Câtul a două funcții: domeniu și grafic (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Când dintr-o soluție de zahăr se evaporă apa, concentrația crește: aceeași cantitate de zahăr se împarte la o masă tot mai mică de soluție. Concentrația este un cât, iar un cât are o regulă pe care produsul nu o are: numitorul nu are voie să fie zero. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), citim această regulă pe grafice: unde taie axa graficul numitorului, unde se anulează câtul, ce semn are și cum arată curba lui. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă numește funcția raport de două funcții la clasa a XI-a, în capitolul de limite. Lecția continuă produsul a două funcții afine și pregătește comportamentul asimptotic citit pe grafic.

Ce vei învăța

Vei defini câtul a două funcții și vei scrie mulțimea pe care există.
Vei găsi valorile interzise pe graficul numitorului, acolo unde el întâlnește axa orizontală.
Vei afla zerourile câtului din graficul numărătorului, verificând că intrarea rămâne în domeniu.
Vei stabili semnul câtului din pozițiile celor două grafice față de axă.
Vei descrie graficul unui cât: bucăți despărțite sau un singur punct lipsă.
Vei interpreta intrările în care câtul valorează unu sau minus unu.

Hai să descoperim împreună

1. Ce condiție nouă aduce împărțirea a două funcții?

Câtul a două funcții $f : A \to R$ și $g : B \to R$ este funcția $\frac{f}{g}$ , definită pe mulțimea intrărilor comune $x \in A \cap B$ pentru care $g (x) \neq = 0$ , care asociază fiecărei astfel de intrări numărul $\frac{f ( x )}{g ( x )}$ . Față de produs apare o condiție nouă: numitorul trebuie să fie diferit de zero.

De exemplu, pentru $\frac{x + 5}{2 x - 4}$ , intrarea trei dă $\frac{3 + 5}{6 - 4} = 4$ . Intrarea doi este exclusă, fiindcă acolo numitorul valorează zero, iar împărțirea la zero nu are rezultat. Domeniul acestei funcții este $R ∖ {2}$ .

Intrările excluse astfel se numesc valori interzise. Ele nu depind de numărător: chiar dacă numărătorul ar fi și el zero acolo, câtul tot nu ar exista. Într-un model din științe, o valoare interzisă corespunde de obicei unei situații imposibile fizic, de exemplu o masă de soluție egală cu zero.

Cuvântul „domeniu” descrie aici o mulțime de intrări. Scriem mulțimea completă, de obicei ca $R$ fără câteva puncte sau ca reuniune de intervale. Un domeniu scris greșit face ca orice concluzie de mai târziu să vorbească despre intrări care nu există.

2. Unde nu există câtul, privind graficul numitorului?

Figura A arată graficele funcțiilor $n (x) = \frac{x}{2} + 2$ și $d (x) = x - 1$ , împreună cu graficul câtului $q = \frac{n}{d}$ . Dreapta numitorului taie axa orizontală la intrarea unu. Pe verticala prin acest punct câtul nu are nicio valoare, iar în figură verticala apare punctată.

Regula se citește direct pe desen: valorile interzise sunt abscisele punctelor în care graficul numitorului întâlnește axa $O x$ . Graficul numărătorului nu contează pentru această întrebare.

Dacă numitorul nu este dat prin formulă, ci doar desenat, citim aceste puncte pe grilă. Când ele cad între gradații, citirea este aproximativă și trebuie spus cinstit; o formulă dată permite apoi un calcul exact.

3. Ce rol are graficul numărătorului?

O fracție este zero atunci când numărătorul este zero și numitorul nu este. Pe figura A, dreapta numărătorului taie axa la minus patru, iar acolo numitorul valorează minus cinci, deci câtul se anulează. Graficul câtului trece prin punctul $(- 4; 0)$ .

Condiția despre numitor nu este o formalitate. O intrare în care numărătorul și numitorul sunt amândoi zero nu aparține domeniului, deci nu poate fi zero al câtului. Vom vedea mai jos ce se întâmplă atunci cu graficul.

Numărătorul poate avea și mai multe zerouri, dacă este de gradul al doilea. Fiecare dintre ele se verifică separat față de domeniu.

4. Ce semn are câtul?

Un cât de două numere de același semn este pozitiv, iar unul de semne diferite este negativ, exact ca la produs. Semnul se citește deci din pozițiile celor două grafice față de axa orizontală.

În figura A, la stânga lui minus patru ambele drepte sunt sub axă, deci câtul este pozitiv. Între minus patru și unu, dreapta numărătorului este deasupra, iar a numitorului dedesubt, deci câtul este negativ. La dreapta lui unu ambele sunt deasupra, iar câtul este din nou pozitiv.

Diferența față de produs apare la valoarea interzisă. Semnul câtului se poate inversa în acel punct, deși valoarea zero nu este atinsă acolo: în punct câtul pur și simplu nu există. Graficul trece de la valori negative la valori pozitive „sărind” peste verticala punctată.

5. De ce se rupe graficul câtului în bucăți?

Graficul câtului din figura A este format din două bucăți separate, câte una de fiecare parte a verticalei $x = 1$ . Nicio bucată nu atinge verticala, deoarece câtul nu are valoare acolo.

Când intrarea se apropie de unu, numitorul devine foarte mic, iar numărătorul rămâne aproape de $2, 5$ . Câtul devine atunci foarte mare în valoare absolută, iar curba urcă sau coboară abrupt lângă verticală. Studiul atent al acestei apropieri și al tendinței de la capetele graficului aparține lecției următoare.

La desen, cele două bucăți nu se unesc niciodată printr-o linie. Dacă ai marcat puncte de o parte și de alta a valorii interzise, le unești doar pe cele din aceeași parte.

Unele aplicații desenează o funcție calculând multe puncte apropiate și unindu-le. Dacă două puncte consecutive cad de o parte și de alta a valorii interzise, programul le poate uni printr-o linie aproape verticală, care nu aparține graficului. Pe ecran pare că bucățile se continuă una în alta.

Controlul este simplu: găsești valoarea interzisă din numitor și măriști imaginea în jurul ei. O linie falsă rămâne verticală și nu are puncte cu abscisa egală cu valoarea interzisă; graficul adevărat se oprește de o parte și reapare de cealaltă. Multe aplicații permit și trasarea verticalei punctate, care face separarea vizibilă.

Același control funcționează pentru un punct lipsă: aplicația desenează adesea dreapta întreagă, fără cerculețul gol. Punctul lipsă îl adaugi tu, după ce ai scris domeniul.

6. De ce lipsește uneori un singur punct din grafic?

Pentru $\frac{4 x ^{2} + 7 x - 2}{x + 2}$ , numitorul se anulează la minus doi, deci domeniul este $R ∖ {- 2}$ . Numărătorul se scrie $(x + 2) (4 x - 1)$ , iar pentru orice intrare diferită de minus doi fracția este egală cu $4 x - 1$ .

Graficul este deci dreapta $y = 4 x - 1$ din care lipsește punctul de abscisă minus doi, adică $(- 2; - 9)$ . Punctul lipsă se desenează ca un cerculeț gol. Nu apare nicio bucată abruptă: de o parte și de alta a lui minus doi valorile rămân aproape de minus nouă, dar în minus doi funcția nu are valoare, pentru că domeniul a fost stabilit din numitor, ca în secțiunea 1.

7. Unde valorează câtul unu sau minus unu?

Câtul este unu exact acolo unde numărătorul și numitorul au aceeași valoare nenulă. Pe desen, asta înseamnă punctele în care cele două grafice se intersectează, în afara axei. În figura A, dreptele $n$ și $d$ se întâlnesc la intrarea șase, unde ambele valorează cinci, iar câtul este unu.

Câtul este minus unu acolo unde valorile sunt opuse: un grafic la o anumită înălțime deasupra axei, celălalt la aceeași distanță dedesubt. Această citire folosește simetria față de axa orizontală.

Intersecția graficelor nu este un zero al câtului; confuzia apare des. Zerourile vin numai din graficul numărătorului.

8. Ce facem când numitorul este de gradul al doilea?

Numitorul poate fi o parabolă. Pentru $x^{2} + x - 12$ , graficul taie axa în minus patru și trei, deci o fracție cu acest numitor are două valori interzise. Zerourile parabolei se citesc pe grafic sau se obțin prin factorizare, ca în lecția despre intersecțiile parabolei cu axele.

O parabolă care nu atinge axa, precum graficul lui $x^{2} + 4$ , nu produce nicio valoare interzisă: fracția are domeniul $R$ . Vârful parabolei nu joacă niciun rol aici; contează doar punctele de pe axa $O x$ .

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citit din două drepte

Figura B arată graficele funcțiilor afine $f$ și $g$ pe o grilă cu pasul unu. Notăm $h = \frac{f}{g}$ . Scrie domeniul lui $h$ , zeroul, valorile în $0$ , $4$ și $- 6$ și intrarea în care $h$ valorează unu.

Rezolvare. Dreapta $g$ taie axa la minus doi, deci $D_{h} = R ∖ {- 2}$ . Dreapta $f$ taie axa la șase, intrare din domeniu, deci zeroul lui $h$ este șase.

Citim pe verticale: $h (0) = \frac{f ( 0 )}{g ( 0 )} = \frac{6}{2} = 3$ , $h (4) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ și $h (- 6) = \frac{12}{- 4} = - 3$ . Dreptele se intersectează în $(2; 4)$ , deci $h (2) = \frac{4}{4} = 1$ .

Rezultatele se potrivesc cu semnul citit din poziții: la minus șase dreapta $g$ este sub axă, iar $f$ deasupra, deci câtul este negativ.

Exemplul 2 — Numitorul este o parabolă desenată

Figura C arată graficul funcției $d (x) = x^{2} - x - 20$ . Folosește-l pentru a scrie domeniul funcției $h (x) = \frac{x - 6}{x ^{2} - x - 20}$ , apoi găsește zeroul lui $h$ și valoarea $h (0)$ .

Rezolvare. Parabola taie axa în minus patru și cinci, deci $D_{h} = R ∖ {- 4, 5}$ . Control: $d (- 4) = 16 + 4 - 20 = 0$ și $d (5) = 25 - 5 - 20 = 0$ .

Numărătorul se anulează la șase, iar șase nu este valoare interzisă, deci $h (6) = 0$ . În zero, $h (0) = \frac{- 6}{- 20} = \frac{3}{10}$ .

Domeniul are acum trei bucăți: $(- \infty, - 4)$ , $(- 4, 5)$ și $(5, + \infty)$ . Graficul lui $h$ este format tot din trei bucăți despărțite. Vârful parabolei, aflat sub axă între cele două zerouri, nu produce nicio valoare interzisă; el ar conta numai dacă ar fi chiar pe axă.

Exemplul 3 — O formulă pentru un grafic cu punct lipsă

Figura D arată o dreaptă din care lipsește un singur punct, $(2; 8)$ , desenat ca un cerculeț gol; dreapta taie axa $O y$ în $(0; 2)$ . Scrie o funcție-cât care are exact acest grafic și verifică-ți alegerea.

Rezolvare. Dreapta trece prin $(0; 2)$ și $(2; 8)$ , deci panta ei este $\frac{8 - 2}{2 - 0} = 3$ , iar ecuația este $y = 3 x + 2$ . Intrarea doi trebuie să fie interzisă, deci punem la numitor $x - 2$ , iar la numărător același factor înmulțit cu $3 x + 2$ : $h (x) = \frac{( 3 x + 2 ) ( x - 2 )}{x - 2} = \frac{3 x ^{2} - 4 x - 4}{x - 2}$ .

Verificăm. Numitorul se anulează numai la doi, deci $D_{h} = R ∖ {2}$ . Pentru $x \neq = 2$ fracția este egală cu $3 x + 2$ , deci graficul este dreapta din figură fără punctul $(2; 8)$ . Zeroul lui $h$ este $- \frac{2}{3}$ , o intrare admisă, iar $h (0) = \frac{- 4}{- 2} = 2$ , ca pe desen.

Alegerea nu este unică: dacă înmulțim numărătorul și numitorul cu același număr nenul, graficul rămâne același.

Exemplul 4 — Găsește greșeala: vârful numitorului

Pentru $h (x) = \frac{x + 1}{2 x ^{2} - 8 x + 11}$ , un elev desenează parabola numitorului, vede că ea „se întoarce” la intrarea doi și scrie domeniul $R ∖ {2}$ . Corectează-l.

Rezolvare. Numitorul se scrie $2 x^{2} - 8 x + 11 = 2 (x - 2)^{2} + 3$ , deci valorile lui sunt cel puțin trei. Parabola are vârful $(2; 3)$ , deasupra axei $O x$ , și nu atinge niciodată axa.

Numitorul nu se anulează, deci nu există valori interzise: $D_{h} = R$ . În intrarea doi funcția există și $h (2) = \frac{3}{3} = 1$ .

Elevul a confundat punctul în care parabola își schimbă sensul cu un punct de pe axa orizontală. Valorile interzise se citesc numai acolo unde graficul numitorului atinge sau taie axa.

Exemplul 5 — Evaporarea unei soluții de zahăr

O soluție de $200$ g conține $20$ g de zahăr. Dacă se evaporă $x$ grame de apă, concentrația devine $c (x) = \frac{2000}{200 - x}$ , în procente. Modelul este valabil pentru $x \in [0, 150]$ . Figura E arată graficul. Calculează concentrația la început, după $100$ g și după $150$ g evaporate și explică domeniul.

Rezolvare. $c (0) = \frac{2000}{200} = 10$ , deci soluția are inițial $10%$ zahăr. După $100$ g evaporate, $c (100) = \frac{2000}{100} = 20$ , adică $20%$ . După $150$ g, $c (150) = \frac{2000}{50} = 40$ , adică $40%$ .

Formula are valoarea interzisă $200$ , dar ea nu contează fizic: soluția conține doar $180$ g de apă, iar zahărul nu se evaporă. Mai mult, când rămân în jur de $10$ g de apă, zahărul începe să se depună sub formă de cristale, iar formula nu mai descrie soluția; de aceea modelul este folosit numai până la $150$ g evaporate. Domeniul practic este mai mic decât cel matematic.

Concentrația crește tot mai repede: primele $100$ g evaporate o dublează, următoarele $50$ g o dublează din nou. Pe grafic, curba devine tot mai abruptă spre capătul din dreapta, deși domeniul practic se oprește înainte ca numitorul să se apropie de zero.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $h (x) = \frac{2 x + 8}{x - 1}$ . a) Determină domeniul maxim de definiție al funcției $h$ . b) Determină coordonatele punctelor de intersecție a graficului funcției $h$ cu axele de coordonate. c) Determină numărul real $x$ pentru care $h (x) = 4$ .

Rezolvare. a) Numitorul se anulează la unu, deci $D_{h} = R ∖ {1}$ .

b) Pe axa $O x$ : $2 x + 8 = 0$ dă $x = - 4$ , intrare admisă, deci punctul este $(- 4; 0)$ . Pe axa $O y$ : $h (0) = \frac{8}{- 1} = - 8$ , deci punctul este $(0; - 8)$ .

c) Pentru $x \neq = 1$ , egalitatea $\frac{2 x + 8}{x - 1} = 4$ devine $2 x + 8 = 4 x - 4$ , deci $x = 6$ . Intrarea este admisă, iar controlul dă $h (6) = \frac{20}{5} = 4$ .

Să exersăm

Figura F arată dreptele $n$ (numărătorul) și $d$ (numitorul) pe o grilă cu pasul unu și se folosește la exercițiile 1–3.

1. Citind figura F, scrie domeniile funcțiilor $\frac{n}{d}$ și $\frac{d}{n}$ și zeroul fiecăreia.

2. Stabilește, pe figura F, semnul lui $\frac{n}{d}$ pe fiecare zonă a axei intrărilor.

3. Determină intrarea în care $\frac{n}{d}$ valorează unu și intrarea în care valorează minus unu.

4. Figura G arată graficul numitorului $d (x) = 3 x^{2} + 13 x - 10$ . Scrie domeniul funcției $h (x) = \frac{x + 5}{3 x ^{2} + 13 x - 10}$ , stabilește dacă $h$ are zerouri și explică de ce graficul ei are un punct lipsă, dar și o valoare interzisă în jurul căreia se rupe în două bucăți.

5. Determină domeniul și zeroul funcției $h (x) = \frac{3 x - 6}{x ^{2} + 5}$ și calculează $h (- 1)$ și $h (1)$ . Ce semn are $h$ ?

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Graficul funcției $h (x) = \frac{2 x ^{2} + 7 x - 22}{x - 2}$ nu are niciun punct pe axa $O x$ .

7. Dreptele funcțiilor $f (x) = 3 x + 1$ și $g (x) = 3 x - 4$ sunt paralele. Explică de ce câtul $\frac{f}{g}$ nu ia nicăieri valoarea unu, apoi scrie-i domeniul și calculează $\frac{f ( 2 )}{g ( 2 )}$ și $\frac{f ( - 2 )}{g ( - 2 )}$ .

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $h (x) = \frac{3 x - 1}{x + 2}$ . Calculează $h (0) + h (1)$ .

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină domeniul maxim de definiție al funcției $h (x) = \frac{2 x - 1}{x ^{2} - 7 x}$ și calculează $h (2)$ .

10. (Problemă aplicată.) Un transformator are pierderi fixe de $40$ W. Când primește puterea $P$ , în wați, randamentul lui este $η (P) = \frac{P - 40}{P}$ , pentru $P \in [40, 400]$ . Calculează $η (80)$ , $η (200)$ și $η (400)$ și explică ce înseamnă zeroul funcției.

11. Pentru $h (x) = \frac{14}{2 x - 9}$ și $r (x) = \frac{14}{9 - 2 x}$ , compară domeniile și semnele, arată că $r (x) = - h (x)$ pentru orice intrare admisă și spune ce transformare duce graficul lui $h$ în graficul lui $r$ .

12. Pentru $f (x) = x - 2$ și $g (x) = x + 5$ , compară domeniile, zerourile și semnele funcțiilor $f \cdot g$ și $\frac{f}{g}$ .

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină punctele graficului funcției $h (x) = \frac{x + 6}{x + 2}$ care au ordonata egală cu abscisa.

14. Figura H arată graficul unei funcții-cât $h$ . Citește valoarea interzisă, zeroul și intersecția cu axa $O y$ , apoi verifică-le cu formula $h (x) = \frac{x - 3}{x + 2}$ .

15. Determină domeniul și zerourile funcției $h (x) = \frac{x ^{2} - 1}{2 x + 6}$ .

16. Pentru $h (x) = \frac{x + 2}{x ^{2} - 6 x + 9}$ , scrie domeniul și stabilește semnul lui $h$ de o parte și de alta a valorii interzise.

17. Scrie o funcție-cât care are domeniul $R ∖ {- 1, 4}$ și un singur zero, egal cu doi. Verifică-ți alegerea.

18. Un elev spune: „Dacă numărătorul și numitorul sunt pozitivi, câtul este mai mare decât unu.” Pentru $f (x) = x + 1$ și $g (x) = 2 x + 3$ , calculează $\frac{f ( 0 )}{g ( 0 )}$ și $\frac{f ( 3 )}{g ( 3 )}$ și explică, privind cele două drepte, de ce afirmația este falsă pentru orice $x > - 1$ .

Răspunsuri și explicații

1. Notăm $q = \frac{n}{d}$ și $r = \frac{d}{n}$ . Dreapta $d$ taie axa la trei, deci $D_{q} = R ∖ {3}$ , iar zeroul lui $q$ este minus șase: $\frac{n ( - 6 )}{d ( - 6 )} = \frac{0}{9} = 0$ . Rolurile se schimbă pentru $r$ : $D_{r} = R ∖ {- 6}$ , iar zeroul lui $r$ este trei, pentru că $\frac{d ( 3 )}{n ( 3 )} = \frac{0}{4 , 5} = 0$ .

2. La stânga lui minus șase, $n$ este sub axă și $d$ deasupra: câtul este negativ. Între minus șase și trei ambele sunt deasupra: câtul este pozitiv. La dreapta lui trei, $n$ rămâne deasupra, iar $d$ trece dedesubt: câtul este negativ. Semnul se schimbă la trei fără ca acolo câtul să existe.

3. Dreptele se intersectează în $(0; 3)$ , deci $\frac{n ( 0 )}{d ( 0 )} = \frac{3}{3} = 1$ . Valoarea minus unu cere $n (x) = - d (x)$ , adică $\frac{x + 6}{2} = x - 3$ , deci $x = 12$ ; control: $\frac{n ( 12 )}{d ( 12 )} = \frac{9}{- 9} = - 1$ .

4. Parabola taie axa în minus cinci și $\frac{2}{3}$ , deci $D_{h} = R ∖ {- 5, \frac{2}{3}}$ . Numărătorul se anulează numai la minus cinci, care este interzisă, deci $h$ nu are zerouri. Numitorul se scrie $(x + 5) (3 x - 2)$ , deci pentru intrările admise $h (x) = \frac{1}{3 x - 2}$ . La minus cinci lipsește un singur punct, $(- 5; - \frac{1}{17})$ , iar la $\frac{2}{3}$ numărătorul rămas este unu, deci acolo graficul are două bucăți separate. Control: $h (0) = \frac{5}{- 10} = - \frac{1}{2}$ .

5. Numitorul este cel puțin cinci, deci nu se anulează: $D_{h} = R$ . Zeroul este doi, iar $h (- 1) = \frac{- 9}{6} = - \frac{3}{2}$ și $h (1) = \frac{- 3}{6} = - \frac{1}{2}$ . Numitorul fiind pozitiv, $h$ are semnul numărătorului: $h (x) < 0$ pe $(- \infty, 2)$ și $h (x) > 0$ pe $(2, + \infty)$ .

6. Fals. Domeniul este $R ∖ {2}$ . Numărătorul se scrie $2 x^{2} + 7 x - 22 = (x - 2) (2 x + 11)$ , deci pentru $x \neq = 2$ avem $h (x) = 2 x + 11$ . Zeroul $- \frac{11}{2}$ este o intrare admisă, deci graficul trece prin $(- \frac{11}{2}; 0)$ ; lipsește doar punctul $(2; 15)$ .

7. Câtul valorează unu numai unde numărătorul și numitorul au aceeași valoare, adică într-un punct comun al celor două drepte. Dreptele paralele nu au puncte comune; algebric, egalitatea $3 x + 1 = 3 x - 4$ se reduce la numerele $1$ și $- 4$ , care sunt diferite. Numitorul se anulează la $\frac{4}{3}$ , deci domeniul este $R ∖ {\frac{4}{3}}$ . Apoi $\frac{f ( 2 )}{g ( 2 )} = \frac{7}{2}$ și $\frac{f ( - 2 )}{g ( - 2 )} = \frac{- 5}{- 10} = \frac{1}{2}$ .

8. $h (0) = - \frac{1}{2}$ și $h (1) = \frac{2}{3}$ , deci $h (0) + h (1) = - \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{1}{6}$ .

9. $x^{2} - 7 x = x (x - 7)$ se anulează la zero și la șapte, deci $D_{h} = R ∖ {0, 7}$ . Apoi $h (2) = \frac{3}{4 - 14} = - \frac{3}{10}$ .

10. $η (80) = \frac{40}{80} = 0, 5$ , $η (200) = \frac{160}{200} = 0, 8$ și $η (400) = \frac{360}{400} = 0, 9$ , adică randamente de $50%$ , $80%$ și $90%$ . Zeroul, la $P = 40$ W, înseamnă că toată puterea primită se pierde și transformatorul nu mai livrează nimic util.

11. Ambii numitori se anulează la $\frac{9}{2}$ , deci ambele funcții au domeniul $R ∖ {\frac{9}{2}}$ . Numitorii sunt opuși, $9 - 2 x = - (2 x - 9)$ , iar numărătorul este același, deci $r (x) = - h (x)$ ; de exemplu $h (5) = 14$ și $r (5) = - 14$ . Funcția $h$ este negativă la stânga lui $\frac{9}{2}$ și pozitivă la dreapta, iar $r$ invers. Graficul lui $r$ este simetricul graficului lui $h$ față de axa $O x$ .

12. Notăm $p = f \cdot g$ și $q = \frac{f}{g}$ . Produsul există pe $R$ și are zerourile doi și minus cinci; câtul are $D_{q} = R ∖ {- 5}$ și un singur zero, doi. Semnele coincid, pentru că se aplică aceeași regulă: $p (x) > 0$ pe $(- \infty, - 5) \cup (2, + \infty)$ , $p (x) < 0$ pe $(- 5, 2)$ , iar $q (x) > 0$ pe $(- \infty, - 5) \cup (2, + \infty)$ , $q (x) < 0$ pe $(- 5, 2)$ . Diferența este intrarea minus cinci: zero pentru produs, interzisă pentru cât.

13. Cerem $\frac{x + 6}{x + 2} = x$ , cu $x \neq = - 2$ , adică $x + 6 = x^{2} + 2 x$ , deci $x^{2} + x - 6 = 0$ , adică $(x + 3) (x - 2) = 0$ . Punctele sunt $(- 3; - 3)$ și $(2; 2)$ ; control: $h (- 3) = \frac{3}{- 1} = - 3$ și $h (2) = \frac{8}{4} = 2$ .

14. Verticala punctată stă la minus doi, curba taie axa $O x$ la trei și axa $O y$ la $- \frac{3}{2}$ . Formula confirmă: numitorul se anulează la minus doi, numărătorul la trei, iar $h (0) = \frac{- 3}{2} = - \frac{3}{2}$ .

15. Numitorul se anulează la minus trei, deci $D_{h} = R ∖ {- 3}$ . Numărătorul $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ are două zerouri, minus unu și unu, ambele admise: $h (- 1) = 0$ și $h (1) = 0$ .

16. Numitorul este $(x - 3)^{2}$ , zero numai la trei, deci $D_{h} = R ∖ {3}$ . El este pozitiv pe tot domeniul, deci $h$ are semnul lui $x + 2$ : $h (x) > 0$ pe $(- 2, 3) \cup (3, + \infty)$ . Semnul rămâne pozitiv de ambele părți ale valorii interzise.

17. De exemplu, $h (x) = \frac{x - 2}{( x + 1 ) ( x - 4 )}$ . Numitorul se anulează numai la minus unu și patru, deci $D_{h} = R ∖ {- 1, 4}$ , cum se cere, iar numărătorul se anulează doar la doi, intrare admisă: $h (2) = 0$ .

18. $\frac{f ( 0 )}{g ( 0 )} = \frac{1}{3}$ și $\frac{f ( 3 )}{g ( 3 )} = \frac{4}{9}$ , ambele mai mici decât unu, deși numerele împărțite sunt pozitive. Pentru $x > - 1$ ambele drepte sunt deasupra axei, iar dreapta lui $g$ este deasupra dreptei lui $f$ , fiindcă $g (x) - f (x) = x + 2 > 0$ . Un număr pozitiv împărțit la unul mai mare dă un cât mai mic decât unu. Acolo unde ambele valori sunt pozitive, câtul ar depăși unu numai dacă dreapta numărătorului ar fi deasupra celei a numitorului.

De reținut

Câtul $\frac{f}{g}$ există pe intrările comune ale factorilor în care numitorul nu este zero.
Valorile interzise sunt abscisele punctelor în care graficul numitorului întâlnește axa $O x$ .
Câtul se anulează unde numărătorul este zero, dacă intrarea rămâne în domeniu; unde graficele se intersectează, în afara axei, câtul valorează unu.
Semnul câtului se citește din pozițiile celor două grafice; o valoare interzisă poate separa o zonă pozitivă de una negativă.
Un zero comun al numărătorului și numitorului lasă un singur punct lipsă, desenat cu cerculeț gol.

Greșeli frecvente

Paranteză pătrată la valoarea interzisă. Domeniul $R ∖ {2}$ se scrie ca reuniune de intervale deschise la doi, $(- \infty, 2) \cup (2, + \infty)$ . Un capăt interzis nu primește niciodată paranteză pătrată.
Unirea punctelor aflate de o parte și de alta a unei valori interzise. O linie trasă peste verticala interzisă inventează valori care nu există. Unește numai punctele din aceeași bucată.
Simplificarea unor termeni, nu a unor factori. În $\frac{x + 6}{x + 2}$ nu poți „tăia” pe $x$ : fracția nu devine $\frac{6}{2}$ . Controlează într-o intrare: la doi ea valorează $\frac{8}{4} = 2$ , nu $3$ . Se simplifică numai factorii comuni ai numărătorului și numitorului.
Inversarea numărătorului cu numitorul la citirea desenului. $\frac{n}{d}$ și $\frac{d}{n}$ au alte valori interzise și alte zerouri. Notează pe desen care dreaptă este numitorul înainte de a citi.
Semnul câtului copiat după numărător. Semnul depinde de ambele grafice. Numai când numitorul este pozitiv pe tot domeniul, câtul are semnul numărătorului; altfel compari pozițiile ambelor grafice zonă cu zonă.

Aplică acasă

Eroarea din foaia de calcul. Într-o foaie de calcul, scrie intrările de la $- 4$ la $4$ , din jumătate în jumătate, și alături formula câtului $\frac{x + 2}{x ^{2} - 9}$ . Notează în ce celule apare mesajul de împărțire la zero și în ce celulă apare valoarea zero. Explică de ce mesajul de eroare apare exact în valorile interzise.
Numitorul cu glisor. Într-o aplicație, trasează $\frac{1}{x ^{2} + k}$ și dă lui $k$ un glisor între minus patru și patru. Notează pentru ce valori ale lui $k$ apar două valori interzise, una singură sau niciuna, și cum se schimbă graficul.
Același domeniu, trei comportări. Scrie trei funcții-cât cu domeniul $R ∖ {2}$ : una cu un zero, una fără zero și una care valorează unu într-o singură intrare, aleasă de tine. Desenează-le în aplicație și compară-le.

Pentru părinți și profesori

Primul lucru pe care elevul trebuie să-l facă la un cât este să privească numitorul: unde taie el axa. Cereți domeniul înaintea oricărei valori. Apoi despărțiți clar cele trei întrebări: unde nu există câtul, unde este zero și unde valorează unu.

La desen, urmăriți dacă elevul unește puncte peste valoarea interzisă; este semnul că nu a înțeles că graficul are bucăți separate. În problemele din științe, cereți și domeniul practic, nu doar pe cel matematic.

Un exercițiu util la clasă: dați graficele numărătorului și numitorului fără formule și cereți patru răspunsuri, fiecare cu justificarea lui pe desen — valorile interzise, zerourile, semnul pe zone și intrările în care câtul valorează unu. Dacă elevul folosește o aplicație, cereți-i să arate unde ar putea apărea o linie falsă și cum a verificat-o.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027, care numește în unitatea de funcții „funcții obținute prin operații de înmulțire și/sau de împărțire”, cu proprietățile observate pe grafice furnizate sau trasate digital; lecția M2 nu cere inecuațiile cu fracții rezolvate algebric. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2, cu programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Algebră”, prin capitolul IX.6. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care numește „funcția raport de două funcții cu grad cel mult 2” la clasa a XI-a, în capitolul de limite; de aceea exercițiile marcate sunt de tip Bacalaureat M2. Modelul oficial publicat pentru 2026 are la Subiectul I, cerința 2, o relație numerică între două funcții afine; fracții cu variabila la numitor apar în acel model doar la Subiectul al III-lea, într-o limită și într-o integrală, cu instrumentele claselor a XI-a și a XII-a.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: câtul funcțiilor, cu tabel de semn și inecuații rezolvă algebric inecuațiile cu fracții. Recapitularea unității se face cu testul M2 de funcții și lecturi grafice. Condițiile de existență ale unei fracții algebrice se pot relua din lecția de clasa a VIII-a despre fracțiile algebrice.

Întrebări frecvente

Ce aduce varianta M2 față de lecția de mate-info (M1) despre câtul a două funcții?

Aici domeniul, zerourile și semnul se citesc pe graficele numărătorului și numitorului, iar calculul verifică lectura. Adăugăm punctele în care câtul valorează unu și domeniul practic din științe. Varianta M1 rezolvă algebric inecuațiile cu fracții și construiește tabelul complet de semn, pe care această lecție nu le cere.

La ce subiect al bacalaureatului M2 poate apărea câtul a două funcții?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 numește funcția raport de două funcții la clasa a XI-a, în capitolul de limite. Modelul oficial publicat pentru 2026 are la Subiectul I o cerință cu funcții afine, iar câturi de funcții apar abia la Subiectul al III-lea, în analiză. Un singur model nu arată ce va apărea într-o sesiune anume.

Cum găsesc valorile interzise dacă am doar graficul numitorului?

Cauți punctele în care graficul numitorului întâlnește axa orizontală și le citești abscisele. Pentru o dreaptă oblică găsești un singur punct, pentru o parabolă două, unul sau niciunul. Dacă punctele cad între gradații, spui că citirea este aproximativă și ceri formula pentru o valoare exactă.

Ce se întâmplă dacă numitorul este o funcție constantă?

Dacă numitorul este un număr nenul, câtul nu are valori interzise: el este numărătorul împărțit la acel număr, cu același domeniu și aceleași zerouri. Graficul se obține din graficul numărătorului, comprimat sau întins pe verticală și, pentru un număr negativ, răsturnat față de axa $O x$ . Un numitor constant egal cu zero nu produce nicio funcție.

Poate câtul să treacă de sub axă deasupra ei fără un zero?

Da. La o valoare interzisă numitorul își poate schimba semnul, iar câtul trece de pe o parte a axei pe cealaltă fără să existe în acel punct. Pe grafic vezi două bucăți separate, una sub axă și una deasupra, fără niciun punct pe axa $O x$ între ele.

Ce fac dacă numitorul este dat doar printr-un tabel de valori?

Cauți în tabel două intrări vecine între care valorile numitorului își schimbă semnul: valoarea interzisă este între ele. Dacă știi că numitorul este afin, două rânduri ale tabelului îi dau formula, iar din ea afli exact intrarea care îl anulează. Fără o asemenea informație poți indica doar intervalul în care se află valoarea interzisă.