Dreapta și parabola: poziții relative, parametri și tangență (M2, științe ale naturii)

Un autoturism începe să frâneze în spatele unui camion care merge încet. Distanța parcursă de autoturism crește după o lege de gradul al doilea, cea a camionului după o lege de gradul întâi. Întrebarea „îl ajunge sau nu?” este, în limbaj matematic, întrebarea dacă o dreaptă și o parabolă au puncte comune. Lecția aceasta, din clasa a X-a, la științe ale naturii (M2), arată cum răspunzi prin calcul, cum citești răspunsul pe desen și cum afli pragul unui parametru, de exemplu distanța de siguranță. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”, unde programa numește explicit tema dreaptă–parabolă, prin rezolvarea sistemelor. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține aceeași temă, la funcția de gradul al doilea.

Ai două sprijine din clasa a IX-a. La dreapta și cercul ai văzut că semnul discriminantului unei ecuații spune dacă o dreaptă taie, atinge sau ocolește o curbă. La semnul funcției de gradul doi citit pe grafic și la inecuațiile de gradul doi rezolvate grafic ai învățat să citești unde o expresie de gradul al doilea este pozitivă. Aici le pui împreună, pentru o parabolă și o dreaptă.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii ecuația de intersecție a unei drepte cu o parabolă și să afli din ea punctele comune.
• Vei ști să clasifici dreapta, după semnul discriminantului, în secantă, tangentă sau exterioară.
• Vei ști să citești de ce parte a dreptei se află parabola, pe intervale.
• Vei ști să găsești pragul unui parametru: panta sau ordonata dreptei, sau un coeficient al parabolei.
• Vei ști să afli dreptele care trec printr-un punct dat și ating parabola.
• Vei ști să interpretezi punctele comune într-o problemă de fizică sau de biologie, cu unități și cu intervalul în care modelul are sens.

Hai să descoperim împreună

1. O întrebare geometrică, o ecuație de gradul al doilea

Luăm parabola $y=x^2-3x+7$ și dreapta $y=3x-1$. Un punct comun are aceeași ordonată pe ambele curbe, deci abscisa lui verifică $x^2-3x+7=3x-1$, adică $x^2-6x+8=0$. Rădăcinile sunt $2$ și $4$, iar ordonatele se iau din ecuația dreptei, care e mai simplă: punctele comune sunt $(2,5)$ și $(4,11)$. Proba se face în ecuația cealaltă, a parabolei; dacă ai greșit o rădăcină, proba te oprește înainte să tragi o concluzie greșită.

Definiție. Pentru parabola $y=a{x}^2+bx+c$, cu $a\ne 0$, și dreapta $y=mx+n$, ecuația de intersecție este $a{x}^2+(b-m)x+(c-n)=0$. Soluțiile sistemului format din cele două ecuații sunt exact punctele comune: fiecare rădăcină reală $x_0$ dă punctul $(x_0,m{x}_0+n)$.

Ecuația are gradul al doilea, deci cel mult două rădăcini: o parabolă și o dreaptă neverticală se întâlnesc în cel mult două puncte. Ca la dreapta și cercul, semnul discriminantului decide: $\Delta >0$, dreaptă secantă; $\Delta =0$, dreaptă tangentă, cu un singur punct comun; $\Delta <0$, dreaptă exterioară. O dreaptă verticală $x=k$ nu are forma $y=mx+n$ și taie parabola într-un singur punct, dar trece dintr-o parte în alta a ei, deci nu este tangentă.

2. De ce parte a dreptei stă parabola?

Diferența dintre ordonata parabolei și cea a dreptei, $d(x)=x^2-6x+8$, spune unde e parabola: deasupra dreptei acolo unde $d(x)>0$ și dedesubt unde $d(x)<0$. Cum $d(x)=(x-2)(x-4)$, cu coeficientul lui $x^2$ pozitiv, diferența este negativă între rădăcini și pozitivă în afara lor. Parabola trece deci sub dreaptă pe intervalul $(2,4)$, deși ramurile ei sunt în sus. Figura A arată porțiunea hașurată dintre cele două curbe.

Aceasta este regula semnului pe care ai citit-o pe grafic în clasa a IX-a, aplicată acum diferenței dintre două funcții. Ea transformă o inecuație ca „parabola sub dreaptă” într-o inecuație de gradul al doilea.

3. Ce se întâmplă când muți dreapta paralel cu ea însăși?

Păstrăm panta și schimbăm ordonata la origine. Pentru parabola $y=x^2-2x+9$ și dreptele $y=4x+n$, ecuația de intersecție este $x^2-6x+9-n=0$, cu $\Delta =36-4(9-n)=4n$. Discriminantul depinde de $n$ și își schimbă semnul într-un singur punct, pragul $n=0$.

Pentru $n>0$ dreapta e mai sus și taie parabola în două puncte; pentru $n=0$ o atinge; pentru $n<0$ trece pe dedesubt. Dreapta de prag, $y=4x$, este tangentă în punctul de abscisă $3$, rădăcina dublă. Același raționament merge pentru orice pantă: familia de drepte paralele are exact o tangentă, iar de o parte a ei sunt secantele, de cealaltă exterioarele. La o parabolă cu ramurile în jos situația se inversează: dreptele de sub tangentă o taie, iar cele de deasupra trec pe lângă ea. De aceea, după ce găsești pragul, verifici pe o valoare concretă de o parte a lui, nu ghicești sensul.

4. Orizontalele, deja citite în clasa a IX-a

O dreaptă orizontală $y=k$ este cazul pantei $0$: ecuația ei de intersecție cu parabola este chiar $f(x)=k$, iar câte soluții are ea pentru fiecare nivel $k$ ai citit pe grafic la mulțimea valorilor funcției de gradul doi; singura orizontală tangentă trece prin vârful parabolei. Lecția de față se ocupă de dreptele înclinate, la care punctul de contact nu mai este vârful: în subsecțiunea precedentă, tangenta de pantă $4$ atinge parabola $y=x^2-2x+9$ în punctul de abscisă $3$, deși vârful are abscisa $1$.

5. Fasciculul prin punct: o ecuație în pantă

Fixăm un punct $P(p,q)$ și luăm toate dreptele neverticale prin el, $y=m(x-p)+q$, ca la tangentele unui cerc duse dintr-un punct, în lecția despre dreapta și cerc. Ecuația de intersecție depinde acum de pantă, iar condiția $\Delta =0$ devine o ecuație de gradul al doilea în $m$; fiecare soluție a ei dă o tangentă, iar punctul de contact vine din rădăcina dublă.

Discriminantul acestei ecuații în $m$ decide câte pante există, iar semnul lui depinde de poziția lui $P$ față de parabolă. Poziția o afli comparând ordonata $q$ cu valoarea parabolei în abscisa $p$; pentru o parabolă cu ramurile în sus, un punct de sub ea dă două pante.

6. Când parametrul stă în parabolă

Uneori dreapta e fixă, iar parabola se mișcă. Dacă se schimbă termenul liber $c$, parabola urcă sau coboară fără să-și schimbe forma: la un anumit $c$ o atinge pe dreaptă, peste el (pentru $a>0$) trece deasupra ei, sub el o taie. Dacă se schimbă coeficientul lui $x^2$, parabola se deschide mai larg sau mai strâns. În ambele cazuri scrii ecuația de intersecție, calculezi $\Delta$ în funcție de parametru și rezolvi $\Delta =0$. Când parametrul este chiar coeficientul lui $x^2$, verifici la sfârșit că nu e zero, altfel curba nu mai e parabolă. Un coeficient pozitiv mai mare strânge ramurile spre axa parabolei, unul mai mic le desface. Toate parabolele $y=a{x}^2+bx+c$ cu $b$ și $c$ fixate trec prin punctul $(0,c)$. O dreaptă $y=mx+n$ cu $m\ne b$ și $n\ne c$ este atinsă de exact o parabolă din familie; dacă $m=b$ și $n\ne c$, de niciuna, iar o dreaptă care trece prin $(0,c)$ le taie pe toate, cu excepția dreptei $y=bx+c$, care le atinge pe toate în acest punct.

7. Punctele comune citite în unități și în timp

Într-o problemă din științe, un punct comun înseamnă un moment sau o poziție în care două mărimi sunt egale: aceeași poziție pentru două vehicule, aceeași înălțime pentru două plante. Rădăcinile ecuației de intersecție trebuie apoi confruntate cu intervalul în care modelul are sens: un timp negativ sau un moment de după oprirea unui vehicul se elimină. Tangența are și ea un sens concret: e cazul-limită în care cele două mărimi abia se egalează, fără ca una să o depășească pe cealaltă. Coordonatele primesc unitățile axelor: dacă pe orizontală e timpul în secunde și pe verticală poziția în metri, un punct comun $(6,84)$ se citește „după $6$ secunde, la $84$ de metri”.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citește graficul, apoi confirmă prin calcul

Figura B arată parabola $y=x^2-7x+14$ și dreapta $y=x-1$. a) Citiți pe desen punctele comune. b) Confirmați-le cu ecuația de intersecție. c) Pe ce interval este parabola sub dreaptă?

Rezolvare. a) Curbele par să se întâlnească în $(3,2)$ și $(5,4)$.

b) Ecuația de intersecție: $x^2-7x+14=x-1$, adică $x^2-8x+15=0$, cu $\Delta =64-60=4>0$ și rădăcinile $3$ și $5$. Ordonatele din dreaptă: $3-1=2$ și $5-1=4$. Proba în parabolă: $9-21+14=2$ și $25-35+14=4$. Citirea este confirmată.

c) Diferența $x^2-8x+15=(x-3)(x-5)$ e negativă între rădăcini, deci parabola este sub dreaptă pe $(3,5)$. În afara acestui interval, de exemplu în $x=0$, parabola dă $14$, iar dreapta $-1$: parabola e deasupra, cum arată și desenul. $■$

Exemplul 2 — Discuție după ordonata dreptei

Pentru fiecare număr real $n$, stabiliți câte puncte comune au parabola $y=2x^2-5x+9$ și dreapta $y=3x+n$. Pentru valoarea la care dreapta este tangentă, aflați punctul de contact.

Rezolvare. Ecuația de intersecție: $2x^2-5x+9=3x+n$, adică $2x^2-8x+9-n=0$, cu

$$\Delta =64-8(9-n)=8n-8.$$

Discriminantul este pozitiv pentru $n>1$, zero pentru $n=1$ și negativ pentru $n<1$. Deci dreapta are două puncte comune cu parabola dacă $n>1$, unul singur dacă $n=1$ și niciunul dacă $n<1$.

Pentru $n=1$, rădăcina dublă este $x=\frac{8}{4}=2$, iar ordonata $3\cdot 2+1=7$. Proba în parabolă: $8-10+9=7$. Tangenta $y=3x+1$ atinge parabola în $(2,7)$; figura C arată și două drepte paralele cu ea, una de fiecare parte. $■$

Exemplul 3 — Două tangente dintr-un punct

Determinați dreptele care trec prin $P(0,-10)$ și sunt tangente parabolei $y=3x^2+x+2$, apoi punctele de contact.

Rezolvare. Punctul $P$ este sub parabolă, fiindcă în $x=0$ parabola are ordonata $2>-10$; ne așteptăm la două tangente. Dreptele neverticale prin $P$ au ecuația $y=mx-10$. Ecuația de intersecție: $3x^2+x+2=mx-10$, adică $3x^2+(1-m)x+12=0$, cu $\Delta =(1-m{)}^2-144$.

Condiția $\Delta =0$ dă $(1-m{)}^2=144$, adică $1-m=12$ sau $1-m=-12$, deci $m=-11$ sau $m=13$.

Pentru $m=13$, ecuația devine $3x^2-12x+12=0$, adică $3(x-2{)}^2=0$, cu rădăcina dublă $2$, iar punctul de contact este $(2,16)$. Pentru $m=-11$, ecuația devine $3x^2+12x+12=0$, adică $3(x+2{)}^2=0$, cu rădăcina dublă $-2$, iar punctul de contact este $(-2,12)$. Tangentele sunt $y=13x-10$ și $y=-11x-10$ (figura D). Proba în parabolă: $12+2+2=16$ și $12-2+2=12$. Orice altă dreaptă prin $P$, cu panta între $-11$ și $13$, trece pe sub parabolă fără s-o atingă, iar una cu panta în afara acestui interval o taie de două ori. $■$

Exemplul 4 — Parabola care urcă până atinge dreapta

Pentru ce valoare a numărului real $c$ parabola $y=x^2-5x+c$ este tangentă dreptei $y=x-3$? Ce se întâmplă pentru valori mai mici, respectiv mai mari ale lui $c$?

Rezolvare. Ecuația de intersecție: $x^2-6x+c+3=0$, cu $\Delta =36-4(c+3)=24-4c$. Tangența cere $\Delta =0$, deci $c=6$. Atunci ecuația devine $x^2-6x+9=0$, cu rădăcina dublă $3$, iar punctul de contact este $(3,0)$: dreapta dă $3-3=0$, parabola dă $9-15+6=0$.

Pentru $c<6$, $\Delta >0$: parabola este mai jos și taie dreapta în două puncte. Pentru $c>6$, $\Delta <0$: parabola a urcat deasupra dreptei și nu o mai atinge. Parametrul $c$ mută parabola pe verticală fără să-i schimbe forma, deci situația seamănă cu discuția după ordonata dreptei, privită din partea parabolei. $■$

Exemplul 5 — Distanța de siguranță la frânare

Un autoturism care merge cu $20$ de metri pe secundă începe să frâneze când în fața lui, la distanța $d$ metri, se află un camion care merge constant cu $4$ metri pe secundă. După $t$ secunde de frânare, autoturismul a parcurs $x_A(t)=20t-t^2$ metri, pentru $t\in [0,10]$, iar camionul se află la $x_C(t)=4t+d$ metri de punctul în care a început frânarea. a) Pentru $d=60$, îl ajunge autoturismul pe camion? Când și unde? b) Aflați distanța $d$ care separă cazurile „îl ajunge” și „nu îl ajunge” și spuneți ce se întâmplă exact la această distanță.

Rezolvare. Vehiculele se află în același loc când $20t-t^2=4t+d$, adică $t^2-16t+d=0$, cu $\Delta =256-4d$.

a) Pentru $d=60$: $t^2-16t+60=0$, cu rădăcinile $6$ și $10$. Primul moment de întâlnire este $t=6$ secunde, la $x_A(6)=120-36=84$ de metri; verificare: $x_C(6)=24+60=84$. Autoturismul ajunge camionul după $6$ secunde, deci s-ar produce o coliziune; a doua rădăcină nu mai contează.

b) Autoturismul nu ajunge camionul dacă ecuația nu are soluții, adică $\Delta <0$, deci $d>64$; pentru $0<d<64$ există rădăcini, iar cea mai mică dintre ele, $8-\sqrt{64-d}$, e în intervalul $[0,10]$. Pentru $d=64$, rădăcina dublă este $t=8$, în intervalul $[0,10]$: autoturismul ajunge exact lângă camion la $x_A(8)=160-64=96$ de metri, cu viteza redusă la $20-2\cdot 8=4$ metri pe secundă, cât a camionului. Graficul lui $x_C$ este atunci tangent graficului lui $x_A$. Distanța de siguranță este deci de $64$ de metri: la o distanță mai mare, autoturismul nu atinge camionul. Modelul presupune că șoferul frânează din primul moment și că decelerarea rămâne constantă; timpul de reacție ar mări distanța necesară. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-3x+4$. a) Arătați că punctul $A(1,2)$ aparține atât graficului funcției $f$, cât și dreptei de ecuație $y=x+1$, și determinați celălalt punct comun al lor. b) Determinați numărul real $m$ pentru care dreapta de ecuație $y=x+m$ și graficul funcției $f$ au un singur punct comun. c) Determinați numerele reale $m$ pentru care dreapta de ecuație $y=mx$ intersectează graficul funcției $f$ în două puncte distincte.

Rezolvare. a) $f(1)=1-3+4=2$ și $1+1=2$, deci $A$ este pe ambele. Ecuația de intersecție $x^2-4x+3=0$ are rădăcinile $1$ și $3$, deci celălalt punct comun este $(3,4)$.

b) $x^2-3x+4=x+m$ dă $x^2-4x+4-m=0$, cu $\Delta =16-4(4-m)=4m$. Un singur punct comun cere $\Delta =0$, deci $m=0$; punctul este $(2,2)$.

c) $x^2-3x+4=mx$ dă $x^2-(3+m)x+4=0$, cu $\Delta =(3+m{)}^2-16$. Două puncte distincte cer $\Delta >0$, adică $|3+m|>4$: $m>1$ sau $m<-7$. $■$

Să exersăm

Pornește de la ecuația de intersecție; discriminantul decide, iar punctele comune le dai cu ambele coordonate.

1. Determină punctele comune ale parabolei $y=x^2+3x-2$ și ale dreptei $y=5x+1$.

2. Un elev rezolvă sistemul format din ecuațiile $y=2x+7$ și $y=x^2+6x+11$: egalează ordonatele, obține $x^2+4x+4=0$ și scrie „$\Delta =0$, deci dreapta și parabola nu au puncte comune”. Unde greșește? Scrie soluția corectă a sistemului.

3. Arată că dreapta $y=x+4$ stă deasupra parabolei $y=-x^2+4x-2$ și află cea mai mică distanță, măsurată pe verticală, dintre cele două curbe, precum și abscisa la care se atinge.

4. Determină numărul real $n$ pentru care dreapta $y=6x+n$ este tangentă parabolei $y=x^2+2x+12$ și punctul de contact.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă dreapta $y=4x+n$ este tangentă parabolei $y=x^2+bx+c$, atunci punctul de contact are abscisa $\frac{4-b}{2}$, oricare ar fi $c$.”

6. Figura E arată parabola $y=-x^2+6x-3$ și dreptele $y=6$, $y=x+1$ și $y=2x+4$. Citește câte puncte comune are fiecare dreaptă cu parabola, apoi confirmă prin calcul.

7. Pentru ce valori ale lui $n$ parabola $y=x^2-10x+28$ stă în întregime deasupra dreptei $y=-2x+n$? Pentru valoarea de prag a lui $n$, află punctul în care dreapta atinge parabola.

8. Găsește dreptele prin $P(2,0)$ care ating parabola $y=x^2+5$ și punctele în care o ating.

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x+11$. a) Determinați coordonatele vârfului parabolei. b) Arătați că dreapta de ecuație $y=7$ are un singur punct comun cu graficul funcției $f$. c) Determinați punctele comune ale graficului funcției $f$ cu dreapta de ecuație $y=9x-11$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+8x+21$. Arătați că $f(x)\ge 2x+12$ pentru orice număr real $x$ și precizați punctul în care graficul funcției $f$ și dreapta de ecuație $y=2x+12$ se ating.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Rezolvați în $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ sistemul format din ecuațiile $y=x^2-2x-7$ și $x+y=-1$ și interpretați geometric rezultatul.

12. (Problemă aplicată.) Înălțimea unei plante, în centimetri, după $t$ săptămâni este $h_1(t)=0,5t^2+4$, iar a unei plante de altă specie este $h_2(t)=2t+2$, pentru $t\in [0,6]$. Există un moment în care plantele au aceeași înălțime? Care dintre ele este mai înaltă în rest?

13. Determină numărul real nenul $a$ pentru care parabola $y=a{x}^2$ este tangentă dreptei $y=4x-2$ și punctul de contact.

14. Pe ce interval se află parabola $y=x^2-4x-1$ sub dreapta $y=x+5$?

15. Scrie ecuația dreptei care trece prin punctele parabolei $y=3x^2+12x+8$ de abscise $-3$ și $0$ și verifică, cu ecuația de intersecție, că dreapta nu mai are alte puncte comune cu parabola.

16. Arată că punctul $A(3,14)$ se află pe parabola $y=x^2-2x+11$ și determină panta dreptei prin $A$ care are cu parabola un singur punct comun.

17. Determină numerele reale $a$ și $b$ pentru care dreapta $y=2x+5$ este tangentă parabolei $y=x^2+ax+b$ în punctul de abscisă $3$.

18. (Provocare.) Pentru ce valori ale lui $n$ dreapta $y=x+n$ taie parabola $y=x^2$ în două puncte care au ambele abscisa pozitivă?

Răspunsuri și explicații

1. $x^2+3x-2=5x+1$ dă $x^2-2x-3=0$, cu rădăcinile $3$ și $-1$. Punctele sunt $(3,16)$ și $(-1,-4)$; proba în parabolă: $9+9-2=16$ și $1-3-2=-4$.

2. Discriminantul nul, $\Delta =16-16=0$, nu înseamnă lipsa soluțiilor, ci o rădăcină dublă: $x^2+4x+4=(x+2{)}^2=0$ dă $x=-2$. Sistemul are soluția unică $(-2,3)$, iar dreapta este tangentă parabolei; proba: $4-12+11=3$. Lipsa punctelor comune corespunde unui discriminant negativ.

3. Diferența dintre ordonata dreptei și cea a parabolei este $d(x)=x+4-(-x^2+4x-2)=x^2-3x+6$, cu $\Delta =9-24=-15<0$ și coeficientul lui $x^2$ pozitiv, deci $d(x)>0$ pentru orice $x$: dreapta stă deasupra parabolei. Cea mai mică valoare a lui $d$ se atinge în vârful ei, la $x=\frac{3}{2}$: $d\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}+6=\frac{15}{4}$. Distanța minimă pe verticală este $\frac{15}{4}$, la abscisa $\frac{3}{2}$.

4. $x^2+2x+12=6x+n$ dă $x^2-4x+12-n=0$, cu $\Delta =16-4(12-n)=4n-32$. Din $\Delta =0$ rezultă $n=8$; rădăcina dublă este $2$, iar punctul de contact $(2,20)$.

5. Adevărat. Ecuația de intersecție este $x^2+(b-4)x+c-n=0$. Dreapta este tangentă exact când ecuația are o rădăcină dublă, iar rădăcina dublă a unei ecuații $x^2+px+q=0$ este $-\frac{p}{2}$; aici $-\frac{b-4}{2}=\frac{4-b}{2}$. Termenul liber $c-n$ decide doar dacă tangența are loc, nu unde; de exemplu, pentru parabola $y=x^2-2x+9$ și dreapta $y=4x$, contactul este în $\frac{4+2}{2}=3$.

6. $y=6$: un punct, în vârf; $-x^2+6x-3=6$ dă $x^2-6x+9=0$, rădăcina dublă $3$, punctul $(3,6)$. $y=x+1$: două puncte; $x^2-5x+4=0$ dă $(1,2)$ și $(4,5)$. $y=2x+4$: niciun punct; $x^2-4x+7=0$ are $\Delta =16-28=-12$.

7. Diferența $x^2-10x+28-(-2x+n)=x^2-8x+28-n$ are coeficientul lui $x^2$ pozitiv, deci e pozitivă peste tot exact când $\Delta =64-4(28-n)=4n-48<0$, adică $n<12$. Pentru $n=12$ diferența este $(x-4{)}^2$, iar dreapta $y=-2x+12$ atinge parabola în $(4,4)$; proba: $16-40+28=4$.

8. Punctul e sub parabolă, fiindcă $4+5=9>0$. Dreptele $y=m(x-2)$ dau $x^2-mx+2m+5=0$, cu $\Delta =m^2-8m-20=(m-10)(m+2)$, nul pentru $m=10$ sau $m=-2$. Tangentele $y=10x-20$ și $y=-2x+4$ ating parabola în $(5,30)$ și $(-1,6)$.

9. a) Abscisa vârfului este $\frac{4}{2}=2$, iar $f(2)=4-8+11=7$: vârful $(2,7)$. b) $x^2-4x+11=7$ dă $x^2-4x+4=0$, cu $\Delta =0$ și rădăcina dublă $2$: un singur punct comun, chiar vârful. c) $x^2-4x+11=9x-11$ dă $x^2-13x+22=0$, cu rădăcinile $2$ și $11$; punctele comune sunt $(2,7)$, chiar vârful, și $(11,88)$. Dreapta trece prin vârf fără să fie tangentă: ea taie parabola de două ori.

10. $f(x)-(2x+12)=x^2+6x+9=(x+3{)}^2\ge 0$, deci graficul nu coboară sub dreaptă. Egalitatea are loc numai în $x=-3$, unde ambele dau $6$: dreapta atinge graficul în $(-3,6)$; proba: $9-24+21=6$.

11. Din a doua ecuație, $y=-1-x$. Înlocuind: $x^2-2x-7=-1-x$, adică $x^2-x-6=0$, cu rădăcinile $3$ și $-2$. Soluțiile sunt $(3,-4)$ și $(-2,1)$: dreapta $x+y=-1$ este secantă parabolei și o taie în aceste două puncte. Proba în parabolă: $9-6-7=-4$ și $4+4-7=1$.

12. $0,5t^2+4=2t+2$ dă $0,5t^2-2t+2=0$, adică $t^2-4t+4=0$, cu rădăcina dublă $t=2$. După $2$ săptămâni plantele au aceeași înălțime, $h_2(2)=6$ centimetri. În rest prima e mai înaltă: $h_1(t)-h_2(t)=0,5(t-2{)}^2\ge 0$, deci graficele se ating fără să se taie.

13. Ecuația de intersecție este $a{x}^2-4x+2=0$, de gradul al doilea fiindcă $a\ne 0$, cu $\Delta =16-8a=0$, deci $a=2$, care este nenul. Rădăcina dublă este $\frac{4}{2\cdot 2}=1$, punctul de contact $(1,2)$.

14. $x^2-4x-1<x+5$ înseamnă $x^2-5x-6<0$, cu rădăcinile $-1$ și $6$; parabola este sub dreaptă pe $(-1,6)$.

15. Punctele sunt $(-3,-1)$, fiindcă $27-36+8=-1$, și $(0,8)$. Panta dreptei este $\frac{8-(-1)}{0-(-3)}=3$, deci dreapta este $y=3x+8$. Ecuația de intersecție $3x^2+12x+8=3x+8$ devine $3x^2+9x=0$, adică $3x(x+3)=0$, cu rădăcinile $0$ și $-3$: exact punctele date, niciun altul.

16. $9-6+11=14$, deci $A$ e pe parabolă. Dreptele $y=m(x-3)+14$ dau $x^2-(2+m)x+3m-3=0$, cu rădăcinile $3$ și $m-1$. Punctul comun este unic când $m-1=3$, adică $m=4$: dreapta $y=4x+2$.

17. Contactul în abscisa $3$ înseamnă că ecuația de intersecție $x^2+(a-2)x+b-5=0$ are rădăcina dublă $3$, deci coincide cu $(x-3{)}^2=x^2-6x+9$. Rezultă $a-2=-6$ și $b-5=9$, adică $a=-4$ și $b=14$; proba: $9-12+14=11=2\cdot 3+5$.

18. Ecuația $x^2-x-n=0$ are două rădăcini dacă $\Delta =1+4n>0$, adică $n>-\frac{1}{4}$. Rădăcinile sunt simetrice față de $\frac{1}{2}$. Dacă $n\ge 0$, în $x=0$ diferența $x^2-x-n$ nu e pozitivă, deci $0$ se află între rădăcini sau e rădăcină, iar o rădăcină nu e pozitivă. Dacă $n<0$, diferența e pozitivă în $0$, deci $0$ e în afara intervalului rădăcinilor, iar acesta, conținând $\frac{1}{2}$, e la dreapta lui $0$. Răspuns: $-\frac{1}{4}<n<0$.

De reținut

• Punctele comune ale dreptei $y=mx+n$ cu parabola $y=a{x}^2+bx+c$ vin din ecuația de intersecție $a{x}^2+(b-m)x+(c-n)=0$; ordonatele se iau din ecuația dreptei.
• $\Delta >0$: două puncte (secantă); $\Delta =0$: un punct, rădăcină dublă (tangentă); $\Delta <0$: niciun punct (exterioară).
• Semnul diferenței dintre parabolă și dreaptă arată unde parabola e deasupra sau dedesubt; între punctele comune, o parabolă cu ramurile în sus e sub dreaptă.
• Cu un parametru, $\Delta$ devine o expresie în parametru; pragul de tangență vine din $\Delta =0$, iar semnul lui $\Delta$ de o parte și de alta a pragului dă celelalte cazuri.
• Într-un model din științe, rădăcinile se confruntă cu intervalul de valabilitate, iar tangența descrie cazul-limită în care două mărimi abia se egalează.

Greșeli frecvente

• Nu scoți $y$ din ecuația dreptei înainte de egalare. Pentru $4x+y=7$ scrii întâi $y=7-4x$, cu semnul schimbat la termenul mutat; altfel egalezi o parabolă cu o expresie care nu e ordonata dreptei.
• Judeci poziția după ramurile parabolei. O parabolă cu ramurile în sus nu e „deasupra” oricărei drepte: între punctele comune e sub ea. Hotărăște semnul diferenței, nu forma curbei.
• Rezolvi $\Delta =0$ în $x$ în loc de parametru. Când dreapta depinde de $m$, discriminantul e o expresie în $m$; necunoscuta ecuației $\Delta =0$ este $m$, iar $x$ apare abia la punctul de contact, după ce înlocuiești valoarea găsită.
• Păstrezi o rădăcină care nu are sens în problemă. Un timp negativ sau un moment de după oprirea unui vehicul se elimină; scrie intervalul modelului lângă rezultat.
• Uiți condiția $a\ne 0$ când parametrul e coeficientul lui $x^2$. Pentru $a=0$ curba devine dreaptă, iar întrebarea despre tangență nu mai are sens; ecuația de intersecție devine de gradul întâi și nu mai are discriminant.

Aplică acasă

1. Distanța de siguranță. Alege viteza unei mașini (de exemplu $25$ de metri pe secundă) și o decelerare de frânare de $5$ metri pe secundă la pătrat. Scrie distanța parcursă ca în Exemplul 5 și află, cu $\Delta =0$, distanța minimă față de un vehicul care merge cu $10$ metri pe secundă. Compară cu regula „păstrează două secunde de distanță”.
2. Întâlniri în manualul de fizică. Caută în manualul de fizică o problemă cu două corpuri, unul în mișcare uniformă și unul în mișcare uniform accelerată. Scrie legile de mișcare, ecuația de intersecție și interpretează fiecare rădăcină, eliminând ce nu are sens fizic.
3. Tabelul diferenței. Într-o foaie de calcul, alege o parabolă și o dreaptă, pune în coloane $x$, ordonata parabolei, ordonata dreptei și diferența lor, din jumătate în jumătate de unitate. Marchează unde se schimbă semnul diferenței și compară cu rădăcinile ecuației de intersecție.

Pentru părinți și profesori

Lecția tratează felul în care o dreaptă se așază față de o parabolă, prin sistemul format din cele două ecuații, cu interpretarea geometrică cerută de programă: puncte comune, tangență, poziția pe intervale. Discriminantul și clasificarea secantă–tangentă–exterioară sunt reluate din lecția despre dreapta și cerc; noutatea este discuția cu parametru, în pantă, în ordonată, în punctul prin care trece dreapta sau în coeficienții parabolei, și citirea în context. Nu se folosesc derivate: tangenta este definită prin rădăcina dublă a ecuației de intersecție.

De urmărit în caiet: dacă elevul scrie ecuația de intersecție înainte de orice calcul, dacă dă punctele cu ambele coordonate și face proba, dacă identifică necunoscuta corectă când există un parametru. Întrebări bune de control: „Ce reprezintă rădăcinile ecuației de intersecție?”; „De ce parte a dreptei e parabola între punctele comune?”; „Care rădăcină are sens în problemă?”. Pasul următor al traseului este compunerea funcțiilor, iar tema se verifică în testul unității despre monotonie, simetrie și periodicitate.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; ea cere la clasa a X-a rezolvarea sistemelor dreaptă–parabolă, cu „interpretare geometrică”. La proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) cuprinde același rând, la funcția de gradul al doilea, materia clasei a IX-a. Modelul oficial 2026 nu are o cerință despre dreaptă și parabolă; exercițiile marcate „tip Bacalaureat M2” sunt antrenament propriu, în limitele programei. Dacă elevul a parcurs suplimentul de clasa a IX-a despre sistemele cu ecuații de gradul al doilea, recunoaște aici sistemele dreaptă–parabolă cu coeficienți numerici. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: dreaptă și parabolă, interpretarea geometrică a sistemelor adaugă mijlocul și lungimea coardei, prin relațiile lui Viète.

Întrebări frecvente

Ce este diferit în această lecție față de varianta de mate-info (M1)? Varianta M1 insistă pe coarda determinată de o secantă, cu mijlocul și lungimea ei calculate prin relațiile lui Viète, și pe condiția generală de tangență. Aici accentul cade pe discuția cu parametru, pe poziția parabolei față de dreaptă pe intervale și pe interpretarea punctelor comune în probleme de fizică și biologie, cu intervalul de valabilitate al modelului.

La ce parte a bacalaureatului M2 îmi folosește lecția? Programa bacalaureatului M2 din 2027–2029 cuprinde tema dreaptă–parabolă, prin rezolvarea sistemelor. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu are însă o cerință pe această temă. Lecția te pregătește pentru cerințe de tipul „determinați punctele de intersecție” sau „determinați $m$ pentru care dreapta și graficul au un singur punct comun”.

Ce legătură are lecția cu dreapta și cercul din clasa a IX-a? Metoda este aceeași: substitui ecuația dreptei în ecuația curbei, obții o ecuație de gradul al doilea și citești semnul discriminantului. Diferă curba. La parabolă ecuația de intersecție se scrie direct, prin egalarea ordonatelor, iar parabola, spre deosebire de cerc, nu are tangente verticale: orice dreaptă verticală o traversează.

Pot avea două parabole un singur punct comun? Da. Metoda e aceeași: egalezi ordonatele și aduci totul într-un membru. Dacă cele două parabole au același coeficient al lui $x^2$, termenii de gradul al doilea se reduc, iar ecuația devine de gradul întâi, cu cel mult o soluție: curbele se întâlnesc atunci într-un singur punct, dar se traversează, nu se ating. Dacă coeficienții diferă, rămâne o ecuație de gradul al doilea, iar discriminantul decide, ca la dreaptă.

Pot folosi metoda dacă dreapta e dată sub forma $px+qy=r$? Da, dacă $q\ne 0$: scoți $y$ din ecuația dreptei, apoi egalezi cu expresia parabolei. Dacă $q=0$, dreapta este verticală și are cu parabola un singur punct, pe care îl obții înlocuind abscisa în ecuația parabolei. La împărțirea prin $q$ împarte toți termenii, inclusiv pe $r$: o greșeală de semn aici schimbă dreapta și, odată cu ea, punctele comune.

Cum verific pe grafic un rezultat obținut cu $\Delta$? Trasează parabola și dreapta într-o aplicație și numără punctele comune. Pentru tangență, mărește imaginea în jurul punctului de contact: curbele trebuie să se atingă fără să se încrucișeze. Graficul confirmă numărul punctelor, dar coordonatele exacte le dă calculul. Dacă aplicația arată alt număr de puncte decât discriminantul, reverifică întâi semnele din ecuația de intersecție.