Care este mulțimea soluțiilor ecuației $$\operatorname{ctg}x=-2$$?

$$\left\{\pi-\operatorname{arcctg}2+k\pi \mid k\in\mathbb{Z}\right\}$$

$$\left\{\operatorname{arcctg}2+k\pi \mid k\in\mathbb{Z}\right\}$$

$$\left\{\operatorname{arctg}(-2)+k\pi \mid k\in\mathbb{Z}\right\}$$

$$\left\{\pi-\operatorname{arcctg}2+2k\pi \mid k\in\mathbb{Z}\right\}$$

Care este mulțimea soluțiilor ecuației $$\cos3x=0$$?

$$\left\{\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k\pi}{3} \mid k\in\mathbb{Z}\right\}$$

$$\left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi \mid k\in\mathbb{Z}\right\}$$

$$\left\{\dfrac{\pi}{6}+k\pi \mid k\in\mathbb{Z}\right\}$$

$$\left\{\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2k\pi}{3} \mid k\in\mathbb{Z}\right\}$$

Cum rezolv ecuația cos(2x+ π/3)= 1/2?

Rezolvi întâi în argument: 2x+ π/3=± π/3+2kπ, cu k∈ ℤ. Cu semnul plus obții 2x=2kπ, adică x=kπ. Cu semnul minus, 2x=- 2π/3+2kπ, adică x=- π/3+kπ. Împărțirea la 2 se aplică și termenului cu k.

Cum aleg din interval soluțiile lui sin x = a?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Ecuațiile sin x = a, cos x = a, tg x = a pe ℝ

Scrii cele două familii de soluții pe toată axa, apoi dai lui $k$ valori întregi, inclusiv negative, și păstrezi numerele din interval. Exemplu: $sin x = \frac{2}{2}$ pe $[- 2 π, 2 π]$ . Familiile sunt $x = \frac{π}{4} + 2 k π$ și $x = \frac{3 π}{4} + 2 k π$ , cu $k \in Z$ . Pentru $k = - 1$ obții $- \frac{7 π}{4}$ și $- \frac{5 π}{4}$ , pentru $k = 0$ obții $\frac{π}{4}$ și $\frac{3 π}{4}$ ; pentru $k = 1$ valorile depășesc $2 π$ . Sunt patru soluții.

În clasa a X-a ecuațiile trigonometrice se rezolvă pe toată axa reală. O soluție găsită pe o tură aduce după ea o infinitate: adaugi $2 k π$ la sinus și cosinus și $k π$ la tangentă și cotangentă, cu $k$ număr întreg, pozitiv, negativ sau zero.

Cercul trigonometric arată de unde vin familiile. La $sin x = a$ cauți punctele de ordonată $a$ : dacă $a$ e strict între $- 1$ și $1$ sunt două, oglindite față de axa $O y$ , deci soluțiile sunt $arcsin a + 2 k π$ și $π - arcsin a + 2 k π$ . La $cos x = a$ punctele sunt oglindite față de $O x$ și dau $\pm arccos a + 2 k π$ . Pentru $∣ a ∣ > 1$ nu există soluții. La tangentă, dreapta prin origine taie cercul în două puncte diametral opuse, deci ajunge o singură familie, $arctg a + k π$ , pentru orice $a$ ; la cotangentă se folosește arccotangenta.

Când argumentul este de forma $m x + n$ , rezolvi în acest argument și apoi împarți la $m$ totul, inclusiv termenul cu $k$ . Dacă problema cere doar soluțiile dintr-un interval, pui condiția pe fiecare familie, rezolvi inecuația în $k$ și păstrezi toate numerele din interval, inclusiv pe cele negative. Graficul funcției, tăiat de o dreaptă orizontală, confirmă câte soluții ai găsit pe fiecare tură.

De reținut

$sin x = a$ : $x = arcsin a + 2 k π$ sau $x = π - arcsin a + 2 k π$ , cu $k \in Z$
pe un interval se încearcă și valorile negative ale lui $k$
la argumentul $m x + n$ se împarte la $m$ și termenul cu $k$

Greșeala tipică

Se dau lui $k$ doar valorile $0, 1, 2, \dots$ și se pierd soluțiile negative; pe $[- 2 π, 2 π]$ , valoarea $k = - 1$ aduce $- \frac{7 π}{4}$ și $- \frac{5 π}{4}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Care este mulțimea soluțiilor ecuației $ctg x = - 2$ ?
- a) ${arcctg 2 + k π ∣ k \in Z}$
- b) ${π - arcctg 2 + k π ∣ k \in Z}$
- c) ${arctg (- 2) + k π ∣ k \in Z}$
- d) ${π - arcctg 2 + 2 k π ∣ k \in Z}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) ${π - arcctg 2 + k π ∣ k \in Z}$

$arcctg (- 2) = π - arcctg 2$ , un număr din cadranul al doilea, iar la cotangentă soluțiile se repetă din $π$ în $π$ . Varianta cu $arctg (- 2)$ dă tangenta $- 2$ , nu cotangenta.
Care dintre numerele de mai jos este soluție a ecuației $cos x = 0, 65$ ?
- a) $π - arccos 0, 65$
- b) $2 π - arccos 0, 65$
- c) $π + arccos 0, 65$
- d) $arcsin 0, 65$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $2 π - arccos 0, 65$

Soluțiile sunt $\pm arccos 0, 65 + 2 k π$ ; pentru semnul minus și $k = 1$ obții $2 π - arccos 0, 65$ . Numerele $π \pm arccos 0, 65$ au cosinusul $- 0, 65$ .
Care este mulțimea soluțiilor ecuației $cos 3 x = 0$ ?
- a) ${\frac{π}{2} + k π ∣ k \in Z}$
- b) ${\frac{π}{6} + k π ∣ k \in Z}$
- c) ${\frac{π}{6} + \frac{2 k π}{3} ∣ k \in Z}$
- d) ${\frac{π}{6} + \frac{k π}{3} ∣ k \in Z}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) ${\frac{π}{6} + \frac{k π}{3} ∣ k \in Z}$

$3 x = \frac{π}{2} + k π$ , iar împărțind totul la $3$ obții $x = \frac{π}{6} + \frac{k π}{3}$ .

Întrebări conexe

Cum rezolv ecuația $cos (2 x + \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$ ?

Rezolvi întâi în argument: $2 x + \frac{π}{3} = \pm \frac{π}{3} + 2 k π$ , cu $k \in Z$ . Cu semnul plus obții $2 x = 2 k π$ , adică $x = k π$ . Cu semnul minus, $2 x = - \frac{2 π}{3} + 2 k π$ , adică $x = - \frac{π}{3} + k π$ . Împărțirea la $2$ se aplică și termenului cu $k$ .

Ce soluții are ecuația $ctg x = - 1$ pe toată axa reală?

Arccotangenta lui $- 1$ este $π - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$ , iar cotangenta se repetă din $π$ în $π$ . Mulțimea soluțiilor este ${\frac{3 π}{4} + k π ∣ k \in Z}$ . Verificare: $cos \frac{3 π}{4} = - \frac{2}{2}$ și $sin \frac{3 π}{4} = \frac{2}{2}$ , cu raportul $- 1$ . Arctangenta nu se folosește aici, pentru că ar da tangenta $- 1$ , nu cotangenta.

De ce ecuația $sin x = - 1$ are o singură familie de soluții?

Pe cerc există un singur punct cu ordonata $- 1$ , cel de jos, deci cele două familii obișnuite coincid. Soluțiile sunt $x = - \frac{π}{2} + 2 k π$ , cu $k \in Z$ . Formula generală dă același lucru: $π - (- \frac{π}{2}) = \frac{3 π}{2}$ , care diferă de $- \frac{π}{2}$ exact cu $2 π$ .

Când revine o stea cu luminozitate variabilă la aceeași strălucire?

Dacă strălucirea urmează modelul $L (t) = L_{0} + A sin \frac{2 π t}{5}$ , cu $t$ în zile, valoarea $L_{0} + \frac{A}{2}$ cere $sin \frac{2 π t}{5} = \frac{1}{2}$ . Rezultă $t = \frac{5}{12} + 5 k$ sau $t = \frac{25}{12} + 5 k$ zile. În fiecare perioadă de $5$ zile steaua trece de două ori prin această strălucire: o dată crescând, o dată scăzând.

Care e cea mai mică soluție pozitivă a ecuației $tg 3 x = 1$ ?

Din $3 x = \frac{π}{4} + k π$ rezultă $x = \frac{π}{12} + \frac{k π}{3}$ , cu $k \in Z$ . Pentru $k = 0$ obții $\frac{π}{12}$ , iar pentru $k = - 1$ obții $- \frac{π}{4}$ , negativ. Cea mai mică soluție pozitivă este $\frac{π}{12}$ . Soluțiile se repetă din $\frac{π}{3}$ în $\frac{π}{3}$ , perioada lui $tg 3 x$ , deci următoarea este $\frac{5 π}{12}$ .

Oamenii mai întreabă și: soluțiile ecuației sin x egal a într-un interval · cum selectez soluțiile trigonometrice pe interval · ecuație trigonometrică pe un interval dat · valorile lui k pentru un interval

Cum aleg din interval soluțiile lui sin x = a?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cum rezolv ecuația cos(2x+3π​)=21​?

Ce soluții are ecuația ctgx=−1 pe toată axa reală?

De ce ecuația sinx=−1 are o singură familie de soluții?

Când revine o stea cu luminozitate variabilă la aceeași strălucire?

Care e cea mai mică soluție pozitivă a ecuației tg3x=1?

Continuă cu

Cum rezolv ecuația $cos (2 x + \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$ ?

Ce soluții are ecuația $ctg x = - 1$ pe toată axa reală?

De ce ecuația $sin x = - 1$ are o singură familie de soluții?

Care e cea mai mică soluție pozitivă a ecuației $tg 3 x = 1$ ?