Creșterea exponențială (M2, științe ale naturii)

Într-un mediu de cultură bogat, ținut la $37$ °C, bacteria Escherichia coli se divide cam la fiecare douăzeci de minute. Pornind de la câteva mii de celule într-un mililitru, după patruzeci de minute numărul lor e de patru ori mai mare, iar după două ore, de șaizeci și patru de ori. O asemenea mărime nu crește cu cantități egale în timpi egali, ci se înmulțește cu același factor: spunem că are o creștere exponențială. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), modelele de creștere și de scădere exponențială se citesc pe graficul unei funcții exponențiale, așa cum cere programa. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține funcția exponențială și calculul financiar cu dobânzi la conținuturile clasei a X-a; modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o problemă de creștere exponențială.

Graficul funcției $a^x$ și citirea lui sunt explicate în lecția M2 despre funcția exponențială. Varianta cu pași întregi a acelorași modele, calculată an cu an, se află în lecția M2 despre dobânda compusă și dinamica populației. Dacă vrei să recapitulezi procentele și dobânda simplă, revezi problemele cu procente din clasa a VI-a.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști o creștere sau o scădere exponențială după faptul că mărimea se înmulțește cu același factor în timpi egali.
• Vei ști să scrii un model de forma $N(t)=N_0\cdot 2^{t/T}$ și să explici fiecare literă, cu unitatea ei.
• Vei ști să citești pe grafic timpul de dublare și timpul de înjumătățire, pornind din orice punct al curbei.
• Vei ști să compari pe același desen o creștere liniară și una exponențială și să citești momentul în care se schimbă ordinea.
• Vei ști să calculezi valori ale modelului la momente întregi și să le aproximezi cu calculatorul între ele.
• Vei ști să spui pe ce interval de timp are sens un model exponențial și ce îl oprește în realitate.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă că o mărime crește exponențial?

Creșterea exponențială este evoluția unei mărimi care, pe un interval de timp, se înmulțește cu același factor supraunitar în orice două intervale de timp egale. Dacă factorul este subunitar, vorbim despre o scădere exponențială. Modelul matematic este o funcție exponențială de timp, înmulțită cu valoarea de pornire.

Să luăm o colonie care numără $300$ de indivizi și se dublează la fiecare patru ore. După patru ore sunt $600$, după opt ore $1200$, după douăsprezece ore $2400$. Pentru un moment oarecare $t$, măsurat în ore, numărul dublărilor este $\frac{t}{4}$, deci modelul este $N(t)=300\cdot 2^{t/4}$. Exponentul numără câte dublări au avut loc, iar el poate fi și un număr care nu este întreg, de exemplu după două ore s-a produs jumătate de dublare.

2. Ce este timpul de dublare și de ce nu depinde de momentul ales?

Timpul de dublare este durata după care mărimea devine de două ori mai mare. Figura D arată graficul modelului de mai sus pe primele douăsprezece ore. Pe grafic, timpul de dublare se citește pe axa orizontală: pornești dintr-un punct al curbei, urci până la nivelul dublu și măsori cât ai înaintat pe axa timpului.

Proprietatea remarcabilă este că rezultatul nu depinde de punctul de pornire. De la $300$ la $600$ trec patru ore, de la $600$ la $1200$ tot patru ore. Chiar pornind din momentul de două ore, când calculatorul dă $N(2)=300\cdot 2^{0,5}\approx 424,26$, nivelul dublu se atinge la șase ore, unde $N(6)=300\cdot 2^{1,5}\approx 848,53$. Motivul se vede în formulă: adăugarea a patru ore la exponent înseamnă o dublare în plus, indiferent de unde începi. O creștere liniară nu are această proprietate: acolo, dublarea durează tot mai mult pe măsură ce valoarea crește.

3. Cum arată o scădere exponențială?

Când factorul este subunitar, mărimea scade, iar durata după care ajunge la jumătate se numește timp de înjumătățire. Un eșantion de $64$ de grame dintr-o substanță care se înjumătățește la fiecare zece zile evoluează după legea $m(t)=64\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/10}$, cu $t$ în zile. Graficul coboară, la fel de abrupt la început cum urcă un grafic de creștere, apoi se apropie tot mai mult de axa orizontală.

Ca la dublare, înjumătățirea durează la fel de mult oricând ai porni. Iar masa din model nu devine niciodată zero: după fiecare timp de înjumătățire rămâne jumătate din ce exista înainte, iar jumătatea unui număr pozitiv este tot pozitivă. Axa timpului este asimptotă orizontală, în sensul din lecția M2 despre comportamentul asimptotic. Dezintegrarea radioactivă este exemplul clasic: fiecare izotop are timpul lui de înjumătățire, iar valorile cunoscute acoperă o plajă uriașă, de la mai puțin de o secundă până la vârsta Universului și dincolo de ea.

4. Ce legătură are modelul cu progresiile geometrice?

Dacă notezi valorile modelului doar la momentele $0$, $T$, $2T$, $3T$ și așa mai departe, obții o progresie geometrică cu rația egală cu factorul unei perioade, ca în lecția M2 despre progresia geometrică. Funcția exponențială completează aceste puncte cu valori pentru toate momentele intermediare.

Diferența contează în aplicații. O cultură de bacterii crește neîntrerupt, deci modelul are sens la orice moment. Un cont cu dobândă compusă anuală își schimbă soldul doar în ziua capitalizării, iar între două capitalizări soldul stă pe loc; valorile corecte sunt numai punctele de la sfârșitul fiecărui an, calculate în lecția despre dobânda compusă. Când desenezi un asemenea model, întrebi mai întâi dacă procesul evoluează continuu sau în salturi.

5. Cine câștigă: creșterea liniară sau cea exponențială?

O creștere liniară adaugă aceeași cantitate în fiecare unitate de timp. O creștere exponențială adaugă o cantitate proporțională cu ce există deja, deci pasul ei devine tot mai mare. La o dublare, creșterea dintr-o perioadă este egală cu tot ce s-a acumulat până atunci.

De aici vine un fapt valabil pentru orice factor supraunitar: oricât de mare ar fi pasul constant al unei creșteri liniare, creșterea exponențială o ajunge și o depășește definitiv după un timp. La început însă liniarul poate conduce, mai ales dacă pasul lui e mare și valoarea de pornire a exponențialei e mică. Pe un grafic comun, momentul schimbării se citește la intersecția celor două curbe, cum vei vedea în Exemplul 4. Programa cere explicit analiza acestei diferențe.

6. Cât timp rămâne valabil un model exponențial?

Nicio mărime reală nu poate crește exponențial la nesfârșit. Dacă o singură celulă de Escherichia coli s-ar divide la fiecare douăzeci de minute timp de o zi, ar avea loc $72$ de dublări, iar numărul de celule ar fi $2^{72}\approx 4,7\cdot 10^{21}$. O celulă cântărește în jur de un picogram, adică o miime de miliardime de gram, așa că masa totală ar depăși $4700$ de tone. În realitate, hrana din mediu se consumă în câteva ore, iar creșterea încetinește și se oprește.

De aceea orice model exponențial se scrie împreună cu intervalul pe care a fost verificat. La scăderea radioactivă, modelul funcționează foarte bine cât timp în probă există foarte mulți atomi. Când răspunzi la o problemă, verifică dacă momentul cerut aparține intervalului declarat și spune explicit când o predicție iese din el.

7. Cum citim factorul pe unitatea de timp dintr-un grafic?

Dacă graficul trece prin $(0;50)$ și prin $(1;60)$, cu timpul în ore, factorul pe o oră este raportul valorilor: $\frac{60}{50}=1,2$. Modelul devine $50\cdot 1,2^t$, adică o creștere de douăzeci la sută pe oră. Dacă punctele citite sunt mai depărtate, raportul lor corespunde întregii durate dintre ele, iar factorul pe unitate se obține căutând numărul care, înmulțit cu el însuși de atâtea ori câte unități au trecut, dă acel raport.

Pentru o citire corectă alege puncte aflate pe noduri ale caroiajului, unde coordonatele se văd exact. Raportul a două valori citite aproximativ poate fi mult mai inexact decât fiecare citire în parte, mai ales când una dintre valori este mică.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citește timpul de dublare al unei culturi

Numărul de celule de Escherichia coli dintr-un mililitru de mediu, în mii, este reprezentat în figura E1 pentru primele $100$ de minute, la $37$ °C. Citește timpul de dublare, scrie modelul $N(t)$, apoi calculează $N(100)$ și aproximează $N(50)$.

Rezolvare. Graficul pornește de la cinci mii de celule și ajunge la zece mii în dreptul lui $t=20$, apoi la douăzeci de mii la $t=40$. Timpul de dublare este de douăzeci de minute, deci modelul este $N(t)=5\cdot 2^{t/20}$, în mii de celule pe mililitru, cu $t\in [0,100]$ minute.

După $100$ de minute au avut loc cinci dublări: $N(100)=5\cdot 2^5=160$ de mii de celule pe mililitru. La $50$ de minute s-au produs două dublări și jumătate, iar calculatorul dă $N(50)=5\cdot 2^{2,5}\approx 28,28$ de mii. Valoarea se află, cum era de așteptat, între $N(40)=20$ și $N(60)=40$, dar nu la mijlocul lor: curba este sub coarda care unește cele două puncte.

Exemplul 2 — Un izotop folosit în medicină

Tehnețiul-99m, folosit la investigațiile de medicină nucleară, are timpul de înjumătățire de aproximativ $6$ ore. O doză are la preparare activitatea de $800$ MBq. Scrie modelul activității, calculează activitatea după $6$, $12$ și $24$ de ore și spune de la ce moment scade sub $100$ MBq.

Rezolvare. Activitatea se înjumătățește la fiecare șase ore, deci $A(t)=800\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/6}$ MBq, cu $t$ în ore. Obținem $A(6)=400$ MBq, $A(12)=200$ MBq și $A(24)=800\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^4=50$ MBq.

Pragul de $100$ MBq este atins exact după trei înjumătățiri: $A(18)=100$. Funcția fiind strict descrescătoare, activitatea este sub $100$ MBq pentru orice moment de după optsprezece ore. Pe graficul din figura E2, orizontala de $100$ MBq taie curba în dreptul lui $t=18$. Pentru pacient contează și eliminarea biologică a substanței, pe care acest model nu o include.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Fluorul-18, folosit la tomografia cu emisie de pozitroni, are timpul de înjumătățire de aproximativ $110$ minute. O probă are la început activitatea de $500$ MBq, iar după $110$ minute mai are $250$ MBq. Un elev scrie: „În $110$ minute activitatea a scăzut cu $250$ MBq, deci după încă $110$ minute proba nu mai are nicio activitate.” Unde greșește?

Rezolvare. Elevul a prelungit scăderea ca pe o dreaptă, adică a presupus că în timpi egali se pierde aceeași cantitate. La o scădere exponențială se pierde aceeași fracțiune: în următoarele $110$ minute dispare jumătate din ce a rămas, nu din ce era la început. După $220$ de minute activitatea este $500\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=125$ MBq, după $330$ de minute este $62,5$ MBq și așa mai departe, fără să ajungă la zero. Pe grafic, greșeala elevului înseamnă să înlocuiești curba cu coarda ei, prelungită până la axă.

Exemplul 4 — Liniar și exponențial pe același grafic

Doi elevi propun modele pentru numărul de celule, în mii, dintr-o cultură de țesut vegetal care pornește de la $50$ de mii de celule: modelul liniar $L(t)=50+150t$ și modelul exponențial $E(t)=50\cdot 2^t$, cu $t$ în zile, pe intervalul $[0,5]$. Compară valorile la momente întregi și citește pe figura E4 când se schimbă ordinea.

Rezolvare. La $t=0$ modelele coincid. Calculăm apoi: $L(1)=200$ și $E(1)=100$; $L(2)=350$ și $E(2)=200$; $L(3)=500$ și $E(3)=400$; $L(4)=650$ și $E(4)=800$; $L(5)=800$ și $E(5)=1600$. Primele trei zile conduce modelul liniar, iar din a patra zi conduce cel exponențial.

Pe figură, curbele se intersectează în punctul de pornire și încă o dată, între zilele trei și patru, în jurul valorii de $3,5$ zile. După această intersecție diferența crește rapid: în ziua a cincea modelul exponențial dă de două ori mai mult. Care model descrie cultura nu se decide din calcul, ci din măsurători: dacă numărul crește cu aceeași cantitate pe zi sau cu același factor.

Exemplul 5 — Datarea cu carbon-14

Carbonul-14 are timpul de înjumătățire de aproximativ $5730$ de ani. Procentul de carbon-14 rămas într-un os, față de cel dintr-un organism viu, este $p(t)=100\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/5730}$, cu $t$ în ani. Ce vârstă au două probe cu $25\%$, respectiv $12,5\%$ din carbonul-14 inițial?

Rezolvare. Un sfert înseamnă două înjumătățiri, deci proba are aproximativ $2\cdot 5730=11460$ de ani; verificăm: $p(11460)=100\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=25$. O optime înseamnă trei înjumătățiri, deci a doua probă are aproximativ $3\cdot 5730=17190$ de ani. Pe figura E5, orizontalele de $25\%$ și $12,5\%$ taie curba exact în aceste momente. Metoda dă rezultate bune pentru probe de până la câteva zeci de mii de ani; la vârste mai mari, cantitatea rămasă e prea mică pentru a fi măsurată cu precizie.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Masa de lintiță dintr-un acvariu, în grame, este dată de $m(t)=12\cdot 2^{t/2}$, unde $t$ este timpul în zile, pentru $t\in [0,8]$. a) Arătați că masa inițială este de $12$ g. b) Arătați că după $8$ zile masa este de $192$ g.

Rezolvare. a) Calculăm $m(0)=12\cdot 2^0=12$, deci masa inițială este de $12$ g.

b) Calculăm $m(8)=12\cdot 2^{8/2}=12\cdot 2^4=12\cdot 16=192$, deci după opt zile masa este de $192$ g. Modelul spune că lintița își dublează masa la fiecare două zile, ceea ce se observă în condiții bune de lumină și hrană. Enunțul este un antrenament propriu, construit în stilul cerințelor scurte de la Subiectul I, nu un subiect oficial.

Să exersăm

Scrie întâi modelul, cu unitățile, și abia apoi calculează. Unde răspunsul nu este un număr exact, rotunjește la precizia cerută.

1. O mărime crește exponențial. La $t=0$ valoarea ei este $400$, iar după $2$ ore este $529$. Află factorul pe două ore, apoi factorul pe o oră, și calculează valoarea după $3$ ore.

2. Figura X2 arată numărul de afide de pe o plantă de seră în primele $12$ zile. Citește timpul de dublare, apoi citește pe figură ziua în care numărul de afide ajunge la $450$. Confirmă citirea calculând numărul de afide după $7$ și după $8$ zile.

3. Iodul-131 are timpul de înjumătățire de aproximativ $8$ zile. O capsulă are activitatea de $120$ MBq. Ce activitate mai are după $20$ de zile? Încadrează întâi rezultatul între valorile de la $16$ și de la $24$ de zile.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) O mărime care crește cu $50\%$ pe oră se dublează în exact două ore.

5. Masa unei culturi de bacterii lactice, în grame, este descrisă de $N(t)=500\cdot 1,3^t$, cu $t$ în zile, pentru $t\in [0,8]$. Calculează $N(2)$ și află între ce zile întregi consecutive masa depășește $2000$ g.

6. Figura X6 arată două modele pentru masa unei culturi de ciuperci de laborator, în grame: modelul liniar $L(t)=900+100t$ și modelul exponențial $E(t)=100\cdot 1,5^t$, cu $t$ în zile, pe intervalul $[0,8]$. Citește pe figură când trece modelul exponențial în frunte și confirmă prin calcul în zilele întregi vecine.

7. Figura X7 arată masa unui izotop radioactiv, în grame, în funcție de timp, în ani. Citește timpul de înjumătățire, apoi citește pe figură masa rămasă după $25$ de ani și verifică citirea cu un calculator.

8. (Problemă aplicată.) Radonul-222 are timpul de înjumătățire de aproximativ $3,8$ zile. O probă de aer închisă ermetic într-un recipient are o concentrație de radon de $400$ Bq/m³. Ce concentrație va avea după $7,6$ zile, dacă nu intră radon nou în recipient?

9. Cultura A pornește de la $120$ de celule, iar cultura B de la $480$ de celule; amândouă se dublează la fiecare $25$ de minute. Calculează numărul de celule din fiecare cultură după $25$ și după $50$ de minute. Vor avea vreodată același număr de celule, conform modelelor?

10. Un grafic de creștere exponențială trece prin $(3;50)$ și $(9;200)$, cu timpul în ore. Care este timpul de dublare? Ce valoare avea mărimea la momentul $t=0$?

11. Masa unui biofilm bacterian, cântărită la fiecare două zile, a fost $30$ mg, $45$ mg, o valoare care lipsește din caiet și apoi $101,25$ mg. Presupunând un model exponențial, află factorul pe două zile și valoarea lipsă, apoi scrie modelul.

12. Cesiul-137 are timpul de înjumătățire de aproximativ $30$ de ani. După accidentul de la Cernobîl din $1986$, un sol contaminat avea activitatea de $80$ kBq pe metru pătrat. Între ce ani scade activitatea sub $24$ kBq pe metru pătrat, adică sub $30\%$ din valoarea inițială?

13. Suprafața unui iaz acoperită de cianobacterii se dublează la fiecare două zile, iar iazul este acoperit complet în ziua $30$. În ce zi era acoperit un sfert din iaz? Ce fracțiune era acoperită în ziua $22$? Mai poate fi folosit modelul după ziua $30$?

14. Sodiul-24, folosit ca trasor în medicină și în industrie, are timpul de înjumătățire de aproximativ $15$ ore. Ce procent din activitatea unei probe se pierde în prima oră? Dar în primele $30$ de ore?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Masa unei culturi se dublează la fiecare $5$ ore, iar după $10$ ore este de $1800$ mg. Determinați masa inițială a culturii.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Un izotop are timpul de înjumătățire de $4$ ore, iar o probă are la început activitatea de $320$ MBq. Arătați că după $7$ ore activitatea probei este mai mare decât $80$ MBq.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Numărul de bacterii dintr-o probă este $N(t)=125\cdot 2^{t/3}$, cu $t$ în ore. Determinați momentul la care proba conține $2000$ de bacterii.

18. (Provocare.) Cultura A pornește de la $100$ de celule și se dublează la fiecare $40$ de minute, iar cultura B pornește de la $500$ de celule și se dublează la fiecare $60$ de minute. Arată că la $240$ de minute B are încă mai multe celule, iar la $300$ de minute A a trecut în frunte. Ce poți spune despre momentul în care culturile au același număr de celule?

Răspunsuri și explicații

1. Factorul pe două ore este $\frac{529}{400}=1,3225$. Factorul pe o oră este numărul pozitiv care, înmulțit cu el însuși, dă $1,3225$, adică $1,15$, deoarece $1,15^2=1,3225$. Modelul este $N(t)=400\cdot 1,15^t$, adică o creștere de cincisprezece la sută pe oră, iar după trei ore $N(3)=400\cdot 1,520875=608,35$.

2. Graficul trece prin $(0;150)$, $(5;300)$ și $(10;600)$, deci numărul de afide se dublează la fiecare cinci zile, iar modelul este $N(t)=150\cdot 2^{t/5}$. Orizontala de $450$ taie curba puțin înainte de ziua a opta. Calculatorul dă $N(7)=150\cdot 2^{1,4}\approx 395,9$ și $N(8)=150\cdot 2^{1,6}\approx 454,7$, deci pragul de $450$ de afide este atins între ziua a șaptea și a opta, foarte aproape de a opta.

3. La $16$ zile, după două înjumătățiri, activitatea este $30$ MBq, iar la $24$ de zile este $15$ MBq, deci după $20$ de zile rezultatul se află între $15$ și $30$ MBq. Douăzeci de zile înseamnă două înjumătățiri și jumătate: $120\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{2,5}\approx 21,21$ MBq.

4. Fals. În două ore mărimea se înmulțește cu $1,5^2=2,25$, adică mai mult decât se dublează. Dublarea se produce deci înainte de a doua oră, nu exact la sfârșitul ei.

5. $N(2)=500\cdot 1,69=845$ g. Masa depășește $2000$ g când factorul $1,3^t$ trece de $4$. Calculatorul dă $N(5)=500\cdot 1,3^5\approx 1856,5$ g și $N(6)=500\cdot 1,3^6\approx 2413,4$ g, deci pragul este depășit între ziua a cincea și a șasea.

6. Pe figură, curbele se intersectează puțin înainte de ziua a șaptea. Calculăm: $L(6)=1500$ și $E(6)=100\cdot 1,5^6\approx 1139,1$, deci în ziua a șasea conduce modelul liniar; $L(7)=1600$ și $E(7)=100\cdot 1,5^7\approx 1708,6$, deci în ziua a șaptea conduce cel exponențial. Schimbarea are loc între zilele șase și șapte, deși modelul exponențial a pornit de nouă ori mai jos.

7. Graficul trece prin $(0;72)$, $(15;36)$ și $(30;18)$, deci timpul de înjumătățire este de $15$ ani, iar modelul este $m(t)=72\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/15}$. Pe figură, la $25$ de ani curba este puțin peste $20$ g. Calculatorul dă $m(25)=72\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{5/3}\approx 22,68$ g.

8. Durata de $7,6$ zile înseamnă două înjumătățiri, deci concentrația devine $400\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=100$ Bq/m³. Într-o încăpere reală radonul pătrunde continuu din sol, iar ventilația îl elimină, așa că modelul se aplică doar recipientului închis.

9. După $25$ de minute A are $240$, iar B are $960$ de celule; după $50$ de minute A are $120\cdot 2^2=480$, iar B are $480\cdot 2^2=1920$. Raportul dintre ele rămâne $4$ la orice moment, pentru că ambele valori se înmulțesc cu același factor. Culturile nu vor avea niciodată același număr de celule: diferența dintre ele crește, dar raportul nu se schimbă.

10. Raportul este $\frac{200}{50}=4=2^2$, deci în cele șase ore dintre cele două puncte au avut loc două dublări, iar timpul de dublare este de $3$ ore. Mergând înapoi trei ore de la $(3;50)$, valoarea se înjumătățește: la $t=0$ mărimea era $25$. Modelul este $N(t)=25\cdot 2^{t/3}$.

11. Factorul pe două zile este $\frac{45}{30}=1,5$. Valoarea lipsă este $45\cdot 1,5=67,5$ mg, iar controlul $67,5\cdot 1,5=101,25$ confirmă alegerea. Măsurătorile formează o progresie geometrică cu rația $1,5$, iar modelul este $m(t)=30\cdot 1,5^{t/2}$ mg, cu $t$ în zile.

12. După $30$ de ani activitatea este $40$ kBq pe metru pătrat, încă peste prag, iar după $60$ de ani este $80\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=20$ kBq, sub prag. Pragul de $24$ kBq este trecut între $30$ și $60$ de ani de la accident, adică între anii $2016$ și $2046$, dacă activitatea scade numai prin dezintegrare. O aplicație de grafice dă aproximativ $52$ de ani, adică anul $2038$.

13. Mergând înapoi, fiecare două zile înjumătățesc suprafața: în ziua $28$ era acoperită jumătate, iar în ziua $26$ un sfert. Ziua $22$ este cu opt zile, adică patru perioade, înainte de acoperirea completă, deci fracțiunea era ${\left(\frac{1}{2}\right)}^4=\frac{1}{16}$. După ziua $30$ modelul nu mai are sens: suprafața acoperită nu poate depăși suprafața iazului.

14. După o oră rămâne fracțiunea ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{1/15}\approx 0,955$, deci se pierde aproximativ $4,5$ la sută din activitate. În $30$ de ore au loc două înjumătățiri și rămâne un sfert, deci se pierd $75$ la sută. A doua jumătate a intervalului aduce o pierdere mai mică decât prima, pentru că se aplică unei cantități mai mici.

15. În zece ore au loc două dublări, deci masa inițială este $\frac{1800}{2^2}=450$ mg. Verificare: $450\cdot 2^2=1800$.

16. După $8$ ore, adică două înjumătățiri, activitatea este $320\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=80$ MBq. Activitatea scade în timp, iar $7<8$, deci după $7$ ore ea este mai mare decât valoarea de la $8$ ore: $A(7)>80$ MBq. Calculatorul dă $A(7)\approx 95,1$ MBq.

17. Condiția este $2^{t/3}=\frac{2000}{125}=16=2^4$, deci exponentul $\frac{t}{3}$ este $4$ și $t=12$ ore: au avut loc patru dublări de câte trei ore.

18. La $240$ de minute A are $100\cdot 2^6=6400$ de celule, iar B are $500\cdot 2^4=8000$. La $300$ de minute A are $100\cdot 2^{7,5}\approx 18102$ de celule, iar B are $500\cdot 2^5=16000$. Cum A își dublează numărul mai des, după ce trece în frunte nu mai pierde conducerea, deci momentul egalității este unic și se află între $240$ și $300$ de minute; o aplicație de grafice îl dă la aproximativ $279$ de minute.

De reținut

• O mărime crește exponențial când se înmulțește cu același factor supraunitar în timpi egali; scade exponențial când factorul este subunitar.
• Modelul cu timpul de dublare $T$ este $N(t)=N_0\cdot 2^{t/T}$; exponentul $\frac{t}{T}$ numără dublările, iar $t$ și $T$ au aceeași unitate.
• Timpul de dublare și timpul de înjumătățire sunt aceiași din orice punct al curbei și se citesc pe axa timpului.
• Creșterea exponențială ajunge și depășește definitiv orice creștere liniară, deși la început poate fi în urmă.
• Un model exponențial are sens numai pe intervalul pe care a fost verificat; în model, o scădere exponențială nu ajunge niciodată la zero.

Greșeli frecvente

• Crezi că o valoare mare se dublează mai greu. În modelul exponențial timpul de dublare este același de la $100$ la $200$ și de la $1000$ la $2000$. Măsoară pe grafic două dublări din puncte diferite și compară duratele.
• Ridici la putere și valoarea inițială. În $N(t)=5\cdot 2^{t/20}$, la $t=60$ valoarea este $5\cdot 2^3=40$, nu $(5\cdot 2{)}^3=1000$. Puterea se aplică numai factorului, iar valoarea inițială doar înmulțește rezultatul.
• Crezi că o jumătate de perioadă aduce jumătate din creștere. După jumătate din timpul de dublare, mărimea nu se înmulțește cu $1,5$, ci cu $2^{0,5}\approx 1,41$. Calculează factorul cu exponentul neîntreg, nu printr-o medie.
• Citești timpul de dublare pe axa verticală. Timpul se măsoară pe orizontală, între momentele în care curba atinge un nivel și dublul lui. Diferența dintre cele două niveluri nu are unitate de timp.
• Scrii o scădere cu baza doi. Modelul $800\cdot 2^{t/6}$ dă $1600$ după șase ore, adică o creștere. La înjumătățire factorul pe perioadă este $\frac{1}{2}$, deci modelul corect este $800\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/6}$.

Aplică acasă

1. Aruncă $60$ de zaruri (sau de mai multe ori câteva zaruri, notând rezultatele) și scoate-le pe cele care arată șase. Aruncă din nou zarurile rămase și repetă de zece ori, notând de fiecare dată câte au rămas. Desenează punctele obținute și comparează-le cu modelul $60\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^n$, care descrie o scădere exponențială, ca dezintegrarea atomilor.
2. Caută în manualul de fizică sau pe site-ul unei instituții medicale timpii de înjumătățire ai trei izotopi folosiți în medicină. Pentru fiecare, calculează ce fracțiune din activitate rămâne după o zi și după o săptămână, apoi ordonează izotopii după cât de repede își pierd activitatea.
3. Într-o aplicație de grafice, desenează $100\cdot 2^{t/T}$ cu un glisor pentru timpul de dublare $T$. Găsește valoarea lui $T$ pentru care graficul trece prin punctul $(10;400)$ și explică de ce mutarea glisorului spre valori mai mici face curba mai abruptă.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă funcția exponențială într-un instrument de modelare: elevul scrie un model cu valoare inițială, factor și unitate de timp, citește pe grafic timpul de dublare sau de înjumătățire și compară pe același desen o creștere liniară cu una exponențială. Întrebările de tipul „după cât timp se atinge exact o valoare dată” se rezolvă aici prin citire pe grafic și prin încadrare între momente întregi; răspunsul exact cere logaritmii, studiați în lecțiile care urmează. O întrebare bună de control este „cât durează a doua dublare, dacă prima a durat trei ore?”; răspunsul „tot trei ore” arată că elevul a înțeles ce înseamnă un factor constant.

Recomandăm experimentul cu zaruri, care produce în câteva minute o scădere exponențială reală, cu abaterile ei aleatoare, și discuția despre intervalul de valabilitate al fiecărui model. Contextele din biologie și din fizica nucleară arată aceeași matematică în fenomene foarte diferite.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027: unitatea de funcții cere evidențierea grafică a creșterii exponențiale, iar competența IX.CS.6.6 cere interpretarea graficului unei funcții exponențiale ca model de creștere a populației sau a investițiilor și analiza diferenței dintre creșterea liniară și cea exponențială. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2, cu programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Algebră”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și susțin Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care conține la clasa a X-a funcția exponențială și elementele de calcul financiar, cu procente și dobânzi. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o problemă de creștere exponențială; exercițiile marcate aici sunt antrenamente proprii.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: creșterea exponențială. Pentru procentele repetate calculate pas cu pas, vezi creșterea și descreșterea procentuală repetată la M2. Continuarea firească este numărul e și funcția exponențială naturală la M2, iar recapitularea unității se face cu testul M2 de funcții și lecturi grafice.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre creșterea exponențială?

Varianta M2 citește modelele pe grafice: timpul de dublare, timpul de înjumătățire, intersecția cu o creștere liniară și intervalul de valabilitate. Folosește contexte din biologie și din fizica nucleară, cu unități. Nu folosește reguli empirice de aproximare a timpului de dublare și nu reia calculul pas cu pas al dobânzilor, care aparține lecției de progresii.

La ce subiect al bacalaureatului M2 poate apărea creșterea exponențială?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 conține funcția exponențială și calculul financiar cu procente și dobânzi, la clasa a X-a. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o problemă de creștere exponențială. Pentru MAT_P2 din 2030, programa numește explicit creșterea exponențială la funcțiile din domeniul „Algebră”.

Cum aflu timpul de dublare dacă am doar graficul?

Alege un punct al curbei aflat pe un nod al caroiajului, citește-i valoarea, apoi caută momentul în care curba ajunge la valoarea dublă. Diferența dintre cele două momente, citită pe axa timpului, este timpul de dublare. Repetă citirea din alt punct: dacă obții aceeași durată, modelul exponențial se potrivește datelor.

De ce, în model, o substanță radioactivă nu dispare niciodată complet?

Pentru că după fiecare timp de înjumătățire rămâne jumătate din cantitatea precedentă, iar jumătatea unui număr pozitiv este tot pozitivă. Graficul se apropie de axa timpului fără să o atingă. În realitate, când în probă au mai rămas puțini atomi, dezintegrarea devine un fenomen aleator, iar modelul continuu nu mai descrie bine ce se întâmplă.

Cum se leagă acest model de dobânda compusă?

Dobânda compusă anuală înmulțește soldul cu același factor la fiecare capitalizare, deci soldurile de la sfârșitul anilor sunt valorile unei funcții exponențiale în numere întregi. Diferența este că soldul se schimbă în salturi, doar la capitalizare, pe când o cultură de bacterii crește continuu. Calculul an cu an se face în lecția despre dobânda compusă.

Pot afla exact după cât timp un model atinge o valoare dată?

Deocamdată poți citi momentul pe grafic și îl poți încadra între două momente întregi, calculând valorile modelului. Când valoarea este o putere a factorului, răspunsul iese exact, ca la trei dublări sau două înjumătățiri. Pentru o valoare oarecare, răspunsul exact cere logaritmii, pe care îi vei studia în lecțiile următoare ale unității.