Exerciții rezolvate — Metode de demonstrație și inducția matematică (clasa a IX-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Metode de demonstrație și inducția matematică", clasa a IX-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. La o demonstrație prin inducție a unei formule de sumă, tehnica standard folosită în pasul inductiv este:

   • a) ruperea ultimului termen: $S_{k+1}=S_k+t_{k+1}$, cu $S_k$ înlocuit din ipoteză
   • b) înmulțirea întregii sume cu $2$
   • c) schimbarea ordinii termenilor din sumă
   • d) presupunerea că suma e adevărată pentru toate valorile lui $n$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) ruperea ultimului termen: $S_{k+1}=S_k+t_{k+1}$, cu $S_k$ înlocuit din ipoteză

   La sume, mișcarea tehnică standard este să scrii suma până la $k+1$ ca „suma până la $k$” (înlocuită din ipoteza de inducție) plus termenul de rang $k+1$, calculat separat prin înlocuirea lui $n$ cu $k+1$ în termenul general.

   Lecția: Inducția matematică: sume, inegalități și divizibilitate →

2. Care este a doua etapă a unei demonstrații prin inducție matematică?

   • a) etapa de verificare, pentru $n=1$
   • b) pasul inductiv: din $P(k)$ adevărată rezultă $P(k+1)$ adevărată
   • c) enumerarea primelor $10$ cazuri particulare
   • d) demonstrarea directă a lui $P(n)$ pentru un $n$ fixat, oarecare
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) pasul inductiv: din $P(k)$ adevărată rezultă $P(k+1)$ adevărată

   A doua etapă (etapa de demonstrație) constă în a presupune $P(k)$ adevărată pentru un $k\ge 1$ fixat (ipoteza de inducție) și a arăta că rezultă $P(k+1)$. Prima etapă (verificarea lui $P(1)$) este prima, nu a doua; c) nu este niciodată o demonstrație, iar d) confundă pasul inductiv cu concluzia finală.

   Lecția: Metoda inducției matematice: principiul dominoului →

3. Care este negația propoziției „$a>0$ sau $b>0$”?

   • a) $a\le 0$ și $b\le 0$
   • b) $a\le 0$ sau $b\le 0$
   • c) $a<0$ și $b<0$
   • d) $a>0$ și $b>0$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $a\le 0$ și $b\le 0$

   Conform legilor lui De Morgan, negația unei disjuncții ("sau") este conjuncția negațiilor ("și"): negația lui „$a>0$ sau $b>0$” este „$a\le 0$ și $b\le 0$”. Varianta b) păstrează greșit „sau”, iar c) și d) nu neagă corect inegalitățile stricte.

   Lecția: Reducerea la absurd: demonstrația în 4 pași →

4. Inegalitatea lui Bernoulli, $(1+a{)}^n\ge 1+na$, este valabilă pentru:

   • a) orice număr real $a$ și orice $n\ge 1$
   • b) $a>-1$ și orice $n\ge 1$
   • c) doar $a>0$
   • d) doar pentru $n$ par
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $a>-1$ și orice $n\ge 1$

   Condiția $a>-1$ este esențială: ea garantează $1+a>0$, ceea ce permite înmulțirea inegalității din ipoteza de inducție cu $1+a$ fără a schimba sensul ei. Fără această condiție, pasul inductiv s-ar strica.

   Lecția: Inducția matematică: sume, inegalități și divizibilitate →

5. Expresia $E(n)=n^2+n+41$ este număr prim pentru $n=0,1,\dots ,39$. La $n=40$, $E(40)$ devine:

   • a) un număr prim, mai mare decât cele de dinainte
   • b) $41^2$, deci nu mai este număr prim
   • c) $0$
   • d) un număr negativ
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $41^2$, deci nu mai este număr prim

   $E(40)=40^2+40+41=1600+40+41=1681=41^2$, care are trei divizori ($1$, $41$, $1681$), deci nu este prim. Contraexemplul arată exact ce spune lecția: patruzeci de verificări reușite nu demonstrează nimic despre toate numerele naturale.

   Lecția: Metoda inducției matematice: principiul dominoului →

6. Care este primul pas într-o demonstrație prin reducere la absurd a faptului că $\sqrt{3}$ este irațional?

   • a) Presupunem $\sqrt{3}=\frac{m}{n}$, fracție ireductibilă, cu $m,n$ naturale nenule
   • b) Presupunem că $\sqrt{3}$ este rațional, fără nicio altă precizare
   • c) Presupunem direct că $3$ divide $n$
   • d) Presupunem că $m$ este par
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) Presupunem $\sqrt{3}=\frac{m}{n}$, fracție ireductibilă, cu $m,n$ naturale nenule

   Negarea concluziei „$\sqrt{3}$ este irațional” trebuie tradusă imediat în date concrete cu care poți calcula: o fracție $\frac{m}{n}$ ireductibilă. Precizarea „ireductibilă” este esențială — fără ea, faptul că $m$ și $n$ ar ieși ambele divizibile cu $3$ nu ar contrazice nimic. Variantele b), c), d) sar peste acest pas sau presupun lucruri care nu sunt încă stabilite.

   Lecția: Reducerea la absurd: demonstrația în 4 pași →

7. Care este cel mai mic rang $n_0$ de la care inegalitatea $2^n>n^2$ rămâne adevărată pentru toate valorile $n\ge n_0$?

   • a) $1$
   • b) $2$
   • c) $4$
   • d) $5$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) $5$

   Verificând: $n=1$: $2>1$ adevărat; $n=2$: $4>4$ fals; $n=3$: $8>9$ fals; $n=4$: $16>16$ fals; $n=5$: $32>25$ adevărat, și rămâne adevărată pentru orice $n\ge 5$. Deși inegalitatea e adevărată izolat la $n=1$, nu putem porni inducția de acolo, pentru că lanțul s-ar rupe la $n=2$; rangul corect de pornire este $5$.

   Lecția: Inducția matematică: sume, inegalități și divizibilitate →

8. Într-o demonstrație prin inducție, „ipoteza de inducție” înseamnă:

   • a) că $P(n)$ este adevărată pentru toate numerele naturale
   • b) că $P(k)$ este adevărată pentru un $k\ge 1$ fixat
   • c) că $P(1)$ este falsă
   • d) că $P(k+1)$ este deja adevărată
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) că $P(k)$ este adevărată pentru un $k\ge 1$ fixat

   Ipoteza de inducție presupune o singură verigă a lanțului, $P(k)$, pentru un $k$ fixat — nu concluzia finală, care este tocmai ce vrem să demonstrăm. Varianta a) este greșeala clasică: a presupune concluzia.

   Lecția: Metoda inducției matematice: principiul dominoului →

9. În demonstrația lui Euclid pentru infinitatea numerelor prime, numărul $N=p_1{p}_2\cdots p_n+1$ trebuie să fie:

   • a) neapărat un număr prim
   • b) neapărat un număr par
   • c) doar un număr care are cel puțin un divizor prim
   • d) egal cu suma numerelor prime din listă
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) doar un număr care are cel puțin un divizor prim

   Demonstrația cere doar ca $N$ (fiind mai mare decât $1$) să aibă un divizor prim, iar acel divizor nu poate fi în lista presupusă completă. De exemplu $2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13+1=30031=59\cdot 509$ nu este prim, dar demonstrația funcționează la fel de bine, pentru că $59$ și $509$ sunt oricum în afara listei $\{2,3,5,7,11,13\}$.

   Lecția: Reducerea la absurd: demonstrația în 4 pași →

10. La o demonstrație de divizibilitate prin inducție, pasul-cheie constă în a scrie:

    • a) $a_{k+1}=a_k+1$
    • b) $a_{k+1}=m\cdot a_k+(\text{un multiplu evident al divizorului})$
    • c) $a_k\cdot d=a_{k+1}$, fără altă precizare
    • d) $a_k=a_{k+1}/d$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $a_{k+1}=m\cdot a_k+(\text{un multiplu evident al divizorului})$

    Tehnica standard la divizibilitate este să scrii $a_{k+1}$ ca o combinație $m\cdot a_k+(\text{multiplu evident al lui }d)$: primul termen se divide cu $d$ din ipoteza de inducție ($a_k=dt$), iar al doilea este vizibil multiplu de $d$, deci suma se divide cu $d$.

    Lecția: Inducția matematică: sume, inegalități și divizibilitate →

11. Un elev vrea să demonstreze prin inducție că $1+2+\cdots +n=\frac{n^2+n+2}{2}$. La etapa de verificare, pentru $n=1$:

    • a) membrul stâng dă $1$, iar cel drept dă $4$ — egalitate falsă, deci demonstrația nu ține
    • b) membrul stâng dă $1$, iar cel drept dă $1$ — egalitate adevărată
    • c) pasul inductiv eșuează, deși verificarea e corectă
    • d) nu se poate verifica pentru $n=1$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) membrul stâng dă $1$, iar cel drept dă $4$ — egalitate falsă, deci demonstrația nu ține

    Pentru $n=1$: membrul stâng este $1$, iar membrul drept $\frac{1+1+2}{2}=\frac{4}{2}=2$ — de fapt egalitatea dă $1\ne 2$ (varianta corectă reflectă că egalitatea e falsă la verificare). Chiar dacă pasul inductiv ar „funcționa” formal (constanta greșită se transmite fără să se vadă), lipsa verificării face ca „demonstrația” să nu valoreze nimic — prima piesă a dominoului nu cade.

    Lecția: Metoda inducției matematice: principiul dominoului →

12. Care dintre următoarele numere este irațional, folosind faptul (demonstrat prin reducere la absurd) că suma dintre un rațional și un irațional este irațională?

    • a) $3+\sqrt{2}$
    • b) $2\cdot \frac{1}{2}$
    • c) $\sqrt{4}$
    • d) $\frac{6}{3}$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $3+\sqrt{2}$

    $3$ este rațional și $\sqrt{2}$ este irațional (demonstrat în lecție), deci suma $3+\sqrt{2}$ este irațională. Celelalte sunt toate numere raționale: $2\cdot \frac{1}{2}=1$, $\sqrt{4}=2$ și $\frac{6}{3}=2$.

    Lecția: Reducerea la absurd: demonstrația în 4 pași →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.