Unde este câtul (2x+1)/(x+4) egal cu 1?

Câtul valorează 1 unde numărătorul și numitorul sunt egale și nenule: 2x+1=x+4 dă x=3. Acolo ambele valorează 7, deci 7/7=1. Pe desen, este abscisa punctului în care se întâlnesc dreptele y=2x+1 și y=x+4.

Ce semn are câtul (x-1)/(x+3)?

Zeroul numărătorului este 1, iar valoarea interzisă este -3. Câtul este pozitiv pentru x 1 și negativ pe (-3,1). Proba la x=0: (-1)/3<0. În -3 semnul se schimbă fără ca graficul să treacă prin zero.

Unde se anulează câtul a două funcții?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Câtul a două funcții

Câtul $\frac{f}{g}$ se anulează acolo unde numărătorul este zero, iar numitorul este diferit de zero. Exemplu: $\frac{x - 3}{x + 2}$ are zeroul $3$ , fiindcă acolo numitorul valorează $5$ . La $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ numărătorul se anulează în $3$ și în $- 3$ , dar $3$ este valoare interzisă, deci singurul zero este $- 3$ . Verificare: pentru $x \neq = 3$ câtul este $x + 3$ , care se anulează în $- 3$ .

Câtul $\frac{f}{g}$ are sens numai pe intrările comune ale celor două funcții în care numitorul nu este zero. Intrările scoase astfel sunt valorile interzise, iar pe un desen le găsim ca abscisele punctelor în care graficul numitorului atinge axa orizontală.

Numărătorul decide zerourile: câtul este zero unde numărătorul este zero, cu condiția ca intrarea să rămână admisă. Unde graficele celor două funcții se întâlnesc deasupra sau dedesubtul axei, câtul valorează exact unu.

Semnul urmează aceeași regulă ca la produs, dar lângă o valoare interzisă graficul poate sări de sub axă deasupra ei fără să atingă valoarea zero. De aceea graficul unui cât este format din bucăți separate, pe care nu le unim printr-o linie.

Când numărătorul și numitorul au un zero comun, după simplificare rămâne o formulă obișnuită, dar punctul corespunzător lipsește și se desenează cu un cerculeț gol. Un numitor de gradul al doilea poate da două valori interzise, una sau niciuna, după cum parabola lui taie axa, o atinge sau o ocolește. Numai factorii comuni se simplifică, niciodată termenii unei sume.

De reținut

$\frac{f}{g} = 0 ⟺ f (x) = 0$ și $g (x) \neq = 0$
$\frac{f}{g} = 1$ unde $f (x) = g (x) \neq = 0$
după simplificare, valoarea interzisă rămâne interzisă

Greșeala tipică

Se simplifică $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ la $x + 3$ și se declară că funcția e definită în $3$ ; simplificarea nu repară numitorul, iar punctul $(3, 6)$ lipsește din grafic.

Exerciții din această mini-lecție

Care este domeniul maxim de definiție al funcției $h (x) = \frac{x + 4}{x - 7}$ ?
- a) $R ∖ {7}$
- b) $R ∖ {- 4}$
- c) $R ∖ {- 4, 7}$
- d) $R$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $R ∖ {7}$

Numai numitorul poate interzice intrări: $x - 7 = 0$ dă $x = 7$ .
Zeroul funcției $h (x) = \frac{2 x - 6}{x + 5}$ este:
- a) $- 5$
- b) $3$
- c) $- 3$
- d) funcția nu are zerouri
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $3$

Numărătorul se anulează în $3$ , iar acolo numitorul valorează $8$ , deci intrarea este admisă.
Graficele funcțiilor $f$ și $g$ se intersectează în punctul $(5; 2)$ . Cât este $\frac{f ( 5 )}{g ( 5 )}$ ?
- a) $0$
- b) $2$
- c) $1$
- d) $\frac{5}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $1$

În abscisa cinci cele două funcții au aceeași valoare nenulă, doi, deci câtul este $\frac{2}{2} = 1$ .

Întrebări conexe

De ce lipsește un punct din graficul lui $\frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ ?

Pentru $x \neq = 2$ fracția se simplifică la $x + 2$ , deci graficul este dreapta $y = x + 2$ . Numărul $2$ rămâne însă interzis, iar punctul $(2, 4)$ al dreptei nu aparține graficului. Pe desen el se marchează cu un cerculeț gol.

Unde este câtul $\frac{2 x + 1}{x + 4}$ egal cu $1$ ?

Câtul valorează $1$ unde numărătorul și numitorul sunt egale și nenule: $2 x + 1 = x + 4$ dă $x = 3$ . Acolo ambele valorează $7$ , deci $\frac{7}{7} = 1$ . Pe desen, este abscisa punctului în care se întâlnesc dreptele $y = 2 x + 1$ și $y = x + 4$ .

Ce semn are câtul $\frac{x - 1}{x + 3}$ ?

Zeroul numărătorului este $1$ , iar valoarea interzisă este $- 3$ . Câtul este pozitiv pentru $x < - 3$ sau $x > 1$ și negativ pe $(- 3, 1)$ . Proba la $x = 0$ : $\frac{- 1}{3} < 0$ . În $- 3$ semnul se schimbă fără ca graficul să treacă prin zero.

Cum se schimbă concentrația unei soluții când se evaporă apa?

Dacă $20$ g de sare sunt în $500$ mL de apă și se evaporă $10$ mL pe minut, concentrația este $c (t) = \frac{20}{500 - 10 t}$ g/mL, pentru $t < 50$ . La $t = 30$ min obții $\frac{20}{200} = 0, 1$ g/mL. Numitorul se anulează la $t = 50$ , când apa ar dispărea.

Câte valori interzise poate avea un numitor de gradul al doilea?

Două, una sau niciuna, după discriminant. Numitorul $x^{2} - 4$ interzice $- 2$ și $2$ , numitorul $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ interzice doar $3$ , iar $x^{2} + 1$ nu se anulează pe $R$ , deci câtul este definit peste tot.

Oamenii mai întreabă și: zeroul unei fracții de funcții · când este câtul a două funcții egal cu zero · zerourile funcției raționale · unde este zero f supra g