Pe $$D=\{-8,-2,3\}$$, cum este afirmația „fiecare $$x$$ este mai mic decât $$4$$”?

Adevărată: toate cele trei valori respectă comparația.

Falsă, fiindcă domeniul conține numere negative.

Falsă, fiindcă domeniul conține un număr pozitiv.

Nu poate fi evaluată pe un domeniu finit.

Care verdict este corect pentru $$\exists x\in\{2,5,11\},\ x^2>100$$?

Adevărată, cu martorul $$11$$.

Falsă, fiindcă $$2$$ și $$5$$ nu verifică inegalitatea.

Adevărată, cu martorul $$5$$.

Nu se poate decide pe o listă finită.

Contează ordinea cuantificatorilor ∀ și ∃ într-un enunț?

Da. „∀ x∈ ℝ, ∃ y∈ ℝ, y>x” este adevărată: pentru fiecare x merge y=x+1. „∃ y∈ ℝ, ∀ x∈ ℝ, y>x” este falsă: niciun număr nu depășește toate numerele reale, nici măcar pe el însuși.

Ce este un martor pentru un enunț cu «există»?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Toate cazurile sau un martor

Un martor este un element din domeniul dat care îndeplinește proprietatea; unul singur ajunge ca să dovedească un enunț existențial. Pentru „ $\exists x \in {3, 8, 15}$ , $x$ se divide cu $5$ ”, martorul este $15$ , iar eșecurile lui $3$ și $8$ nu contează. Un enunț universal, în schimb, cere verificarea tuturor elementelor. Martorul trebuie ales din domeniu: o valoare din afara lui nu dovedește nimic.

Cuvintele „fiecare” și „cel puțin unul” cer dovezi de întinderi diferite. Înaintea calculelor, identifică proprietatea discutată și colecția la care se referă afirmația. Simbolurile $\forall$ și $\exists$ fac vizibilă această diferență.

Pentru o afirmație universală, confirmarea trebuie să acopere toate posibilitățile admise. Poți controla fiecare element al unui domeniu finit complet sau poți da un motiv valabil pentru un obiect oarecare. Un caz nefavorabil, admis și verificat, este suficient pentru respingerea universalității.

O afirmație existențială este confirmată de un martor favorabil. Nu trebuie să fie singurul posibil. În schimb, ca să respingi existența, ai de eliminat toate posibilitățile; încercările nereușite pentru câteva valori nu rezolvă automat sarcina.

Distinge lista completă de un eșantion. Din date parțiale poți uneori confirma existența sau găsi o excepție, dar nu poți inventa rezultatele pentru obiectele neexaminate.

Dacă proprietatea are mai multe condiții simultane, martorul trebuie să le îndeplinească împreună. Două existențe justificate de obiecte diferite nu garantează un obiect comun. La final, formulează exact rezultatul obținut: existență, inexistență, universalitate sau respingerea ei.

De reținut

existența se dovedește cu un singur martor din domeniu
universalul cere verificarea tuturor elementelor; un contraexemplu îl respinge
ordinea lui $\forall$ și $\exists$ schimbă sensul enunțului

Greșeala tipică

Se prezintă ca martor o valoare din afara domeniului, de exemplu $- 2$ pentru un enunț despre numere naturale; martorul trebuie să aparțină mulțimii date.

Exerciții din această mini-lecție

Pe $D = {- 8, - 2, 3}$ , cum este afirmația „fiecare $x$ este mai mic decât $4$ ”?
- a) Falsă, fiindcă domeniul conține numere negative.
- b) Falsă, fiindcă domeniul conține un număr pozitiv.
- c) Adevărată: toate cele trei valori respectă comparația.
- d) Nu poate fi evaluată pe un domeniu finit.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Adevărată: toate cele trei valori respectă comparația.

Avem $- 8 < 4$ , $- 2 < 4$ și $3 < 4$ . Lista reprezintă întregul domeniu, deci verificarea este completă.
Care verdict este corect pentru $\exists x \in {2, 5, 11}, x^{2} > 100$ ?
- a) Falsă, fiindcă $2$ și $5$ nu verifică inegalitatea.
- b) Adevărată, cu martorul $11$ .
- c) Adevărată, cu martorul $5$ .
- d) Nu se poate decide pe o listă finită.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Adevărată, cu martorul $11$ .

Avem $1 1^{2} = 121 > 100$ , iar $11$ aparține listei. Eșecurile lui $2$ și $5$ , cu pătratele $4$ și $25$ , nu contează: existența cere un singur martor.
Care valoare respinge $\forall x \in R, x^{2} \geq 16$ ?
- a) $5$
- b) $- 6$
- c) $0$
- d) $4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $0$

La zero, pătratul este $0 < 16$ . Celelalte valori au pătratele $25$ , $36$ și $16$ , care respectă relația.

Întrebări conexe

Cum arăt că afirmația „orice număr prim este impar” este falsă?

Găsești un contraexemplu, adică un număr prim care nu este impar. Numărul $2$ este prim, pentru că are doar divizorii $1$ și $2$ , și este par. Acest singur caz ajunge ca să respingi afirmația universală.

Contează ordinea cuantificatorilor $\forall$ și $\exists$ într-un enunț?

Da. „ $\forall x \in R$ , $\exists y \in R$ , $y > x$ ” este adevărată: pentru fiecare $x$ merge $y = x + 1$ . „ $\exists y \in R$ , $\forall x \in R$ , $y > x$ ” este falsă: niciun număr nu depășește toate numerele reale, nici măcar pe el însuși.

Ce înseamnă simbolul $\exists!$ ?

Se citește „există exact un” și cere două lucruri: existența unui element cu proprietatea dată și lipsa altuia. De exemplu, „ $\exists! x \in R$ , $2 x = 6$ ” este adevărată, pentru că doar $x = 3$ verifică. „ $\exists! x \in R$ , $x^{2} = 4$ ” este falsă: sunt două valori.

Este adevărat enunțul „ $\forall x \in {1, 2, 3}$ , $x^{2} < 10$ ”?

Verifici fiecare element: $1$ , $4$ și $9$ sunt toate mai mici decât $10$ , deci enunțul este adevărat. Dacă domeniul ar conține și $4$ , cu pătratul $16$ , enunțul ar deveni fals. Pe un domeniu finit, universalul se verifică element cu element.

Ce legătură are cuantificatorul universal cu conjuncția?

Pe un domeniu finit ${a, b, c}$ , enunțul „ $\forall x$ , $P (x)$ ” spune același lucru ca $P (a) \land P (b) \land P (c)$ . Enunțul „ $\exists x$ , $P (x)$ ” corespunde disjuncției $P (a) \lor P (b) \lor P (c)$ . De aceea universalul cade la un singur caz fals.

Oamenii mai întreabă și: martor pentru existență · cum demonstrez un enunț cu există · exemplu care confirmă existența · ce înseamnă martor în logică