Ce este timpul de înjumătățire?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Dublare și înjumătățire pe grafic

Timpul de înjumătățire este durata după care o mărime aflată în scădere exponențială ajunge la jumătate, oricare ar fi valoarea de pornire. Modelul este $N (t) = N_{0} \cdot (\frac{1}{2})^{t / T}$ , unde $T$ este timpul de înjumătățire. Exemplu: iodul-131 are $T \approx 8$ zile; din $200$ mg rămân după $24$ de zile $200 \cdot (\frac{1}{2})^{3} = 25$ mg, fiindcă au trecut trei înjumătățiri.

Într-o creștere exponențială, la fiecare interval de timp de aceeași lungime mărimea se multiplică prin același număr mai mare decât unu; când acest număr e între zero și unu, avem o scădere exponențială. Modelul cu valoarea inițială $N_{0}$ și timpul de dublare $T$ se scrie $N (t) = N_{0} \cdot 2^{t / T}$ , iar exponentul numără dublările produse până la momentul $t$ .

Timpul de dublare și timpul de înjumătățire au aceeași valoare indiferent de punctul de pornire. Pe grafic se citesc pe axa timpului: pornești dintr-un punct al curbei și cauți momentul în care valoarea s-a dublat sau s-a înjumătățit. O substanță radioactivă nu ajunge niciodată la zero în model, pentru că după fiecare înjumătățire rămâne o parte pozitivă.

Un model liniar primește la fiecare pas un spor fix, pe când unul exponențial primește un spor tot mai mare. De aceea exponențiala depășește definitiv orice dreaptă, chiar dacă pornește în urmă; momentul schimbării se citește la intersecția graficelor.

Valorile modelului la momente egal depărtate formează o progresie geometrică. Orice model exponențial rămâne valabil doar pe durata în care datele îl confirmă, pentru că în realitate resursele sau condițiile opresc creșterea.

De reținut

$N (t) = N_{0} \cdot 2^{t / T}$ pentru dublare, $N (t) = N_{0} \cdot (\frac{1}{2})^{t / T}$ pentru înjumătățire
după $n$ înjumătățiri rămâne fracțiunea $\frac{1}{2 ^{n}}$
în model, o cantitate în scădere exponențială nu ajunge la zero

Greșeala tipică

Se crede că după două timpuri de înjumătățire substanța dispare complet; de fapt rămâne un sfert, pentru că fiecare înjumătățire pornește de la ce a rămas.

Exerciții din această mini-lecție

O cultură pornește de la $400$ de celule și se dublează la fiecare $30$ de minute. Care este modelul numărului de celule după $t$ minute?
- a) $N (t) = 400 + 30 t$
- b) $N (t) = 400 \cdot 2^{t /30}$
- c) $N (t) = 400 \cdot 2^{30 t}$
- d) $N (t) = 400 \cdot 3 0^{t}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $N (t) = 400 \cdot 2^{t /30}$

Numărul dublărilor după $t$ minute este $\frac{t}{30}$ , deci factorul este $2^{t /30}$ .
O substanță are timpul de înjumătățire de $5$ zile. Ce fracțiune din cantitatea inițială rămâne după $10$ zile?
- a) $\frac{1}{2}$
- b) $\frac{1}{4}$
- c) $\frac{1}{5}$
- d) $\frac{1}{10}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{1}{4}$

În zece zile au loc două înjumătățiri: $(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ .
Graficul unei scăderi exponențiale trece prin punctele $(0; 80)$ și $(12; 20)$ , cu timpul în ore. Care este timpul de înjumătățire?
- a) $3$ ore
- b) $4$ ore
- c) $6$ ore
- d) $12$ ore
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $6$ ore

Raportul este $\frac{20}{80} = \frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^{2}$ , deci în douăsprezece ore au loc două înjumătățiri: timpul de înjumătățire este de șase ore.

Întrebări conexe

Cum se estimează vârsta unei probe cu carbon-14?

Pentru carbonul-14, jumătate dintr-o cantitate se descompune în circa $5730$ de ani. Dacă într-un os a rămas $25%$ din carbonul-14 inițial, adică $(\frac{1}{2})^{2}$ , au trecut două înjumătățiri, deci aproximativ $11460$ de ani. Pentru fracțiuni care nu sunt puteri ale lui $\frac{1}{2}$ se folosesc logaritmi.

Câte bacterii sunt după $2$ ore dacă se dublează la fiecare $20$ de minute?

În $120$ de minute au loc $\frac{120}{20} = 6$ dublări, deci factorul este $2^{6} = 64$ . Pornind de la $100$ de bacterii, modelul dă $6400$ . Formula este $N (t) = 100 \cdot 2^{t /20}$ , cu $t$ în minute.

Când depășește o creștere exponențială una liniară?

Compară $L (t) = 100 + 20 t$ cu $E (t) = 10 \cdot 2^{t}$ . La $t = 4$ ai $L = 180$ și $E = 160$ , iar la $t = 5$ ai $L = 200$ și $E = 320$ . Momentul depășirii se află între $4$ și $5$ , iar de acolo exponențiala rămâne în față definitiv.

De ce nu poate un model de creștere exponențială să țină la nesfârșit?

O cultură care se dublează la $20$ de minute ar face $72$ de dublări într-o zi, adică s-ar înmulți cu $2^{72} \approx 4, 7 \cdot 1 0^{21}$ . Hrana și spațiul se termină mult înainte, așa că modelul descrie doar începutul creșterii, cât datele îl confirmă.

Ce legătură are creșterea exponențială cu progresia geometrică?

Valorile unui model exponențial măsurate la intervale egale formează o progresie geometrică. De exemplu, o populație de $300$ care se dublează la fiecare oră dă, din oră în oră, $300$ , $600$ , $1200$ , $2400$ , cu rația $2$ . Rația este factorul de creștere pe un pas.

Oamenii mai întreabă și: timp de înjumătățire definiție · perioada de înjumătățire · cât rămâne după un timp de înjumătățire · formula timpului de înjumătățire