Ce trei numere hotărăsc poziția relativă a două cercuri?

razele $$R_1$$, $$R_2$$ și distanța $$d$$ dintre centre

coordonatele celor două centre

ariile celor două discuri și distanța $$d$$

coeficienții $$m$$, $$n$$ și $$p$$ ai ecuațiilor generale

Două cercuri au $$R_1=5$$, $$R_2=3$$ și distanța dintre centre $$d=4$$. Ce poziție au?

unul interior celuilalt, fără puncte comune

Când sunt două cercuri secante?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a IX-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Poziția a două cercuri

Două cercuri sunt secante, adică au exact două puncte comune, când distanța $d$ dintre centre este strict între diferența și suma razelor: $∣ R_{1} - R_{2} ∣ < d < R_{1} + R_{2}$ . Exemplu: cercul cu centrul în origine și raza $5$ și cercul cu centrul $(6, 8)$ și raza $7$ . Centrele sunt la distanța $36 + 64 = 10$ , iar $2 < 10 < 12$ , deci cercurile se taie în două puncte. Dacă $d$ atinge unul dintre praguri, cercurile devin tangente.

Poziția a două cercuri iese din trei numere: razele $R_{1}$ și $R_{2}$ , plus distanța $d$ dintre centre. Unde stau ele în reper nu schimbă nimic.

Pragurile sunt suma și diferența razelor. Dincolo de $R_{1} + R_{2}$ cercurile rămân despărțite. Egalitatea $d = R_{1} + R_{2}$ dă tangența exterioară. Valorile dintre $∣ R_{1} - R_{2} ∣$ și $R_{1} + R_{2}$ dau două puncte comune. Egalitatea $d = ∣ R_{1} - R_{2} ∣$ dă tangența interioară, iar sub ea unul dintre cercuri este cuprins în celălalt. Modulul nu e o formalitate: pragul se ia pozitiv, oricare rază ar fi mai mare.

„Fără puncte comune” acoperă două situații, nu una: exterioare și interioare. Enunțul care întreabă de poziția relativă cere deosebirea lor, așa că îl compari pe $d$ și cu suma, și cu diferența; o comparație purtată cu o singură rază nu hotărăște nimic.

Cel mai comod compari pătratele, ceea ce scoate radicalii din calcul.

Punctele comune se caută scăzând ecuațiile generale, aduse mai întâi la același coeficient pentru $x^{2}$ și $y^{2}$ : termenii de gradul al doilea se sting și rămâne ecuația unei drepte — un pas intermediar, nu răspunsul. Două cercuri concentrice cu raze diferite nu au niciun punct comun.

De reținut

secante: $∣ R_{1} - R_{2} ∣ < d < R_{1} + R_{2}$
tangente exterior: $d = R_{1} + R_{2}$ ; tangente interior: $d = ∣ R_{1} - R_{2} ∣$
se compară pătratele, ca să nu apară radicali

Greșeala tipică

Se decide poziția comparând $d$ cu o singură rază, de exemplu „ $d = 4 < 5$ , deci interioare”; comparația corectă folosește atât suma, cât și diferența razelor.

Exerciții din această mini-lecție

Ce trei numere hotărăsc poziția relativă a două cercuri?
- a) razele $R_{1}$ , $R_{2}$ și distanța $d$ dintre centre
- b) coordonatele celor două centre
- c) ariile celor două discuri și distanța $d$
- d) coeficienții $m$ , $n$ și $p$ ai ecuațiilor generale
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) razele $R_{1}$ , $R_{2}$ și distanța $d$ dintre centre

Poziția nu depinde de locul cercurilor în reper, ci doar de cele două raze și de distanța dintre centre — de aceea criteriile se scriu cu $R_{1} + R_{2}$ și $∣ R_{1} - R_{2} ∣$ .
Două cercuri au $R_{1} = 5$ , $R_{2} = 3$ și distanța dintre centre $d = 4$ . Ce poziție au?
- a) exterioare
- b) tangente exterior
- c) secante
- d) unul interior celuilalt, fără puncte comune
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) secante

Pragurile sunt $∣ 5 - 3 ∣ = 2$ și $5 + 3 = 8$ . Cum $2 < 4 < 8$ , cercurile se taie în două puncte. Cine compară doar cu $R_{1} = 5$ și vede $4 < 5$ răspunde greșit „interioare”.
Câte puncte comune au două cercuri concentrice cu raze diferite?
- a) două
- b) unul singur
- c) niciunul
- d) o infinitate
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) niciunul

La cercuri concentrice $d = 0$ , iar $0 < ∣ R_{1} - R_{2} ∣$ , deci unul este cuprins în celălalt fără să-l atingă. Scăzând ecuațiile lor rămâne o egalitate numerică falsă, care spune același lucru.

Întrebări conexe

Cum aflu punctul de tangență al cercurilor $x^{2} + y^{2} = 25$ și $x^{2} + y^{2} - 14 x + 45 = 0$ ?

Scazi a doua ecuație din prima: $14 x - 45 = 25$ , deci $x = 5$ . Înlocuind în prima, $y^{2} = 0$ , deci singurul punct comun este $(5, 0)$ . Verificare: al doilea cerc are centrul $(7, 0)$ și raza $2$ , iar $d = 7 = 5 + 2$ , deci tangență exterioară.

Cum evit radicalii când compar distanța centrelor cu razele?

Compari pătratele. Pentru centrele $(0, 0)$ și $(3, 1)$ și razele $2$ și $2$ : $d^{2} = 10$ , $(R_{1} + R_{2})^{2} = 16$ , $(R_{1} - R_{2})^{2} = 0$ . Cum $0 < 10 < 16$ , cercurile sunt secante, fără să calculezi $10$ . Toate numerele comparate sunt pozitive, deci ordinea se păstrează.

Se suprapun zonele a două antene aflate la $12$ km una de alta?

Dacă razele de acțiune sunt $5$ km și $6$ km, suma lor este $11 < 12$ , deci cercurile sunt exterioare și zonele nu se suprapun. Pe segmentul dintre antene rămâne o porțiune de $1$ km fără semnal de la niciuna. Cu raze de $6$ km și $6$ km, zonele s-ar atinge într-un punct.

Pentru ce rază sunt tangente cercul cu centrul în origine și raza $3$ și un cerc cu centrul $(8, 6)$ ?

Distanța dintre centre este $64 + 36 = 10$ . Pentru o atingere din exterior trebuie $3 + R = 10$ , deci $R = 7$ . Pentru o atingere din interior trebuie $∣ R - 3∣ = 10$ , deci $R = 13$ , caz în care cercul mic este în interiorul celui mare și îl atinge într-un punct.

Cum arăt că un cerc este în interiorul altui cerc fără puncte comune?

Verifici că distanța centrelor este mai mică decât diferența razelor. Pentru centrele $(0, 0)$ și $(2, 1)$ , cu razele $10$ și $3$ : $d^{2} = 5$ , iar $(10 - 3)^{2} = 49$ . Cum $5 < 49$ , cercul mic este cuprins strict în cel mare, fără puncte comune.

Oamenii mai întreabă și: cercuri secante · când se intersectează două cercuri · condiția ca două cercuri să fie secante · două cercuri cu două puncte comune