Două cercuri: poziții relative și puncte comune (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a IX-a → ·

Două aspersoare dintr-o seră udă fiecare câte un disc de pământ: unde se suprapun zonele udate? Două lămpi lasă pe podeaua unui coridor câte o pată rotundă de lumină: de la ce distanță între ele se ating petele? Două aparate de măsură stabilesc, fiecare, la ce distanță de el s-a produs un zgomot: în câte locuri poate fi sursa? De fiecare dată avem două cercuri și o singură întrebare — cum stau unul față de altul. Lecția aceasta, din programa de clasa a IX-a de la profilul științe ale naturii (M2), arată că răspunsul se obține dintr-o singură comparație de numere, fără niciun desen. La bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029 tema nu apare, pentru că programa acelui examen nu conține cercul în geometria analitică; la proba MAT_P2 din 2030 ea intră în domeniul Geometrie. Trigonometrie, la capitolul „Geometrie analitică" al clasei a IX-a.

Ai nevoie de două lucruri pe care le stăpânești deja: să citești centrul și raza dintr-o ecuație, adică ecuația cercului, și să calculezi distanța dintre două puncte în plan. În gimnaziu ai văzut cele cinci așezări posibile pe desen, la pozițiile dreptei și ale două cercuri, la clasa a 6-a; acum le dăm un criteriu numeric.

Ce vei învăța

Vei ști că poziția a două cercuri se citește comparând distanța dintre centre cu suma și cu diferența razelor.
Vei ști să recunoști toate cele cinci așezări: exterioare, tangente exterior, secante, tangente interior, interioare.
Vei ști să lucrezi cu pătratele distanțelor, ca să nu apară radicali în comparație.
Vei ști să afli punctele comune a două cercuri, scăzând ecuațiile lor scrise sub formă generală.
Vei ști ce înseamnă cercuri concentrice și de ce ele nu au niciodată puncte comune.
Vei ști să interpretezi rezultatul în situații din științe: zone de acoperire, unde care se propagă, localizarea unei surse.

Hai să descoperim împreună

1. De ce ajunge distanța dintre centre?

Poziția relativă a două cercuri este determinată în întregime de trei numere: raza primului cerc, raza celui de-al doilea și distanța dintre centrele lor. Nu contează unde sunt așezate cercurile în reper, nici cum e orientat desenul — doar cele trei lungimi.

Se vede ușor de ce. Imaginează-ți că ții primul cerc pe loc și îl apropii încet pe al doilea, fără să-i schimbi raza. La început, când centrele sunt foarte depărtate, cercurile nu se ating deloc. Apropiindu-le, la un moment dat ele se ating într-un punct, apoi se suprapun parțial și se taie în două puncte, apoi al doilea intră cu totul în primul, atingându-l o ultimă dată, și în sfârșit rămâne închis înăuntru, fără niciun punct comun. Toată povestea este comandată de un singur număr care scade: distanța dintre centre. Mai rămâne să vedem exact unde sunt pragurile.

2. Care sunt cele cinci așezări și cum se recunosc?

Notăm cu $R_{1}$ și $R_{2}$ razele, iar cu $d$ distanța dintre centre. Pragurile sunt suma și diferența razelor, în modul.

poziția	criteriul	puncte comune
exterioare	$d > R_{1} + R_{2}$	niciunul
tangente exterior	$d = R_{1} + R_{2}$	unul
secante	$∣ R_{1} - R_{2} ∣ < d < R_{1} + R_{2}$	două
tangente interior	$d = ∣ R_{1} - R_{2} ∣$ , cu $R_{1} \neq = R_{2}$	unul
interioare	$d < ∣ R_{1} - R_{2} ∣$	niciunul

Ipoteza $R_{1} \neq = R_{2}$ de pe rândul tangenței interioare nu e o formalitate: la raze egale pragul mic se face $0$ , iar $d = 0$ nu mai înseamnă tangență interioară, ci două cercuri care coincid — adică o infinitate de puncte comune. Tabelul descrie, prin urmare, două cercuri distincte.

Atenție și la capcana de citire: „niciun punct comun" apare de două ori, în situații complet diferite — cercuri despărțite și cerc înghesuit în cerc. Numărul punctelor comune nu determină, așadar, poziția; distanța dintre centre o determină.

Ca să fie limpede, luăm un cerc fix, $C : (x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$ , cu centrul $A (- 3, 2)$ și raza $5$ , și îi punem alături, pe rând, câte un al doilea cerc.

$(x - 9)^{2} + (y - 7)^{2} = 4$ , cu centrul $(9, 7)$ și raza $2$ : $d^{2} = 144 + 25 = 169$ , deci $d = 13$ , iar $R_{1} + R_{2} = 7$ . Cum $13 > 7$ , cercurile sunt exterioare.
$(x + 3)^{2} + (y - 11)^{2} = 16$ , cu centrul $(- 3, 11)$ și raza $4$ : $d = 9 = 5 + 4$ , deci tangente exterior, în punctul $(- 3, 7)$ .
$(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9$ , cu centrul $(1, 2)$ și raza $3$ : $d = 4$ , iar $∣ 5 - 3 ∣ = 2 < 4 < 8$ , deci secante.
$(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9$ , cu centrul $(- 1, 2)$ și raza $3$ : $d = 2 = ∣ 5 - 3 ∣$ , deci tangente interior, în punctul $(2, 2)$ .
$(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 1$ , cu centrul $(- 2, 3)$ și raza $1$ : $d^{2} = 1 + 1 = 2$ , deci $d = 2 \approx 1, 41$ , mai mic decât $∣ 5 - 1 ∣ = 4$ : cercurile sunt interioare, al doilea fiind cuprins în primul.

3. De ce e mai bine să compari pătratele?

Pentru că distanța dintre centre iese, de cele mai multe ori, un radical. Dacă $A (x_{1}, y_{1})$ și $B (x_{2}, y_{2})$ sunt centrele, atunci

$d^{2} = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2},$

iar $d$ însuși are formă frumoasă doar din când în când. Cum toate numerele care intră în comparație sunt pozitive, iar ridicarea la pătrat păstrează ordinea numerelor pozitive, criteriile se pot rescrie fără niciun radical: compari $d^{2}$ cu $(R_{1} + R_{2})^{2}$ și cu $(R_{1} - R_{2})^{2}$ . Observă că, la pătrat, modulul dispare de la sine, fiindcă $∣ R_{1} - R_{2} ∣^{2} = (R_{1} - R_{2})^{2}$ .

De pildă, pentru două cercuri cu razele $7$ și $3$ , ale căror centre sunt $A (3, - 4)$ și $B (- 1, 2)$ , avem $d^{2} = 16 + 36 = 52$ , iar $(R_{1} + R_{2})^{2} = 100$ și $(R_{1} - R_{2})^{2} = 16$ . Din $16 < 52 < 100$ rezultă imediat că cercurile sunt secante — și n-a trebuit să calculăm $52$ .

4. Cum afli punctele comune?

Aici intervine un truc care merită ținut minte, pentru că scurtează mult calculul. Scrii amândouă cercurile sub formă generală, cu coeficientul $1$ la $x^{2}$ și la $y^{2}$ , și le scazi. Termenii de gradul al doilea, fiind identici, dispar, iar ce rămâne este o ecuație de gradul întâi: ecuația unei drepte.

Să luăm cercurile

$C_{1} : x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y - 12 = 0, C_{2} : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 4 = 0.$

Primul are centrul $(- 3, 2)$ și raza $5$ , al doilea are centrul $(1, 2)$ și raza $3$ ; cum $d = 4$ și $2 < 4 < 8$ , ele sunt secante, deci punctele comune există. Scăzând a doua ecuație din prima:

$8 x - 8 = 0 ⟺ x = 1.$

Orice punct comun celor două cercuri se află, așadar, pe dreapta $x = 1$ . Punem această valoare în $C_{2}$ : $(1 - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9$ , deci $y - 2 = \pm 3$ și $y \in {5, - 1}$ . Punctele comune sunt $(1, 5)$ și $(1, - 1)$ . Control în $C_{1}$ : $(1 + 3)^{2} + (5 - 2)^{2} = 16 + 9 = 25$ , iar $(1 + 3)^{2} + (- 1 - 2)^{2} = 16 + 9 = 25$ .

Reține logica: scăderea nu rezolvă problema, ci o transformă într-una cunoscută. Din clipa în care ai dreapta, ai în față o dreaptă și un cerc, adică exact situația din lecția despre poziția dreptei față de cerc, pe care o rezolvi prin substituție. Alegi cercul care ți se pare mai comod — rezultatul e același, iar înlocuirea în celălalt devine verificare.

5. Ce se întâmplă când cercurile sunt concentrice?

Cercuri concentrice înseamnă cercuri cu același centru, deci $d = 0$ . Dacă razele sunt diferite, $∣ R_{1} - R_{2} ∣ > 0$ , iar condiția $d < ∣ R_{1} - R_{2} ∣$ este îndeplinită: cercurile sunt interioare, fără niciun punct comun. Se vede și direct, fără criteriu: un punct aflat la distanța $R_{1}$ de centru nu poate fi în același timp și la distanța $R_{2}$ , când cele două numere diferă.

Aceeași concluzie iese și din scădere. Pentru $(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$ și $(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 4$ , formele generale sunt $x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y - 12 = 0$ și $x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y + 9 = 0$ , iar scăderea lor lasă în urmă constanta $- 21$ , care ar trebui să fie nulă — și nu este. Sistemul nu are, prin urmare, nicio soluție. Când scăderea îți lasă doar un număr nenul, răspunsul este „niciun punct comun", și încă înainte de a fi calculat ceva.

6. Ce înseamnă rezultatul într-o situație reală?

În științe, fiecare dintre cele cinci cazuri are o traducere. Dacă cele două cercuri sunt marginile a două zone de acoperire, „secante" înseamnă că există o regiune acoperită de amândouă, iar cele două puncte comune sunt colțurile acelei regiuni. „Tangente exterior" este clipa exactă în care două fronturi de undă pornite din surse diferite se întâlnesc pentru prima oară. „Exterioare" înseamnă că mai e loc între ele, iar diferența $d - R_{1} - R_{2}$ măsoară chiar acel loc.

Cazul cel mai interesant e al localizării. Dacă o stație măsoară distanța până la sursa unui semnal, sursa se află pe un cerc; cu două stații obții, în cazul secant, două locuri posibile, nu unul singur. De aceea orice sistem serios de localizare folosește cel puțin trei stații: al treilea cerc alege dintre cele două puncte. Matematica nu ascunde ambiguitatea, ci o arată — și îți spune exact de câte măsurători mai ai nevoie.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cercuri date prin forma canonică

Stabiliți poziția relativă a cercurilor $C_{1} : (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 9$ și $C_{2} : (x - 10)^{2} + (y - 7)^{2} = 4$ și, dacă nu au puncte comune, calculați distanța dintre ele.

Rezolvare. Centrele sunt $A (2, 1)$ și $B (10, 7)$ , iar razele $R_{1} = 3$ și $R_{2} = 2$ . Calculăm $d^{2} = (10 - 2)^{2} + (7 - 1)^{2} = 64 + 36 = 100$ , deci $d = 10$ . Cum $R_{1} + R_{2} = 5$ și $10 > 5$ , cercurile sunt exterioare. Distanța dintre ele, măsurată pe dreapta centrelor, este $d - R_{1} - R_{2} = 10 - 5 = 5$ .

Exemplul 2 — Cercuri date prin forma generală

Stabiliți poziția relativă a cercurilor $x^{2} + y^{2} - 10 x + 4 y + 4 = 0$ și $x^{2} + y^{2} - 2 y - 8 = 0$ .

Rezolvare. Pentru primul, $m = - 10$ , $n = 4$ , $p = 4$ , deci centrul este $A (5, - 2)$ și $R_{1}^{2} = \frac{100 + 16 - 16}{4} = 25$ , adică $R_{1} = 5$ . Al doilea nu are termen în $x$ , deci centrul lui stă pe axa $O y$ : $B (0, 1)$ , cu $R_{2}^{2} = \frac{0 + 4 + 32}{4} = 9$ , adică $R_{2} = 3$ .

Distanța: $d^{2} = (0 - 5)^{2} + (1 + 2)^{2} = 25 + 9 = 34$ . Comparăm pătratele: $(R_{1} - R_{2})^{2} = 4$ și $(R_{1} + R_{2})^{2} = 64$ . Din $4 < 34 < 64$ rezultă că cercurile sunt secante, deci au două puncte comune. Aici se vede folosul comparării pătratelor: $d = 34$ este irațional, iar cu zecimale rotunjite verdictul ar fi depins de câte zecimale păstrezi.

Exemplul 3 — Punctele comune, prin scăderea ecuațiilor

Determinați punctele comune ale cercurilor $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y = 0$ și $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 14 y + 24 = 0$ .

Rezolvare. Scădem a doua ecuație din prima: $- 6 x + 12 y - 24 = 0$ , adică $x - 2 y + 4 = 0$ , deci $x = 2 y - 4$ . Înlocuim în $C_{2}$ :

$(2 y - 4)^{2} + y^{2} - 14 y + 24 = 0 ⟺ 5 y^{2} - 30 y + 40 = 0 ⟺ y^{2} - 6 y + 8 = 0.$

Discriminantul este $36 - 32 = 4 > 0$ , cu soluțiile $y = 2$ și $y = 4$ , cărora le corespund $x = 0$ și $x = 4$ . Punctele comune sunt $P (0, 2)$ și $Q (4, 4)$ . Control în $C_{1}$ : $0 + 4 - 0 - 4 = 0$ și $16 + 16 - 24 - 8 = 0$ . Faptul că am găsit două puncte confirmă, fără alt calcul, că cercurile sunt secante.

Exemplul 4 — Raza cerută de o condiție de tangență

Se consideră cercurile $C_{1} : (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9$ și $C_{2} : (x - 9)^{2} + (y - 8)^{2} = R^{2}$ , unde $R > 0$ . Determinați valorile lui $R$ pentru care cele două cercuri sunt tangente.

Rezolvare. Centrele sunt $(1, 2)$ și $(9, 8)$ , iar $d^{2} = 64 + 36 = 100$ , deci $d = 10$ . Prima rază este $3$ .

Tangența exterioară cere $d = 3 + R$ , deci $R = 7$ . Tangența interioară cere $d = ∣ R - 3 ∣$ , adică $R - 3 = 10$ sau $3 - R = 10$ ; a doua variantă ar da $R = - 7$ , imposibil pentru o rază, așa că rămâne $R = 13$ . Răspuns: $R = 7$ sau $R = 13$ . În primul caz cercul al doilea atinge primul din afară, în al doilea caz îl cuprinde și îl atinge pe dinăuntru.

Exemplul 5 — Două pete care se lățesc

Într-o seră, două aspersoare montate în punctele $A (0, 0)$ și $B (12, 5)$ udă fiecare câte un disc, cu raza reglabilă (coordonatele sunt în metri). La reglajul de dimineață razele sunt de $5$ m și de $6$ m. Se suprapun zonele udate? Dar la reglajul de seară, când razele ajung la $8$ m și la $9$ m?

Rezolvare. Distanța dintre aspersoare nu se schimbă: $d^{2} = 144 + 25 = 169$ , deci $d = 13$ m.

La reglajul de dimineață, $R_{1} + R_{2} = 5 + 6 = 11 < 13$ , deci cele două discuri sunt exterioare: zonele udate nu se ating, iar între marginile lor rămâne o fâșie uscată de $13 - 11 = 2$ m. La reglajul de seară, $R_{1} + R_{2} = 8 + 9 = 17 > 13$ , iar $∣ 8 - 9 ∣ = 1 < 13$ , deci discurile sunt secante: se suprapun pe o porțiune mărginită de cele două puncte comune, care va fi udată de amândouă. Între cele două reglaje există, în mod necesar, unul la care suma razelor este exact $13$ m — atunci discurile sunt tangente exterior și nu mai rămâne nicio fâșie uscată, dar nici nu se irosește apă pe suprapunere.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

În reperul cartezian $x O y$ se consideră cercurile de ecuații $x^{2} + y^{2} = 4$ și $(x - 5)^{2} + y^{2} = 9$ . Arătați că cele două cercuri sunt tangente exterior.

Rezolvare. Primul cerc are centrul $O (0, 0)$ și raza $2$ , al doilea are centrul $B (5, 0)$ și raza $3$ . Distanța dintre centre este $d = 5$ , iar suma razelor este $2 + 3 = 5$ . Cum $d = R_{1} + R_{2}$ , cercurile sunt tangente exterior. (Punctul de tangență se află pe segmentul $O B$ , la distanța $2$ de $O$ , adică în $(2, 0)$ ; el verifică ambele ecuații.)

Cerința urmează forma scurtă din modelul oficial al probei M_șt-nat: o singură întrebare, cu justificare în trei rânduri. Pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă nici model, nici o structură publicată pe subiecte, deci exercițiul nu revendică un anumit subiect.

Să exersăm

Rețeta e mereu aceeași: scoate din fiecare ecuație centrul și raza, calculează $d^{2}$ , apoi compară-l cu $(R_{1} + R_{2})^{2}$ și cu $(R_{1} - R_{2})^{2}$ . Abia după ce ai verdictul te apuci, dacă ți se cer, de punctele comune. Și nu uita că „niciun punct comun" poate însemna două lucruri foarte diferite.

1. Stabilește poziția relativă a cercurilor $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 4$ și $(x - 4)^{2} + (y - 5)^{2} = 25$ .

2. Stabilește poziția relativă a cercurilor $(x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 36$ și $(x - 4)^{2} + (y - 9)^{2} = 16$ .

3. Stabilește poziția relativă a cercurilor $x^{2} + y^{2} = 4$ și $(x - 3)^{2} + y^{2} = 25$ , apoi determină punctul lor comun.

4. Stabilește poziția relativă a cercurilor $(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 49$ și $(x - 4)^{2} + (y + 1)^{2} = 4$ .

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă două cercuri au razele $3$ și $7$ , iar distanța dintre centrele lor este $4$ , atunci cercurile nu au niciun punct comun."

6. Stabilește poziția relativă a cercurilor $x^{2} + y^{2} - 2 x - 6 y + 1 = 0$ și $x^{2} + y^{2} - 10 x - 6 y + 25 = 0$ .

7. Determină punctele comune ale cercurilor $x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y + 8 = 0$ și $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 4 = 0$ .

8. Determină punctele comune ale cercurilor $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 20$ și $(x - 5)^{2} + (y - 1)^{2} = 20$ .

9. Determină numărul real $R > 0$ pentru care cercurile $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4$ și $(x - 10)^{2} + (y - 9)^{2} = R^{2}$ sunt tangente exterior.

10. Determină numărul real $R > 0$ pentru care cercurile de la exercițiul anterior sunt tangente interior.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) În reperul cartezian $x O y$ se consideră cercurile de ecuații $x^{2} + y^{2} = 1$ și $(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 16$ . Arată că cele două cercuri sunt tangente exterior.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) În reperul cartezian $x O y$ se consideră cercurile de ecuații $x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ și $x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 = 0$ . Arată că cele două cercuri au exact două puncte comune.

13. Stabilește poziția relativă a cercurilor $(x + 4)^{2} + (y - 3)^{2} = 4$ și $(x + 4)^{2} + (y - 3)^{2} = 36$ și explică rezultatul în două fraze.

14. (Problemă aplicată.) Două aparate de măsurare a zgomotului, aflate în punctele $A (0, 0)$ și $B (30, 40)$ (coordonatele sunt în kilometri), stabilesc, după timpul de sosire a sunetului, că explozia dintr-o carieră s-a produs la $30$ km de primul și la $25$ km de al doilea. Stabilește poziția relativă a celor două cercuri și explică de ce localizarea exploziei cere și un al treilea aparat.

15. Arată că cercurile $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 7 = 0$ și $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y + 1 = 0$ sunt concentrice și determină razele lor.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) În reperul cartezian $x O y$ se consideră cercurile de ecuații $x^{2} + y^{2} = 9$ și $(x - 4)^{2} + (y - 3)^{2} = 16$ . Arată că cele două cercuri au exact două puncte comune.

17. Determină ecuația dreptei care trece prin punctele comune ale cercurilor $x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y - 15 = 0$ și $x^{2} + y^{2} - 2 x - 6 y - 7 = 0$ .

18. (Provocare.) Două cercuri au razele $3$ și $5$ , iar centrele lor sunt $A (- 2, 1)$ și $B (a, 1)$ , unde $a$ este număr real. Determină toate valorile lui $a$ pentru care cele două cercuri sunt tangente și precizează, pentru fiecare, dacă tangența este exterioară sau interioară.

Răspunsuri și explicații

1. Centrele sunt $(1, 1)$ și $(4, 5)$ , razele $2$ și $5$ . Din $d^{2} = 9 + 16 = 25$ rezultă $d = 5$ , iar $∣ 5 - 2 ∣ = 3$ și $5 + 2 = 7$ . Cum $3 < 5 < 7$ , cercurile sunt secante: al doilea nu îl cuprinde pe primul, deși are raza mai mare.

2. Centrele sunt $(- 2, 1)$ și $(4, 9)$ , razele $6$ și $4$ . Din $d^{2} = 36 + 64 = 100$ rezultă $d = 10 = 6 + 4$ , deci cercurile sunt tangente exterior.

3. Centrele sunt $(0, 0)$ și $(3, 0)$ , razele $2$ și $5$ , iar $d = 3 = ∣ 5 - 2 ∣$ : cercurile sunt tangente interior. Punctul comun se află pe dreapta centrelor, la distanța $2$ de origine, în sens opus lui $(3, 0)$ : este $(- 2, 0)$ . Verificare: $4 + 0 = 4$ și $(- 2 - 3)^{2} = 25$ .

4. Centrele sunt $(3, - 1)$ și $(4, - 1)$ , razele $7$ și $2$ . Din $d = 1$ și $∣ 7 - 2 ∣ = 5$ rezultă $1 < 5$ , deci cercurile sunt interioare: al doilea se află în întregime în interiorul primului, fără să-l atingă.

5. Fals. Din $7 - 3 = 4 = d$ rezultă că cercurile sunt tangente interior, deci au exact un punct comun: cel mic stă înăuntrul celui mare și îl atinge. Afirmația ar fi fost adevărată dacă distanța ar fi fost strict mai mică decât $4$ , caz în care cercul mic ar fi rămas în interior fără să atingă.

6. Primul cerc are centrul $(1, 3)$ și $R_{1}^{2} = \frac{4 + 36 - 4}{4} = 9$ ; al doilea are centrul $(5, 3)$ și $R_{2}^{2} = \frac{100 + 36 - 100}{4} = 9$ . Deci $R_{1} = R_{2} = 3$ și $d = 4$ . Cum $0 < 4 < 6$ , cercurile sunt secante.

7. Scăzând a doua ecuație din prima: $- 2 x - 2 y + 4 = 0$ , adică $y = 2 - x$ . Înlocuim în al doilea cerc: $x^{2} + (2 - x)^{2} - 2 x - 4 (2 - x) + 4 = 0$ , adică $2 x^{2} - 2 x = 0$ , cu soluțiile $x = 0$ și $x = 1$ . Punctele comune sunt $(0, 2)$ și $(1, 1)$ ; ambele verifică și prima ecuație.

8. Formele generale sunt $x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y - 10 = 0$ și $x^{2} + y^{2} - 10 x - 2 y + 6 = 0$ . Scăzând: $12 x - 4 y - 16 = 0$ , adică $y = 3 x - 4$ . Înlocuind în primul cerc obținem $10 x^{2} - 40 x + 30 = 0$ , adică $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ , cu $x = 1$ și $x = 3$ . Punctele comune sunt $(1, - 1)$ și $(3, 5)$ .

9. Din $d^{2} = 64 + 36 = 100$ rezultă $d = 10$ , iar prima rază este $2$ . Tangența exterioară cere $2 + R = 10$ , deci $R = 8$ .

10. Tangența interioară cere $∣ R - 2 ∣ = 10$ . Varianta $R - 2 = 10$ dă $R = 12$ ; varianta $2 - R = 10$ ar da $R = - 8$ , care nu poate fi rază. Deci $R = 12$ .

11. Centrele sunt $(0, 0)$ și $(3, 4)$ , razele $1$ și $4$ . Din $d^{2} = 9 + 16 = 25$ rezultă $d = 5 = 1 + 4$ , deci cercurile sunt tangente exterior.

12. Primul cerc are centrul $(2, 0)$ și $R_{1}^{2} = \frac{16}{4} = 4$ , deci $R_{1} = 2$ ; al doilea are centrul $(1, 0)$ și $R_{2}^{2} = \frac{4 + 12}{4} = 4$ , deci $R_{2} = 2$ . Distanța dintre centre este $d = 1$ . Cum $∣ R_{1} - R_{2} ∣ = 0 < 1 < 4 = R_{1} + R_{2}$ , cercurile sunt secante, deci au exact două puncte comune.

13. Amândouă au centrul $(- 4, 3)$ , deci $d = 0$ , iar razele sunt $2$ și $6$ . Din $0 < ∣ 6 - 2 ∣ = 4$ rezultă că sunt interioare — mai exact, concentrice. Niciun punct nu poate fi în același timp la distanța $2$ și la distanța $6$ de centrul comun, deci nu au niciun punct comun; cercul mic se află în interiorul celui mare, la distanță constantă de el, egală cu $4$ .

14. Locul exploziei se află pe cercul de centru $A$ și rază $30$ și, în același timp, pe cercul de centru $B$ și rază $25$ . Distanța dintre aparate este $d = 900 + 1600 = 50$ km. Cum $∣ 30 - 25 ∣ = 5 < 50 < 55 = 30 + 25$ , cercurile sunt secante: există două puncte care se potrivesc cu amândouă măsurătorile. Datele a două aparate nu pot deci alege între ele; al treilea aparat dă un al treilea cerc, care trece printr-unul singur dintre cele două puncte.

15. Ambele au $m = - 2$ și $n = - 2$ , deci același centru, $(1, 1)$ : sunt concentrice. Razele: $R_{1}^{2} = \frac{4 + 4 + 28}{4} = 9$ , deci $R_{1} = 3$ , și $R_{2}^{2} = \frac{4 + 4 - 4}{4} = 1$ , deci $R_{2} = 1$ . Cum $d = 0 < 2 = ∣ R_{1} - R_{2} ∣$ , cercurile sunt interioare.

16. Centrele sunt $(0, 0)$ și $(4, 3)$ , razele $3$ și $4$ . Din $d^{2} = 16 + 9 = 25$ rezultă $d = 5$ . Cum $∣ 3 - 4 ∣ = 1 < 5 < 7 = 3 + 4$ , cercurile sunt secante, deci au exact două puncte comune.

17. Scădem a doua ecuație din prima: $(- 6 x - 2 y - 15) - (- 2 x - 6 y - 7) = - 4 x + 4 y - 8 = 0$ , adică $x - y + 2 = 0$ , deci dreapta căutată este $y = x + 2$ . (Cercurile sunt într-adevăr secante: centrele $(3, 1)$ și $(1, 3)$ dau $d^{2} = 8$ , iar razele sunt $5$ și $17$ , cu $(5 - 17)^{2} < 8 < (5 + 17)^{2}$ .)

18. Distanța dintre centre este $d = ∣ a + 2 ∣$ , pentru că centrele au aceeași ordonată. Tangența exterioară cere $∣ a + 2 ∣ = 3 + 5 = 8$ , deci $a = 6$ sau $a = - 10$ . Tangența interioară cere $∣ a + 2 ∣ = ∣ 5 - 3 ∣ = 2$ , deci $a = 0$ sau $a = - 4$ . În total, patru valori: $a \in {- 10, - 4, 0, 6}$ — valorile extreme, $a = - 10$ și $a = 6$ , dau tangența exterioară, iar cele din mijloc, $a = - 4$ și $a = 0$ , tangența interioară.

De reținut

Trei numere hotărăsc totul: razele $R_{1}$ , $R_{2}$ și distanța $d$ dintre centre; poziția celor două cercuri nu depinde de nimic altceva, nici de locul lor în reper.
Pragurile sunt suma și diferența razelor: peste $R_{1} + R_{2}$ cercurile sunt despărțite, exact la $R_{1} + R_{2}$ se ating din afară, între $∣ R_{1} - R_{2} ∣$ și $R_{1} + R_{2}$ se taie în două puncte, exact la $∣ R_{1} - R_{2} ∣$ se ating pe dinăuntru, iar sub această valoare unul e cuprins în celălalt.
Comparația se face cel mai comod între pătrate — $d^{2}$ față de $(R_{1} + R_{2})^{2}$ și $(R_{1} - R_{2})^{2}$ —, ceea ce scoate radicalii din calcul și face modulul inutil.
Scăzând ecuațiile generale ale celor două cercuri, termenii de gradul al doilea se anulează și rămâne ecuația unei drepte, pe care se află toate punctele comune; de acolo problema devine una de dreaptă și cerc.
Cercurile concentrice de raze diferite nu au niciun punct comun: la ele $d = 0$ , iar scăderea ecuațiilor lasă o egalitate numerică falsă.

Greșeli frecvente

Comparația făcută cu o singură rază. Se scrie „ $d = 4$ este mai mic decât $R_{1} = 5$ , deci cercurile sunt interioare". Corect: criteriile folosesc mereu amândouă razele, prin suma și prin diferența lor. Aici $∣ 5 - 3 ∣ = 2 < 4 < 8$ , deci cercurile sunt secante, nu interioare.
Modulul uitat la diferența razelor. Se scrie $d = R_{1} - R_{2}$ și, când iese un număr negativ, se trage concluzia că tangența interioară e imposibilă. Corect: pragul este $∣ R_{1} - R_{2} ∣$ , adică diferența luată pozitiv, indiferent care rază e mai mare.
„Fără puncte comune" citit ca un singur caz. Se răspunde „cercurile nu se intersectează" și se consideră problema încheiată. Corect: sunt două situații distincte — exterioare și interioare —, iar un enunț care cere poziția relativă le deosebește. Compară $d$ și cu suma, și cu diferența razelor.
Scăderea făcută pe ecuații care nu sunt aduse la același coeficient. Din $2 x^{2} + 2 y^{2} + \dots = 0$ și $x^{2} + y^{2} + \dots = 0$ se scade direct. Corect: termenii de gradul al doilea se anulează numai dacă au același coeficient; împarte întâi fiecare ecuație astfel încât $x^{2}$ și $y^{2}$ să aibă coeficientul $1$ .
Dreapta obținută prin scădere confundată cu răspunsul. Se scrie „punctele comune sunt pe dreapta $x = 1$ " și se oprește acolo. Corect: dreapta este doar un pas intermediar; punctele se află înlocuind-o într-una dintre ecuațiile cercurilor. Dacă ecuația în care înlocuiești nu are soluții reale, cercurile nu aveau puncte comune, iar dreapta găsită nu le atinge.

Aplică acasă

Filmul apropierii. Desenează pe hârtie caroiată un cerc de rază $5$ cu centrul într-un nod și, cu compasul, cercuri de rază $3$ cu centrele așezate pe aceeași orizontală, la distanțele $9$ , $6$ , $4$ , $2$ și $1$ de primul centru. Notează pentru fiecare poziția relativă, apoi verifică prin calcul. Ai obținut, în ordine, toate cele cinci cazuri din lecție?
Pragul, găsit cu compasul. Fixează pe hârtie caroiată două centre la $10$ cm unul de altul. Cu compasul, desenează din primul centru cercul de rază $4$ cm, apoi din al doilea, pe rând, cercuri de rază $5$ , $5, 5$ , $6$ , $6, 5$ și $7$ cm. Notează pentru fiecare câte puncte comune vezi și compară cu verdictul dat de comparația lui $d$ cu $R_{1} + R_{2}$ . Între ce două raze desenate se află pragul, și cât e el exact?
A treia stație. Pe o hartă a județului tău, alege două localități și imaginează-ți că fiecare a măsurat distanța până la o sursă de zgomot. Alege tu cele două distanțe astfel încât cercurile să fie secante, desenează-le cu compasul și marchează cele două puncte de intersecție. Alege apoi o a treia localitate și distanța potrivită pentru ca al treilea cerc să treacă prin unul singur dintre ele.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide capitolul de geometrie analitică al clasei a IX-a și este singurul loc din traseu unde se studiază poziția relativă a cercurilor, nu doar a dreptelor. Miza ei nu e un calcul greu — comparația a trei numere —, ci deprinderea de a citi un rezultat matematic ca pe o informație despre lume: „două puncte comune" înseamnă, într-o problemă de localizare, o ambiguitate reală, care se rezolvă cu încă o măsurătoare, nu cu încă un calcul. La profilul științe ale naturii această traducere este chiar competența urmărită de programă.

De urmărit în caiet: centrele și razele au fost scoase corect din ecuații, înainte de orice comparație; distanța dintre centre a fost calculată la pătrat, nu aproximată cu zecimale; verdictul folosește cele cinci nume, nu doar „se intersectează" sau „nu se intersectează"; la punctele comune, scăderea s-a făcut după aducerea ambelor ecuații la coeficientul $1$ ; punctele găsite au fost verificate în amândouă ecuațiile. Întrebări de control: „Două cercuri fără puncte comune — în câte feluri se poate întâmpla asta?"; „De ce, la scădere, dispar termenii de gradul al doilea?"; „Ce afli dacă, după scădere, rămâne o egalitate numerică falsă?"; „De ce sunt necesare trei stații ca să localizezi o sursă?". Semn că elevul a înțeles: compară $d$ cu amândouă pragurile, din reflex, chiar când unul singur ar părea de ajuns.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; ea acoperă partea de „cercuri" din competența privind analizarea pozițiilor relative ale dreptelor și/sau cercurilor. La Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Geometrie. Trigonometrie, la capitolul „Geometrie analitică" al clasei a IX-a. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde tema nu apare: programa acelui examen (OMEN 4430/2014) nu conține ecuația cercului, iar din geometria analitică plană cere doar reperul, vectorii, distanța dintre două puncte, ecuațiile dreptei și condițiile de paralelism și de perpendicularitate. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025).

Întrebări frecvente

Se studiază pozițiile relative a două cercuri și la mate-info (M1)? Nu, nu ca temă de sine stătătoare. La matematică-informatică cercul apare în clasa a XII-a, într-un capitol de conice, iar intersecția a două curbe se tratează general, prin rezolvarea unui sistem de două ecuații de gradul al doilea. Pentru comparație, la mate-info (M1): intersecția a două conice, la clasa a 12-a. La științe ale naturii tema are un capitol propriu, în clasa a IX-a, cerut explicit de programă.

La ce subiect apar cele două cercuri la bacalaureatul M2? În sesiunile 2027–2029 nu apar deloc, pentru că programa de examen din 2014 nu conține ecuația cercului. Din 2030, la proba MAT_P2, tema intră în domeniul Geometrie. Trigonometrie, la capitolul de geometrie analitică al clasei a IX-a. Structura probei nu a fost publicată, deci nu se poate numi un subiect; cerințele exersate aici se rezolvă în câteva rânduri — „arătați că cele două cercuri sunt tangente exterior".

Cum aflu repede dacă două cercuri se ating? Calculează distanța dintre centre și compar-o cu suma razelor și cu diferența lor luată pozitiv. Dacă distanța este egală cu suma, cercurile se ating din afară; dacă este egală cu diferența, se ating pe dinăuntru. În orice altă situație ele fie se taie în două puncte, fie nu se ating deloc.

De ce apar exact cinci poziții, și nu mai multe? Pentru că avem două praguri, $∣ R_{1} - R_{2} ∣$ și $R_{1} + R_{2}$ , iar distanța dintre centre poate sta față de ele în cinci feluri: sub cel mic, egal cu el, între ele, egal cu cel mare, peste cel mare. Pentru două cercuri distincte, cu raze diferite, fiecăreia dintre cele cinci situații îi corespunde exact o așezare. La raze egale pragul mic este $0$ și rămân doar trei cazuri, pentru că $d = 0$ înseamnă atunci cercuri suprapuse.

De ce dispar termenii cu $x^{2}$ și $y^{2}$ când scad cele două ecuații? Pentru că, în forma generală, amândouă ecuațiile au exact aceiași termeni de gradul al doilea, $x^{2} + y^{2}$ . La scădere ei se anulează reciproc și rămân doar termenii de gradul întâi și numerele. Condiția este ca ambele ecuații să fie aduse la coeficientul $1$ pentru pătrate; altfel scăderea nu-i elimină.

Ce înseamnă dreapta obținută prin scăderea ecuațiilor? Când cercurile sunt secante, ea este dreapta care trece prin cele două puncte comune. Când sunt tangente, ea este chiar tangenta comună în punctul de contact. Când cercurile nu au puncte comune, dreapta există tot ca rezultat al calculului, dar nu atinge niciunul dintre ele — semn că verdictul de poziție trebuie dat înaintea căutării punctelor.

Două cercuri concentrice pot avea puncte comune? Doar dacă au aceeași rază, caz în care sunt de fapt același cerc. Dacă razele diferă, niciun punct nu poate fi simultan la două distanțe diferite de centrul comun, deci nu există puncte comune; distanța dintre cele două cercuri, măsurată pe orice rază, este chiar diferența razelor.