Pe ce interval este parabola $$y = -x^2 + 2x + 3$$ deasupra dreptei $$y = -x + 3$$?

$$(-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$$

Unde este parabola deasupra unei drepte?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Dreaptă, parabolă și tangență

Scazi ordonata dreptei din cea a parabolei și studiezi semnul diferenței. Exemplu: pentru $y = x^{2} - 4 x + 5$ și $y = x + 1$ , diferența este $x^{2} - 5 x + 4 = (x - 1) (x - 4)$ . Ea e pozitivă pentru $x < 1$ și pentru $x > 4$ , unde parabola este deasupra dreptei, și negativă între $1$ și $4$ , unde parabola coboară sub dreaptă. Curbele se întâlnesc în $(1, 2)$ și $(4, 5)$ , puncte care verifică ambele ecuații.

Ca să afli unde se întâlnesc o dreaptă $y = m x + n$ și o parabolă $y = a x^{2} + b x + c$ , pui cele două expresii ale lui $y$ egale și aduci totul într-un membru: obții $a x^{2} + (b - m) x + (c - n) = 0$ . Fiecare rădăcină reală este abscisa unui punct comun, a cărui ordonată o dă ecuația dreptei. Discriminantul pozitiv înseamnă două puncte (secantă), cel nul un singur punct, din rădăcina dublă (tangentă), iar cel negativ niciun punct (dreaptă exterioară).

Scăzând ordonata dreptei din cea a parabolei, afli unde e fiecare curbă deasupra celeilalte; o parabolă cu $a > 0$ coboară sub dreaptă exact între punctele comune. Dacă un coeficient e necunoscut, discriminantul se scrie în funcție de el, iar egalitatea lui cu zero dă valoarea de tangență; semnul, de o parte și de cealaltă a acestei valori, spune ce se întâmplă în rest. Printr-un punct de sub o parabolă cu $a > 0$ trec două tangente; poziția punctului o afli comparând ordonata lui cu valoarea parabolei în aceeași abscisă, iar pantele tangentelor vin dintr-o ecuație de gradul al doilea în pantă.

În aplicații, un punct comun arată momentul în care două mărimi se egalează, iar rădăcinile fără sens fizic se elimină. Tangența marchează situația-limită, ca distanța minimă de la care un autoturism care frânează nu ajunge vehiculul din față.

De reținut

semnul lui „parabolă − dreaptă” arată care curbă e deasupra
o parabolă cu $a > 0$ e sub dreaptă exact între punctele comune
din punctele comune, ordonata se ia din ecuația dreptei

Greșeala tipică

Se scade în ordinea inversă, „dreaptă − parabolă”, și se citește semnul ca și cum parabola ar fi deasupra; ordinea scăderii trebuie păstrată de la început până la concluzie.

Exerciții din această mini-lecție

Câte puncte comune au parabola $y = x^{2} + 2 x + 4$ și dreapta $y = 2 x + 3$ ?
- a) niciunul
- b) unul
- c) două
- d) o infinitate
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) niciunul

Egalând ordonatele: $x^{2} + 2 x + 4 = 2 x + 3$ , adică $x^{2} + 1 = 0$ , cu $Δ = - 4 < 0$ . Dreapta este exterioară parabolei.
Care dintre dreptele următoare este tangentă parabolei $y = 3 x^{2} + 5$ ?
- a) $y = 6 x + 1$
- b) $y = 6 x + 2$
- c) $y = 6 x + 3$
- d) $y = 3 x + 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $y = 6 x + 2$

Pentru $y = 6 x + 2$ : $3 x^{2} - 6 x + 3 = 3 (x - 1)^{2}$ , rădăcină dublă, contact în $(1, 8)$ . Pentru $6 x + 1$ discriminantul este $36 - 48 < 0$ , pentru $6 x + 3$ este $36 - 24 > 0$ , iar $y = 3 x + 5$ dă $3 x^{2} - 3 x = 0$ , cu două rădăcini.
Pe ce interval este parabola $y = - x^{2} + 2 x + 3$ deasupra dreptei $y = - x + 3$ ?
- a) $(0, 3)$
- b) $(- \infty, 0) \cup (3, + \infty)$
- c) $(- 1, 3)$
- d) $(0, 2)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(0, 3)$

Diferența $(- x^{2} + 2 x + 3) - (- x + 3) = - x^{2} + 3 x = x (3 - x)$ este pozitivă exact între rădăcinile $0$ și $3$ .

Întrebări conexe

Câte tangente la parabolă trec printr-un punct aflat sub ea?

Două, dacă parabola are ramurile în sus. Pentru $y = x^{2}$ și punctul $(0, - 1)$ , dreptele $y = m x - 1$ dau $x^{2} - m x + 1 = 0$ , cu $Δ = m^{2} - 4$ . Tangența cere $Δ = 0$ , deci $m = 2$ sau $m = - 2$ : tangentele sunt $y = 2 x - 1$ și $y = - 2 x - 1$ , cu punctele de contact $(1, 1)$ și $(- 1, 1)$ .

Care e distanța pe verticală maximă dintre dreaptă și parabolă între punctele comune?

Pentru $y = x + 1$ și $y = x^{2} - 4 x + 5$ , între $x = 1$ și $x = 4$ dreapta e deasupra, iar distanța verticală este $d (x) = - x^{2} + 5 x - 4$ . Maximul unei funcții de gradul al doilea cu $a < 0$ e în vârf, la $x = \frac{5}{2}$ , unde $d = - 6, 25 + 12, 5 - 4 = 2, 25$ .

Când ajunge o mașină care accelerează un biciclist aflat în față?

Dacă mașina pornește din repaus și parcurge $x = t^{2}$ metri, iar biciclistul pleacă cu $16$ m în față și merge cu $6$ m/s, ajungerea înseamnă $t^{2} = 6 t + 16$ . Ecuația $t^{2} - 6 t - 16 = 0$ are rădăcinile $8$ și $- 2$ ; timpul negativ nu are sens, deci $t = 8$ s, la $64$ m de start.

Pot avea o dreaptă verticală și o parabolă un singur punct comun fără să fie tangente?

Da. O dreaptă $x = c$ taie parabola $y = a x^{2} + b x + c^{'}$ într-un singur punct, $(c, a c^{2} + b c + c^{'})$ , dar o traversează, nu o atinge. Regula cu $Δ = 0$ se aplică doar dreptelor de forma $y = m x + n$ ; dreptele verticale nu sunt grafice de funcții și nu intră în ea.

Ce legătură are poziția parabolei față de o dreaptă cu o inecuație de gradul al doilea?

Inecuația $x^{2} - 4 x + 5 \leq x + 1$ cere exact abscisele în care parabola nu e deasupra dreptei. Adusă la forma $(x - 1) (x - 4) \leq 0$ , are soluția $x \in [1, 4]$ . Pe grafic, acesta este intervalul dintre punctele de intersecție, cu capetele incluse. Proba în $x = 2$ : parabola dă $1$ , dreapta dă $3$ , deci parabola e sub dreaptă.

Oamenii mai întreabă și: când e parabola deasupra dreptei · poziția parabolei față de o dreaptă pe intervale · unde este parabola sub dreaptă · semnul diferenței dintre parabolă și dreaptă