cos (a\pm b)$, $\sin 2a$, $\cos 2a$ — nu fac parte din programa clasei la științe ale naturii; ele sunt în unitatea de supliment și se verifică în testul de acolo, așa că niciun item de aici nu le cere și niciun rezultat nu le presupune. Raza cercului înscris este, la fel, temă de supliment.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator — valorile trigonometrice cerute sunt cele ale unghiurilor de bază, iar rezultatele se lasă în formă exactă (cu radical), aproximarea fiind cerută explicit acolo unde e nevoie. Se acceptă și se încurajează schița triunghiului. La final se compară rezolvările cu Baremul și răspunsurile.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau lecțiile unității, în special semnele pe cadrane și alegerea teoremei potrivite pentru datele problemei.
• Formule de reținut: $180^{\circ }=\pi$ radiani, deci ${\alpha }^{\circ }=\frac{\alpha \pi }{180}$ radiani. Formula fundamentală: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, iar $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$. Reducerea la primul cadran: $\sin (\pi -x)=\sin x$, $\cos (\pi -x)=-\cos x$, $\sin (\pi +x)=-\sin x$, $\cos (\pi +x)=-\cos x$, $\sin (2\pi -x)=-\sin x$, $\cos (2\pi -x)=\cos x$, $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$, $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$, $\mathrm{tg}(\pi -x)=-\mathrm{tg}x$, $\mathrm{tg}(\pi +x)=\mathrm{tg}x$. Semnele: în cadranul I toate sunt pozitive, în al II-lea doar sinusul, în al III-lea doar tangenta, în al IV-lea doar cosinusul. Teorema cosinusului: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, de unde $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$. Teorema sinusurilor: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, unde $R$ este raza cercului circumscris. Aria: $\mathcal{S}=\frac{bc\sin A}{2}$ sau, cu formula lui Heron, $\mathcal{S}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, cu $p=\frac{a+b+c}{2}$; de asemenea $\mathcal{S}=\frac{a\cdot h_a}{2}$. Un triunghi este ascuțitunghic, dreptunghic sau obtuzunghic după cum pătratul laturii celei mai mari este mai mic, egal sau mai mare decât suma pătratelor celorlalte două.
• Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Geometrie. Trigonometrie, la capitolul de clasa a IX-a „Elemente de trigonometrie și aplicații ale trigonometriei în geometrie", care numește explicit teorema cosinusului, teorema sinusurilor, rezolvarea triunghiurilor oarecare și ariile. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, unde aceleași conținuturi apar la Subiectul I, tot ca materie de clasa a IX-a, în capitolele „Elemente de trigonometrie" și „Aplicații ale trigonometriei și ale produsului scalar a doi vectori în geometria plană". Singura deosebire de listă privește formulele de adunare, cerute de programa de examen din 2014 și mutate, în programa nouă, în afara clasei a IX-a — motiv pentru care ele au la noi o unitate de supliment separată.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".